रेखीय समीकरण: Difference between revisions

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{{Short description|Equation that does not involve powers or products of variables}}
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[[File:Linear Function Graph.svg|thumb|300px|दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन]]
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एक रेखीय समीकरण को <math>a_1x_1+\ldots+a_nx_n+b=0,</math> रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां <math>x_1,\ldots,x_n</math> चर (या अज्ञात) हैं तथा <math>b,a_1,\ldots,a_n</math> गुणांक हैं, जो प्रयाः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) के रूप में माना जा सकता है, और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक <math>a_1, \ldots, a_n</math> का शून्य न होना आवश्यक है।
एक रेखीय समीकरण को <math>a_1x_1+\ldots+a_nx_n+b=0,</math> रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां <math>x_1,\ldots,x_n</math> चर (या अज्ञात) हैं तथा <math>b,a_1,\ldots,a_n</math> गुणांक हैं, जो प्रायः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के [https://en.wikipedia.org/wiki/Parameter|'''पैरामीटर'''] ([[गणित]] में स्थिर राशी) और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक <math>a_1, \ldots, a_n</math> का शून्य न होना आवश्यक है।


वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है, जिससे गुणांक लिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक [[बहुपद|रैखिक बहुपद]] को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है।


इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर (या अज्ञात) के स्थान पर रखने समीकरण के दोनों पक्षों की समानता को सत्य बनाते हैं।
इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर के स्थान पर रखने पर समीकरण के दोनों पक्ष समतुल्य हो जाते है।


केवल एक चर (या अज्ञात) होने की स्थिति में, एक मात्र हल (<math>a_1\ne 0</math>) है। अक्सर, रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष मामले को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को समझदारी से अज्ञात कहा जाता है।
केवल एक चर होने की स्थिति में, एक मात्र हल <math>a_1\ne 0</math> है। प्राय: रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष स्थिति को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को प्रत्यक्षता से अज्ञात कहा जाता है।


दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में की जा सकती है। एक रैखिक समीकरण का हल यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों में एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द का मूल है। अधिक सामान्यतः, {{mvar|n}} चर में एक रैखिक समीकरण के हल {{mvar|n}} विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) ({{math|''n'' − 1}} विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।
दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के [https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system|'''कार्टेशियन निर्देशांक'''] के रूप में की जा सकती है, जो की यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों के एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द मूल है।सामान्यतः, {{mvar|n}} चर के एक रैखिक समीकरण का हल {{mvar|n}} विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) ({{math|''n'' − 1}} विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।


आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रयाः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रयाः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।
आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रायः सभी [[गणित]] और [[भौतिक विज्ञान|भौतिकी]] और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि [[नॉनलाइनियर सिस्टम|अरेखीय तंत्र]] प्रायः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।
   
   
यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण के मामले पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों के मामले में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।
यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण की स्थिति पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और सामान्यतः किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों की स्थिति में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।


== एक चर ==
== एक चर ==
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===ज्यामितीय व्याख्या ===
===ज्यामितीय व्याख्या ===
[[File:x is a.svg|thumb|Vertical line of equation {{math|1=''x'' = ''a''}}]]
[[File:y is b.svg|thumb|Horizontal line of equation {{math|1=''y'' = ''b''}}]]
एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y),
एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल (x, y),


<math>ax+by+c=0 </math>
<math>ax+by+c=0 </math>


यूक्लिडियन तल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।
[[द्वि-आयामी यूक्लिडियन स्थान|यूक्लिडियन तल]] में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में देखा जा सकता है। इस व्याख्या के साथ, समीकरण के सभी हल एक रेखा बनाते हैं, बशर्ते कि a और b दोनों शून्य न हों। इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा एक रैखिक समीकरण के सभी हलों का समुच्चय है।


वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।
वाक्यांश "रैखिक समीकरण" रेखाओ और समीकरणों के बीच इस संवाद में अपना मूल लेता है। दो चर के एक रैखिक समीकरण का हल एक रेखा बनाता है।
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इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण <math>y=-\frac cb</math> की एक क्षैतिज रेखा होती है।
इसी प्रकार, यदि a ≠ 0, रेखा y के एक फलन का आरेख (ग्राफ) है, और, यदि a = 0, तो समीकरण <math>y=-\frac cb</math> की एक क्षैतिज रेखा होती है।


=== एक रेखा का समीकरण ===
=== एक रेखा का समीकरण ===
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==== ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप ====
==== ढलान-अवरोधन रूप या ढाल-अवरोधन रूप ====
एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y<sub>0</sub> (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है।[[File:x is a.svg|thumb|बराबर की खड़ी रेखा]]
एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को इसके ढलान एम (m) और इसके y-अवरोधन को y<sub>0</sub> (y-अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन का y निर्देशांक) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।


