21 (संख्या)

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Cardinal	twenty-one
Ordinal	21st (twenty-first)
Factorization	3 × 7
Divisors	1, 3, 7, 21
Greek numeral	ΚΑ´
Roman numeral	XXI
Binary	101012
Ternary	2103
Senary	336
Octal	258
Duodecimal	1912
Hexadecimal	1516

21 (संख्या) (इक्कीस) 20 (संख्या) के पश्चात और 22 (संख्या) से पूर्व की प्राकृतिक संख्या है।

ग्रेगोरियन कैलेंडर के अनुसार वर्तमान दशक 21वां दशक है।

गणित में

21 है:

• भाज्य संख्या, इसके उचित विभाजक 1, 3 और 7 होते हैं, और अपर्याप्त संख्या क्योंकि इन विभाजकों का योग स्वयं संख्या से अल्प होता है।
• फाइबोनैचि संख्या क्योंकि यह अनुक्रम, 8 और 13 में पूर्ववर्ती शब्दों का योग है।
• पाँचवाँ मोत्ज़किन संख्या है।
• त्रिकोणीय संख्या, क्योंकि यह प्रथम छह प्राकृतिक संख्याओं (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21) का योग है।
• अष्टकोणीय संख्या है।
• पडोवन संख्या, पडोवन अनुक्रम में प्रथम पद 9, 12, 16 (यह इनमें से प्रथम दो का योग है) आता है।
• ब्लम पूर्णांक, क्योंकि यह अर्ध अभाज्य है और इसके दोनों अभाज्य गुणनखंड गौसियन अभाज्य हैं।
• प्रथम 5 धनात्मक पूर्णांकों के भाजक का योग (अर्थात, 1 + (1 + 2) + (1 + 3) + (1 + 2 + 4) + (1 + 5)) है।
• फाइबोनैचि संख्या का सबसे छोटा गैर-तुच्छ उदाहरण जिसके अंक फाइबोनैचि संख्या हैं और जिनके अंकों का योग भी फाइबोनैचि संख्या है।
• हर्षद संख्या है।
• चतुर्धातुक अंक प्रणाली में पुनर्अंक (111₄) है।
• सबसे छोटी प्राकृत संख्या जो 2, 2ⁿ की घात के निकट नहीं है, जहां निकटता की सीमा ±n है।
• वर्ग का वर्ग करने के लिए आवश्यक विभिन्न आकार के वर्गों की सबसे छोटी संख्या है।
• इस संपत्ति के साथ सबसे बड़ा n: किसी भी धनात्मक पूर्णांक a,b के लिए जैसे कि a + b = n, कम से कम ${\tfrac {a}{b}}$ और ${\tfrac {b}{a}}$ सांत दशमलव है। नीचे संक्षिप्त प्रमाण देखें।

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ध्यान दें कि n के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि किसी भी a के लिए n, a और n - a को उपरोक्त शर्त को पूरा करना होगा , इसलिए n और n में से कम से कम एक - a में केवल कारक 2 और 5 होना चाहिए। मान लीजिए $A(n)$ n से छोटी संख्याओं की मात्रा को दर्शाता है जिनमें केवल गुणनखंड 2 और 5 हैं और जो n के सहअभाज्य हैं, हमारे पास तुरंत ${\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)$ है. हम आसानी से देख सकते हैं कि पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, $A(n)\sim {\frac {\log _{2}(n)\log _{5}(n)}{2}}={\frac {\ln ^{2}(n)}{2\ln(2)\ln(5)}}$, लेकिन $\varphi (n)\sim {\frac {n}{e^{\gamma }\;\ln \ln n}}$, $A(n)=o(\varphi (n))$ चूंकि n अनंत तक जाता है, इस प्रकार ${\frac {\varphi (n)}{2}}<A(n)$ पर्याप्त बड़े n को पकड़ने में विफल रहता है। वास्तव में, प्रत्येक n > 2 के लिए, हमारे पास है $A<1+\log _{2}(n)+{\frac {3\log _{5}(n)}{2}}+{\frac {\log _{2}(n)\log _{5}(n)}{2}}$ और $\varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{log\log n}}}}$ इसलिए ${\frac {\varphi (n)}{2}}<$ n > 273 (वास्तव में, जब n > 33) होने पर होल्ड करने में विफल रहता है। यह देखने के लिए बस कुछ संख्याओं की जाँच करें कि '= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 21।