फ्लक्स सीमक: Difference between revisions

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'''[[फ्लक्स]] अवरोधक''' का उपयोग उच्च संकल्प वाली योजनाएँ - संख्यात्मक [[आंशिक अंतर समीकरण|आंशिक विभेदक समीकरण]] में किया जाता है, जिनका उपयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग में (पीडीई) द्वारा वर्णित द्रव गतिशीलता समस्याओं को विशेष रूप से हल करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार से इनका उपयोग [[MUSCL योजना|एमयूएससीएल योजना]] जैसी उच्च संकल्प योजनाओं में स्पूरियस दोलनों (विगल्स) से बचने के लिए किया जाता है। जो अन्यथा समाधान डोमेन शॉक के असंतोष या तीव्र परिवर्तन के कारण उच्च क्रम स्थानिक विवेकाधीन योजनाओं के साथ घटित होते हैं। और उपयुक्त उच्च संकल्प योजना के साथ फ्लक्स अवरोधक का उपयोग समाधान को कुल भिन्नता कम करने वाला (टीवीडी) बनाता है।
[[फ्लक्स]] लिमिटर्स का उपयोग उच्च रिज़ॉल्यूशन योजनाओं में किया जाता है - [[आंशिक अंतर समीकरण]]ों (पीडीई) द्वारा वर्णित विज्ञान और इंजीनियरिंग, विशेष रूप से द्रव गतिशीलता में समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक योजनाएं। इनका उपयोग उच्च रिज़ॉल्यूशन योजनाओं में किया जाता है, जैसे कि [[MUSCL योजना]], नकली दोलनों (विगल्स) से बचने के लिए जो अन्यथा समाधान डोमेन में झटके, असंतोष या तेज बदलाव के कारण उच्च क्रम स्थानिक विवेकीकरण योजनाओं के साथ घटित होंगे। फ्लक्स लिमिटर्स का उपयोग, एक उपयुक्त उच्च रिज़ॉल्यूशन योजना के साथ, समाधान को कुल भिन्नता कम करने वाला (टीवीडी) बनाता है।


ध्यान दें कि फ्लक्स लिमिटर्स को ढलान लिमिटर्स के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि उन दोनों का गणितीय रूप समान है, और दोनों में झटके या असंतोष के पास समाधान ढाल को सीमित करने का प्रभाव होता है। सामान्य तौर पर, फ्लक्स लिमिटर शब्द का उपयोग तब किया जाता है जब लिमिटर सिस्टम ''फ्लक्स'' पर कार्य करता है, और ढलान लिमिटर का उपयोग तब किया जाता है जब लिमिटर सिस्टम ''स्टेट्स'' (जैसे दबाव, वेग आदि) पर कार्य करता है।
ध्यान दें कि फ्लक्स अवरोधक को प्रवणता अवरोधक के रूप में भी जाना जाता है। क्योंकि उन दोनों का गणितीय रूप समान है, और दोनों शॉक या असंतोष के समीप समाधान प्रवणता को सीमित करने का प्रभाव होता है। अतः सामान्य रूप से, फ्लक्स अवरोधक शब्द का उपयोग तब किया जाता है। जब अवरोधक प्रणाली ''फ्लक्स'' पर कार्य करता है, और प्रवणता अवरोधक का उपयोग तब किया जाता है जब अवरोधक प्रणाली ''स्तिथि'' (जैसे दबाव, वेग आदि) पर कार्य करता है।


== वे कैसे काम करते हैं ==
== कार्य विधि ==
फ्लक्स लिमिटर योजनाओं के निर्माण के पीछे मुख्य विचार स्थानिक व्युत्पन्नों को यथार्थवादी मूल्यों तक सीमित करना है - वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं के लिए इसका मतलब आमतौर पर भौतिक रूप से प्राप्य और सार्थक मूल्य हैं। इनका उपयोग पीडीई द्वारा वर्णित समस्याओं को हल करने के लिए उच्च रिज़ॉल्यूशन योजनाओं में किया जाता है और केवल तभी परिचालन में आते हैं जब तेज तरंग मोर्चे मौजूद होते हैं। सुचारू रूप से बदलती तरंगों के लिए, फ्लक्स लिमिटर्स संचालित नहीं होते हैं और स्थानिक व्युत्पन्नों को नकली दोलनों को प्रस्तुत किए बिना उच्च क्रम सन्निकटन द्वारा दर्शाया जा सकता है। नीचे दी गई 1डी अर्ध-असतत योजना पर विचार करें,
इस प्रकार से फ्लक्स अवरोधक योजनाओं के निर्माण के पीछे मुख्य विचार स्थानिक व्युत्पन्नों को यथार्थवादी मान - वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं के लिए ही सीमित करना है। इसका अर्थ सामान्यतः भौतिक रूप से प्राप्य और सार्थक मान हैं। और इनका उपयोग पीडीई द्वारा वर्णित समस्याओं को हल करने के लिए उच्च संकल्प योजनाओं में किया जाता है। और यह केवल तभी परिचालन में आते हैं। जब तीव्र तरंग लहर उपस्तिथ होते हैं। जिसे सुचारू रूप से परिवर्तित तरंगों के लिए, फ्लक्स अवरोधक संचालित नहीं होते हैं। और स्थानिक व्युत्पन्नों को स्पूरियस दोलनों को प्रस्तुत किए बिना उच्च क्रम सन्निकटन द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार से नीचे दी गई 1D अर्ध-असतत योजना पर विचार करें,


