एनवेलप प्रमेय: Difference between revisions

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गणित और [[अर्थशास्त्र]] में, लिफाफा प्रमेय एक पैरामिट्रीकृत अनुकूलन समस्या के मान फलन के अवकलनीयता गुणों के बारे में प्रमुख परिणाम है।<ref>{{cite journal |first=Kim C. |last=Border |year=2019 |title=Miscellaneous Notes on Optimization Theory and Related Topics |journal=Lecture Notes |publisher=California Institute of Technology |page=154 |url=https://paperzz.com/doc/7000652/miscellaneous-notes-on-optimization-theory-and-related-to...}}</ref> जैसा कि हम उद्देश्य के मापदंडों को बदलते हैं, लिफाफा प्रमेय से पता चलता है कि, निश्चित अर्थ में, उद्देश्य के अनुकूलक में परिवर्तन उद्देश्य फलन में परिवर्तन के लिए योगदान नहीं करते हैं। लिफ़ाफ़ा प्रमेय [[अनुकूलन]] मॉडल के [[तुलनात्मक स्टैटिक्स|तुलनात्मक सांख्यिकी]] के लिए महत्वपूर्ण उपकरण है।<ref>{{cite book |first=Michael |last=Carter |title=Foundations of Mathematical Economics |location=Cambridge |publisher=MIT Press |year=2001 |isbn=978-0-262-53192-4 |pages=603–609 |url=https://books.google.com/books?id=KysvrGGfzq0C&pg=PA603 }}</ref>
गणित और [[अर्थशास्त्र]] में, '''एनवेलप प्रमेय''' एक पैरामिट्रीकृत अनुकूलन समस्या के मान फलन के अवकलनीयता गुणों के बारे में प्रमुख परिणाम है।<ref>{{cite journal |first=Kim C. |last=Border |year=2019 |title=Miscellaneous Notes on Optimization Theory and Related Topics |journal=Lecture Notes |publisher=California Institute of Technology |page=154 |url=https://paperzz.com/doc/7000652/miscellaneous-notes-on-optimization-theory-and-related-to...}}</ref> जैसा कि हम उद्देश्य के मापदंडों को बदलते हैं, एनवेलप प्रमेय से पता चलता है कि, निश्चित अर्थ में, उद्देश्य के अनुकूलक में परिवर्तन उद्देश्य फलन में परिवर्तन के लिए योगदान नहीं करते हैं। लिफ़ाफ़ा प्रमेय [[अनुकूलन]] मॉडल के [[तुलनात्मक स्टैटिक्स|तुलनात्मक सांख्यिकी]] के लिए महत्वपूर्ण उपकरण है।<ref>{{cite book |first=Michael |last=Carter |title=Foundations of Mathematical Economics |location=Cambridge |publisher=MIT Press |year=2001 |isbn=978-0-262-53192-4 |pages=603–609 |url=https://books.google.com/books?id=KysvrGGfzq0C&pg=PA603 }}</ref>


लिफाफा शब्द मान फलन के रेखांकन का वर्णन करने से प्राप्त होता है, जो फलन के मापदण्डयुक्त परिवार के रेखांकन के ऊपरी लिफाफे के रूप में होता है <math>\left\{ f\left( x,\cdot \right) \right\} _{x\in X}</math> जो अनुकूलित हैं।
एनवेलप शब्द मान फलन के रेखांकन का वर्णन करने से प्राप्त होता है, जो फलन के मापदण्डयुक्त परिवार के रेखांकन के ऊपरी लिफाफे के रूप में होता है <math>\left\{ f\left( x,\cdot \right) \right\} _{x\in X}</math> जो अनुकूलित हैं।


== कथन ==
== कथन ==
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{{NumBlk|:|<math>V(t) =\sup_{x\in X}f(x,t)</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>V(t) =\sup_{x\in X}f(x,t)</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk|:|<math>X^{\ast }(t) =\{x\in X:f(x,t)=V(t)\}</math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|:|<math>X^{\ast }(t) =\{x\in X:f(x,t)=V(t)\}</math>|{{EquationRef|2}}}}एनवेलप प्रमेय मान फलन के लिए पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करता है <math>V</math> मापदण्ड में अलग-अलग होने के लिए <math>t</math> और इसके व्युत्पन्न का वर्णन करें{{NumBlk|:|<math>V^{\prime }\left( t\right) =f_{t}\left( x,t\right) \text{ for each }x\in X^{\ast }\left( t\right),</math>|{{EquationRef|3}}}}
 
लिफाफा प्रमेय मान फलन के लिए पर्याप्त स्थितियों का वर्णन करता है <math>V</math> मापदण्ड में अलग-अलग होने के लिए <math>t</math> और इसके व्युत्पन्न का वर्णन करें
 
