रैखिक निकाय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:21, 11 December 2023

प्रणाली सिद्धांत में, रैखिक निकाय रैखिक संकारक के उपयोग पर आधारित प्रणाली का गणितीय मॉडल है। रैखिक प्रणालियाँ प्रायः उन विशेषताओं और गुणों को प्रदर्शित करती हैं जो अरैखिक स्थिति की तुलना में बहुत सरल होते हैं। गणितीय संक्षिप्तीकरण या आदर्शीकरण के रूप में, रैखिक प्रणालियों को स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, सिग्नल प्रोसेसिंग और दूरसंचार में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, वायरलेस संचार प्रणालियों के लिए प्रसार माध्यम को प्रायः रैखिक प्रणालियों द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

परिभाषा

नियतात्मक सतत-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए योज्यता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली योज्यता गुण को संतुष्ट करता है या यदि और केवल यदि

y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)

सभी समय

t

के लिए और सभी इनपुट

x_{1}(t)

और

x_{2}(t)

के लिए योगात्मक है। इसे विस्तृत करने के लिए चित्र पर क्लिक करें।

नियतात्मक सतत-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए एकरूपता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली समरूपता गुण को संतुष्ट करता है या यदि और केवल यदि

y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)

सभी समय

t

के लिए, सभी वास्तविक स्थिरांक

a

के लिए और सभी इनपुट

x_{1}(t)

के लिए सजातीय है। इसे विस्तृत करने के लिए चित्र पर क्लिक करें।

नियतात्मक सतत-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए अध्यारोपण सिद्धांत को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करती है और इस प्रकार रैखिक होती है यदि और केवल यदि

y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)

सभी समय

t

के लिए, सभी वास्तविक स्थिरांक

a_{1}

और

a_{2}

के लिए और सभी इनपुट

x_{1}(t)

और

x_{2}(t)

के लिए। इसे विस्तृत करने के लिए चित्र पर क्लिक करें।

सामान्य नियतात्मक प्रणाली को संकारक, $H$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो इनपुट, $x (t)$ को आउटपुट, $y (t)$ , एक प्रकार के ब्लैक बॉक्स विवरण के रूप में $t$ के फलन के रूप में मैप करता है।

प्रणाली रैखिक होती है यदि और केवल यदि यह अध्यारोपण सिद्धांत, या समतुल्यता और समरूपता गुणों दोनों को बिना किसी प्रतिबंध के संतुष्ट करती है (अर्थात, सभी इनपुट के लिए, सभी स्केलिंग स्थिरांक और सभी समय के लिए)।^[1]^[2]^[3]^[4]

अध्यारोपण सिद्धांत का अर्थ है कि प्रणाली में इनपुट का रैखिक संयोजन अलग-अलग इनपुट के अनुरूप अलग-अलग शून्य-अवस्था आउटपुट (अर्थात, प्रारंभिक स्थितियों को शून्य पर सेट करने वाले आउटपुट) का एक रैखिक संयोजन उत्पन्न करता है।^[5]^[6]

ऐसी प्रणाली में जो समरूपता गुण को संतुष्ट करती है, इनपुट को स्केल करने से सदैव एक ही कारक द्वारा शून्य-अवस्था प्रतिक्रिया को स्केल किया जाता है।^[6] एक ऐसी प्रणाली में जो योज्यता गुण को संतुष्ट करती है, दो इनपुट जोड़ने से सदैव अलग-अलग इनपुट के कारण संबंधित दो शून्य-अवस्था प्रतिक्रियाओं को जोड़ने में परिणाम प्राप्त होता हैं।^[6]

गणितीय रूप से, सतत समय प्रणाली के लिए, दो यादृच्छिक इनपुट दिए गए हैं

{\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}

साथ ही उनके संबंधित शून्य-अवस्था आउटपुट

{\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}

तो रैखिक निकाय को संतुष्ट करना होगा

\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}

किसी भी अदिश मानों

α

और

β

के लिए, किसी भी इनपुट सिग्नल

x 1 (t)

और

x 2 (t)

के लिए, और सभी समय

t

के लिए। प्रणाली को तब समीकरण

H (x (t)) = y (t)

द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां

y (t)

समय के कुछ यादृच्छिक फलन है, और

x (t)

प्रणाली अवस्था है।

y (t)

और

H

, को देखते हुए, प्रणाली को

x (t)

के लिए हल किया जा सकता है।

जटिल इनपुट के अधीन परिणामी प्रणाली के व्यवहार को सरल इनपुट की प्रतिक्रियाओं के योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अरैखिक प्रणालियों में, ऐसा कोई संबंध नहीं होता है। यह गणितीय गुण कई अरैखिक प्रणालियों की तुलना में मॉडलिंग समीकरणों के समाधान को सरल बनाता है। समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए यह आवेग प्रतिक्रिया या आवृत्ति प्रतिक्रिया विधियों (एलटीआई (LTI) प्रणाली सिद्धांत देखें) का आधार है, जो इकाई आवेगों या आवृत्ति घटकों के संदर्भ में एक सामान्य इनपुट फलन $x (t)$ का वर्णन करता है।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के विशिष्ट अवकल समीकरणों को सतत स्थिति में लाप्लास परिवर्तन और असतत स्थिति में जेड (Z)-रूपांतरण (विशेषकर कंप्यूटर कार्यान्वयन में) का उपयोग करके विश्लेषण के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित किया जाता है।

