समान अभिसरण: Difference between revisions
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कैलकुलस के इतिहास में आरंभ में समान अभिसरण और बिंदुवार अभिसरण के बीच अंतर को पूरी तरह से सराहा नहीं गया था, जिससे दोषपूर्ण तर्क के उदाहरण सामने | विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, '''समान अभिसरण''' बिंदुवार अभिसरण से अधिक प्रबल फलन के अभिसरण का एक विधि है। फलन का एक क्रम <math>(f_n)</math> समुच्चय <math>E</math> पर फलन डोमेन के रूप में एक सीमित फलन <math>f</math> में समान रूप से परिवर्तित होता है, यदि कोई इच्छानुसार से छोटी धनात्मक संख्या <math>\epsilon</math> दी गई हो, तो एक संख्या <math>N</math> पाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक फलन <math>f_N, f_{N+1},f_{N+2},\ldots</math> <math>E</math> में प्रत्येक बिंदु <math>x</math> पर <math>f</math> से <math>\epsilon</math> से अधिक भिन्न नहीं है। अनौपचारिक विधि से वर्णित है, यदि <math>f_n</math> समान रूप से <math>f</math> में परिवर्तित होता है, तो वह दर जिस पर<math>f_n(x)</math>, <math>f(x)</math> तक पहुंचता है निम्नलिखित अर्थों में अपने संपूर्ण डोमेन में "समान" है: यह दिखाने के लिए कि <math>f_n(x)</math>समान रूप से एक निश्चित दूरी <math>f(x)</math>के अंदर आता है, हमें प्रश्न में <math>\epsilon</math> का मान जानने की आवश्यकता नहीं है — प्रश्न में <math>x\in E</math> का एक ही मान पाया जा सकता है -<math>N=N(\epsilon)</math> का एक ही मान पाया जा सकता है से स्वतंत्र, जैसे कि <math>n\geq N</math> चुनने से यह सुनिश्चित हो जाएगा कि <math>f_n(x)</math> सभी <math>x\in E</math> के लिए <math>f(x)</math> के <math>\epsilon</math> के अंदर है। इसके विपरीत, <math>f_n</math> से <math>f</math> का बिंदुवार अभिसरण केवल यह आश्वासन देता है कि पहले से दिए गए किसी भी <math>x\in E</math> के लिए, हम <math>N=N(\epsilon, x)</math> पा सकते हैं (अथार्त , <math>N</math>, <math>x</math> के मान पर निर्भर हो सकता है) जैसे कि, उस विशेष <math>x</math> के लिए,<math>f_n(x)</math> <math>\epsilon</math> के अंतर्गत आता है <math>f(x)</math> का जब भी <math>n\geq N</math> (एक अलग x को बिंदुवार अभिसरण के लिए एक अलग N की आवश्यकता होती है)। | ||
कैलकुलस के इतिहास में आरंभ में समान अभिसरण और बिंदुवार अभिसरण के बीच अंतर को पूरी तरह से सराहा नहीं गया था, जिससे दोषपूर्ण तर्क के उदाहरण सामने आए है। यह अवधारणा, जिसे पहली बार कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, महत्वपूर्ण है क्योंकि फलन <math>f_n</math> के कई गुण, जैसे निरंतरता, रीमैन इंटीग्रेबिलिटी, और, अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ, भिन्नता, अभिसरण होने पर सीमा <math>f</math> में समष्टि हो जाते हैं एक समान है, किंतु जरूरी नहीं कि अभिसरण एक समान न हो। | |||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
1821 में [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने एक प्रमाण प्रकाशित किया कि निरंतर | 1821 में [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने एक प्रमाण प्रकाशित किया कि निरंतर फलन का एक अभिसरण योग सदैव निरंतर होता है, जिसके लिए 1826 में [[नील्स हेनरिक एबेल]] ने फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में कथित प्रति-उदाहरण पाए, यह तर्क देते हुए कि कॉची का प्रमाण गलत होना चाहिए। उस समय अभिसरण की पूरी तरह से मानक धारणाएं उपस्थित नहीं थीं, और कॉची ने अनंत विधियों का उपयोग करके अभिसरण को संभाला जाता है। आधुनिक भाषा में कहें तो, कॉची ने जो सिद्ध किया वह यह है कि निरंतर फलन के एक समान रूप से अभिसरण अनुक्रम की एक निरंतर सीमा होती है। निरंतर फलन को एक सतत फलन में परिवर्तित करने के लिए केवल बिंदुवार-अभिसरण सीमा की विफलता फलन के अनुक्रमों को संभालते समय विभिन्न प्रकार के अभिसरण के बीच अंतर करने के महत्व को दर्शाती है।<ref>{{cite journal | doi=10.1016/j.hm.2004.11.010 | volume=32 | issue=4 | title=Exceptions and counterexamples: Understanding Abel's comment on Cauchy's Theorem | journal=Historia Mathematica | pages=453–480| year=2005 | last1=Sørensen | first1=Henrik Kragh | doi-access=free }}</ref> | ||
