समांतर श्रेणी

समांतर श्रेणी या अंकगणितीय क्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रम है जिसमें लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर होता है। उदाहरण के लिए 5, 7, 9, 11, 13, 15 के क्रम में सामान्य अंतर के साथ समांतर श्रेणी दिखाई दे रही है।

यदि समांतर श्रेणी का प्रारंभिक शब्द $a_{1}$है एवं क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर $d$ है तत्कालीन $n$ क्रम का शब्द ($a_{n}$) दिया गया है |

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,

और सामान्य रूप से

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d$।

समांतर श्रेणी के परिमित हिस्से को परिमित समांतर श्रेणी कहा जाता है | कभी -कभी इस इकाई को केवल समांतर श्रेणी भी कहा जाता है। वहीं एक परिमित समांतर श्रेणी के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है।

योग

एक परिमित समांतर श्रेणी के कुल इकाई के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए नीचे दिए गए योगफल पर विचार करें |

$2+5+8+11+14$

यहाँ त्वरित रूप से जोड़े जा रहे रहे योग के अनुसार (5) की संख्या के लिए n को अंकगणितीय क्रम में पहले और अंतिम संख्या के योग से गुणा करने पर (यहां 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करने पर प्राप्त समीकरण

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

उपरोक्त विधि के अनुसार जो समीकरण मिलता है वह निम्नांकित है |

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

यह सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए काम करता है $a_{1}$ तथा $a_{n}$। उदाहरण के लिए नीचे के योग पर ध्यान दें |

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

व्युत्पत्ति

पहले पूर्णांक 1+2+...+n का योग देने वाले सूत्र के लिए एनिमेटेड प्रमाण।

उपरोक्त सूत्र को प्राप्त करने के लिए दो अलग -अलग तरीकों से अंकगणित श्रृंखला को व्यक्त करके कुछ इस तरह समीकरण शुरू करें |

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

d को हटाकर दो समीकरणों के दोनों किनारों के सभी शब्दों को जोड़ते हुए प्राप्त समीकरण

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने से समीकरण का प्राप्त सामान्य रूप

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).$

प्रतिस्थापन को पुनः सम्मिलित करने पर वैकल्पिक रूप से ज्ञात परिणाम $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$:

$S_n=$