प्लेट स्पंदन: Difference between revisions

Latest revision as of 06:50, 19 October 2023

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क्लैम्प्ड वर्गाकार प्लेट का कंपन मोड

प्लेटों का कंपन यांत्रिक कंपन की अधिक सामान्य समस्या का एक विशेष स्थिति है। प्लेटों की गति को नियंत्रित करने वाले समीकरण सामान्य त्रि-आयामी वस्तुओं की तुलना में सरल होते हैं क्योंकि प्लेट के आयामों में से अन्य दूसरे की तुलना में बहुत छोटा होता है। इससे पता चलता है कि एक द्वि-आयामी प्लेट सिद्धांत प्लेट जैसी वस्तु की वास्तविक त्रि-आयामी गति के लिए एक उत्कृष्ट सन्निकटन देगा, और वास्तव में यह सत्य पाया गया है।^[1]

प्लेटों की गति का वर्णन करने के लिए कई सिद्धांत विकसित किए गए हैं। सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला किरचॉफ-लव प्लेट सिद्धांत है। किरचॉफ-लव थ्योरी^[2] और उफ्लायंड-माइंडलिन।^[3]^[4] बाद के सिद्धांत पर एलीशाकॉफ द्वारा विस्तार से चर्चा की गई है।^[5] इन सिद्धांतों द्वारा भविष्यवाणी किए गए संचालन समीकरणों के समाधान हमें मुक्त और विवश दोनों स्थितियों में प्लेट जैसी वस्तुओं के व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं।। यह भी संम्मिलित है

तरंगों का प्रसार और प्लेटों में खड़ी तरंगों और कंपन मोड का अध्ययन। लीसा द्वारा पुस्तकों में प्लेट कंपन के विषय पर विचार किया गया है,^[6]^[7] गोंटकेविच,^[8] राव,^[9] सोएडेल,^[10] यू,^[11] गोर्मन^[12]^[13] और राव।^[14]

किरचॉफ-लव प्लेट्स

किरचॉफ-लव प्लेट की गतिकी के लिए संचालन समीकरण हैं

{\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{aligned}}

जहाँ $u_{\alpha }$ प्लेट की मध्य सतह के सतह में विस्थापन हैं, $w$ प्लेट की मध्य-सतह का अनुप्रस्थ (सतह से बाहर) विस्थापन है, $q$ एक किर्यान्वित अनुप्रस्थ भार की ओर संकेत करता है $x_{3}$ (ऊपर की ओर), और परिणामी बलों और क्षणों को इस रूप में परिभाषित किया गया है

N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.

ध्यान दें कि प्लेट की मोटाई है $2h$ और परिणामी को सतह में तनावों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया गया है $\sigma _{\alpha \beta }$ . संचालन समीकरणों में व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है

{\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}

जहां लैटिन सूचकांक 1 से 3 तक जाते हैं जबकि ग्रीक सूचकांक 1 से 2 तक जाते हैं। दोहराए गए सूचकांकों पर योग निहित है। $x_{3}$ h> निर्देशांक सतह से बाहर है जबकि निर्देशांक $x_{1}$ और $x_{2}$ सतह में हैं।

मोटाई की समान रूप से मोटी प्लेट के लिए $2h$ और सजातीय द्रव्यमान घनत्व $\rho$

J_{1} := \int_{- h}^{h} ρ d x_{3} = 2 ρ h and J_{3}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

@@ Line 22: / Line 22: @@
     M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3 \,.
 </math>
-ध्यान दें कि प्लेट की मोटाई है <math>2h</math> और परिणामी को सतह में तनावों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\sigma_{\alpha\beta}</math>. संचालन समीकरणों में डेरिवेटिव को इस रूप में परिभाषित किया गया है
+ध्यान दें कि प्लेट की मोटाई है <math>2h</math> और परिणामी को सतह में तनावों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\sigma_{\alpha\beta}</math>. संचालन समीकरणों में व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>
     \dot{u}_i := \frac{\partial u_i}{\partial t} ~;~~ \ddot{u}_i := \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} ~;~~
@@ Line 78: / Line 78: @@
 == आइसोट्रोपिक प्लेटों का मुक्त कंपन ==
-मुक्त कंपन के लिए, बाहरी बल क्यू शून्य है, और एक आइसोटोपिक प्लेट के संचालन समीकरण को कम कर देता है
+मुक्त कंपन के लिए, बाहरी बल  ''q'' शून्य है, और एक आइसोटोपिक प्लेट के संचालन समीकरण को कम कर देता है
 :<math>
     D\nabla^2\nabla^2 w = - 2\rho h\ddot{w}
@@ Line 92: / Line 92: @@
 गतिज ऊर्जा प्रपत्र के एक अभिन्न द्वारा दी गई है
 :<math>T = \frac{\rho}{2}\int_\Omega w_t^2\, dx\, dy.</math>
-हैमिल्टन के सिद्धांत का प्रमाण है कि  w कुल ऊर्जा ''T''+''U'' की विविधताओं के कलन के संबंध में एक स्थिर बिंदु है। परिणामी आंशिक अंतर समीकरण है
+हैमिल्टन के सिद्धांत का प्रमाण है कि w कुल ऊर्जा ''T''+''U'' की विविधताओं के कलन के संबंध में एक स्थिर बिंदु है। परिणामी आंशिक अंतर समीकरण है
 :<math>\rho w_{tt} + \mu \Delta\Delta w = 0.\,</math>
 ===वृत्तीय प्लेटें===
-स्वतंत्र रूप से कंपन करने वाली गोलाकार प्लेटों के लिए, <math> w = w(r,t)</math>, और बेलनाकार निर्देशांक में लाप्लासियन का रूप है
+स्वतंत्र रूप से कंपन करने वाली वृत्ताकार प्लेटों के लिए, <math> w = w(r,t)</math>, और बेलनाकार निर्देशांक में लाप्लासियन का रूप है
 :<math>
    \nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right) \,.
 </math>
-इसलिए, मोटाई की एक गोलाकार प्लेट के मुक्त कंपन के लिए संचालन समीकरण <math>2h</math> है
+इसलिए, मोटाई की एक वृत्ताकार प्लेट के मुक्त कंपन के लिए संचालन समीकरण <math>2h</math> है
 :<math>
     \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left[r \frac{\partial }{\partial r}\left\{\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right)\right\}\right] = -\frac{2\rho h}{D}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\,.
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