एक समान अभिसरण शब्द का प्रयोग संभवत: सबसे पहले क्रिस्टोफ गुडेरमैन ने 1838 में अण्डाकार फलन पर एक पेपर में किया था, जहां उन्होंने "समान विधि से अभिसरण" वाक्यांश का प्रयोग तब किया था जब एक श्रृंखला <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty f_n(x,\phi,\psi)</math> का "अभिसरण का विधि " चर से स्वतंत्र होता है। <math>\phi</math> और <math>\psi.</math> जबकि उन्होंने सोचा कि यह एक "उल्लेखनीय तथ्य" है जब एक श्रृंखला इस तरह से मिलती है, उन्होंने कोई औपचारिक परिभाषा नहीं दी, न ही अपने किसी भी प्रमाण में संपत्ति का उपयोग किया।<ref>{{Cite book | |||
|title=A history of analysis | |title=A history of analysis | ||
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बाद में गुडरमैन के शिष्य कार्ल वेइरस्ट्रैस, जिन्होंने 1839-1840 में अण्डाकार | बाद में गुडरमैन के शिष्य कार्ल वेइरस्ट्रैस, जिन्होंने 1839-1840 में अण्डाकार फलन पर उनके पाठ्यक्रम में भाग लिया था, ने ग्लीचमाज़िग कन्वर्जेंट (जर्मन: समान रूप से अभिसरण) शब्द गढ़ा, जिसका उपयोग उन्होंने 1894 में प्रकाशित अपने 1841 के पेपर ज़ूर थियोरी डेर पोटेंज़रेइहेन में किया। स्वतंत्र रूप से, समान अवधारणाएं थीं फिलिप लुडविग वॉन सीडेल<ref>{{cite book |last=Lakatos |first=Imre |author-link=Imre Lakatos |title=प्रमाण एवं खण्डन|year=1976|publisher=Cambridge University Press |pages=[https://archive.org/details/proofsrefutation0000laka/page/141 141] |isbn=978-0-521-21078-2|title-link=प्रमाण एवं खण्डन }}</ref> और जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स द्वारा व्यक्त। जी. एच. हार्डी ने अपने पेपर "सर जॉर्ज स्टोक्स और एक समान अभिसरण की अवधारणा" में तीन परिभाषाओं की तुलना की और टिप्पणी की: "वीयरस्ट्रैस की खोज सबसे प्रारंभिक थी, और उन्होंने अकेले ही विश्लेषण के मौलिक विचारों में से एक के रूप में इसके दूरगामी महत्व को पूरी तरह से अनुभव किया।" | ||
वीयरस्ट्रैस और [[बर्नहार्ड रीमैन]] के प्रभाव में इस अवधारणा और संबंधित प्रश्नों का 19वीं शताब्दी के अंत में [[हरमन हैंकेल]], [[पॉल डू बोइस-रेमंड]], [[यूलिसिस दीनी]], सेसारे अर्ज़ेला और अन्य द्वारा गहन अध्ययन किया गया था। | वीयरस्ट्रैस और [[बर्नहार्ड रीमैन]] के प्रभाव में इस अवधारणा और संबंधित प्रश्नों का 19वीं शताब्दी के अंत में [[हरमन हैंकेल]], [[पॉल डू बोइस-रेमंड]], [[यूलिसिस दीनी]], सेसारे अर्ज़ेला और अन्य द्वारा गहन अध्ययन किया गया था। | ||
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
हम पहले वास्तविक-मूल्यवान | हम पहले वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए समान अभिसरण को परिभाषित करते हैं। वास्तविक-मूल्यवान फलन, चूँकि अवधारणा को [[मीट्रिक समष्टि]] और अधिक सामान्यतः [[एकसमान समष्टि]] (यूनिफ़ॉर्म कन्वर्जेंस या सामान्यीकरण देखें) के लिए फलन मैपिंग के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है। | ||
मान लीजिए कि <math>E</math> एक समुच्चय है और <math>(f_n)_{n \in \N}</math> उस पर वास्तविक-मूल्यवान | मान लीजिए कि <math>E</math> एक समुच्चय है और <math>(f_n)_{n \in \N}</math> उस पर वास्तविक-मूल्यवान फलन का एक क्रम है। हम कहते हैं कि अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> , <math>E</math> पर सीमा <math>f: E \to \R</math> के साथ समान रूप से अभिसरण है यदि प्रत्येक <math>\epsilon > 0,</math> के लिए, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>n \geq N</math> के लिए और सभी <math>x \in E</math> के लिए है | ||