{{NumBlk|:|<math>V^{\prime }\left( t\right) =f_{t}\left( x,t\right) \text{ for each }x\in X^{\ast }\left( t\right),</math>|{{EquationRef|3}}}}


जहाँ <math>f_{t}</math> के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>f</math> इसके संबंध में <math>t</math>. अर्थात्, मापदण्ड के संबंध में मूल्य फलन का व्युत्पन्न उद्देश्य फलन के आंशिक व्युत्पन्न के संबंध में बराबर होता है <math>t</math> अधिकतम स्तर को अपने इष्टतम स्तर पर स्थिर रखना।
जहाँ <math>f_{t}</math> के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>f</math> इसके संबंध में <math>t</math>. अर्थात्, मापदण्ड के संबंध में मूल्य फलन का व्युत्पन्न उद्देश्य फलन के आंशिक व्युत्पन्न के संबंध में बराबर होता है <math>t</math> अधिकतम स्तर को अपने इष्टतम स्तर पर स्थिर रखना।


पारंपरिक लिफाफा प्रमेय व्युत्पत्ति के लिए प्रथम-क्रम की स्थिति का उपयोग करते हैं ({{EquationNote|1}}), जिसके लिए आवश्यक है कि चुनाव समुच्चय हो <math>X</math> उत्तल और सामयिक संरचना, और उद्देश्य फलन है <math>f</math> चर में अवकलनीय हो <math>x</math>. (तर्क यह है कि मैक्सिमाइज़र में परिवर्तनों का इष्टतम पर केवल दूसरा क्रम प्रभाव होता है और इसलिए इसे अनदेखा किया जा सकता है।) चूंकि , कई अनुप्रयोगों में जैसे कि अनुबंध सिद्धांत और खेल सिद्धांत में प्रोत्साहन बाधाओं का विश्लेषण, गैर-उत्तल उत्पादन समस्याएं,और मोनोटोन या शक्तिशाली तुलनात्मक सांख्यिकी, विकल्प समुच्चय और उद्देश्य कार्यों में  सामान्यतः पारंपरिक लिफाफा प्रमेयों द्वारा आवश्यक संस्थानिक और उत्तल गुणों की कमी होती है।  
पारंपरिक एनवेलप प्रमेय व्युत्पत्ति के लिए प्रथम-क्रम की स्थिति का उपयोग करते हैं ({{EquationNote|1}}), जिसके लिए आवश्यक है कि चुनाव समुच्चय हो <math>X</math> उत्तल और सामयिक संरचना, और उद्देश्य फलन है <math>f</math> चर में अवकलनीय हो <math>x</math>. (तर्क यह है कि मैक्सिमाइज़र में परिवर्तनों का इष्टतम पर केवल दूसरा क्रम प्रभाव होता है और इसलिए इसे अनदेखा किया जा सकता है।) चूंकि , कई अनुप्रयोगों में जैसे कि अनुबंध सिद्धांत और खेल सिद्धांत में प्रोत्साहन बाधाओं का विश्लेषण, गैर-उत्तल उत्पादन समस्याएं,और मोनोटोन या शक्तिशाली तुलनात्मक सांख्यिकी, विकल्प समुच्चय और उद्देश्य कार्यों में  सामान्यतः पारंपरिक एनवेलप प्रमेयों द्वारा आवश्यक संस्थानिक और उत्तल गुणों की कमी होती है।  


[[पॉल मिलग्रोम]] और सेगल (2002) ने निरीक्षण किया कि पारंपरिक लिफाफा सूत्र मूल्य फलन के किसी भी भिन्नता बिंदु पर मनमाना विकल्प समुच्चय के साथ अनुकूलन समस्याओं के लिए है,<ref name="Milgrom and Segal, 2002" />परंतु कि उद्देश्य फलन मापदण्ड में अलग-अलग हो:
[[पॉल मिलग्रोम]] और सेगल (2002) ने निरीक्षण किया कि पारंपरिक एनवेलप सूत्र मूल्य फलन के किसी भी भिन्नता बिंदु पर मनमाना विकल्प समुच्चय के साथ अनुकूलन समस्याओं के लिए है,<ref name="Milgrom and Segal, 2002" />परंतु कि उद्देश्य फलन मापदण्ड में अलग-अलग हो:


प्रमेय 1: चलो <math>t\in \left( 0,1\right) </math> और <math>x\in X^{\ast }\left(t\right) </math>. यदि दोनों <math>V^{\prime }\left( t\right) </math> और <math>f_{t}\left(x,t\right) </math> उपस्थितहै, लिफाफा सूत्र ({{EquationNote|3}}) रखता है।
प्रमेय 1: चलो <math>t\in \left( 0,1\right) </math> और <math>x\in X^{\ast }\left(t\right) </math>. यदि दोनों <math>V^{\prime }\left( t\right) </math> और <math>f_{t}\left(x,t\right) </math> उपस्थितहै, एनवेलप सूत्र ({{EquationNote|3}}) रखता है।