:<math>\frac{d u_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[
:<math>\frac{d u_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[
F \left( u_{i + {1}/{2}} \right) - F \left( u_{i - {1}/{2}} \right) \right] = 0, </math>
F \left( u_{i + {1}/{2}} \right) - F \left( u_{i - {1}/{2}} \right) \right] = 0, </math>
कहाँ, <math> F \left( u_{i + {1}/{2}} \right) </math> और <math> F \left( u_{i - 1/2} \right) </math> आई-वें सेल के लिए एज फ्लक्स का प्रतिनिधित्व करें। यदि इन किनारे के फ्लक्स को निम्न और उच्च रिज़ॉल्यूशन योजनाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो एक फ्लक्स लिमिटर विशेष सेल के करीब ग्रेडिएंट के आधार पर इन योजनाओं के बीच स्विच कर सकता है, निम्नानुसार:
जहाँ, <math> F \left( u_{i + {1}/{2}} \right) </math> और <math> F \left( u_{i - 1/2} \right) </math> ''i''-th सेल के लिए एज फ्लक्स का प्रतिनिधित्व करते है। यदि इन किनारे के फ्लक्स को निम्न और उच्च संकल्प योजनाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, तब फ्लक्स अवरोधक विशेष सेल के समीप प्रवणता के आधार पर इन योजनाओं के मध्य स्विच कर सकता है, निम्नानुसार:


<math display="block">F \left( u_{i + 1/2} \right) = f^\text{low}_{i + 1/2} - \phi\left( r_i \right) \left( f^\text{low}_{i + 1/2} - f^\text{high}_{i + 1/2}  \right) ,</math>
<math display="block">F \left( u_{i + 1/2} \right) = f^\text{low}_{i + 1/2} - \phi\left( r_i \right) \left( f^\text{low}_{i + 1/2} - f^\text{high}_{i + 1/2}  \right) ,</math><math display="block">F \left( u_{i - 1/2} \right) = f^\text{low}_{i - 1/2} - \phi\left( r_{i-1} \right) \left( f^\text{low}_{i - 1/2} - f^\text{high}_{i - 1/2}  \right) ,</math>
<math display="block">F \left( u_{i - 1/2} \right) = f^\text{low}_{i - 1/2} - \phi\left( r_{i-1} \right) \left( f^\text{low}_{i - 1/2} - f^\text{high}_{i - 1/2}  \right) ,</math>
जहाँ
कहाँ
*<math>f^\text{low}                                                                                                                                                                                                     </math> निम्न विभेदन प्रवाह है,
*<math>f^\text{low} </math> निम्न विभेदन प्रवाह है,
*<math>f^\text{high} </math> उच्च विभेदन प्रवाह है,
*<math>f^\text{high} </math> उच्च विभेदन प्रवाह है,
*<math>\phi\ (r) </math> फ्लक्स सीमक फ़ंक्शन है, और
*<math>\phi\ (r)                                                                                                                                                                                           </math> फ्लक्स अवरोधक फलन है, और
*<math> r </math> समाधान जाल पर क्रमिक ग्रेडिएंट के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, <math display="block"> r_{i} = \frac{u_{i} - u_{i-1}}{u_{i+1} - u_{i}} .</math>
*<math> r </math> समाधान मेश पर क्रमिक प्रवणता के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, <math display="block"> r_{i} = \frac{u_{i} - u_{i-1}}{u_{i+1} - u_{i}} .</math>
सीमक फ़ंक्शन शून्य से अधिक या उसके बराबर होने के लिए बाध्य है, अर्थात, <math>\phi\ (r) \ge 0 </math>. इसलिए, जब सीमक शून्य (तीव्र ढाल, विपरीत ढलान या शून्य ढाल) के बराबर होता है, तो फ्लक्स को कम रिज़ॉल्यूशन योजना द्वारा दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, जब लिमिटर 1 (सुचारू समाधान) के बराबर होता है, तो इसे उच्च रिज़ॉल्यूशन योजना द्वारा दर्शाया जाता है। विभिन्न सीमाओं में अलग-अलग स्विचिंग विशेषताएँ होती हैं और उन्हें विशेष समस्या और समाधान योजना के अनुसार चुना जाता है। सभी समस्याओं के लिए अच्छा काम करने वाला कोई विशेष अवरोधक नहीं पाया गया है, और एक विशेष विकल्प आमतौर पर परीक्षण और त्रुटि के आधार पर बनाया जाता है।
इस प्रकार से अवरोधक फलन शून्य से अधिक या उसके समान होने के लिए बाध्य है, अर्थात, <math>\phi\ (r) \ge 0                                                                                                                                                                                               </math>. इसलिए, जब अवरोधक शून्य (तीव्र प्रवणता, विपरीत प्रवणता या शून्य प्रवणता) के समान होता है, तो फ्लक्स को कम संकल्प योजना द्वारा दर्शाया जाता है। इसी प्रकार, जब अवरोधक 1 (सुचारू समाधान) के समान होता है, तो इसे उच्च संकल्प योजना द्वारा दर्शाया जाता है। और विभिन्न सीमाओं में भिन्न-भिन्न स्विचिंग विशेषताएँ होती हैं और उन्हें विशेष समस्या और समाधान योजना के अनुसार चुना जाता है। सभी समस्याओं के लिए उचित कार्य करने वाला कोई विशेष अवरोधक नहीं पाया गया है, और विशेष विकल्प सामान्यतः परीक्षण और त्रुटि के आधार पर बनाया जाता है।