:<math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.</math> | :<math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.</math> | ||
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:यह इंगित करने के लिए कि अभिसरण एक समान है। (इसके विपरीत, क्रियाविशेषण के बिना E पर अभिव्यक्ति <math>f_n\to f</math> को <math>E</math> पर बिंदुवार अभिसरण के रूप में लिया जाता है: सभी <math> x \in E </math>, <math>f_n(x)\to f(x)</math> के लिए <math>n\to\infty</math> के रूप में है। | :यह इंगित करने के लिए कि अभिसरण एक समान है। (इसके विपरीत, क्रियाविशेषण के बिना E पर अभिव्यक्ति <math>f_n\to f</math> को <math>E</math> पर बिंदुवार अभिसरण के रूप में लिया जाता है: सभी <math> x \in E </math>, <math>f_n(x)\to f(x)</math> के लिए <math>n\to\infty</math> के रूप में है। | ||
चूँकि <math>\R</math> एक पूर्ण मीट्रिक | चूँकि <math>\R</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है, कॉची मानदंड का उपयोग समान अभिसरण के लिए समकक्ष वैकल्पिक सूत्रीकरण देने के लिए किया जा सकता है: <math>(f_n)_{n\in\N}</math>} <math>E</math>पर समान रूप से अभिसरण करता है (पिछले अर्थ में) यदि और केवल तभी यदि प्रत्येक <math> \epsilon > 0 </math> के लिए, ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या <math>N</math> उपस्थित होता है | ||
:<math>x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon</math>. | :<math>x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon</math>. | ||
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:<math> d_n = \sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x) |,</math> | :<math> d_n = \sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x) |,</math> | ||
तब <math> f_n </math> में एकत्रित हो जाता है <math>f</math> समान रूप से यदि और केवल यदि <math>d_n\to 0</math> जैसा <math>n\to\infty</math>. इस प्रकार, हम एक समान अभिसरण की विशेषता बता सकते हैं <math>(f_n)_{n \in \N}</math> पर <math>E</math> (सरल) अभिसरण के रूप में <math>(f_n)_{n \in \N}</math> [[ | तब <math> f_n </math> में एकत्रित हो जाता है <math>f</math> समान रूप से यदि और केवल यदि <math>d_n\to 0</math> जैसा <math>n\to\infty</math>. इस प्रकार, हम एक समान अभिसरण की विशेषता बता सकते हैं <math>(f_n)_{n \in \N}</math> पर <math>E</math> (सरल) अभिसरण के रूप में <math>(f_n)_{n \in \N}</math> [[फलन समष्टि]] में <math>\R^E</math> द्वारा परिभाषित समान मानदंड (जिसे सर्वोच्च मीट्रिक भी कहा जाता है) के संबंध में | ||
:<math>d(f,g)=\sup_{x\in E} |f(x)-g(x)|.</math> | :<math>d(f,g)=\sup_{x\in E} |f(x)-g(x)|.</math> | ||
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:<math>f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0</math>. | :<math>f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0</math>. | ||
अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> को | अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> को समष्टि रूप से सीमा <math>f</math> के साथ समान रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि <math>E </math> एक मीट्रिक समष्टि है और <math>x\in E</math> में प्रत्येक के लिए, एक<math>r > 0</math> उपस्थित है जैसे कि <math>(f_n)</math> समान रूप से <math>B(x,r)\cap E.</math> पर अभिसरण करता है। यह स्पष्ट है कि एक समान अभिसरण का तात्पर्य समष्टि समान अभिसरण से है, जिसका तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण से है। | ||
=== टिप्पणियाँ === | === टिप्पणियाँ === | ||
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=== सामान्यीकरण === | === सामान्यीकरण === | ||
कोई सीधे रूप से अवधारणा को | कोई सीधे रूप से अवधारणा को फलन E → M तक विस्तारित कर सकता है, जहां (M, d) प्रतिस्थापित करके एक मीट्रिक समष्टि है जिसके समष्टि पर<math>|f_n(x)-f(x)|</math> साथ <math>d(f_n(x),f(x))</math>. | ||