सबूत: समीकरण ({{EquationNote|1}}) का अर्थ है कि के लिए <math>x\in X^{\ast }\left( t\right) </math>,
सबूत: समीकरण ({{EquationNote|1}}) का अर्थ है कि के लिए <math>x\in X^{\ast }\left( t\right) </math>,
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इसका अर्थ यह है कि <math>V</math> नितांत सतत है। इसलिए, <math>V</math> लगभग हर जगह अलग-अलग है, और उपयोग कर रहा है ({{EquationNote|3}}) उत्पन्नवार ({{EquationNote|4}}). क्यू.इ.डी.
इसका अर्थ यह है कि <math>V</math> नितांत सतत है। इसलिए, <math>V</math> लगभग हर जगह अलग-अलग है, और उपयोग कर रहा है ({{EquationNote|3}}) उत्पन्नवार ({{EquationNote|4}}). क्यू.इ.डी.


यह परिणाम आम गलत धारणा को दूर करता है कि मूल्य फलन के अच्छे व्यवहार के लिए अधिकतम अधिकतम के अच्छे व्यवहार की आवश्यकता होती है। प्रमेय 2 मान फलन की पूर्ण निरंतरता सुनिश्चित करता है तथापि अधिकतमक असंतत हो। इसी तरह, मिल्ग्रोम और सेगल (2002) प्रमेय 3 का अर्थ है कि मूल्य फलन अलग-अलग होना चाहिए <math>t=t_{0}</math> और इसलिए लिफाफा सूत्र को संतुष्ट करें ({{EquationNote|3}}) जब परिवार <math>\left\{ f\left( x,\cdot \right) \right\} _{x\in X}</math> पर समान अवकलनीय है <math>t_{0}\in \left( 0,1\right) </math> और <math>f_{t}\left(X^{\ast }\left( t\right) ,t_{0}\right) </math> एकल-मूल्यवान और निरंतर है <math>t=t_{0}</math>, तथापि अधिकतमकर्ता अवकलनीय न हो <math>t_{0}</math> (उदाहरण के लिए, यदि <math>X </math> असमानता बाधाओं के समुच्चय द्वारा वर्णित है और बाध्यकारी बाधाओं के समुच्चय में परिवर्तन होता है <math>t_{0}</math>).<ref name="Milgrom and Segal, 2002" />
यह परिणाम आम गलत धारणा को दूर करता है कि मूल्य फलन के अच्छे व्यवहार के लिए अधिकतम अच्छे व्यवहार की आवश्यकता होती है। प्रमेय 2 मान फलन की पूर्ण निरंतरता सुनिश्चित करता है तथापि अधिकतमक असंतत हो। इसी तरह, मिल्ग्रोम और सेगल (2002) प्रमेय 3 का अर्थ है कि मूल्य फलन अलग-अलग होना चाहिए <math>t=t_{0}</math> और इसलिए एनवेलप सूत्र को संतुष्ट करें ({{EquationNote|3}}) जब परिवार <math>\left\{ f\left( x,\cdot \right) \right\} _{x\in X}</math> पर समान अवकलनीय है <math>t_{0}\in \left( 0,1\right) </math> और <math>f_{t}\left(X^{\ast }\left( t\right) ,t_{0}\right) </math> एकल-मूल्यवान और निरंतर है <math>t=t_{0}</math>, तथापि अधिकतमकर्ता अवकलनीय न हो <math>t_{0}</math> (उदाहरण के लिए, यदि <math>X </math> असमानता बाधाओं के समुच्चय द्वारा वर्णित है और बाध्यकारी बाधाओं के समुच्चय में परिवर्तन होता है <math>t_{0}</math>).<ref name="Milgrom and Segal, 2002" />
 