एक अन्य परिप्रेक्ष्य यह है कि रैखिक प्रणालियों के समाधान में फलनों की प्रणाली सम्मिलित होती है जो ज्यामितीय अर्थ में वेक्टर की तरह कार्य करती है।

रैखिक मॉडलों का सामान्य उपयोग रैखिकरण द्वारा अरैखिक प्रणाली का वर्णन करना है। यह प्रायः गणितीय सुविधा के लिए किया जाता है।

रैखिक निकाय की पूर्व परिभाषा एसआईएसओ (SISO) (एकल-इनपुट एकल-आउटपुट) प्रणालियों पर लागू होती है। एमआईएमओ (MIMO) (एकाधिक-इनपुट एकाधिक-आउटपुट) प्रणाली के लिए, इनपुट और आउटपुट सिग्नल ( $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ , $y_{1}(t)$ , $y_{2}(t)$ ) के स्थान पर इनपुट और आउटपुट सिग्नल वेक्टर ( ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ ) पर विचार किया जाता है।^[2]^[4]

रैखिक निकाय की यह परिभाषा गणना में रैखिक अवकल समीकरण की परिभाषा, और रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपांतरण के अनुरूप है।

उदाहरण

सरल आवर्त दोलक अवकल समीकरण का पालन करता है-

m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.

यदि

H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),

तब

H

एक रैखिक संकारक है। मान लीजिए कि

y (t) = 0

, है, हम अवकल समीकरण को

H (x (t)) = y (t)

के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो दर्शाता है कि सरल आवर्त दोलक रैखिक निकाय है।

रैखिक प्रणालियों के अन्य उदाहरणों में $y(t)=k\,x(t)$ , $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ , $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ , द्वारा वर्णित प्रणाली और साधारण रैखिक अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित कोई भी प्रणाली सम्मिलित है।^[4] $y(t)=k$ , $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ , $y(t)=\sin {[x(t)]}$ , $y(t)=\cos {[x(t)]}$ , $y(t)=x^{2}(t)$ , ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ , $y(t)=|x(t)|$ , द्वारा वर्णित प्रणालियाँ, और रैखिक क्षेत्र और संतृप्ति (स्थिर) क्षेत्र से युक्त विषम-समरूपता आउटपुट वाली प्रणाली, अरैखिक हैं क्योंकि वे सदैव अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करती हैं।^[7]^[8]^[9]^[10]

रैखिक निकाय के आउटपुट बनाम इनपुट ग्राफ़ को मूल बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें (जैसे कि स्थिर-धारिता संधारित्र या स्थिर-प्रेरकत्व प्रेरक)। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट ज्यावक्र होता है, तो आउटपुट भी ज्यावक्र होता है, और इसलिए इसका आउटपुट-इनपुट प्लॉट मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के स्थान पर मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त होता है।

इसके अलावा, रैखिक निकाय के आउटपुट में गुणवृत्ति हो सकती है (और इनपुट की तुलना में छोटी मौलिक आवृत्ति होती है) तब भी जब इनपुट ज्यावक्र होता है। उदाहरण के लिए, $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट रूप $x(t)=\cos {(3t)}$ का ज्यावक्र होता है, तो गुणन-से-योग त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि आउटपुट $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$ है, अर्थात्, आउटपुट में केवल इनपुट (3 रेड/सेकेंड) के समान आवृत्ति के ज्यावक्र सम्मिलित नहीं होते हैं, बल्कि इसके स्थान पर 2 रेड/सेकेंड (rad/s) और 4 रेड/सेकेंड आवृत्तियों के ज्यावक्र भी होते हैं इसके अलावा, आउटपुट के ज्यावक्रों की मौलिक अवधि का सबसे छोटा सामान्य गुणक लेते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि आउटपुट की मौलिक कोणीय आवृत्ति 1 रेड/सेकेंड है, जो इनपुट से अलग है।

समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया

रैखिक निकाय की समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया $h(t_{2},t_{1})$ को समय $t=t_{2}$ पर प्रणाली की प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो समय $t = t 1$ पर लागू एकल आवेग के लिए होती है। दूसरे शब्दों में, यदि रैखिक निकाय में इनपुट $x (t)$ है

x(t)=\delta (t-t_{1})

जहां

δ(t)

डिराक डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रणाली की संबंधित प्रतिक्रिया

y (t)

है

y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})

तब फलन

h (t 2, t 1)

प्रणाली की समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया है। चूंकि इनपुट लागू होने से पहले प्रणाली प्रतिक्रिया नहीं दे सकती है, इसलिए निम्नलिखित कार्य-कारण स्थिति को संतुष्ट होना चाहिए-

h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}

संवलन समाकल

किसी भी सामान्य सतत-समय रैखिक निकाय का आउटपुट समाकल द्वारा इनपुट से संबंधित होता है जिसे कार्य-कारण की स्थिति के कारण दोगुनी अनंत सीमा पर लिखा जा सकता है-

y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'

यदि प्रणाली के गुण उस समय पर निर्भर नहीं करते हैं जिस पर इसे संचालित किया जाता है तो इसे समय-अपरिवर्तनीय कहा जाता है और

h

केवल समय अंतर

τ = t - t'

का एक फलन है जो

τ < 0

(अर्थात्

t < t'

) के लिए शून्य है।

h

को पुनः परिभाषित करके इनपुट-आउटपुट संबंध को किसी भी तरीके से समतुल्य रूप से लिखना संभव है,

y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों को प्रायः आवेग प्रतिक्रिया फलन के लाप्लास रूपांतरण द्वारा चित्रित किया जाता है जिसे स्थानांतरण फलन कहा जाता है जो है-

H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.

