बैकस्टेपिंग: Difference between revisions
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}}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=लचीले जोड़ों के साथ रोबोट मैनिपुलेटर्स का अनुकूली नियंत्रण| journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619|url=https://hal.inria.fr/hal-03592568/file/RLBB_FJ_TAC1992.pdf }}</ref> [[ अरेखीय प्रणाली |अरेखीय प्रणाली]] [[गतिशील प्रणाली]] के विशेष वर्ग के लिए [[ल्यपुनोव स्थिरता]] नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो | }}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=लचीले जोड़ों के साथ रोबोट मैनिपुलेटर्स का अनुकूली नियंत्रण| journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619|url=https://hal.inria.fr/hal-03592568/file/RLBB_FJ_TAC1992.pdf }}</ref> किसी [[ अरेखीय प्रणाली |अरेखीय प्रणाली]] तथा [[गतिशील प्रणाली]] के विशेष वर्ग के लिए [[ल्यपुनोव स्थिरता]] नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो अपरिवर्तनीयता के कारण उपप्रणाली से निकलती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस [[ प्रत्यावर्तन |प्रत्यावर्तन]] संरचना के कारण डिज़ाइनर इस प्रकार की ज्ञात स्थिर प्रणालियों पर संरचना प्रक्रिया को प्रारंभ कर सकते हैं, और इसके लिए नए नियंत्रकों को वापस ले सकते है, जो इस प्रकार प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। इस प्रकार अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।<ref name="Khalil">{{cite book | ||
| last = Khalil | | last = Khalil | ||
| first = H.K. | | first = H.K. | ||
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==बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण== | ==बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण== | ||
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण मुख्य रूप से | बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण मुख्य रूप से कठोर प्रतिक्रिया रूप में इस प्रणाली की [[उत्पत्ति (गणित)]] की ल्यपुनोव स्थिरता के लिए रिकर्सन विधि प्रदान करता है। इस प्रकार प्रपत्र की गतिशील प्रणाली पर विचार करें<ref name="Khalil"/> | ||
:<math>\begin{align}\begin{cases} | :<math>\begin{align}\begin{cases} | ||
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\end{cases}\end{align}</math> | \end{cases}\end{align}</math> | ||
जहाँ | जहाँ | ||
* <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> साथ <math>n \geq 1</math>, | * <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> साथ <math>n \geq 1</math> मान प्राप्त होता हैं, | ||
* <math>z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k</math> [[अदिश (गणित)]] हैं, | * <math>z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k</math> [[अदिश (गणित)]] हैं, | ||
* {{mvar|u}} | * {{mvar|u}} प्रणाली के लिए अदिश (गणित) इनपुट है, | ||
* <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math> मूल में विलुप्त (अर्थात, <math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>), | * <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math> मूल में विलुप्त (अर्थात, <math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>), | ||
* <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math> | * <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math> के लिए इसका मान इस क्षेत्र पर शून्येत्तर हैं, (अर्थात्, <math>g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0</math> के लिए <math>1 \leq i \leq k</math>) के समान हैं। | ||
यह भी मान लें कि उपप्रणाली | यह भी मान लें कि उपप्रणाली | ||
:<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | :<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ||
मूल (गणित) (अर्थात, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता है, इनमें से कुछ के लिए ज्ञात मान के आधार पर नियंत्रण द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math> मान प्राप्त होता हैं, यह मान इस प्रकार है कि <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> के समान हैं, यह भी माना जाता है, कि [[ल्यपुनोव समारोह|ल्यपुनोव फलन]] <math>V_x</math> के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। इस प्रकार प्राप्त होने वाला मान {{math|'''x'''}} हैं जो इसकी उपप्रणाली को किसी अन्य विधि द्वारा स्थिर किया जाता है, और बैकस्टेपिंग इसकी स्थिरता <math>\textbf{z}</math> को बढ़ाता है, जो इसके चारों ओर विवृत रहता हैं। | मूल (गणित) (अर्थात, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता के समान है, इनमें से कुछ के लिए ज्ञात मान के आधार पर नियंत्रण द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math> मान प्राप्त होता हैं, यह मान इस प्रकार है कि <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> के समान हैं, यह भी माना जाता है, कि [[ल्यपुनोव समारोह|ल्यपुनोव फलन]] <math>V_x</math> के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। इस प्रकार प्राप्त होने वाला मान {{math|'''x'''}} के समान हैं जो इसकी उपप्रणाली को किसी अन्य विधि द्वारा स्थिर किया जाता है, और बैकस्टेपिंग इसकी स्थिरता <math>\textbf{z}</math> को बढ़ाता है, जो इसके चारों ओर विवृत रहता हैं। | ||
