मल्टीकैनोनिकल एन्सेम्बल

सांख्यिकी और भौतिकी में, मल्टीकैनोनिकल एन्सेम्बल (जिसे मल्टीकैनोनिकल सैंपलिंग या फ्लैट हिस्टोग्राम भी कहा जाता है) मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो सैंपलिंग प्रौद्योगिकी है, जो अभिन्न की गणना करने के लिए मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स कलन विधि का उपयोग करती है, जहां इंटीग्रैंड में कई समिष्ट न्यूनतम के साथ सघन परिदृश्य होता है। यह अवस्था के घनत्व के व्युत्क्रम के अनुसार अवस्था का प्रारूप ग्रहण करता है I जिसे प्राथमिकता से जानना होगा या वांग और लैंडौ कलन विधि जैसी अन्य प्रौद्योगिकी का उपयोग करके गणना करनी होगी। मल्टीकैनोनिकल सैंपलिंग आइसिंग मॉडल या स्पिन ग्लास जैसी स्पिन (भौतिकी) प्रणालियों के लिए महत्वपूर्ण प्रौद्योगिकी है।

प्रेरणा

बड़ी संख्या में स्वतंत्रता की डिग्री वाली प्रणालियों में, जैसे स्पिन (भौतिकी) प्रणालियों में, मोंटे कार्लो एकीकरण की आवश्यकता होती है। इस एकीकरण में, महत्व प्रारूपकरण और विशेष रूप से मेट्रोपोलिस कलन विधि, अधिक ही महत्वपूर्ण प्रौद्योगिकी है। चूँकि, मेट्रोपोलिस कलन विधि प्रारूप के अनुसार बताता है, $\exp(-\beta E)$ जहां बीटा तापमान का व्युत्क्रम है। इसका आशय है कि ऊर्जा अवरोध $\Delta E$ ऊर्जा स्पेक्ट्रम पर नियंत्रण करना कठिन है। पॉट्स मॉडल जैसे कई समिष्ट ऊर्जा मिनिमा वाले प्रणाली का प्रारूप लेना कठिन हो जाता है, क्योंकि कलन विधि प्रणाली के समिष्ट मिनिमा में फंस जाता है। यह अन्य दृष्टिकोणों, अर्थात् अन्य प्रारूपकरण वितरणों को प्रेरित करता है।

अवलोकन

मल्टीकैनोनिकल एन्सेम्बल मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स कलन विधि का उपयोग करता है, जो प्रणाली के अवस्था के घनत्व के व्युत्क्रम द्वारा दिए गए प्रारूप वितरण के साथ होता है, जो प्रारूप वितरण के विपरीत है। $\exp(-\beta E)$ मेट्रोपोलिस कलन विधि के इस विकल्प के साथ, औसतन, प्रत्येक ऊर्जा पर प्रारूप किए गए अवस्था की संख्या स्थिर होती है, अर्थात यह ऊर्जा पर फ्लैट हिस्टोग्राम के साथ अनुकरण है। यह ऐसे कलन विधि की ओर ले जाता है, जिसके लिए ऊर्जा बाधाओं को दूर करना अब कठिन नहीं है। मेट्रोपोलिस कलन विधि पर अन्य लाभ यह है कि प्रारूपकरण प्रणाली के तापमान से स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि सिमुलेशन सभी तापमानों के लिए थर्मोडायनामिकल चर के अनुमान की अनुमति प्रदान करता है (इस प्रकार नाम मल्टीकैनोनिकल: कई तापमान)। प्रथम क्रम चरण परिवर्तन के अध्ययन में यह बड़ा सुधार है।

मल्टीकैनोनिकल समूह को निष्पादित करने में सबसे बड़ी समस्या यह है कि अवस्था के घनत्व को प्राथमिकता से जानना होगा। मल्टीकैनोनिकल सैंपलिंग में महत्वपूर्ण योगदान वांग और लैंडौ कलन विधि का था, जो अभिसरण तथा अवस्था के घनत्व की गणना करते समय एसिम्प्टोटिक रूप से मल्टीकैनोनिकल समूह में परिवर्तित हो जाता है।

मल्टीकैनोनिकल समूह भौतिक प्रणालियों तक ही सीमित नहीं है। इसे अमूर्त प्रणालियों पर नियोजित किया जा सकता है, जिनमें मान फलन F होता है। F के संबंध में अवस्था के घनत्व का उपयोग करके, उच्च-आयामी इंटीग्रल की गणना करने या समिष्ट मिनीमा अनुसन्धान के लिए विधि सामान्य हो जाती है।