== सीमक कार्य ==
== अवरोधक कार्य ==


फ़्लक्स/ढलान सीमक फ़ंक्शन के सामान्य रूप निम्नलिखित हैं, <math> \phi (r) </math>:
जहाँ <math> \phi (r) </math>,फ़्लक्स/प्रवणता अवरोधक फलन के सामान्य रूप निम्नलिखित हैं:


* आकर्षण [दूसरे क्रम का टीवीडी नहीं] <ref>{{citation |last=Zhou |first=G. |year=1995 |title=Numerical simulations of physical discontinuities in single and multi-fluid flows for arbitrary Mach numbers |type=PhD Thesis |publisher=Chalmers Univ. of Tech. |location=Goteborg, Sweden }}</ref> <math display="block">
* आकर्षण [दूसरे क्रम का टीवीडी नहीं] <ref>{{citation |last=Zhou |first=G. |year=1995 |title=Numerical simulations of physical discontinuities in single and multi-fluid flows for arbitrary Mach numbers |type=PhD Thesis |publisher=Chalmers Univ. of Tech. |location=Goteborg, Sweden }}</ref> <math display="block">
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* एचसीयूएस [दूसरा क्रम टीवीडी नहीं] <ref name="WatersonDeconinck">{{citation |last1=Waterson |first1=N.P. |first2=H. |last2=Deconinck |year=1995 |title=A unified approach to the design and application of bounded higher-order convection schemes |type=[[Von Karman Institute|VKI]] Preprint 1995-21 }}</ref> <math display="block"> \phi_{hc}(r) = \frac{ 1.5 \left(r+\left| r \right| \right)}{ \left(r+2 \right)} ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{hc}(r) = 3.</math>
* एचसीयूएस [दूसरा क्रम टीवीडी नहीं] <ref name="WatersonDeconinck">{{citation |last1=Waterson |first1=N.P. |first2=H. |last2=Deconinck |year=1995 |title=A unified approach to the design and application of bounded higher-order convection schemes |type=[[Von Karman Institute|VKI]] Preprint 1995-21 }}</ref> <math display="block"> \phi_{hc}(r) = \frac{ 1.5 \left(r+\left| r \right| \right)}{ \left(r+2 \right)} ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{hc}(r) = 3.</math>
* त्वरित [दूसरे क्रम के टीवीडी नोट्स] <ref name="WatersonDeconinck"/> <math display="block">  \phi_{hq}(r) =  \frac{2 \left(r + \left|r \right| \right)}{ \left(r+3 \right)} ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{hq}(r) = 4.</math>
* त्वरित [दूसरे क्रम के टीवीडी नोट्स] <ref name="WatersonDeconinck"/> <math display="block">  \phi_{hq}(r) =  \frac{2 \left(r + \left|r \right| \right)}{ \left(r+3 \right)} ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{hq}(r) = 4.</math>
*कोरेन<ref>{{citation |last=Koren |first=B. |year=1993 |contribution=A robust upwind discretisation method for advection, diffusion and source terms |title=Numerical Methods for Advection–Diffusion Problems |editor1-first=C.B. |editor1-last=Vreugdenhil |editor2-first=B. |editor2-last=Koren |publisher=Vieweg |location=Braunschweig |page=117 |isbn=3-528-07645-3 }}</ref> - पर्याप्त रूप से सुचारू डेटा के लिए तीसरे क्रम का सटीक<ref>{{Citation | first=D. |last=Kuzmin |title=On the design of general-purpose flux limiters for implicit FEM with a consistent mass matrix. I. Scalar convection |journal=Journal of Computational Physics |volume=219 |issue=2 |year=2006 |pages=513–531 |doi=10.1016/j.jcp.2006.03.034 |bibcode = 2006JCoPh.219..513K }}</ref> <!-- Please, double-check before changing (2 + r) / 3 to (1 + 2r) / 3. See talk page or ref article --> <math display="block">  \phi_{kn}(r) = \max \left[ 0, \min \left(2 r, \min \left( \dfrac{(1 + 2 r)}{3}, 2 \right) \right) \right]; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{kn}(r) = 2.</math>
*कोरेन<ref>{{citation |last=Koren |first=B. |year=1993 |contribution=A robust upwind discretisation method for advection, diffusion and source terms |title=Numerical Methods for Advection–Diffusion Problems |editor1-first=C.B. |editor1-last=Vreugdenhil |editor2-first=B. |editor2-last=Koren |publisher=Vieweg |location=Braunschweig |page=117 |isbn=3-528-07645-3 }}</ref> - पर्याप्त रूप से सुचारू डेटा के लिए तृतीय क्रम का स्पष्ट<ref>{{Citation | first=D. |last=Kuzmin |title=On the design of general-purpose flux limiters for implicit FEM with a consistent mass matrix. I. Scalar convection |journal=Journal of Computational Physics |volume=219 |issue=2 |year=2006 |pages=513–531 |doi=10.1016/j.jcp.2006.03.034 |bibcode = 2006JCoPh.219..513K }}</ref> <math display="block">  \phi_{kn}(r) = \max \left[ 0, \min \left(2 r, \min \left( \dfrac{(1 + 2 r)}{3}, 2 \right) \right) \right]; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{kn}(r) = 2.</math>