अनुप्रयोगों में यह प्रायः

s

का एक तर्कसंगत बीजगणितीय फलन है। चूँकि

h (t)

ऋणात्मक

t

के लिए शून्य है, समाकलन को दोगुनी अनंत सीमा पर समान रूप से लिखा जा सकता है और

s = iω

लगाने पर आवृत्ति प्रतिक्रिया फलन के लिए सूत्र का पालन किया जाता है-

H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt

असतत-समय प्रणाली

किसी भी असतत समय रैखिक निकाय का आउटपुट समय-भिन्न संवलन योग द्वारा इनपुट से संबंधित होता है-

y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}

या

h

को पुनः परिभाषित करने पर समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए समतुल्य,

y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}

जहाँ

k=n-m

समय m पर उद्धीपन और समय n पर प्रतिक्रिया के बीच अंतराल समय का प्रतिनिधित्व करता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2008). सिग्नल, सिस्टम और ट्रांसफॉर्म (4 ed.). Pearson. p. 74. ISBN 978-0-13-198923-8.
↑ ^2.0 ^2.1 Bessai, Horst J. (2005). MIMO सिग्नल और सिस्टम. Springer. pp. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
↑ Alkin, Oktay (2014). सिग्नल और सिस्टम: एक MATLAB एकीकृत दृष्टिकोण. CRC Press. p. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Nahvi, Mahmood (2014). सिग्नल और सिस्टम. McGraw-Hill. pp. 162–164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4.
↑ Sundararajan, D. (2008). सिग्नल और सिस्टम के लिए एक व्यावहारिक दृष्टिकोण. Wiley. p. 80. ISBN 978-0-470-82353-8.
↑ ^6.0 ^6.1 ^6.2 Roberts, Michael J. (2018). सिग्नल और सिस्टम: ट्रांसफ़ॉर्म मेथड्स और MATLAB® का उपयोग करके विश्लेषण (3 ed.). McGraw-Hill. pp. 131, 133–134. ISBN 978-0-07-802812-0.
↑ Deergha Rao, K. (2018). सिग्नल और सिस्टम. Springer. pp. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.
↑ Chen, Chi-Tsong (2004). सिग्नल और सिस्टम (3 ed.). Oxford University Press. p. 55-57. ISBN 0-19-515661-7.
↑ ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). MATLAB के साथ निरंतर सिग्नल और सिस्टम (2 ed.). CRC Press. p. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.
↑ Apte, Shaila Dinkar (2016). सिग्नल और सिस्टम: सिद्धांत और अनुप्रयोग. Cambridge University Press. p. 187. ISBN 978-1-107-14624-2.

[Phillips_2008-1] Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2008). सिग्नल, सिस्टम और ट्रांसफॉर्म (4 ed.). Pearson. p. 74. ISBN 978-0-13-198923-8.

[Bessai_2005-2] 2.0 ^2.1 Bessai, Horst J. (2005). MIMO सिग्नल और सिस्टम. Springer. pp. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.

[Alkin_2014-3] Alkin, Oktay (2014). सिग्नल और सिस्टम: एक MATLAB एकीकृत दृष्टिकोण. CRC Press. p. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.

[Nahvi_2014-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Nahvi, Mahmood (2014). सिग्नल और सिस्टम. McGraw-Hill. pp. 162–164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4.

[Sundararajan_2008-5] Sundararajan, D. (2008). सिग्नल और सिस्टम के लिए एक व्यावहारिक दृष्टिकोण. Wiley. p. 80. ISBN 978-0-470-82353-8.

[Roberts_2018-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 Roberts, Michael J. (2018). सिग्नल और सिस्टम: ट्रांसफ़ॉर्म मेथड्स और MATLAB® का उपयोग करके विश्लेषण (3 ed.). McGraw-Hill. pp. 131, 133–134. ISBN 978-0-07-802812-0.

[DeerghaRao_2018-7] Deergha Rao, K. (2018). सिग्नल और सिस्टम. Springer. pp. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.

[Chen_2004-8] Chen, Chi-Tsong (2004). सिग्नल और सिस्टम (3 ed.). Oxford University Press. p. 55-57. ISBN 0-19-515661-7.

[ElAliKarim_2008-9] ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). MATLAB के साथ निरंतर सिग्नल और सिस्टम (2 ed.). CRC Press. p. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.

