बहुचर कलन

बहुचर कलन (जिसे बहुचर कलन के रूप में भी जाना जाता है) चर (गणित) में कलन का विस्तार है जिसमें कई वास्तविक चरों के कार्य के साथ कलन है: अवकल कलन और फलनों का अभिन्न अंग जिसमें केवल के अतिरिक्त कई चर प्रयुक्त हैं। बहुचर कलन को उन्नत कलन का प्राथमिक भाग माना जा सकता है। उन्नत कलन के लिए, यूक्लिडियन समष्टि पर कलन देखें। तीन आयामी समष्टि में कलन के विशेष स्थितियों को अधिकांशतः सदिश कलन कहा जाता है।

विशिष्ट संचालन

सीमाएं और निरंतरता

बहुचर कलन में फलन की सीमा और निरंतर फलन का अध्ययन एकल-चर फलन द्वारा प्रदर्शित नहीं किए जाने वाले कई प्रतिकूल परिणाम उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, उनके डोमेन में बिंदुओं के साथ दो चर्स के स्केलर फलन हैं जो कई रास्तों के साथ संपर्क करने पर कई सीमाएँ देते हैं। उदा.

$f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}$

फलन का प्लॉट f(x, y) = (x²y)/(x⁴ + y²) बिंदु जब भी शून्य तक पहुंचता है $(0,0)$ मूल के माध्यम से लाइनों के साथ संपर्क किया जाता है ($y=kx$). चूंकि, जब मूल परवलय के साथ संपर्क किया जाता है $y=\pm x^{2}$, फलन मान की सीमा होती है $\pm 1/2$. चूंकि ही बिंदु की ओर अलग-अलग रास्ते लेने से अलग-अलग सीमा मूल्य प्राप्त होते हैं, वहां सामान्य सीमा उपस्थित नहीं होती है।

बहुचर निरंतरता के लिए प्रत्येक तर्क में निरंतरता पर्याप्त नहीं होना भी निम्न उदाहरण से देखा जा सकता है। विशेष रूप से, वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए दो वास्तविक-मूल्यवान पैरामीटर के साथ, $f(x,y)$, की निरंतरता $f$ में $x$ निश्चित के लिए $y$ और की निरंतरता $f$ में $y$ निश्चित के लिए $x$ की निरंतरता नहीं दर्शाता है $f$.

विचार करना

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}$

यह सत्यापित करना आसान है कि यह फलन सीमा पर और चतुर्भुज के बाहर परिभाषा द्वारा शून्य है $(0,1)\times (0,1)$. इसके अतिरिक्त, निरंतर के लिए परिभाषित कार्य $x$ और $y$ और $0\leq a\leq 1$ द्वारा

$g_{a}(x)=f(x,a)\quad$ और $\quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad$

निरंतर हैं। विशेष रूप से,

$g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0$ सबके लिए x और y.

चूंकि, अनुक्रम $f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)$ (प्राकृतिक के लिए $n$) में मिलती है $\lim _{n\to \infty }f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=1$, फलन को बंद के रूप में प्रस्तुत करना $(0,0)$. के समानांतर नहीं मूल बिंदु की ओर बढ़ रहा है $x$- और $y$-अक्ष इस असंततता को प्रकट करता है।

फलन रचना की निरंतरता

यदि $f(x,y)$ पर निरंतर है $(a,b),$ और $g$ पर निरंतर एकल चर फलन है $f(a,b),$ फिर समग्र कार्य $h=g\circ f$ द्वारा परिभाषित $h(x,y)=g(f(x,y))$ पर निरंतर है $(a,b).$ उदाहरण के लिए, $\exp(x-y)$ और $\ln(1+xy-4x+10y).$

निरंतर फलनों के गुण

यदि $f(x,y)$ और $g(x,y)$ दोनों निरंतर हैं $(a,b)$ तब

(i) $f(x,y)\pm g(x,y)$ पर निरंतर हैं $(a,b).$

(ii) $cf(x,y)$ पर निरंतर है $(a,b)$ किसी स्थिरांक के लिए c.

(iii) $f(x,y)$ $.$ $g(x,y)$ बिंदु पर निरंतर है $(a,b).$

(iv) ${\frac {f(x,y)}{g(x,y)}}$ पर निरंतर है $(a,b),$ यदि $g(a,b)\neq 0.$ (में) $\mid f(x,y)\mid$ पर निरंतर है $(a,b).$

आंशिक अंतर

Main article: आंशिक व्युत्पन्न

आंशिक व्युत्पन्न उच्च आयामों के व्युत्पन्न की धारणा को सामान्यीकृत करता है। बहुचर फलन का आंशिक व्युत्पन्न चर के संबंध में व्युत्पन्न है जिसमें अन्य सभी चर स्थिर होते हैं।

व्युत्पन्न के अधिक जटिल भाव बनाने के लिए आंशिक डेरिवेटिव को रोचक तरीके से जोड़ा जा सकता है। सदिश कलन का ऑपरेटर ($\nabla$) आंशिक डेरिवेटिव के संदर्भ में ढाल, विचलन और कर्ल (गणित) की अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। आंशिक डेरिवेटिव का आव्यूह, जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक आव्यूह, ऐच्छिक आयाम के दो स्थानों के बीच फलन के व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। व्युत्पन्न को इस प्रकार रैखिक परिवर्तन के रूप में समझा जा सकता है जो फलन के डोमेन में बिंदु से बिंदु तक सीधे भिन्न होता है।