इस कठोर प्रतिक्रिया के लिए इन प्रणालियों में स्थिरता के चारों ओर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली वाले फॉर्म होते है, | इस कठोर प्रतिक्रिया के लिए इन प्रणालियों में स्थिरता के चारों ओर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली वाले फॉर्म होते है, | ||
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* यहाँ पर <math>z_n</math> स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान <math>z_{n-1}</math> के समान हैं। | * यहाँ पर <math>z_n</math> स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान <math>z_{n-1}</math> के समान हैं। | ||
* यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>z_{i+1}</math> द्वारा स्थिर किया जाता है। | * यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>z_{i+1}</math> द्वारा स्थिर किया जाता है। | ||
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} उपप्रणाली <math>z_1</math> का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति <math>z_2</math> कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना <math>z_1</math> को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}} का मान आवश्यक हैं, इसलिए प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक कठोर प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} उपप्रणाली <math>z_1</math> का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति <math>z_2</math> कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना <math>z_1</math> को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}} का मान आवश्यक हैं, इसलिए इस प्रकार की प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक कठोर प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | ||
==पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन== | ==पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन== | ||
# यह दिया गया है कि छोटा | # यह दिया गया है कि छोटा अर्थात, निचले क्रम की उपप्रणाली इस प्रकार हैं। | ||
#::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | #::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ||
#:इस प्रकार पहले से ही कुछ नियंत्रण द्वारा मूल बिंदु <math>u_x(\mathbf{x})</math> पर स्थिर कर दिया गया है, जहाँ <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> अर्थात <math>u_x</math> को उपयोग करते हैं, इस प्रकार इस प्रणाली को स्थिर करने के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना होगा। यह भी माना जाता है कि ल्यपुनोव फलन <math>V_x</math> के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। बैकस्टेपिंग इस उपप्रणाली की नियंत्रित स्थिरता को बड़े | #:इस प्रकार पहले से ही कुछ नियंत्रण द्वारा मूल बिंदु <math>u_x(\mathbf{x})</math> पर स्थिर कर दिया गया है, जहाँ <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> अर्थात <math>u_x</math> को उपयोग करते हैं, इस प्रकार इस प्रणाली को स्थिर करने के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना होगा। यह भी माना जाता है कि ल्यपुनोव फलन <math>V_x</math> के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। इस प्रकार बैकस्टेपिंग इस उपप्रणाली की नियंत्रित स्थिरता को बड़े प्रणाली तक विस्तारित करने का तरीका प्रदान करता है। | ||
# नियंत्रण <math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि | # नियंत्रण <math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि यह प्रणाली कुछ इस प्रकार दिखती हैं। | ||
#::<math>\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)</math> | #::<math>\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)</math> | ||
#:इस समीकरण के आधार पर यह मान स्थिर किया जाता है, जिससे कि <math>z_1</math> नियंत्रण के लिए वांछित मान <math>u_x</math> का पालन करता है। नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार पर आधारित है, | #:इस समीकरण के आधार पर यह मान स्थिर किया जाता है, जिससे कि <math>z_1</math> नियंत्रण के लिए वांछित मान <math>u_x</math> का पालन करता है। नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार पर आधारित है, | ||
#::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | #::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | ||
#:यह नियंत्रण <math>u_1</math> बाध्य करने के <math>\dot{V}_1</math> शून्य से दूरी के लिए चुना जाता है, | #:यह नियंत्रण <math>u_1</math> बाध्य करने के <math>\dot{V}_1</math> शून्य से दूरी के लिए चुना जाता है, | ||