प्रेरणा

प्रणाली और उसके चरण-समिष्ट पर विचार करें I $\Omega$ विन्यास द्वारा विशेषता ${\boldsymbol {r}}$ में $\Omega$ और प्रणाली के चरण-समिष्ट से एक-आयामी समिष्ट तक मान फलन F $\Gamma$: $F(\Omega )=\Gamma =[\Gamma _{\min },\Gamma _{\max }]$, F का स्पेक्ट्रम है।

example: The Ising model with N sites is an example of such a system; the phase-space is a discrete phase-space defined by all possible configurations of N spins ${\boldsymbol {r}}=(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i},\ldots ,\sigma _{N})$ where $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$. The cost function is the Hamiltonian of the system: $H({\boldsymbol {r}})=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}(1-\sigma _{i}\sigma _{j}),$ where $<i,j>$ is the sum over neighborhoods and $J_{ij}$ is the interaction matrix. The energy spectrum is $\Gamma =[E_{\min },E_{\max }]$ which, in this case, depends on the particular $J_{ij}$ used. If all $J_{ij}$ are 1 (the ferromagnetic Ising model), $E_{\min }=0$ (e.g. all spins are 1.) and $E_{\max }=2DN$ (half spins are up, half spins are down). Also notice that in this system, $\Gamma \in \mathbb {Z}$

औसत मात्रा की गणना $\langle Q\rangle$ चरण-समिष्ट पर अभिन्न के मूल्यांकन की आवश्यकता होती है:

$\langle Q\rangle =\int _{\Omega }Q({\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}$

जहाँ $P_{r}({\boldsymbol {r}})$ प्रत्येक अवस्था का भार है (उदा. $P_{r}({\boldsymbol {r}})=1/V$ समान रूप से वितरित अवस्था के अनुरूप)।

जब Q किसी विशेष अवस्था पर नहीं किन्तु केवल अवस्था के विशेष F के मान पर निर्भर करता है I $F({\boldsymbol {r}})=F_{\boldsymbol {r}}$, के लिए सूत्र $\langle Q\rangle$ डायराक डेल्टा फलन जोड़कर F पर एकीकृत किया जा सकता है और इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:-

${\begin{aligned}\langle Q\rangle &=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}\int _{\Omega }Q(F_{\boldsymbol {r}})P_{r}(F_{\boldsymbol {r}})\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}(F_{\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)P(f)\,df\\\end{aligned}}$

जहाँ

$P(f)=\int _{\Omega }P_{r}(r)\delta (f-F({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}}$

F का सीमांत वितरण है I

example: A system in contact with a heat bath at inverse temperature $\beta$ is an example for computing this kind of integral. For instance, the mean energy of the system is weighted by the Boltzmann factor: $\langle E\rangle ={\frac {1}{V}}\int _{\Omega }H_{\boldsymbol {r}}{\frac {e^{-\beta H_{\boldsymbol {r}}}}{Z}}d{\boldsymbol {r}}$ where $Z={\frac {1}{V}}\int _{\Omega }e^{-\beta H_{\boldsymbol {r}}}d{\boldsymbol {r}}.$ The marginal distribution $P(E)$ is given by $P(E)={\frac {1}{V}}\int _{\Omega }e^{-\beta H_{\boldsymbol {r}}}\delta (E-H_{\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=e^{-\beta E}{\frac {1}{V}}\int _{\Omega }\delta (E-H_{\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=e^{-\beta E}\rho (E)$ where $\rho (E)$ is the density of states. The average energy $\langle E\rangle$ is then given by $\langle E\rangle =\int _{E_{\min }}^{E_{\max }}EP(E)\,dE$

जब प्रणाली में बड़ी संख्या में स्वतंत्रता की डिग्री होती है, तो इसके लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति होती है I $\langle Q\rangle$ प्राप्त करना प्रायः कठिन होता है, और मोंटे कार्लो एकीकरण को सामान्यतः गणना में नियोजित किया जाता है I $\langle Q\rangle$ सरलतम समीकरण पर, विधि N समान रूप से वितरित अवस्था का चयन करती है I ${\boldsymbol {r}}_{i}\in \Omega$, और अनुमानक का उपयोग करता है I

${\overline {Q}}_{N}=\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})VP_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$