* मिनमोड - सममित <ref name="Roe">{{citation |last=Roe |first=P.L. | author1-link = Philip L. Roe | year=1986 |title=Characteristic-based schemes for the Euler equations |journal=Annu. Rev. Fluid Mech. |volume=18 |pages=337–365 | doi = 10.1146/annurev.fl.18.010186.002005 |bibcode = 1986AnRFM..18..337R }}</ref> <math display="block"> \phi_{mm} (r) = \max \left[ 0 , \min \left( 1 , r \right) \right] ; \quad \lim_{r \to \infty} \phi_{mm}(r) = 1.</math>
* मिनमोड - सममित <ref name="Roe">{{citation |last=Roe |first=P.L. | author1-link = Philip L. Roe | year=1986 |title=Characteristic-based schemes for the Euler equations |journal=Annu. Rev. Fluid Mech. |volume=18 |pages=337–365 | doi = 10.1146/annurev.fl.18.010186.002005 |bibcode = 1986AnRFM..18..337R }}</ref> <math display="block"> \phi_{mm} (r) = \max \left[ 0 , \min \left( 1 , r \right) \right] ; \quad \lim_{r \to \infty} \phi_{mm}(r) = 1.</math>
* मोनोटोनाइज्ड सेंट्रल (एमसी) - सममित <ref>{{citation |last=van Leer |first=B. | author-link = Bram van Leer |year=1977 |title=Towards the ultimate conservative difference scheme III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow |journal=J. Comput. Phys. |volume=23 |pages=263–275 |doi=10.1016/0021-9991(77)90094-8 |issue=3 |bibcode = 1977JCoPh..23..263V }}</ref> <math display="block"> \phi_{mc} (r) = \max \left[ 0 , \min \left( 2 r, 0.5 (1+r), 2 \right) \right]  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{mc}(r) = 2.</math>
* मोनोटोनाइज्ड सेंट्रल (एमसी) - सममित <ref>{{citation |last=van Leer |first=B. | author-link = Bram van Leer |year=1977 |title=Towards the ultimate conservative difference scheme III. Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow |journal=J. Comput. Phys. |volume=23 |pages=263–275 |doi=10.1016/0021-9991(77)90094-8 |issue=3 |bibcode = 1977JCoPh..23..263V }}</ref> <math display="block"> \phi_{mc} (r) = \max \left[ 0 , \min \left( 2 r, 0.5 (1+r), 2 \right) \right]  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{mc}(r) = 2.</math>
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* सुपरबी - सममित <ref name="Roe"/> <math display="block"> \phi_{sb} (r) = \max \left[ 0, \min \left( 2 r , 1 \right), \min \left( r, 2 \right) \right]  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{sb} (r) = 2.</math>
* सुपरबी - सममित <ref name="Roe"/> <math display="block"> \phi_{sb} (r) = \max \left[ 0, \min \left( 2 r , 1 \right), \min \left( r, 2 \right) \right]  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{sb} (r) = 2.</math>
* स्वेबी - सममित <ref name="Sweby">{{citation |last=Sweby |first=P.K. |year=1984 |title=High resolution schemes using flux-limiters for hyperbolic conservation laws |journal=SIAM J. Numer. Anal.| volume=21 |pages=995–1011 |doi=10.1137/0721062 |issue=5 |bibcode = 1984SJNA...21..995S }}</ref> <math display="block"> \phi_{sw} (r) = \max \left[ 0 , \min \left( \beta r, 1 \right), \min \left( r, \beta \right) \right],  \quad    \left(1 \leq \beta \leq 2 \right) ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{sw} (r) = \beta.</math>
* स्वेबी - सममित <ref name="Sweby">{{citation |last=Sweby |first=P.K. |year=1984 |title=High resolution schemes using flux-limiters for hyperbolic conservation laws |journal=SIAM J. Numer. Anal.| volume=21 |pages=995–1011 |doi=10.1137/0721062 |issue=5 |bibcode = 1984SJNA...21..995S }}</ref> <math display="block"> \phi_{sw} (r) = \max \left[ 0 , \min \left( \beta r, 1 \right), \min \left( r, \beta \right) \right],  \quad    \left(1 \leq \beta \leq 2 \right) ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{sw} (r) = \beta.</math>
* UMIST - सममित <ref>{{citation |last1=Lien |first1=F.S. |first2=M.A. |last2=Leschziner |year=1994 |title=Upstream monotonic interpolation for scalar transport with application to complex turbulent flows |journal=Int. J. Num. Meth. Fluids |volume=19 |pages=527–548 |doi=10.1002/fld.1650190606 |issue=6 |bibcode = 1994IJNMF..19..527L }}</ref> <math display="block"> \phi_{um}(r) = \max \left[ 0, \min \left(2 r, \left(0.25 + 0.75 r \right),  \left(0.75 + 0.25 r \right), 2 \right)  \right]  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{um}(r) = 2.</math>