# नियंत्रण <math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि | # नियंत्रण <math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि प्रणाली कुछ इस प्रकार प्राप्त होती हैं- | ||
#::<math>\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> | #::<math>\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> | ||
#:इसके आधार पर यह स्थिर किया जा सकता है, जिससे कि <math>z_2</math> वांछित <math>u_1</math> नियंत्रण का पालन करता है। इसके आधार पर नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन | #:इसके आधार पर यह स्थिर किया जा सकता है, जिससे कि <math>z_2</math> वांछित <math>u_1</math> नियंत्रण का पालन करता है। इसके आधार पर नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन पर आधारित है | ||
#::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2</math> | #::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2</math> | ||
#:इस नियंत्रण <math>u_2</math> बाध्य करने के लिए <math>\dot{V}_2</math> शून्य से मान को चुना जा सकता है, | #:इस नियंत्रण <math>u_2</math> बाध्य करने के लिए <math>\dot{V}_2</math> शून्य से मान को चुना जा सकता है, | ||
# यह प्रक्रिया वास्तविक होने तक उपयोग किया जा सकता है, यहाँ पर {{mvar|u}} का मान ज्ञात है, और | # यह प्रक्रिया वास्तविक होने तक उपयोग किया जा सकता है, यहाँ पर {{mvar|u}} का मान ज्ञात है, और | ||
#* वास्तविक नियंत्रण {{mvar|u}} स्थिर करता है, <math>z_k</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> के लिए प्राप्त होता | #* वास्तविक नियंत्रण {{mvar|u}} स्थिर करता है, <math>z_k</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> के लिए प्राप्त होता हैं। | ||
#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> स्थिर <math>z_{k-1}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> के लिए प्राप्त होता | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> स्थिर <math>z_{k-1}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> के लिए प्राप्त होता हैं। | ||
#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> स्थिर <math>z_{k-2}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-3}</math> के लिए प्राप्त होता | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> स्थिर <math>z_{k-2}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-3}</math> के लिए प्राप्त होता हैं। | ||
#* ... | #* ... | ||
#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_2</math> स्थिर <math>z_2</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_1</math> के लिए उपयोग किया जाता हैं, | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_2</math> स्थिर <math>z_2</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_1</math> के लिए उपयोग किया जाता हैं, | ||
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#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_x</math> स्थिर {{math|'''x'''}} मूल की ओर उपयोग किया जाता हैं, | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_x</math> स्थिर {{math|'''x'''}} मूल की ओर उपयोग किया जाता हैं, | ||
इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह स्थिरता के लिए कुछ आंतरिक उपप्रणाली की आवश्यकताओं के साथ प्रारंभ होती है, और प्रत्येक चरण पर स्थिरता बनाए रखते हुए धीरे-धीरे | इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह स्थिरता के लिए कुछ आंतरिक उपप्रणाली की आवश्यकताओं के साथ प्रारंभ होती है, और प्रत्येक चरण पर स्थिरता बनाए रखते हुए धीरे-धीरे प्रणाली से ''पीछे हटती'' है। क्योंकि | ||
* <math>f_i</math> के लिए मूल रूप से लुप्त <math>0 \leq i \leq k</math> हो जाता हैं, | * <math>f_i</math> के लिए मूल रूप से लुप्त <math>0 \leq i \leq k</math> हो जाता हैं, | ||
* <math>g_i</math> के लिए शून्येतर <math>1 \leq i \leq k</math> हैं, | * <math>g_i</math> के लिए शून्येतर <math>1 \leq i \leq k</math> हैं, | ||
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== इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग == | == इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग == | ||
सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक | सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक प्रणाली के लिए बैकस्टेपिंग प्रक्रिया का वर्णन करने से पहले, स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म प्रणाली के छोटे वर्ग के लिए दृष्टिकोण पर चर्चा करना सुविधाजनक है। ये प्रणाली इंटीग्रेटर्स की श्रृंखला को इनपुट से जोड़ते हैं। | ||
यहाँ पर ज्ञात होने वाले फीडबैक स्थिरीकरण नियंत्रण नियम वाले | यहाँ पर ज्ञात होने वाले फीडबैक स्थिरीकरण नियंत्रण नियम वाले प्रणाली और इसलिए स्थिरीकरण दृष्टिकोण को इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार छोटे संशोधनों के साथ, सभी कठोर प्रतिक्रियायें फॉर्म प्रणाली को संभालने के लिए इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण को बढ़ाया जा सकता है। | ||
===एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन=== | ===एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन=== | ||