[Apte_2016-10] Apte, Shaila Dinkar (2016). सिग्नल और सिस्टम: सिद्धांत और अनुप्रयोग. Cambridge University Press. p. 187. ISBN 978-1-107-14624-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Physical system satisfying the superposition principle}}[[सिस्टम सिद्धांत|प्रणाली सिद्धांत]] में, '''रैखिक [[प्रणाली]]''' [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संकारक]] के उपयोग पर आधारित प्रणाली का गणितीय मॉडल है। रैखिक प्रणालियाँ प्रायः उन विशेषताओं और गुणों को प्रदर्शित करती हैं जो गैर-रेखीय स्थिति की तुलना में बहुत सरल होते हैं। गणितीय संक्षिप्तीकरण या आदर्शीकरण के रूप में, रैखिक प्रणालियों को स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, [[ संकेत आगे बढ़ाना |सिग्नल प्रोसेसिंग]] और [[दूरसंचार]] में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, वायरलेस संचार प्रणालियों के लिए प्रसार माध्यम को प्रायः रैखिक प्रणालियों द्वारा मॉडल किया जा सकता है।
+{{Short description|Physical system satisfying the superposition principle}}[[सिस्टम सिद्धांत|प्रणाली सिद्धांत]] में, '''रैखिक निकाय''' [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संकारक]] के उपयोग पर आधारित प्रणाली का गणितीय मॉडल है। रैखिक प्रणालियाँ प्रायः उन विशेषताओं और गुणों को प्रदर्शित करती हैं जो अरैखिक स्थिति की तुलना में बहुत सरल होते हैं। गणितीय संक्षिप्तीकरण या आदर्शीकरण के रूप में, रैखिक प्रणालियों को स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, [[ संकेत आगे बढ़ाना |सिग्नल प्रोसेसिंग]] और [[दूरसंचार]] में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, वायरलेस संचार प्रणालियों के लिए प्रसार माध्यम को प्रायः रैखिक प्रणालियों द्वारा मॉडल किया जा सकता है।
 == परिभाषा ==
-[[File:Additivity property block diagram for a SISO system.png|thumb|नियतात्मक निरंतर-समय SISO सिस्टम के लिए एडिटिविटी गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम एडिटिविटी प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है या अगर और केवल अगर एडिटिव है <math>y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math> हमेशा के लिए <math>t</math> और सभी इनपुट के लिए <math>x_1(t)</math> और <math>x_2(t)</math>. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।]]
+[[File:Additivity property block diagram for a SISO system.png|thumb|नियतात्मक सतत-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए योज्यता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली योज्यता गुण को संतुष्ट करता है या यदि और केवल यदि <math>y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math> सभी समय <math>t</math> के लिए और सभी इनपुट <math>x_1(t)</math> और <math>x_2(t)</math> के लिए योगात्मक है। इसे विस्तृत करने के लिए चित्र पर क्लिक करें।]]
-[[File:Homogeneity property block diagram for a SISO system.png|thumb|नियतात्मक निरंतर-समय SISO प्रणाली के लिए एकरूपता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली एकरूपता संपत्ति को संतुष्ट करती है या यदि और केवल अगर सजातीय है <math>y_2(t) = a \, y_1(t)</math> हमेशा के लिए <math>t</math>, सभी वास्तविक स्थिरांक के लिए <math>a</math> और सभी इनपुट के लिए <math>x_1(t)</math>. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।]]
+[[File:Homogeneity property block diagram for a SISO system.png|thumb|नियतात्मक सतत-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए एकरूपता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली समरूपता गुण को संतुष्ट करता है या यदि और केवल यदि <math>y_2(t) = a \, y_1(t)</math> सभी समय <math>t</math> के लिए, सभी वास्तविक स्थिरांक <math>a</math> के लिए और सभी इनपुट <math>x_1(t)</math> के लिए सजातीय है। इसे विस्तृत करने के लिए चित्र पर क्लिक करें।]]
-[[File:Superposition principle block diagram for a SISO system.png|thumb|नियतात्मक निरंतर-समय SISO प्रणाली के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करता है और इस प्रकार रैखिक है यदि और केवल यदि <math>y_3(t) = a_1 \, y_1(t) + a_2 \, y_2(t)</math> हमेशा के लिए <math>t</math>, सभी वास्तविक स्थिरांकों के लिए <math>a_1</math> और <math>a_2</math> और सभी इनपुट के लिए <math>x_1(t)</math> और <math>x_2(t)</math>. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।]]सामान्य [[नियतात्मक प्रणाली (गणित)|नियतात्मक प्रणाली]] को संकारक, {{math|''H''}} द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो इनपुट, {{math|''x''(''t'')}} को आउटपुट, {{math|''y''(''t'')}}, एक प्रकार के [[ब्लैक बॉक्स (सिस्टम)|ब्लैक बॉक्स]] विवरण के रूप में {{mvar|t}} के फलन के रूप में मैप करता है।