* यूएमआईएसटी - सममित <ref>{{citation |last1=Lien |first1=F.S. |first2=M.A. |last2=Leschziner |year=1994 |title=Upstream monotonic interpolation for scalar transport with application to complex turbulent flows |journal=Int. J. Num. Meth. Fluids |volume=19 |pages=527–548 |doi=10.1002/fld.1650190606 |issue=6 |bibcode = 1994IJNMF..19..527L }}</ref> <math display="block"> \phi_{um}(r) = \max \left[ 0, \min \left(2 r, \left(0.25 + 0.75 r \right),  \left(0.75 + 0.25 r \right), 2 \right)  \right]  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{um}(r) = 2.</math>
* वैन अल्बाडा 1 - सममित <ref>{{citation |last1=Van Albada |first1=G.D. |first2=B. |last2=Van Leer | author2-link = Bram van Leer |first3=W.W. |last3=Roberts |year=1982 |title=A comparative study of computational methods in cosmic gas dynamics |journal=Astronomy and Astrophysics |volume=108 |issue=1 |pages=76–84 |bibcode=1982A&A...108...76V }}</ref> <math display="block"> \phi_{va1} (r) = \frac{r^2 + r}{r^2 + 1 }  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{va1} (r) = 1.</math>
* वैन अल्बाडा 1 - सममित <ref>{{citation |last1=Van Albada |first1=G.D. |first2=B. |last2=Van Leer | author2-link = Bram van Leer |first3=W.W. |last3=Roberts |year=1982 |title=A comparative study of computational methods in cosmic gas dynamics |journal=Astronomy and Astrophysics |volume=108 |issue=1 |pages=76–84 |bibcode=1982A&A...108...76V }}</ref> <math display="block"> \phi_{va1} (r) = \frac{r^2 + r}{r^2 + 1 }  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{va1} (r) = 1.</math>
* वैन अल्बाडा 2 - वैकल्पिक रूप [2रे क्रम का टीवीडी नहीं] उच्च स्थानिक क्रम योजनाओं पर उपयोग किया जाता है <ref>{{citation |last1=Kermani |first1=M.J. |last2=Gerber |first2=A.G. |last3=Stockie |first3=J.M. |year=2003 |contribution = Thermodynamically Based Moisture Prediction Using Roe’s Scheme |title=4th Conference of Iranian AeroSpace Society |location=Amir Kabir University of Technology, Tehran, Iran, January 27–29 }}</ref> <math display="block"> \phi_{va2} (r) = \frac{2 r}{r^2 + 1} ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{va2} (r) = 0.</math>
* वैन अल्बाडा 2 - वैकल्पिक रूप [2रे क्रम का टीवीडी नहीं] उच्च स्थानिक क्रम योजनाओं पर उपयोग किया जाता है <ref>{{citation |last1=Kermani |first1=M.J. |last2=Gerber |first2=A.G. |last3=Stockie |first3=J.M. |year=2003 |contribution = Thermodynamically Based Moisture Prediction Using Roe’s Scheme |title=4th Conference of Iranian AeroSpace Society |location=Amir Kabir University of Technology, Tehran, Iran, January 27–29 }}</ref><math display="block"> \phi_{va2} (r) = \frac{2 r}{r^2 + 1} ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{va2} (r) = 0.</math>
* लीयर से - सममित <ref>{{citation |last=van Leer |first=B. | author-link = Bram van Leer |year=1974 |title=Towards the ultimate conservative difference scheme II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme |journal=J. Comput. Phys. |volume=14 |pages=361–370 |doi=10.1016/0021-9991(74)90019-9 |issue=4 |bibcode = 1974JCoPh..14..361V }}</ref> <math display="block"> \phi_{vl} (r) = \frac{r + \left| r \right| }{1 + \left| r \right| }  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{vl} (r) = 2.</math>
* वैन लीयर - सममित <ref>{{citation |last=van Leer |first=B. | author-link = Bram van Leer |year=1974 |title=Towards the ultimate conservative difference scheme II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme |journal=J. Comput. Phys. |volume=14 |pages=361–370 |doi=10.1016/0021-9991(74)90019-9 |issue=4 |bibcode = 1974JCoPh..14..361V }}</ref> <math display="block"> \phi_{vl} (r) = \frac{r + \left| r \right| }{1 + \left| r \right| }  ; \quad \lim_{r \to \infty}\phi_{vl} (r) = 2.</math>
* उपरोक्त सभी सीमाएं सममित होने के रूप में इंगित की गई हैं, निम्नलिखित समरूपता गुण प्रदर्शित करती हैं, <math display="block">\frac{ \phi \left( r \right)}{r} = \phi \left( \frac{1}{r} \right) .</math>
* सममिति के रूप में संकेतित उपरोक्त सभी सीमाएं निम्नलिखित समरूपता गुण प्रदर्शित करती हैंː<math display="block">\frac{ \phi \left( r \right)}{r} = \phi \left( \frac{1}{r} \right) .</math>
यह एक वांछनीय गुण है क्योंकि यह सुनिश्चित करता है कि आगे और पीछे के ग्रेडिएंट के लिए सीमित क्रियाएं समान तरीके से संचालित होती हैं।
अतः यह वांछनीय गुण है क्योंकि यह सुनिश्चित करता है, कि आगे और पीछे के प्रवणता के लिए सीमित क्रियाएं समान विधि से संचालित होती हैं।  