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(इस समीकरण की व्याख्या उस फर्म के लिए निर्माता अधिशेष सूत्र के रूप में की जा सकती है, जिसकी उत्पादन विधि संख्या को परिवर्तित करने के लिए है <math>z</math> संभावना में <math>y</math> वस्तु को जीतने की नीलामी द्वारा परिभाषित किया जाता है और जो निश्चित मूल्य t पर पुनर्विक्रय करती है). बदले में यह स्थिति मायर्सन (1981) द्वारा मनाई गई [[राजस्व समानता]] को प्राप्त करती है: नीलामी में अपेक्षित राजस्व उत्पन्न होता है जिसमें बोलीदाताओं के पास स्वतंत्र निजी मूल्य होते हैं जो पूरी तरह से बोली लगाने वालों की संभावनाओं द्वारा निर्धारित होते हैं। <math>y^{\ast }\left( t\right) </math> सभी प्रकार के लिए वस्तु प्राप्त करने का <math>t</math> साथ ही अपेक्षित अदायगी के द्वारा <math>V(\underline{t})</math> बोलीदाताओं के निम्नतम प्रकारों में से। अंत में, यह स्थिति मायर्सन (1981) की इष्टतम नीलामियों में महत्वपूर्ण कदम है।<ref name="Myerson, 1981" />
(इस समीकरण की व्याख्या उस फर्म के लिए निर्माता अधिशेष सूत्र के रूप में की जा सकती है, जिसकी उत्पादन विधि संख्या को परिवर्तित करने के लिए है <math>z</math> संभावना में <math>y</math> वस्तु को जीतने की नीलामी द्वारा परिभाषित किया जाता है और जो निश्चित मूल्य t पर पुनर्विक्रय करती है). बदले में यह स्थिति मायर्सन (1981) द्वारा मनाई गई [[राजस्व समानता]] को प्राप्त करती है: नीलामी में अपेक्षित राजस्व उत्पन्न होता है जिसमें बोलीदाताओं के पास स्वतंत्र निजी मूल्य होते हैं जो पूरी तरह से बोली लगाने वालों की संभावनाओं द्वारा निर्धारित होते हैं। <math>y^{\ast }\left( t\right) </math> सभी प्रकार के लिए वस्तु प्राप्त करने का <math>t</math> साथ ही अपेक्षित अदायगी के द्वारा <math>V(\underline{t})</math> बोलीदाताओं के निम्नतम प्रकारों में से। अंत में, यह स्थिति मायर्सन (1981) की इष्टतम नीलामियों में महत्वपूर्ण कदम है।<ref name="Myerson, 1981" />