+[[File:Superposition principle block diagram for a SISO system.png|thumb|नियतात्मक सतत-समय एसआईएसओ प्रणाली के लिए अध्यारोपण सिद्धांत को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करती है और इस प्रकार रैखिक होती है यदि और केवल यदि <math>y_3(t) = a_1 \, y_1(t) + a_2 \, y_2(t)</math> सभी समय <math>t</math> के लिए, सभी वास्तविक स्थिरांक <math>a_1</math> और <math>a_2</math> के लिए और सभी इनपुट <math>x_1(t)</math> और <math>x_2(t)</math> के लिए। इसे विस्तृत करने के लिए चित्र पर क्लिक करें।]]सामान्य [[नियतात्मक प्रणाली (गणित)|नियतात्मक प्रणाली]] को संकारक, {{math|''H''}} द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो इनपुट, {{math|''x''(''t'')}} को आउटपुट, {{math|''y''(''t'')}}, एक प्रकार के [[ब्लैक बॉक्स (सिस्टम)|ब्लैक बॉक्स]] विवरण के रूप में {{mvar|t}} के फलन के रूप में मैप करता है।
 प्रणाली रैखिक होती है यदि और केवल यदि यह अध्यारोपण सिद्धांत, या समतुल्यता और समरूपता गुणों दोनों को बिना किसी प्रतिबंध के संतुष्ट करती है (अर्थात, सभी इनपुट के लिए, सभी स्केलिंग स्थिरांक और सभी समय के लिए)।<ref name="Phillips_2008">{{cite book | title = सिग्नल, सिस्टम और ट्रांसफॉर्म| edition = 4 | first = Charles L. | last = Phillips | first2 = John M. | last2 = Parr | first3 = Eve A. | last3 = Riskin | publisher = Pearson | year = 2008 | page = 74 | isbn = 978-0-13-198923-8}}</ref><ref name="Bessai_2005">{{cite book | title = MIMO सिग्नल और सिस्टम| first = Horst J. | last = Bessai | publisher = Springer | year = 2005 | pages = 27-28 | isbn = 0-387-23488-8}}</ref><ref name="Alkin_2014">{{cite book | title = सिग्नल और सिस्टम: एक MATLAB एकीकृत दृष्टिकोण| first = Oktay | last = Alkin | publisher = CRC Press | year = 2014 | page = 99 | isbn = 978-1-4665-9854-6}}</ref><ref name="Nahvi_2014">{{cite book | title = सिग्नल और सिस्टम| first = Mahmood | last = Nahvi | publisher = McGraw-Hill | year = 2014 | pages = 162-164, 166, 183 | isbn = 978-0-07-338070-4}}</ref>
@@ Line 15: / Line 15: @@
 y_1(t) &= H \left \{ x_1(t) \right \} \\
 y_2(t) &= H \left \{ x_2(t) \right \}
-\end{align} </math>तो रैखिक प्रणाली को संतुष्ट करना होगा<math display="block">\alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \} </math>किसी भी [[अदिश (गणित)|अदिश]] मानों {{mvar|α}} और {{mvar|β}} के लिए, किसी भी इनपुट सिग्नल {{math|''x''<sub>1</sub>(''t'')}} और {{math|''x''<sub>2</sub>(''t'')}} के लिए, और सभी समय {{mvar|t}} के लिए।
+\end{align} </math>तो रैखिक निकाय को संतुष्ट करना होगा<math display="block">\alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \} </math>किसी भी [[अदिश (गणित)|अदिश]] मानों {{mvar|α}} और {{mvar|β}} के लिए, किसी भी इनपुट सिग्नल {{math|''x''<sub>1</sub>(''t'')}} और {{math|''x''<sub>2</sub>(''t'')}} के लिए, और सभी समय {{mvar|t}} के लिए।
 प्रणाली को तब समीकरण {{math|1=''H''(''x''(''t'')) = ''y''(''t'')}} द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां {{math|''y''(''t'')}} समय के कुछ यादृच्छिक फलन है, और {{math|''x''(''t'')}} प्रणाली अवस्था है। {{math|''y''(''t'')}} और {{nowrap|{{math|''H''}},}} को देखते हुए, प्रणाली को {{nowrap|{{math|''x''(''t'')}}}} के लिए हल किया जा सकता है।
@@ Line 27: / Line 26: @@
 रैखिक मॉडलों का सामान्य उपयोग रैखिकरण द्वारा अरैखिक प्रणाली का वर्णन करना है। यह प्रायः गणितीय सुविधा के लिए किया जाता है।
-रैखिक प्रणाली की पूर्व परिभाषा एसआईएसओ (SISO) (एकल-इनपुट एकल-आउटपुट) प्रणालियों पर लागू होती है। एमआईएमओ (MIMO) (एकाधिक-इनपुट एकाधिक-आउटपुट) प्रणाली के लिए, इनपुट और आउटपुट सिग्नल (<math>x_1(t)</math>, <math>x_2(t)</math>, <math>y_1(t)</math>, <math>y_2(t)</math>) के स्थान पर इनपुट और आउटपुट सिग्नल वेक्टर (<math>{\mathbf x}_1(t)</math>, <math>{\mathbf x}_2(t)</math>, <math>{\mathbf y}_1(t)</math>, <math>{\mathbf y}_2(t)</math>) पर विचार किया जाता है।<ref name="Bessai_2005" /><ref name="Nahvi_2014" />
+रैखिक निकाय की पूर्व परिभाषा एसआईएसओ (SISO) (एकल-इनपुट एकल-आउटपुट) प्रणालियों पर लागू होती है। एमआईएमओ (MIMO) (एकाधिक-इनपुट एकाधिक-आउटपुट) प्रणाली के लिए, इनपुट और आउटपुट सिग्नल (<math>x_1(t)</math>, <math>x_2(t)</math>, <math>y_1(t)</math>, <math>y_2(t)</math>) के स्थान पर इनपुट और आउटपुट सिग्नल वेक्टर (<math>{\mathbf x}_1(t)</math>, <math>{\mathbf x}_2(t)</math>, <math>{\mathbf y}_1(t)</math>, <math>{\mathbf y}_2(t)</math>) पर विचार किया जाता है।<ref name="Bessai_2005" /><ref name="Nahvi_2014" />