:<math>y=mx+y_0.</math>
:<math>y=mx+y_0.</math>
यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान तथा {{mvar|x}}-अवरोधन को {{math|''x''{{sub|0}}}} द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण कुछ इस प्रकार लिखा जा सकता है।
यदि रेखा ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान तथा {{mvar|x}}-अवरोधन को {{math|''x''{{sub|0}}}} द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, इसका समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
:<math>y=m(x-x_0),</math>
:<math>y=m(x-x_0),</math>
या, समान रूप से,
या, समान रूप से,
:<math>y=mx-mx_0.</math>
:<math>y=mx-mx_0.</math>
ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 25}}</ref> समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए
ये रूप एक अनूर्ध्वाधरत रेखा को एक फलन के आरेख (ग्राफ) के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 25}}</ref> समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए,


:<math>ax+by+c = 0,</math>
:<math>ax+by+c = 0,</math>
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y_0&=-\frac cb.
y_0&=-\frac cb.
\end{align}</math>
\end{align}</math>


==== बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप ====
==== बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप ====
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या
या
:<math>y=mx +y_1-mx_1.</math>
:<math>y=mx +y_1-mx_1.</math>
किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है, अत: समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है।
किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांकों से एक रेखा की ढलान की गणना की जा सकती है, अत: समीकरण नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
:<math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
:<math>y-y_1=m(x-x_1)</math>
==== अवरोधन रूप ====
==== अवरोधन रूप ====
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दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
दो से अधिक चरों वाले एक रैखिक समीकरण को नीचे दिए गए रूप में प्रदर्शित जा सकता है।
:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>
:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>
गुणांक {{mvar|b}} स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद<ref>{{cite book |title=An Elementary Course in Theory of Equations |author1=Charles Hiram Chapman |edition= |publisher=J. Wiley & sons |year=1892 |isbn= |page=17 |url=https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ}} [https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ&pg=PA17 पृष्ठ 17 का उद्धरण]</ref><ref>{{cite book |title=Numbers Universalized: An Advanced Algebra |author1=David Martin Sensenig |edition= |publisher=American Book Company |year=1890 |isbn= |page=113 |url=https://books.google.com/books?id=TvMGAAAAYAAJ}} [https://books.google.be/books?id=TvMGAAAAYAAJ&pg=PA113 पृष्ठ 113 का उद्धरण]</ref>) होता है, जिसे प्राय: {{math|''a''{{sub|0}}}} से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ {{math|''a''{{sub|''i''}}}} के लिए आरक्षित किया जा सकता है।
गुणांक {{mvar|b}} स्थिरांक पद (कभी-कभी पुरानी किताबों में निरपेक्ष पद<ref>{{cite book |title=An Elementary Course in Theory of Equations |author1=Charles Hiram Chapman |edition= |publisher=J. Wiley & sons |year=1892 |isbn= |page=17 |url=https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ}} [https://books.google.com/books?id=2PQGAAAAYAAJ&pg=PA17 पृष्ठ 17 का उद्धरण]</ref><ref>{{cite book |title=Numbers Universalized: An Advanced Algebra |author1=David Martin Sensenig |edition= |publisher=American Book Company |year=1890 |isbn= |page=113 |url=https://books.google.com/books?id=TvMGAAAAYAAJ}} [https://books.google.be/books?id=TvMGAAAAYAAJ&pg=PA113 पृष्ठ 113 का उद्धरण]</ref>) होता है, जिसे प्राय: {{math|''a''{{sub|0}}}} से निरूपित किया जाता है। संदर्भ के आधार पर, गुणांक शब्द को i > 0 के साथ {{math|''a''{{sub|''i''}}}} के लिए निर्धारित किया जा सकता है।


व्यवहार करते समय <math>n=3</math> चर, इसका उपयोग करना आम है <math>x,\; y</math> तथा <math>z</math> अनुक्रमित चर के बजाय।
<math>n=3</math>चर से सम्बन्धित, अनुक्रमित चर के बजाय <math>x,\; y</math> तथा <math>z</math> उपयोग करना सामान्य है।


ऐसे समीकरण का एक हल है a {{mvar|n}}-टुपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करना समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देता है।
ऐसे समीकरण का हल {{mvar|n}}-टपल्स जैसे कि टपल के प्रत्येक तत्व को संबंधित चर के लिए प्रतिस्थापित करने पर समीकरण एक वास्तविक समतुल्यता में बदल जाता है।


एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक गैर-शून्य होना चाहिए। वास्तव में, यदि प्रत्येक चर का एक शून्य गुणांक है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत है (के लिए .) {{mvar|''b'' ≠ 0}}) कोई समाधान नहीं होने के कारण, या सभी {{nowrap|{{mvar|n}}-टुपल्स}} समाधान हैं।
एक समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए, कम से कम एक चर का गुणांक अशून्य होना चाहिए। यदि प्रत्येक चर का गुणांक एक शून्य है, तो, जैसा कि एक चर के लिए उल्लेख किया गया है, समीकरण या तो असंगत ({{mvar|''b'' ≠ 0}} के लिए) जिनका कोई हल नहीं है, या सभी {{nowrap|{{mvar|n}}-टुपल्स}} हल हैं।


<nowiki>{mvar|n}}-tuples जो एक रैखिक समीकरण के समाधान हैं </nowiki>{{nowrap|{{mvar|n}} चर}}<nowiki> an . के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं {गणित|(n − 1)}}-विमीय हाइपरप्लेन in an </nowiki>{{nowrap|{{mvar|n}}-डायमेंशनल}} यूक्लिडियन स्पेस (या एफाइन स्पेस अगर गुणांक कॉम्प्लेक्स नंबर हैं या किसी फील्ड से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह हाइपरप्लेन एक विमान है।
{{mvar|n}}-टपल्स जो {{nowrap|{{mvar|n}} चर}} के एक रैखिक समीकरण के हल हैं, जो कि एक n-विमीय यूक्लिडियन स्पेस में एक (n - 1)-विमीय ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) के बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक हैं (या सजातीय (एफ़िन) स्पेस, यदि गुणांक जटिल संख्याएं हैं या किसी क्षेत्र से संबंधित हैं)। तीन चर के मामले में, यह ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) एक विमीय होता है।


यदि के साथ एक रैखिक समीकरण दिया जाता है {गणित|ए{{sub|''j''}} ≠ 0}}, तो समीकरण को हल किया जा सकता है {{math|''x''{{sub|''j''}}}}, उपज
यदि a<sub>j</sub> ≠ 0 से एक रैखिक समीकरण दिया जाता है, तो समीकरण को {{math|''x''{{sub|''j''}}}} के लिए हल किया जा सकता है।
:<math>x_j = -\frac b{a_j} -\sum_{i\in \{1,\ldots,n\}, i\ne j} \frac {a_i}{a_j}x_i .</math>
:<math>x_j = -\frac b{a_j} -\sum_{i\in \{1,\ldots,n\}, i\ne j} \frac {a_i}{a_j}x_i .</math>
यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित करता है {{mvar|n}} वास्तविक चर।
यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो यह {{mvar|n}} वास्तविक चर का एक वास्तविक-मूल्यवान फलन को परिभाषित करता है ।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
* {{springer|title=Linear equation|id=p/l059190}}
* {{springer|title=Linear equation|id=p/l059190}}
{{Polynomials}}


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Latest revision as of 09:16, 24 July 2022

दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन

एक रेखीय समीकरण को रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है, जहां चर (या अज्ञात) हैं तथा गुणांक हैं, जो प्रायः वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर (गणित में स्थिर राशी) और स्वेच्छाचारी (मनमाने) व्यंजक (अचर) हो सकते हैं। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, सभी गुणांक का शून्य न होना आवश्यक है।

वैकल्पिक रूप से, एक रैखिक समीकरण, एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जा सकता है।

इस तरह के समीकरण के हल वे मान होते हैं, जो चर के स्थान पर रखने पर समीकरण के दोनों पक्ष समतुल्य हो जाते है।

केवल एक चर होने की स्थिति में, एक मात्र हल है। प्राय: रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष स्थिति को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को प्रत्यक्षता से अज्ञात कहा जाता है।

दो चरों की स्थिति में, प्रत्येक हल की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में की जा सकती है, जो की यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाता हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों के एक रैखिक समीकरण के सभी हलो के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द मूल है।सामान्यतः, n चर के एक रैखिक समीकरण का हल n विमा के यूक्लिडियन क्षेत्र में एक ऊनविमसमतल (हाइपरप्लेन) (n − 1 विमा का एक सबस्पेस) बनाते हैं।

आंशिक रूप से, रैखिक समीकरण प्रायः सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, क्योंकि अरेखीय तंत्र प्रायः रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।

यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण की स्थिति पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक हल का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल हलो पर लागू होती है, और सामान्यतः किसी भी क्षेत्र में गुणांक और हल वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों की स्थिति में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

एक चर

एक चर x का एक रैखिक समीकरण है, जहां a तथा b वास्तविक संख्याएं हैं।

, x के मूल तथा ।

दो चर

दो चरों x तथा y का एक रैखिक समीकरण है, जहां a, b तथा c वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार होती हैं कि ।[1]

इसके असीम रूप से कई संभावित हल हैं।

रैखिक फलन