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| {{EquationRef|1}}}} | | {{EquationRef|1}}}} | ||
जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> अदिश राशि है, यह | जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> अदिश राशि है, यह प्रणाली [[ करनेवाला |करने वाला]] का [[कैस्केड कनेक्शन]] है, इस प्रकार {{math|'''x'''}} उपप्रणाली (अर्थात, इनपुट {{mvar|u}} इंटीग्रेटर और [[ अभिन्न |अभिन्न]] में प्रवेश करता है, जहाँ पर <math>z_1</math> {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के अनुसार प्रविष्ट होता है।) | ||
हम मानते हैं कि <math>f_x(\mathbf{0})=0</math>, और यदि ऐसा है <math>u_1=0</math>, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> और <math>z_1 = 0</math> | हम मानते हैं कि <math>f_x(\mathbf{0})=0</math>, और यदि ऐसा है <math>u_1=0</math>, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> और <math>z_1 = 0</math> के समान होने पर हमें यह समीकरण प्राप्त होता हैं। | ||
:<math>\begin{cases} | :<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) + ( g_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) )(\underbrace{0}_{z_1}) = 0 + ( g_x(\mathbf{0}) )(0) = \mathbf{0} & \quad \text{ (i.e., } \mathbf{x} = \mathbf{0} \text{ is stationary)}\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) + ( g_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) )(\underbrace{0}_{z_1}) = 0 + ( g_x(\mathbf{0}) )(0) = \mathbf{0} & \quad \text{ (i.e., } \mathbf{x} = \mathbf{0} \text{ is stationary)}\\ | ||
\dot{z}_1 = \overbrace{0}^{u_1} & \quad \text{ (i.e., } z_1 = 0 \text{ is stationary)} | \dot{z}_1 = \overbrace{0}^{u_1} & \quad \text{ (i.e., } z_1 = 0 \text{ is stationary)} | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
तो मूल (गणित) <math>(\mathbf{x},z_1) = (\mathbf{0},0)</math> प्रणाली का संतुलन (अर्थात, [[स्थिर बिंदु]]) है। यदि | तो मूल (गणित) <math>(\mathbf{x},z_1) = (\mathbf{0},0)</math> प्रणाली का संतुलन (अर्थात, [[स्थिर बिंदु]]) है। यदि प्रणाली कभी मूल स्थिति तक पहुंचता है, तो वह उसके पश्चात सदैव के लिए वहीं रहेगा। | ||
===सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ===सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ||
इस उदाहरण में बैकस्टेपिंग का उपयोग समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर | इस उदाहरण में बैकस्टेपिंग का उपयोग समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर प्रणाली को ल्यपुनोव स्थिरता के लिए किया जाता है, इस प्रकार ({{EquationNote|1}}) मूल बिंदु पर इसके संतुलन के समीप रहता हैं। कम सटीक होने के लिए, हम नियंत्रण नियम तैयार करना चाहते हैं, इस प्रकार <math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math> पर सुनिश्चित करता है कि इस स्थिति <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को वापस <math>(\mathbf{0},0)</math> प्रणाली को कुछ प्रारंभिक स्थिति से प्रारंभ करने के बाद उपयोग होता हैं। | ||
* सबसे पहले, धारणा से, उपप्रणाली | * सबसे पहले, धारणा से, उपप्रणाली | ||
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::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ||
:जहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य|धनात्मक-निश्चित कार्य]] है, अर्थात हम यह मान सकते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि {{math|'''x'''}} वर्तमान समय के लिए सरल है, इसके आधार पर उपप्रणाली ल्यपुनोव स्थिरता है, इस प्रकार स्थिर ल्यपुनोव के अर्थ में मोटे तौर पर, स्थिरता की इस धारणा का अर्थ है कि: | :जहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य|धनात्मक-निश्चित कार्य]] है, अर्थात हम यह मान सकते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि {{math|'''x'''}} वर्तमान समय के लिए सरल है, इसके आधार पर उपप्रणाली ल्यपुनोव स्थिरता है, इस प्रकार स्थिर ल्यपुनोव के अर्थ में मोटे तौर पर, स्थिरता की इस धारणा का अर्थ है कि: | ||
** फलन <math>V_x</math> की सामान्यीकृत ऊर्जा के समान है, जहाँ पर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के रूप में {{math|'''x'''}} | ** फलन <math>V_x</math> की सामान्यीकृत ऊर्जा के समान है, जहाँ पर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के रूप में {{math|'''x'''}} प्रणाली की अवस्थाएँ मूल, ऊर्जा से दूर चली जाती हैं, जिससे <math>V_x(\mathbf{x})</math> भी बढ़ता है। | ||
** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर पुनः {{math|'''x'''}} स्थिति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> की ओर क्षय होना चाहिए, अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - {{math|'''x'''}} जैसे-जैसे समय के साथ बढ़ेगा, स्थिति क्रमशः मूल के समीप पहुंचेंगी। | ** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर पुनः {{math|'''x'''}} स्थिति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> की