लिफाफा प्रमेय के तंत्र डिजाइन के अन्य अनुप्रयोगों के लिए मिर्लीस (1971) देखें,<ref name="Mirrlees, 1971">{{cite journal | author=Mirrlees, James | title= An Exploration in the Theory of Optimal Taxation| journal=Review of Economic Studies | year=2002| volume=38 | issue= 2| pages=175–208 | doi=10.2307/2296779| jstor= 2296779}}</ref> होल्मस्ट्रॉम (1979),<ref name="Holmstrom, 1979">{{cite journal | author=Holmstrom, Bengt | s2cid=55414969| title=Groves Schemes on Restricted Domains| journal=Econometrica| year=1979| volume=47 | issue=5| pages=1137–1144 | doi=10.2307/1911954| jstor=1911954}}</ref> लॉफॉन्ट और मास्किन (1980),<ref name="Laffont and Maskin, 1980">{{cite journal |author1=Laffont, Jean-Jacques  |author2=Eric Maskin | title=A Differentiable Approach to Dominant Strategy Mechanisms| journal=Econometrica| year=1980| volume=48 |issue=6 | pages=1507–1520 | doi=10.2307/1912821|jstor=1912821 }}</ref> रिले और सैमुएलसन (1981),<ref name="Riley and Samuelson, 1981">{{cite journal |last1=Riley |first1=John G. |first2=William S. |last2=Samuelson | title=Optimal Auctions | journal=American Economic Review | year=1981| volume=71 | pages=381–392 | issue=3 |jstor=1802786 }}</ref> फडेनबर्ग और टिरोल (1991),<ref name="Fudenberg and Tirole, 1991">{{cite book |last1=Fudenberg |first1=Drew  |first2=Jean |last2=Tirole| title= Game Theory| year=1991 |location=Cambridge | publisher = MIT Press |isbn=0-262-06141-4 }}</ref> और विलियम्स (1999)।<ref name="Williams, 1999">{{cite journal | author=Williams, Steven | title=A Characterization of Efficient, Bayesian Incentive Compatible Mechanism | journal=Economic Theory | year=1999| volume= 14| pages= 155–180 | doi=10.1007/s001990050286| s2cid=154378924 }}</ref> जबकि इन लेखकों ने लिफाफा प्रमेय को (टुकड़े के अनुसार) लगातार अलग-अलग विकल्प के नियमों या यहां तक ​​​​कि संकीर्ण वर्गों पर ध्यान देने के द्वारा व्युत्पन्न और शोषण किया, यह कभी-कभी विकल्प नियम को प्रयुक्त करने के लिए इष्टतम हो सकता है जो टुकड़े-टुकड़े लगातार अलग-अलग नहीं होता है। ( उदाहरण मायर्सन (1991) के अध्याय 6.5 में वर्णित रैखिक उपयोगिता वाली व्यापारिक समस्याओं का वर्ग है।<ref name="Myerson, 1991">{{cite book |last= Myerson |first=Roger |title=Game Theory| year=1991 |location=Cambridge | publisher =Harvard University Press |isbn=0-674-34115-5 }}</ref>) ध्यान दें कि अभिन्न स्थिति (3) अभी भी इस समुच्चयिंग में बनी हुई है और होल्मस्ट्रॉम के लेम्मा (होल्मस्ट्रॉम, 1979) जैसे महत्वपूर्ण परिणामों को दर्शाती है।<ref name="Holmstrom, 1979" /> मायर्सन लेम्मा (मायर्सन, 1981),<ref name="Myerson, 1981">{{cite journal | author=Myerson, Roger | s2cid= 12282691| title= Optimal Auction Design| journal=Mathematics of Operations Research | year=1981| volume=6 | pages=58–73 | doi=10.1287/moor.6.1.58}}</ref> राजस्व तुल्यता प्रमेय (नीलामी के लिए), ग्रीन-लॉफोंट-होल्मस्ट्रॉम प्रमेय (ग्रीन और लॉफोंट, 1979; होल्मस्ट्रॉम, 1979),<ref name="Green and Laffont, 1979">{{cite book |last1=Green |first1=J. |last2=Laffont |first2=J. J. |title= Incentives in Public Decision Making| year=1979 | location = Amsterdam |publisher=North-Holland |isbn=0-444-85144-5 }}</ref><ref name="Holmstrom, 1979" /> मायर्सन-सैटरथवेट अक्षमता प्रमेय (मायर्सन और सैटरथवेट, 1983),<ref name="Myerson and Satterthwaite, 1983">{{cite journal |author1=Myerson, R.  |author2=M. Satterthwaite| title=Efficient Mechanisms for Bilateral Trading | journal=Journal of Economic Theory| year=1983| volume=29 |issue=2| pages=265–281 | doi=10.1016/0022-0531(83)90048-0| url=http://www.kellogg.northwestern.edu/research/math/papers/469.pdf| hdl=10419/220829| hdl-access=free}}</ref> जेहील-मोल्दोवानु असंभवता प्रमेय (जेहिल और मोल्दोवु, 2001),<ref name="Jehiel and Moldovanu, 2001">{{cite journal |last1=Jehiel |first1=Philippe |first2=Benny |last2=Moldovanu | title=Efficient Design with Interdependent Valuations| journal=Econometrica| year=2001| volume=69 | pages=1237–1259| issue=5 | doi=10.1111/1468-0262.00240|citeseerx=10.1.1.23.7639}}</ref> मैकेफी-मैकमिलन कमजोर-कार्टेल्स प्रमेय (मैकएफी और मैकमिलन, 1992),<ref name="McAfee and McMillan, 1992">{{cite journal |author1=McAfee, R. Preston  |author2=John McMillan | title=Bidding Rings| journal=American Economic Review | year=1992| volume=82 | pages=579–599| issue=3 |jstor=2117323 }}</ref> और वेबर मार्टिंगेल प्रमेय (वेबर, 1983),<ref name="Weber, 1983">{{cite book | last= Weber |first=Robert |chapter=Multiple-Object Auctions |title=Auctions, Bidding, and Contracting: Uses and Theory | year=1983 |editor-first=R. |editor-last=Engelbrecht-Wiggans |editor2-first=M. |editor2-last=Shubik |editor3-first=R. M. |editor3-last=Stark |location=New York | publisher =New York University Press|pages=165–191 |isbn=0-8147-7827-5 |chapter-url=https://www.kellogg.northwestern.edu/research/math/papers/496.pdf }}</ref> आदि। इन अनुप्रयोगों का विवरण मिलग्रोम (2004) के अध्याय 3 में प्रदान किया गया है,<ref name="Milgrom, 2004">{{cite book | author= Milgrom, Paul |title= Putting Auction Theory to Work| year=2004 | publisher = Cambridge University Press|url=https://books.google.com/books?id=AkeHTU7XW4kC|isbn= 9780521536721}}</ref> जो मुख्य रूप से लिफाफा प्रमेय और मांग सिद्धांत में अन्य परिचित विधि और अवधारणाओं के आधार पर नीलामी और तंत्र डिजाइन विश्लेषण में सुरुचिपूर्ण और एकीकृत ढांचा प्रदान करता है।