-रैखिक प्रणाली की यह परिभाषा गणना में रैखिक अवकल समीकरण की परिभाषा, और रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपांतरण के अनुरूप है।
+रैखिक निकाय की यह परिभाषा गणना में रैखिक अवकल समीकरण की परिभाषा, और रैखिक बीजगणित में रैखिक रूपांतरण के अनुरूप है।
 === उदाहरण ===
-सरल आवर्त दोलक अवकल समीकरण का पालन करता है-<math display="block">m \frac{d^2(x)}{dt^2} = -kx.</math>यदि<math display="block">H(x(t)) = m \frac{d^2(x(t))}{dt^2} + kx(t),</math>तब {{math|''H''}} एक रैखिक संकारक है। मान लीजिए कि {{nowrap|{{math|1=''y''(''t'') = 0}},}} है, हम अवकल समीकरण को {{nowrap|{{math|1=''H''(''x''(''t'')) = ''y''(''t'')}}}} के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो दर्शाता है कि सरल आवर्त दोलक रैखिक प्रणाली है।
+सरल आवर्त दोलक अवकल समीकरण का पालन करता है-<math display="block">m \frac{d^2(x)}{dt^2} = -kx.</math>यदि<math display="block">H(x(t)) = m \frac{d^2(x(t))}{dt^2} + kx(t),</math>तब {{math|''H''}} एक रैखिक संकारक है। मान लीजिए कि {{nowrap|{{math|1=''y''(''t'') = 0}},}} है, हम अवकल समीकरण को {{nowrap|{{math|1=''H''(''x''(''t'')) = ''y''(''t'')}}}} के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो दर्शाता है कि सरल आवर्त दोलक रैखिक निकाय है।
 रैखिक प्रणालियों के अन्य उदाहरणों में <math>y(t) = k \, x(t)</math>, <math>y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}</math>, <math>y(t) = k \, \int_{-\infty}^{t}x(\tau) \mathrm d\tau</math>, द्वारा वर्णित प्रणाली और साधारण रैखिक अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित कोई भी प्रणाली सम्मिलित है।<ref name="Nahvi_2014" /> <math>y(t) = k</math>, <math>y(t) = k \, x(t) + k_0</math>, <math>y(t) = \sin{[x(t)]}</math>, <math>y(t) = \cos{[x(t)]}</math>, <math>y(t) = x^2(t)</math>, <math display="inline">y(t) = \sqrt{x(t)}</math>, <math>y(t) = |x(t)|</math>, द्वारा वर्णित प्रणालियाँ, और रैखिक क्षेत्र और संतृप्ति (स्थिर) क्षेत्र से युक्त विषम-समरूपता आउटपुट वाली प्रणाली, अरैखिक हैं क्योंकि वे सदैव अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करती हैं।<ref name="DeerghaRao_2018">{{cite book | title = सिग्नल और सिस्टम| first = K. | last = Deergha Rao | publisher = Springer | year = 2018 | pages = 43-44 | isbn = 978-3-319-68674-5}}</ref><ref name="Chen_2004">{{cite book | title = सिग्नल और सिस्टम| edition = 3 | first = Chi-Tsong | last = Chen | publisher = Oxford University Press | year = 2004 | page = 55-57 | isbn = 0-19-515661-7}}</ref><ref name="ElAliKarim_2008">{{cite book | title = MATLAB के साथ निरंतर सिग्नल और सिस्टम| edition = 2 | first = Taan S. | last = ElAli | first2 = Mohammad A. | last2 = Karim | publisher = CRC Press | year = 2008 | page = 53 | isbn = 978-1-4200-5475-0}}</ref><ref name="Apte_2016">{{cite book | title = सिग्नल और सिस्टम: सिद्धांत और अनुप्रयोग| first = Shaila Dinkar | last = Apte | publisher = Cambridge University Press | year = 2016 | page = 187 | isbn = 978-1-107-14624-2}}</ref>
-रैखिक प्रणाली के आउटपुट बनाम इनपुट ग्राफ़ को मूल बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}</math> द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें (जैसे कि स्थिर-धारिता [[संधारित्र]] या स्थिर-प्रेरकत्व [[प्रारंभ करनेवाला|प्रेरक]])। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट ज्यावक्र होता है, तो आउटपुट भी ज्यावक्र होता है, और इसलिए इसका आउटपुट-इनपुट प्लॉट मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के स्थान पर मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त होता है।
+रैखिक निकाय के आउटपुट बनाम इनपुट ग्राफ़ को मूल बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt}</math> द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें (जैसे कि स्थिर-धारिता [[संधारित्र]] या स्थिर-प्रेरकत्व [[प्रारंभ करनेवाला|प्रेरक]])। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट ज्यावक्र होता है, तो आउटपुट भी ज्यावक्र होता है, और इसलिए इसका आउटपुट-इनपुट प्लॉट मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के स्थान पर मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त होता है।