[[File:LimiterRegion.png|thumb|200px|right|दूसरे क्रम की टीवीडी योजनाओं के लिए स्वीकार्य सीमक क्षेत्र।]]जब तक इसके विपरीत संकेत न दिया जाए, उपरोक्त सीमक कार्य दूसरे क्रम की कुल भिन्नता को कम करने वाले हैं। इसका मतलब यह है कि उन्हें इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि वे योजना की स्थिरता की गारंटी के लिए समाधान के एक निश्चित क्षेत्र से गुजरते हैं, जिसे टीवीडी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। दूसरे क्रम के, टीवीडी लिमिटर्स कम से कम निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करते हैं:
[[File:LimiterRegion.png|thumb|102x102px|right|दूसरे क्रम की टीवीडी योजनाओं के लिए स्वीकार्य अवरोधक क्षेत्र।]]जब तक इसके विपरीत संकेत न दिया जाए, उपरोक्त अवरोधक कार्य दूसरे क्रम के टीवीडी हैं। इसका अर्थ यह है कि उन्हें इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि वे योजना की स्थिरता की प्रत्याभूत के लिए समाधान के निश्चित क्षेत्र से निकलते हैं, जिसे टीवीडी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार से दूसरे क्रम के, टीवीडी अवरोधक कम से कम निम्नलिखित मानदंडों को पूर्ण करते हैं:  