एनवेलप प्रमेय के तंत्र डिजाइन के अन्य अनुप्रयोगों के लिए मिर्लीस (1971) देखें,<ref name="Mirrlees, 1971">{{cite journal | author=Mirrlees, James | title= An Exploration in the Theory of Optimal Taxation| journal=Review of Economic Studies | year=2002| volume=38 | issue= 2| pages=175–208 | doi=10.2307/2296779| jstor= 2296779}}</ref> होल्मस्ट्रॉम (1979),<ref name="Holmstrom, 1979">{{cite journal | author=Holmstrom, Bengt | s2cid=55414969| title=Groves Schemes on Restricted Domains| journal=Econometrica| year=1979| volume=47 | issue=5| pages=1137–1144 | doi=10.2307/1911954| jstor=1911954}}</ref> लॉफॉन्ट और मास्किन (1980),<ref name="Laffont and Maskin, 1980">{{cite journal |author1=Laffont, Jean-Jacques  |author2=Eric Maskin | title=A Differentiable Approach to Dominant Strategy Mechanisms| journal=Econometrica| year=1980| volume=48 |issue=6 | pages=1507–1520 | doi=10.2307/1912821|jstor=1912821 }}</ref> रिले और सैमुएलसन (1981),<ref name="Riley and Samuelson, 1981">{{cite journal |last1=Riley |first1=John G. |first2=William S. |last2=Samuelson | title=Optimal Auctions | journal=American Economic Review | year=1981| volume=71 | pages=381–392 | issue=3 |jstor=1802786 }}</ref> फडेनबर्ग और टिरोल (1991),<ref name="Fudenberg and Tirole, 1991">{{cite book |last1=Fudenberg |first1=Drew  |first2=Jean |last2=Tirole| title= Game Theory| year=1991 |location=Cambridge | publisher = MIT Press |isbn=0-262-06141-4 }}</ref> और विलियम्स (1999)।<ref name="Williams, 1999">{{cite journal | author=Williams, Steven | title=A Characterization of Efficient, Bayesian Incentive Compatible Mechanism | journal=Economic Theory | year=1999| volume= 14| pages= 155–180 | doi=10.1007/s001990050286| s2cid=154378924 }}</ref> जबकि इन लेखकों ने एनवेलप प्रमेय को (टुकड़े के अनुसार) लगातार अलग-अलग विकल्प के नियमों या यहां तक ​​​​कि संकीर्ण वर्गों पर ध्यान देने के द्वारा व्युत्पन्न और शोषण किया, यह कभी-कभी विकल्प नियम को प्रयुक्त करने के लिए इष्टतम हो सकता है जो टुकड़े-टुकड़े लगातार अलग-अलग नहीं होता है। ( उदाहरण मायर्सन (1991) के अध्याय 6.5 में वर्णित रैखिक उपयोगिता वाली व्यापारिक समस्याओं का वर्ग है।<ref name="Myerson, 1991">{{cite book |last= Myerson |first=Roger |title=Game Theory| year=1991 |location=Cambridge | publisher =Harvard University Press |isbn=0-674-34115-5 }}</ref>) ध्यान दें कि अभिन्न स्थिति (3) अभी भी इस समुच्चयिंग में बनी हुई है और होल्मस्ट्रॉम के लेम्मा (होल्मस्ट्रॉम, 1979) जैसे महत्वपूर्ण परिणामों को दर्शाती है।<ref name="Holmstrom, 1979" /> मायर्सन लेम्मा (मायर्सन, 1981),<ref name="Myerson, 1981">{{cite journal | author=Myerson, Roger | s2cid= 12282691| title= Optimal Auction Design| journal=Mathematics of Operations Research | year=1981| volume=6 | pages=58–73 | doi=10.1287/moor.6.1.58}}</ref> राजस्व तुल्यता प्रमेय (नीलामी के लिए), ग्रीन-लॉफोंट-होल्मस्ट्रॉम प्रमेय (ग्रीन और लॉफोंट, 1979; होल्मस्ट्रॉम, 1979),<ref name="Green and Laffont, 1979">{{cite book |last1=Green |first1=J. |last2=Laffont |first2=J. J. |title= Incentives in Public Decision Making| year=1979 | location = Amsterdam |publisher=North-Holland |isbn=0-444-85144-5 }}</ref><ref name="Holmstrom, 1979" /> मायर्सन-सैटरथवेट अक्षमता प्रमेय (मायर्सन और सैटरथवेट, 1983),<ref name="Myerson and Satterthwaite, 1983">{{cite journal |author1=Myerson, R.  |author2=M. Satterthwaite| title=Efficient Mechanisms for Bilateral Trading | journal=Journal of Economic Theory| year=1983| volume=29 |issue=2| pages=265–281 | doi=10.1016/0022-0531(83)90048-0| url=http://www.kellogg.northwestern.edu/research/math/papers/469.pdf| hdl=10419/220829| hdl-access=free}}</ref> जेहील-मोल्दोवानु असंभवता प्रमेय (जेहिल और मोल्दोवु, 2001),<ref name="Jehiel and Moldovanu, 2001">{{cite journal |last1=Jehiel |first1=Philippe |first2=Benny |last2=Moldovanu | title=Efficient Design with Interdependent Valuations| journal=Econometrica| year=2001| volume=69 | pages=1237–1259| issue=5 | doi=10.1111/1468-0262.00240|citeseerx=10.1.1.23.7639}}</ref> मैकेफी-मैकमिलन कमजोर-कार्टेल्स प्रमेय (मैकएफी और मैकमिलन, 1992),<ref name="McAfee and McMillan, 1992">{{cite journal |author1=McAfee, R. Preston  |author2=John McMillan | title=Bidding Rings| journal=American Economic Review | year=1992| volume=82 | pages=579–599| issue=3 |jstor=2117323 }}</ref> और वेबर मार्टिंगेल प्रमेय (वेबर, 1983),<ref name="Weber, 1983">{{cite book | last= Weber |first=Robert |chapter=Multiple-Object Auctions |title=Auctions, Bidding, and Contracting: Uses and Theory | year=1983 |editor-first=R. |editor-last=Engelbrecht-Wiggans |editor2-first=M. |editor2-last=Shubik |editor3-first=R. M. |editor3-last=Stark |location=New York | publisher =New York University Press|pages=165–191 |isbn=0-8147-7827-5 |chapter-url=https://www.kellogg.northwestern.edu/research/math/papers/496.pdf }}</ref> आदि। इन अनुप्रयोगों का विवरण मिलग्रोम (2004) के अध्याय 3 में प्रदान किया गया है,<ref name="Milgrom, 2004">{{cite book | author= Milgrom, Paul |title= Putting Auction Theory to Work| year=2004 | publisher = Cambridge University Press|url=https://books.google.com/books?id=AkeHTU7XW4kC|isbn= 9780521536721}}</ref> जो मुख्य रूप से एनवेलप प्रमेय और मांग सिद्धांत में अन्य परिचित विधि और अवधारणाओं के आधार पर नीलामी और तंत्र डिजाइन विश्लेषण में सुरुचिपूर्ण और एकीकृत ढांचा प्रदान करता है।