आंशिक अवकलज वाले अवकल समीकरणों को आंशिक अवकल समीकरण या पिडीइ कहते हैं। साधारण अंतर समीकरणों की तुलना में इन समीकरणों को हल करना सामान्यतः अधिक कठिन होता है, जिसमें केवल चर के संबंध में डेरिवेटिव होते हैं।

एकाधिक एकीकरण

Main article: एकाधिक अभिन्न

मल्टीपल इंटीग्रल किसी भी संख्या के चर के फलनों के लिए इंटीग्रल की अवधारणा का विस्तार करता है। विमान और समष्टि में क्षेत्रों और क्षेत्रों की मात्रा की गणना करने के लिए डबल और ट्रिपल इंटीग्रल का उपयोग किया जा सकता है। फ्यूबिनी की प्रमेय गारंटी देती है कि बहु अभिन्न का मूल्यांकन दोहराए गए अभिन्न या पुनरावृत्त अभिन्न के रूप में किया जा सकता है जब तक कि एकीकरण के पूरे क्षेत्र में एकीकृत निरंतर हो।

सतह अभिन्न और रेखा अभिन्न का उपयोग सरफेस (मैथमैटिक्स) और वक्र जैसे कर्व्ड विविध पर इंटीग्रेट करने के लिए किया जाता है।

कई आयामों में कलन की मौलिक प्रमेय

एकल-चर कलन में, कलन का मौलिक प्रमेय व्युत्पन्न और अभिन्न के बीच कड़ी स्थापित करता है। बहुचर कलन में व्युत्पन्न और अभिन्न के बीच की कड़ी सदिश कलन के अभिन्न प्रमेयों द्वारा सन्निहित है:

• ग्रेडिएंट प्रमेय
• स्टोक्स प्रमेय
• विशेष स्तिथितिे
• स्टोक्स प्रमेय
• विचलन प्रमेय
• ग्रीन की प्रमेय।

बहुचर कलन के और अधिक उन्नत अध्ययन में, यह देखा गया है कि ये चार प्रमेय अधिक सामान्य प्रमेय के विशिष्ट अवतार हैं, सामान्यीकृत सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय | स्टोक्स प्रमेय, जो भिन्नात्मक मैनिफोल्ड पर अवकल रूप के एकीकरण पर लागू होता है।

अनुप्रयोग और उपयोग

भौतिक दुनिया में रुचि की कई वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए बहुचर कलन की तकनीकों का उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से,

		फलनों का प्रकार	उपयुक्त तकनीकें
वक्र		$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ for $n>1$	वक्रों की लंबाई, रेखा समाकल और वक्रता।
सतह		$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ for $n>2$	सतहों के क्षेत्र, सतह अभिन्न, सतहों के माध्यम से प्रवाह, और वक्रता।
अदिश क्षेत्र		$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	मैक्सिमा और मिनिमा, लैग्रेंज गुणक, दिशात्मक व्युत्पन्न, स्तर सेट
सदिश क्षेत्र		$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	ग्रेडिएंट, डायवर्जेंस और कर्ल सहित सदिश कलन का कोई भी ऑपरेशन

बहुचर कलन को निर्धारिती प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए लागू किया जा सकता है जिनमें स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की कई डिग्री होती हैं। स्वतंत्रता की प्रत्येक डिग्री के अनुरूप स्वतंत्र चर वाले कार्य अधिकांशतः इन प्रणालियों को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, और बहुचर कलन प्रणाली की गतिशीलता को चिह्नित करने के लिए उपकरण प्रदान करता है।

बहुचर कलन का उपयोग निरंतर समय गतिशील प्रणालियों के इष्टतम नियंत्रण में किया जाता है। अनुभवजन्य डेटा के विभिन्न सेटों के बीच संबंधों का अनुमान लगाने के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए प्रतिगमन विश्लेषण में इसका उपयोग किया जाता है।

बहुचर कलन का उपयोग प्राकृतिक विज्ञान और सामाजिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के कई क्षेत्रों में मॉडल और उच्च-आयामी प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है जो नियतात्मक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। अर्थशास्त्र में, उदाहरण के लिए, विभिन्न प्रकार के सामानों पर उपभोक्ता की पसंद, और उपयोग करने के लिए विभिन्न इनपुट और उत्पादन के लिए आउटपुट पर अधिकतम लाभ, बहुचर कलन के साथ तैयार किए जाते हैं।

गैर-नियतात्मक, या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया प्रणालियों का अध्ययन कई तरह के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसे स्टोचैस्टिक कलन।

यह भी देखें

• बहुचर कलन विषयों की सूची
• बहुचर आँकड़े

बाहरी कड़ियाँ

• UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
• MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
• Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
• Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
• Multivariable Calculus – A Very Quick Review, Prof. Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
• Multivariable Calculus, Online text by Dr. Jerry Shurman