*<math> r \le \phi(r) \le 2r, \left( 0  \le r \le 1 \right) \ </math>,
*<math> r \le \phi(r) \le 2r, \left( 0  \le r \le 1 \right) \ </math>,
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*<math> \phi(1) = 1 \ </math>,
*<math> \phi(1) = 1 \ </math>,


दूसरे क्रम की टीवीडी योजनाओं के लिए स्वीकार्य सीमक क्षेत्र स्वेबी आरेख में विपरीत दिखाया गया है,<ref name="Sweby"/>और टीवीडी क्षेत्र पर लिमिटर फ़ंक्शंस को दिखाने वाले प्लॉट नीचे दिखाए गए हैं। इस छवि में, ओशर और स्वेबी लिमिटर्स का उपयोग करके प्लॉट तैयार किए गए हैं <math> \beta = 1.5 </math>.
दूसरे क्रम की टीवीडी योजनाओं के लिए स्वीकार्य अवरोधक क्षेत्र स्वेबी आरेख में विपरीत दिखाया गया है,<ref name="Sweby"/> और टीवीडी क्षेत्र पर अवरोधक फ़ंक्शंस को दिखाने वाले प्लॉट नीचे दिखाए गए हैं। इस छवि में, ओशर और स्वेबी अवरोधक के लिए प्लॉट <math> \beta = 1.5 </math> का उपयोग करके तैयार किए गए हैं .


[[File:LimiterPlots1.png|center|650px|thumb|{{center|Limiter functions overlaid onto second-order TVD region.}}]]
[[File:LimiterPlots1.png|center|266x266px|thumb|{{center|अवरोधक फलन दूसरे क्रम के टीवीडी क्षेत्र पर मढ़ा हुआ है।}}]]


=== सामान्यीकृत मिनमॉड सीमक ===
=== सामान्यीकृत मिनमॉड अवरोधक ===


एक अतिरिक्त लिमिटर जिसका एक दिलचस्प रूप है, वैन-लीयर का मिनमॉड लिमिटर्स का एक-पैरामीटर परिवार है।<ref>{{citation |last=Van Leer |first=B. | author-link = Bram van Leer |year=1979 |title=Towards the ultimate conservative difference scheme V. A second order sequel to Godunov's method |journal=J. Comput. Phys. |volume=32 |issue=1 |pages=101–136 |doi=10.1016/0021-9991(79)90145-1 |bibcode = 1979JCoPh..32..101V }}</ref><ref>{{citation |last1=Harten |first1=A. |first2=S. |last2=Osher |year=1987 |title=Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I |journal=SIAM J. Numer. Anal. |volume=24 |pages=279–309 |doi=10.1137/0724022 |issue=2 |bibcode = 1987SJNA...24..279H |s2cid=15957238 |url=http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA158177 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170923124820/http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA158177 |url-status=dead |archive-date=September 23, 2017 }}</ref><ref>{{citation |last1=Kurganov |first1=A. |first2=E. |last2=Tadmor|author2-link=Eitan Tadmor |year=2000 |title=Solution of Two-Dimensional Riemann problems for Gas Dynamics without Riemann Problem Solvers |publisher=Report by Dept. of Mathematics, Univ. Michigan }}. Available on-line at: [http://citeseer.ist.psu.edu/410715.html CiteSeer].</ref> इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
एक अतिरिक्त अवरोधक जिसका रोचक रूप है, वैन-लीयर का मिनमॉड अवरोधक का एक-पैरामीटर वर्ग है।<ref>{{citation |last=Van Leer |first=B. | author-link = Bram van Leer |year=1979 |title=Towards the ultimate conservative difference scheme V. A second order sequel to Godunov's method |journal=J. Comput. Phys. |volume=32 |issue=1 |pages=101–136 |doi=10.1016/0021-9991(79)90145-1 |bibcode = 1979JCoPh..32..101V }}</ref><ref>{{citation |last1=Harten |first1=A. |first2=S. |last2=Osher |year=1987 |title=Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I |journal=SIAM J. Numer. Anal. |volume=24 |pages=279–309 |doi=10.1137/0724022 |issue=2 |bibcode = 1987SJNA...24..279H |s2cid=15957238 |url=http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA158177 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170923124820/http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=ADA158177 |url-status=dead |archive-date=September 23, 2017 }}</ref><ref>{{citation |last1=Kurganov |first1=A. |first2=E. |last2=Tadmor|author2-link=Eitan Tadmor |year=2000 |title=Solution of Two-Dimensional Riemann problems for Gas Dynamics without Riemann Problem Solvers |publisher=Report by Dept. of Mathematics, Univ. Michigan }}. Available on-line at: [http://citeseer.ist.psu.edu/410715.html CiteSeer].</ref> इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है।
<math display="block"> \phi_{mg}(u,\theta) = \max\left(0,\min\left(\theta r,\frac{1+r}{2},\theta\right)\right),\quad\theta\in\left[1,2\right]. </math>
<math display="block"> \phi_{mg}(u,\theta) = \max\left(0,\min\left(\theta r,\frac{1+r}{2},\theta\right)\right),\quad\theta\in\left[1,2\right]. </math>
टिप्पणी: <math> \phi_{mg} </math> के लिए सर्वाधिक अपव्ययकारी है <math> \theta=1, </math> जब यह कम हो जाता है <math> \phi_{mm}, </math> और यह सबसे कम अपव्ययकारी है <math> \theta = 2 </math>.
टिप्पणी: <math> \phi_{mg} </math>, <math> \theta=1, </math> के लिए सर्वाधिक विघटनकारी है जब यह घटकर <math> \phi_{mm}, </math> हो जाता है और <math> \theta = 2 </math> के लिए अधिक कम विघटनकारी है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