=== बहुआयामी मापदण्ड रिक्त स्थान के लिए अनुप्रयोग ===
=== बहुआयामी मापदण्ड रिक्त स्थान के लिए अनुप्रयोग ===
बहुआयामी मापदण्ड स्थान के लिए <math>T\subseteq \mathbb{R}^{K}</math>, प्रमेय 1 को मूल्य के आंशिक और दिशात्मक डेरिवेटिव पर प्रयुक्त किया जा सकता है फलन। यदि दोनों उद्देश्य कार्य करते हैं <math>f</math> और मूल्य फलन <math>V</math> में (पूरी तरह से) अलग-अलग हैं <math>t</math>, प्रमेय 1 का तात्पर्य उनके प्रवणता्स के लिए लिफाफा सूत्र से है: <math>\nabla V\left( t\right) =\nabla _{t}f\left( x,t\right) </math> प्रत्येक के लिए <math>x\in X^{\ast }\left( t\right) </math>. जबकि मान फलन की कुल अवकलनीयता सुनिश्चित करना आसान नहीं हो सकता है, प्रमेय 2 को अभी भी दो मापदण्ड मानों को जोड़ने वाले किसी भी सुगम पथ के साथ प्रयुक्त किया जा सकता है <math>t_{0}</math> और <math>t</math>. अर्थात्, मान लीजिए कि कार्य करता है <math>f(x,\cdot )</math> सभी के लिए अलग-अलग हैं <math>x\in X</math> साथ <math>|\nabla _{t}f(x,t)|\leq B</math> सभी के लिए <math>x\in X,</math> <math>t\in T</math>. से सुगम मार्ग <math>t_{0}</math> को <math>t</math> अवकलनीय मानचित्रण द्वारा वर्णित है <math>\gamma :\left[ 0,1\right] \rightarrow T</math> परिबद्ध व्युत्पन्न के साथ, जैसे कि <math>\gamma \left( 0\right) =t_{0}</math> और <math>\gamma \left( 1\right) =t</math>. प्रमेय 2 का अर्थ है कि ऐसे किसी भी सुगम पथ के लिए, मान फलन के परिवर्तन को आंशिक प्रवणता के [[रेखा अभिन्न]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>\nabla _{t}f(x^{\ast }(t),t)</math> पथ के साथ उद्देश्य फलन का:
बहुआयामी मापदण्ड स्थान के लिए <math>T\subseteq \mathbb{R}^{K}</math>, प्रमेय 1 को मूल्य के आंशिक और दिशात्मक डेरिवेटिव पर प्रयुक्त किया जा सकता है फलन। यदि दोनों उद्देश्य कार्य करते हैं <math>f</math> और मूल्य फलन <math>V</math> में (पूरी तरह से) अलग-अलग हैं <math>t</math>, प्रमेय 1 का तात्पर्य उनके प्रवणता्स के लिए एनवेलप सूत्र से है: <math>\nabla V\left( t\right) =\nabla _{t}f\left( x,t\right) </math> प्रत्येक के लिए <math>x\in X^{\ast }\left( t\right) </math>. जबकि मान फलन की कुल अवकलनीयता सुनिश्चित करना आसान नहीं हो सकता है, प्रमेय 2 को अभी भी दो मापदण्ड मानों को जोड़ने वाले किसी भी सुगम पथ के साथ प्रयुक्त किया जा सकता है <math>t_{0}</math> और <math>t</math>. अर्थात्, मान लीजिए कि कार्य करता है <math>f(x,\cdot )</math> सभी के लिए अलग-अलग हैं <math>x\in X</math> साथ <math>|\nabla _{t}f(x,t)|\leq B</math> सभी के लिए <math>x\in X,</math> <math>t\in T</math>. से सुगम मार्ग <math>t_{0}</math> को <math>t</math> अवकलनीय मानचित्रण द्वारा वर्णित है <math>\gamma :\left[ 0,1\right] \rightarrow T</math> परिबद्ध व्युत्पन्न के साथ, जैसे कि <math>\gamma \left( 0\right) =t_{0}</math> और <math>\gamma \left( 1\right) =t</math>. प्रमेय 2 का अर्थ है कि ऐसे किसी भी सुगम पथ के लिए, मान फलन के परिवर्तन को आंशिक प्रवणता के [[रेखा अभिन्न]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>\nabla _{t}f(x^{\ast }(t),t)</math> पथ के साथ उद्देश्य फलन का:
:<math> V(t)-V(t_{0})=\int_{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds. </math>
:<math> V(t)-V(t_{0})=\int_{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds. </math>
विशेष रूप से, के लिए <math>t=t_{0}</math>, यह स्थापित करता है कि चक्रीय पथ किसी भी सुगम पथ के साथ एकीकृत होता है <math>\gamma </math> शून्य होना चाहिए:
विशेष रूप से, के लिए <math>t=t_{0}</math>, यह स्थापित करता है कि चक्रीय पथ किसी भी सुगम पथ के साथ एकीकृत होता है <math>\gamma </math> शून्य होना चाहिए:
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=== अन्य अनुप्रयोग ===
=== अन्य अनुप्रयोग ===
मिलग्रोम और सेगल (2002) प्रदर्शित करते हैं कि लिफाफा प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण उत्तल कार्यरचना, निरंतर अनुकूलन समस्याओं, सैडल-पॉइंट समस्याओं और इष्टतम अवरोधन समस्याओं पर भी प्रयुक्त किया जा सकता है।<ref name="Milgrom and Segal, 2002" /> सामान्यीकृत संस्करण उत्तल कार्यरचना, निरंतर अनुकूलन समस्याओं, सैडल-पॉइंट समस्याओं और इष्टतम अवरोधन समस्याओं पर भी प्रयुक्त किया जा सकता
मिलग्रोम और सेगल (2002) प्रदर्शित करते हैं कि एनवेलप प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण उत्तल कार्यरचना, निरंतर अनुकूलन समस्याओं, सैडल-पॉइंट समस्याओं और इष्टतम अवरोधन समस्याओं पर भी प्रयुक्त किया जा सकता है।<ref name="Milgrom and Segal, 2002" />  
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 17:44, 19 September 2023