कंप्यूटिंग के लिए $\langle Q\rangle$ क्योंकि ${\overline {Q}}_{N}$ लगभग निश्चित रूप से अभिसरण होता है, $\langle Q\rangle$ बड़ी संख्या के नियम द्वारा नियम इस प्रकार है:

$\lim _{N\rightarrow \infty }{\overline {Q}}_{N}=\langle Q\rangle .$

इस अभिसरण की विशिष्ट समस्या यह है कि Q का विचरण अधिक हो सकता है, जिससे उचित परिणाम प्राप्त करने के लिए उच्च कम्प्यूटेशनल प्रयास करना पड़ता है।

example On the previous example, the states that mostly contribute to the integral are the ones with low energy. If the states are sampled uniformly, on average, the number of states which are sampled with energy E is given by the density of states. This density of states can be centered far away from the energy's minima and thus the average can be difficult to obtain.

इस अभिसरण को उत्तम बनाने के लिए, मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स कलन विधि प्रस्तावित किया गया था। सामान्यतः मोंटे कार्लो पद्धति का विचार अनुमानक के अभिसरण को उत्तम बनाने के लिए महत्व प्रारूप का उपयोग करना है I ${\overline {Q}}_{N}$ स्वेच्छानुसार वितरण के अनुसार अवस्था का प्रारूप लेकर $\pi ({\boldsymbol {r}})$, और उपयुक्त अनुमानक का उपयोग किया जाता है:

${\overline {Q}}_{N}=\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})\pi ^{-1}({\boldsymbol {r}}_{i})P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$.

यह अनुमानक स्वेच्छानुसार वितरण से लिए गए प्रारूपों के माध्य के अनुमानक को सामान्यीकृत करता है। इसलिए, जब $\pi ({\boldsymbol {r}})$ समान वितरण है, यह ऊपर समान प्रारूप पर उपयोग किए गए वितरण से मैच करता है।

जब प्रणाली एक भौतिक प्रणाली होती है, जो ऊष्मा स्नान के संपर्क में होती है, तो प्रत्येक अवस्था ${\boldsymbol {r}}$ बोल्ट्ज़मान कारक के अनुसार भारित किया जाता है I $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})\propto \exp(-\beta F_{\boldsymbol {r}})$ मोंटे कार्लो में, विहित एन्सेम्बल को चयन करके परिभाषित किया गया है I $\pi ({\boldsymbol {r}})$ के आनुपातिक $P_{r}({\boldsymbol {r}}_{i})$ होना, इस स्थिति में, अनुमानक साधारण अंकगणितीय औसत से मैच करता है:

${\overline {Q}}_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})$

ऐतिहासिक रूप से, यह तीव्र कंप्यूटिंग मशीनों द्वारा अवस्था की गणना के समीकरण के कारण हुआ है I हीट बाथ के संपर्क में आने वाले प्रणाली पर औसत की गणना करने के लिए मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स कलन विधि का उपयोग करना था, जहां भार बोल्ट्जमैन कारक $P({\boldsymbol {x}})\propto \exp(-\beta E({\boldsymbol {r}}))$ द्वारा दिया जाता है I

किन्तु प्रायः ऐसा होता है कि प्रारूप वितरण $\pi$ वजन वितरण के लिए चुना गया है, $P_{r}$ ऐसा होना आवश्यक नहीं है। एक स्थिति जहां विहित एन्सेम्बल कुशल विकल्प नहीं है, वह तब होता है जब इसे एकत्रित होने में स्वेच्छानुसार रूप से अधिक समय लगता है। एक स्थिति जहां ऐसा होता है, जब फलन F में एकाधिक समिष्ट मिनीमा होते हैं। कलन विधि के लिए विशिष्ट क्षेत्र को समिष्ट न्यूनतम के साथ त्याग करने की कम्प्यूटेशनल मान फलन के न्यूनतम मूल्य के साथ तीव्रता से बढ़ती है। अर्थात्, न्यूनतम जितना गहन होगा, कलन विधि अधिक समय व्यतीत करेगा, और इसका त्याग करना कठिन होगा (समिष्ट न्यूनतम की गहराई के साथ तेजी से बढ़ रहा है)।

मान फलन के समिष्ट न्यूनतम में फंसने से बचने का उपाय प्रारूप प्रौद्योगिकी को समिष्ट न्यूनतम के लिए अदृश्य बनाना है। यह मल्टीकैनोनिकल समूह का आधार है।