ओर क्षय होना चाहिए, अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - {{math|'''x'''}} जैसे-जैसे समय के साथ बढ़ेगा, स्थिति क्रमशः मूल के समीप पहुंचेंगी। | ||
** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> धनात्मक निश्चित का अर्थ है कि <math>W(\mathbf{x}) > 0</math> को छोड़कर हर स्थान पर <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, और <math>W(\mathbf{0})=0</math> के समान हैं। | ** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> धनात्मक निश्चित का अर्थ है कि <math>W(\mathbf{x}) > 0</math> को छोड़कर हर स्थान पर <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, और <math>W(\mathbf{0})=0</math> के समान हैं। | ||
** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> अर्थ कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है, अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> अर्थ कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है, अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ||
** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए, इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए, इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ||
:हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है, इसके आधार पर {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है, इसके लिए बिन्दु <math>(\mathbf{x},z_1)</math> | :हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है, इसके आधार पर {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है, इसके लिए बिन्दु <math>(\mathbf{x},z_1)</math> प्रणाली भी स्थिर रहता हैं इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए नया ल्यपुनोव फलन 'उम्मीदवार' ढूंढना होगा। वह उम्मीदवार नियंत्रण {{mvar|u}} पर निर्भर रहेगा, और इस प्रकार नियंत्रण को सही ढंग से चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह हर स्थान पर भी क्षय हो रहा है। | ||
* | * <math>g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> के आगे 'और' जोड़कर घटाएँ (अर्थात, हम प्रणाली को किसी भी तरह से यह मान नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। इसके आधार पर <math>\dot{\mathbf{x}}</math> बड़े का भाग <math>(\mathbf{x},z_1)</math> प्रणाली यह बन जाता है। | ||
::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ||
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::<math>\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ||
:तो हमारा कैस्केड | :तो हमारा कैस्केड उपप्रणाली ज्ञात-स्थिर <math>\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})</math> को समाहित करता है, इसके कारण उपप्रणाली प्लस इंटीग्रेटर द्वारा उत्पन्न कुछ त्रुटि पायी गयी हैं। | ||
* अब हम वेरिएबल्स को परविर्तित कर सकते हैं, जैसे <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को <math>(\mathbf{x}, e_1)</math> में परिवर्तित करने से <math>e_1 \triangleq z_1 - u_x(\mathbf{x})</math> भी मान प्राप्त हो सकता हैं। इसलिए | * अब हम वेरिएबल्स को परविर्तित कर सकते हैं, जैसे <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को <math>(\mathbf{x}, e_1)</math> में परिवर्तित करने से <math>e_1 \triangleq z_1 - u_x(\mathbf{x})</math> भी मान प्राप्त हो सकता हैं। इसलिए | ||
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::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))+g_x(\mathbf{x}) e_1\\\dot{e}_1 = v_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))+g_x(\mathbf{x}) e_1\\\dot{e}_1 = v_1\end{cases}</math> | ||
: हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली <math>v_1</math> को स्थिर करना चाहते हैं, इस प्रकार किसी | : हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली <math>v_1</math> को स्थिर करना चाहते हैं, इस प्रकार किसी प्रणाली को स्थिर करके <math>e_1 = 0</math>, स्थिति <math>z_1</math> वांछित नियंत्रण <math>u_x</math> को ट्रैक करेगा, जिसके परिणामस्वरूप आंतरिक स्थिरता {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के अनुसार आएगी। | ||
* हमारे उपस्थिता ल्यपुनोव फलन से <math>V_x</math>, हम संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार को परिभाषित करते हैं | * हमारे उपस्थिता ल्यपुनोव फलन से <math>V_x</math>, हम संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार को परिभाषित करते हैं | ||
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::<math>\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1</math> | ::<math>\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1</math> | ||
: यह सुनिश्चित करने के लिए <math>\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> अर्थात, | : यह सुनिश्चित करने के लिए <math>\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> अर्थात, उपप्रणाली की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए हम नियंत्रण नियम को ही चुनते हैं। | ||