गणित और अर्थशास्त्र में, एनवेलप प्रमेय एक पैरामिट्रीकृत अनुकूलन समस्या के मान फलन के अवकलनीयता गुणों के बारे में प्रमुख परिणाम है।[1] जैसा कि हम उद्देश्य के मापदंडों को बदलते हैं, एनवेलप प्रमेय से पता चलता है कि, निश्चित अर्थ में, उद्देश्य के अनुकूलक में परिवर्तन उद्देश्य फलन में परिवर्तन के लिए योगदान नहीं करते हैं। लिफ़ाफ़ा प्रमेय अनुकूलन मॉडल के तुलनात्मक सांख्यिकी के लिए महत्वपूर्ण उपकरण है।[2]

एनवेलप शब्द मान फलन के रेखांकन का वर्णन करने से प्राप्त होता है, जो फलन के मापदण्डयुक्त परिवार के रेखांकन के ऊपरी लिफाफे के रूप में होता है जो अनुकूलित हैं।

कथन

आज्ञा से और वास्तविक-मूल्यवान निरंतर भिन्न-भिन्न कार्यों पर , जहाँ विकल्प चर हैं और मापदण्ड हैं, और चुनने की समस्या पर विचार करें , किसी प्रदत्त के लिए , इतनी रूप में:

का विषय है