मल्टीकैनोनिकल एन्सेम्बल

मल्टीकैनोनिकल समूह को प्रारूप वितरण का चयन करके परिभाषित किया गया है, जो इस प्रकार है:-

$\pi ({\boldsymbol {r}})\propto {\frac {1}{P(F_{\boldsymbol {r}})}}$

जहाँ $P(f)$ ऊपर परिभाषित F का सीमांत वितरण है। इस विकल्प का परिणाम यह है कि f, m(f) के दिए गए मान के साथ प्रारूपों की औसत संख्या दी गई है, जो इस प्रकार है:-

$m(f)=\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\pi ({\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}\propto \int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}}){\frac {1}{P(F_{\boldsymbol {r}})}}d{\boldsymbol {r}}={\frac {1}{P(f)}}\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})P_{r}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=1$

अर्थात्, प्रारूपों की औसत संख्या f पर निर्भर नहीं करती है: सभी मानें f समान रूप से प्रारूप की जाती हैं, चाहे वह अधिक या कम संभावित हों। यह फ्लैट-हिस्टोग्राम नाम को प्रेरित करता है। हीट बाथ के संपर्क में आने वाली प्रणालियों के लिए, प्रारूपकरण तापमान से स्वतंत्र होता है और सिमुलेशन सभी तापमानों का अध्ययन करने की अनुमति प्रदान करता है।

example: On the ferromagnetic Ising model with N sites (exemplified on previous section), the density of states can be analytically computed. In this case, a multicanonical ensemble can be used to compute any other quantity Q by sampling the system according to $P({\boldsymbol {r}})$ and using the proper estimator ${\overline {Q}}$ defined on the previous section.

टनेलिंग बनाने का समय और क्रिटिकल स्लोइंग होना

किसी भी अन्य मोंटे कार्लो विधि के जैसे, इसमें से लिए गए प्रारूपों $P({\boldsymbol {r}})$ के सहसंबंध होते हैं I सहसंबंध का विशिष्ट माप टनलिंग बनाने का समय है। टनलिंग समय को मार्कोव चरणों (मार्कोव श्रृंखला के) की संख्या से परिभाषित किया जाता है, सिमुलेशन को F के न्यूनतम और अधिकतम स्पेक्ट्रम के मध्य राउंड-ट्रिप करने की आवश्यकता होती है। टनलिंग समय का उपयोग करने के लिए प्रेरणा यह है कि जब यह पार हो जाता है, स्पेक्ट्रा अवस्था के अधिकतम घनत्व वाले क्षेत्र से होकर निकलता है, इस प्रकार प्रक्रिया का सहसंबंध समाप्त हो जाता है। दूसरी ओर राउंड-ट्रिप्स का उपयोग यह सुनिश्चित करता है कि प्रणाली सभी स्पेक्ट्रम का भ्रमण करता है।

क्योंकि हिस्टोग्राम चर F पर समतल है, मल्टीकैनोनिक एन्सेम्बल को F मानों की एक-आयामी रेखा पर प्रसार प्रक्रिया (अर्थात यादृच्छिक चलना) के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया का विस्तृत संतुलन यह निर्देशित करता है कि प्रक्रिया पर कोई स्टोकेस्टिक अभिप्राय नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि टनलिंग बनाने का समय, समिष्ट गतिशीलता में प्रसार प्रक्रिया के रूप में परिमाण होना चाहिए, और इस प्रकार टनलिंग बनाने का समय स्पेक्ट्रम के आकार के साथ चतुष्कोणीय रूप से स्केल N होना चाहिए I

$\tau _{tt}\propto N^{2}$

चूँकि, कुछ प्रणालियों में (आइज़िंग मॉडल सबसे प्रतिमानात्मक है), परिमाण स्लोइंग होता है: यह है $N^{2+z}$ जहाँ $z>0$ विशिष्ट प्रणाली पर निर्भर करता है।

परिमाण को द्विघात परिमाण में उत्तम बनाने के लिए गैर-समिष्ट गतिशीलता, क्रिटिकल स्लोइंग गति को त्याग करते हुए विकसित की गई थी (वोल्फ कलन विधि देखें)। चूँकि, यह अभी भी विवृत प्रश्न है कि क्या कोई समिष्ट गतिशीलता है जो आइसिंग प्रारूप जैसे स्पिन प्रणाली में स्लोइंगी से घिरी नहीं है।