::<math>v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1</math> | ::<math>v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1</math> | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
: तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं, यहाँ पर <math>V_1</math> ल्यपुनोव फलन है, और हमारा | : तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं, यहाँ पर <math>V_1</math> ल्यपुनोव फलन है, और हमारा प्रणाली इस नियंत्रण नियम के अनुसार स्थिर है, इसलिए <math>v_1</math> जो नियंत्रण नियम <math>u_1</math> से मेल खाता है, क्योंकि <math>v_1 \triangleq u_1 - \dot{u}_x</math> के समान हैं, इसके कारण मूल समन्वय प्रणाली से चर का उपयोग करते हुए समतुल्य ल्यपुनोव फलन का उपयोग किया जाता हैं। | ||
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| {{EquationRef|3}}}} | | {{EquationRef|3}}}} | ||
: स्थिति {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> | : स्थिति {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> प्रणाली से फलन <math>u_x</math> हमारे ज्ञात-स्थिर से आता है, <math>\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x})</math> उपप्रणाली के लाभ के लिए पैरामीटर <math>k_1 > 0</math> का अभिसरण करके इसकी उचित दर या हमारे प्रणाली को प्रभावित करता है। इस नियंत्रण नियम के अनुसार हमारी प्रणाली मूल में ल्यपुनोव स्थिरता <math>(\mathbf{x},z_1)=(\mathbf{0},0)</math> पायी जाती है। | ||
: याद रखें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है, यहाँ पर आश्चर्य की बात नहीं हैं, क्यूंकि नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा, तथा <math>\dot{u}_x</math> के साथ ही कुछ ऑफसेट भी मिल जाते हैं। इस प्रकार इसकी अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य त्रुटियों के प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | : याद रखें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है, यहाँ पर आश्चर्य की बात नहीं हैं, क्यूंकि नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा, तथा <math>\dot{u}_x</math> के साथ ही कुछ ऑफसेट भी मिल जाते हैं। इस प्रकार इसकी अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य त्रुटियों के प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | ||
इसलिए क्योंकि यह | इसलिए क्योंकि यह प्रणाली फीडबैक <math>u_1(\mathbf{x}, z_1)</math> द्वारा स्थिर है, और इसमें ल्यपुनोव फलन <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math> साथ <math>\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> के समान है , इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड प्रणाली में ऊपरी उपप्रणाली के रूप में किया जा सकता है। | ||
=== प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | === प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | ||
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| {{EquationRef|4}}}} | | {{EquationRef|4}}}} | ||
जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> और <math>z_2</math> अदिश हैं, यह | जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> और <math>z_2</math> अदिश हैं, यह प्रणाली समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर प्रणाली का कैस्केड कनेक्शन है, जहाँ पर समीकरण ({{EquationNote|1}}) दूसरे इंटीग्रेटर के साथ (अर्थात, इनपुट <math>u_2</math> इंटीग्रेटर के माध्यम से प्रवेश करता है, और उस इंटीग्रेटर का आउटपुट समीकरण में प्रणाली में प्रवेश करता है, इस प्रकार समीकरण ({{EquationNote|1}}) के द्वारा <math>u_1</math> इनपुट प्राप्त होता हैं। | ||
जो इस प्रकार हैं- | जो इस प्रकार हैं- | ||
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| {{EquationRef|5}}}} | | {{EquationRef|5}}}} | ||
एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण नियम <math>u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)</math> ऊपरी भाग को स्थिर करता है, जहाँ पर <math>z_2</math>-को-{{math|'''y'''}} ल्यपुनोव फलन का उपयोग कर उपप्रणाली <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math>, और इसलिए समीकरण ({{EquationNote|5}}) नया सिंगल-इंटीग्रेटर | एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण नियम <math>u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)</math> ऊपरी भाग को स्थिर करता है, जहाँ पर <math>z_2</math>-को-{{math|'''y'''}} ल्यपुनोव फलन का उपयोग कर उपप्रणाली <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math>, और इसलिए समीकरण ({{EquationNote|5}}) नया सिंगल-इंटीग्रेटर प्रणाली है जो संरचनात्मक रूप से समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर प्रणाली के बराबर है ({{EquationNote|1}}). तो स्थिर नियंत्रण <math>u_2</math> उसी एकल-इंटीग्रेटर प्रक्रिया का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसका उपयोग <math>u_1</math> का मान खोजने के लिए किया गया था। | ||