-इसके अलावा, रैखिक प्रणाली के आउटपुट में [[हार्मोनिक विश्लेषण|गुणवृत्ति]] हो सकती है (और इनपुट की तुलना में छोटी मौलिक आवृत्ति होती है) तब भी जब इनपुट ज्यावक्र होता है। उदाहरण के लिए, <math>y(t) = (1.5 + \cos{(t)}) \, x(t)</math> द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट रूप <math>x(t) = \cos{(3t)}</math> का ज्यावक्र होता है, तो गुणन-से-योग त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि आउटपुट <math>y(t) = 1.5 \cos{(3t)} + 0.5 \cos{(2t)} + 0.5 \cos{(4t)}</math> है, अर्थात्, आउटपुट में केवल इनपुट (3 रेड/सेकेंड) के समान आवृत्ति के ज्यावक्र सम्मिलित नहीं होते हैं, बल्कि इसके स्थान पर 2 रेड/सेकेंड (rad/s) और 4 रेड/सेकेंड आवृत्तियों के ज्यावक्र भी होते हैं इसके अलावा, आउटपुट के ज्यावक्रों की मौलिक अवधि का सबसे छोटा सामान्य गुणक लेते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि आउटपुट की मौलिक कोणीय आवृत्ति 1 रेड/सेकेंड है, जो इनपुट से अलग है।
+इसके अलावा, रैखिक निकाय के आउटपुट में [[हार्मोनिक विश्लेषण|गुणवृत्ति]] हो सकती है (और इनपुट की तुलना में छोटी मौलिक आवृत्ति होती है) तब भी जब इनपुट ज्यावक्र होता है। उदाहरण के लिए, <math>y(t) = (1.5 + \cos{(t)}) \, x(t)</math> द्वारा वर्णित प्रणाली पर विचार करें। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट रूप <math>x(t) = \cos{(3t)}</math> का ज्यावक्र होता है, तो गुणन-से-योग त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि आउटपुट <math>y(t) = 1.5 \cos{(3t)} + 0.5 \cos{(2t)} + 0.5 \cos{(4t)}</math> है, अर्थात्, आउटपुट में केवल इनपुट (3 रेड/सेकेंड) के समान आवृत्ति के ज्यावक्र सम्मिलित नहीं होते हैं, बल्कि इसके स्थान पर 2 रेड/सेकेंड (rad/s) और 4 रेड/सेकेंड आवृत्तियों के ज्यावक्र भी होते हैं इसके अलावा, आउटपुट के ज्यावक्रों की मौलिक अवधि का सबसे छोटा सामान्य गुणक लेते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि आउटपुट की मौलिक कोणीय आवृत्ति 1 रेड/सेकेंड है, जो इनपुट से अलग है।
 == समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया ==
-रैखिक प्रणाली की '''समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया''' <math>h(t_2, t_1)</math> को समय <math>t=t_2</math> पर प्रणाली की प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो समय {{nowrap|{{math|1=''t'' = ''t''<sub>1</sub>}}}} पर लागू एकल आवेग के लिए होती है। दूसरे शब्दों में, यदि रैखिक प्रणाली में इनपुट {{math|''x''(''t'')}} है<math display="block">x(t) = \delta(t - t_1)</math>जहां {{math|δ(''t'')}} [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]] का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रणाली की संबंधित प्रतिक्रिया {{math|''y''(''t'')}} है<math display="block">y(t=t_2) = h(t_2, t_1)</math>तब फलन {{math|''h''(''t''<sub>2</sub>, ''t''<sub>1</sub>)}} प्रणाली की समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया है। चूंकि इनपुट लागू होने से पहले प्रणाली प्रतिक्रिया नहीं दे सकती है, इसलिए निम्नलिखित '''कार्य-कारण स्थिति''' को संतुष्ट होना चाहिए-<math display="block"> h(t_2, t_1) = 0, t_2 < t_1</math>
+रैखिक निकाय की '''समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया''' <math>h(t_2, t_1)</math> को समय <math>t=t_2</math> पर प्रणाली की प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो समय {{nowrap|{{math|1=''t'' = ''t''<sub>1</sub>}}}} पर लागू एकल आवेग के लिए होती है। दूसरे शब्दों में, यदि रैखिक निकाय में इनपुट {{math|''x''(''t'')}} है<math display="block">x(t) = \delta(t - t_1)</math>जहां {{math|δ(''t'')}} [[डिराक डेल्टा समारोह|डिराक डेल्टा फलन]] का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रणाली की संबंधित प्रतिक्रिया {{math|''y''(''t'')}} है<math display="block">y(t=t_2) = h(t_2, t_1)</math>तब फलन {{math|''h''(''t''<sub>2</sub>, ''t''<sub>1</sub>)}} प्रणाली की समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया है। चूंकि इनपुट लागू होने से पहले प्रणाली प्रतिक्रिया नहीं दे सकती है, इसलिए निम्नलिखित '''कार्य-कारण स्थिति''' को संतुष्ट होना चाहिए-<math display="block"> h(t_2, t_1) = 0, t_2 < t_1</math>
 == संवलन समाकल ==
-किसी भी सामान्य सतत-समय रैखिक प्रणाली का आउटपुट समाकल द्वारा इनपुट से संबंधित होता है जिसे कार्य-कारण की स्थिति के कारण दोगुनी अनंत सीमा पर लिखा जा सकता है-<math display="block"> y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t,t') x(t')dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t,t') x(t') dt' </math>यदि प्रणाली के गुण उस समय पर निर्भर नहीं करते हैं जिस पर इसे संचालित किया जाता है तो इसे '''समय-अपरिवर्तनीय''' कहा जाता है और {{mvar|h}} केवल समय अंतर {{math|1=''τ'' = ''t'' − ''t' ''}}का एक फलन है जो {{math|''τ'' < 0}} (अर्थात् {{math|''t'' < ''t' ''}}) के लिए शून्य है। {{mvar|h}} को पुनः परिभाषित करके इनपुट-आउटपुट संबंध को किसी भी तरीके से समतुल्य रूप से लिखना संभव है, <math display="block"> y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau  = \int_{0}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau </math>रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों को प्रायः आवेग प्रतिक्रिया फलन के लाप्लास रूपांतरण द्वारा चित्रित किया जाता है जिसे ''स्थानांतरण फलन'' कहा जाता है जो है-<math display="block">H(s) =\int_0^\infty  h(t) e^{-st}\, dt.