*गोडुनोव का प्रमेय
*गोडुनोव का प्रमेय  
*उच्च संकल्प योजना
*उच्च संकल्प योजना  
*MUSCL योजना
*एमयूएससीएल योजना  
*सर्गेई के. गोडुनोव
*सर्गेई के. गोडुनोव  
*कुल भिन्नता कम हो रही है
*कुल भिन्नता कम होना।


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
Line 88: Line 86:
*{{citation |last1=Tannehill |first1=John C. |first2=Dale Arden |last2=Anderson |first3=Richard H. |last3=Pletcher |year=1997 |title=Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer |edition=2nd |publisher=Taylor and Francis |isbn=1-56032-046-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/computationalflu0000tann }}
*{{citation |last1=Tannehill |first1=John C. |first2=Dale Arden |last2=Anderson |first3=Richard H. |last3=Pletcher |year=1997 |title=Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer |edition=2nd |publisher=Taylor and Francis |isbn=1-56032-046-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/computationalflu0000tann }}
*{{citation |last=Wesseling |first=Pieter |year=2001 |title=Principles of Computational Fluid Dynamics |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-67853-0 }}
*{{citation |last=Wesseling |first=Pieter |year=2001 |title=Principles of Computational Fluid Dynamics |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-67853-0 }}
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Latest revision as of 17:29, 19 September 2023

फ्लक्स अवरोधक का उपयोग उच्च संकल्प वाली योजनाएँ - संख्यात्मक आंशिक विभेदक समीकरण में किया जाता है, जिनका उपयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग में (पीडीई) द्वारा वर्णित द्रव गतिशीलता समस्याओं को विशेष रूप से हल करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार से इनका उपयोग एमयूएससीएल योजना जैसी उच्च संकल्प योजनाओं में स्पूरियस दोलनों (विगल्स) से बचने के लिए किया जाता है। जो अन्यथा समाधान डोमेन शॉक के असंतोष या तीव्र परिवर्तन के कारण उच्च क्रम स्थानिक विवेकाधीन योजनाओं के साथ घटित होते हैं। और उपयुक्त उच्च संकल्प योजना के साथ फ्लक्स अवरोधक का उपयोग समाधान को कुल भिन्नता कम करने वाला (टीवीडी) बनाता है।

ध्यान दें कि फ्लक्स अवरोधक को प्रवणता अवरोधक के रूप में भी जाना जाता है। क्योंकि उन दोनों का गणितीय रूप समान है, और दोनों शॉक या असंतोष के समीप समाधान प्रवणता को सीमित करने का प्रभाव होता है। अतः सामान्य रूप से, फ्लक्स अवरोधक शब्द का उपयोग तब किया जाता है। जब अवरोधक प्रणाली फ्लक्स पर कार्य करता है, और प्रवणता अवरोधक का उपयोग तब किया जाता है जब अवरोधक प्रणाली स्तिथि (जैसे दबाव, वेग आदि) पर कार्य करता है।

कार्य विधि

इस प्रकार से फ्लक्स अवरोधक योजनाओं के निर्माण के पीछे मुख्य विचार स्थानिक व्युत्पन्नों को यथार्थवादी मान - वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग समस्याओं के लिए ही सीमित करना है। इसका अर्थ सामान्यतः भौतिक रूप से प्राप्य और सार्थक मान हैं। और इनका उपयोग पीडीई द्वारा वर्णित समस्याओं को हल करने के लिए उच्च संकल्प योजनाओं में किया जाता है। और यह केवल तभी परिचालन में आते हैं। जब तीव्र तरंग लहर उपस्तिथ होते हैं। जिसे सुचारू रूप से परिवर्तित तरंगों के लिए, फ्लक्स अवरोधक संचालित नहीं होते हैं। और स्थानिक व्युत्पन्नों को स्पूरियस दोलनों को प्रस्तुत किए बिना उच्च क्रम सन्निकटन द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार से नीचे दी गई 1D अर्ध-असतत योजना पर विचार करें,

जहाँ, और