</math>अनुप्रयोगों में यह प्रायः {{mvar|s}} का एक तर्कसंगत बीजगणितीय फलन है। चूँकि {{math|''h''(''t'')}} ऋणात्मक {{mvar|t}} के लिए शून्य है, समाकलन को दोगुनी अनंत सीमा पर समान रूप से लिखा जा सकता है और {{math|1=''s'' = ''iω''}} लगाने पर ''आवृत्ति प्रतिक्रिया फलन'' के लिए सूत्र का पालन किया जाता है-<math display="block"> H(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t) e^{-i\omega t} dt </math>
+किसी भी सामान्य सतत-समय रैखिक निकाय का आउटपुट समाकल द्वारा इनपुट से संबंधित होता है जिसे कार्य-कारण की स्थिति के कारण दोगुनी अनंत सीमा पर लिखा जा सकता है-<math display="block"> y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t,t') x(t')dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t,t') x(t') dt' </math>यदि प्रणाली के गुण उस समय पर निर्भर नहीं करते हैं जिस पर इसे संचालित किया जाता है तो इसे '''समय-अपरिवर्तनीय''' कहा जाता है और {{mvar|h}} केवल समय अंतर {{math|1=''τ'' = ''t'' − ''t' ''}}का एक फलन है जो {{math|''τ'' < 0}} (अर्थात् {{math|''t'' < ''t' ''}}) के लिए शून्य है। {{mvar|h}} को पुनः परिभाषित करके इनपुट-आउटपुट संबंध को किसी भी तरीके से समतुल्य रूप से लिखना संभव है,<math display="block"> y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau  = \int_{0}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau </math>रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों को प्रायः आवेग प्रतिक्रिया फलन के लाप्लास रूपांतरण द्वारा चित्रित किया जाता है जिसे ''स्थानांतरण फलन'' कहा जाता है जो है-<math display="block">H(s) =\int_0^\infty  h(t) e^{-st}\, dt.</math>अनुप्रयोगों में यह प्रायः {{mvar|s}} का एक तर्कसंगत बीजगणितीय फलन है। चूँकि {{math|''h''(''t'')}} ऋणात्मक {{mvar|t}} के लिए शून्य है, समाकलन को दोगुनी अनंत सीमा पर समान रूप से लिखा जा सकता है और {{math|1=''s'' = ''iω''}} लगाने पर ''आवृत्ति प्रतिक्रिया फलन'' के लिए सूत्र का पालन किया जाता है-<math display="block"> H(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t) e^{-i\omega t} dt </math>
 == असतत-समय प्रणाली ==
-किसी भी असतत समय रैखिक प्रणाली का आउटपुट समय-भिन्न संवलन योग द्वारा इनपुट से संबंधित होता है-<math display="block"> y[n] = \sum_{m =-\infty}^{n} { h[n,m] x[m] }  = \sum_{m =-\infty}^{\infty} { h[n,m] x[m] }</math>या {{math|''h''}} को पुनः परिभाषित करने पर समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए समतुल्य,<math display="block"> y[n] = \sum_{k =0}^{\infty} { h[k] x[n-k] } = \sum_{k =-\infty}^{\infty} { h[k] x[n-k] }</math>जहाँ<math display="block"> k = n-m </math>समय ''m'' पर उद्धीपन और समय ''n'' पर प्रतिक्रिया के बीच अंतराल समय का प्रतिनिधित्व करता है।
+किसी भी असतत समय रैखिक निकाय का आउटपुट समय-भिन्न संवलन योग द्वारा इनपुट से संबंधित होता है-<math display="block"> y[n] = \sum_{m =-\infty}^{n} { h[n,m] x[m] }  = \sum_{m =-\infty}^{\infty} { h[n,m] x[m] }</math>या {{math|''h''}} को पुनः परिभाषित करने पर समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए समतुल्य,<math display="block"> y[n] = \sum_{k =0}^{\infty} { h[k] x[n-k] } = \sum_{k =-\infty}^{\infty} { h[k] x[n-k] }</math>जहाँ<math display="block"> k = n-m </math>समय ''m'' पर उद्धीपन और समय ''n'' पर प्रतिक्रिया के बीच अंतराल समय का प्रतिनिधित्व करता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 66: / Line 65: @@
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 25/03/2023]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

Anonymous

Search

रैखिक निकाय: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Latest revision as of 10:21, 11 December 2023

Contents

परिभाषा

उदाहरण

समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया

संवलन समाकल

असतत-समय प्रणाली

यह भी देखें

संदर्भ

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

रैखिक निकाय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:21, 11 December 2023

परिभाषा

उदाहरण

समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया

संवलन समाकल

असतत-समय प्रणाली

यह भी देखें

संदर्भ

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Hidden categories