सबसे सामान्य | सबसे सामान्य समुच्चयिंग फलन ''E'' → ''X'', के [[नेट (गणित)]] का एक समान अभिसरण है, जहां ''X'' एक समान समष्टि है। हम कहते हैं कि नेट <math>(f_\alpha)</math> सीमा f : E → X के साथ समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि X में <math>\alpha_0</math>प्रत्येक [[प्रतिवेश (टोपोलॉजी)]] V के लिए एक उपस्थित है, जैसे कि E और प्रत्येक में प्रत्येक x के लिए <math>\alpha\geq \alpha_0</math>, <math>(f_\alpha(x),f(x))</math> V में है। इस स्थिति में सतत फलनों की एकसमान सीमा सतत् बनी रहती है। | ||
===अतिवास्तविक | ===अतिवास्तविक समुच्चयिंग में परिभाषा=== | ||
एकसमान अभिसरण एक अतियथार्थवादी | एकसमान अभिसरण एक अतियथार्थवादी समुच्चयिंग में एक सरलीकृत परिभाषा को स्वीकार करता है। इस प्रकार, एक अनुक्रम <math>f_n</math> समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है यदि <math>f^*</math>के डोमेन में सभी x और सभी अनंत n के लिए, <math>f_n^*(x)</math> अपरिमित रूप से <math>f^*(x)</math> के समीप है (समान निरंतरता की समान परिभाषा के लिए सूक्ष्म निरंतरता देखें)। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
<math>x \in [0,1)</math> के लिए, एक समान अभिसरण का एक मूल उदाहरण इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम <math>(1/2)^{x+n}</math>समान रूप से अभिसरण करता है, जबकि <math>x^n</math>नहीं करता. विशेष रूप से, मान लें कि <math>\epsilon=1/4</math> | <math>x \in [0,1)</math> के लिए, एक समान अभिसरण का एक मूल उदाहरण इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम <math>(1/2)^{x+n}</math>समान रूप से अभिसरण करता है, जबकि <math>x^n</math>नहीं करता. विशेष रूप से, मान लें कि <math>\epsilon=1/4</math> x के मान की परवाह किए बिना, <math>n \geq 2</math> होने पर प्रत्येक फलन<math>(1/2)^{x+n}</math> <math>1/4</math> से कम या उसके समान होता है। दूसरी ओर,<math>x^n</math><math>n</math> के लगातार बढ़ते मानों पर केवल <math>1/4</math> से कम या उसके समान होता है जब <math>x</math>के मानों को 1 के समीप और समीप चुना जाता है (नीचे और अधिक गहराई से समझाया गया है)। | ||
एक [[टोपोलॉजिकल | एक [[टोपोलॉजिकल समष्टि]] | ||
:<math>d(f,g)=\|f-g\|_{\infty}=\sup_{x\in X} |f(x)-g(x)|.</math> | :<math>d(f,g)=\|f-g\|_{\infty}=\sup_{x\in X} |f(x)-g(x)|.</math> | ||
| Line 84: | Line 85: | ||
:<math>\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0</math>. | :<math>\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=0</math>. | ||
फलन का क्रम <math>(f_n)</math> :<math>\begin{cases} f_n:[0,1]\to [0,1] \\ f_n(x)=x^n \end{cases}</math> | |||
फलन के अनुक्रम का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो किसी फलन <math>f</math> में बिंदुवार रूप से परिवर्तित होता है लेकिन समान रूप से नहीं। इसे दिखाने के लिए, हम पहले देखते हैं कि <math>(f_n)</math> की बिंदुवार सीमा <math>n\to\infty</math>के रूप में फलन <math>f</math> है, जो द्वारा दिया गया है | |||
: <math>f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1); \\ 1, & x=1. \end{cases} </math> | : <math>f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1); \\ 1, & x=1. \end{cases} </math> | ||
बिंदुवार अभिसरण: <math>x=0</math> और <math>x=1</math> के लिए अभिसरण तुच्छ है, क्योंकि<math>f_n(0)=f(0)=0</math> और <math>f_n(1)=f(1)=1</math>, सभी <math>n</math> के लिए <math>x \in (0,1)</math> और दिए गए <math>\epsilon>0</math> के लिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि <math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon</math> जब भी <math>n\geq N</math> <math>N = \lceil\log\epsilon/\log x\rceil</math> चुनकर (यहां ऊपरी वर्ग कोष्ठक गोल करने का संकेत देते हैं, सीलिंग | बिंदुवार अभिसरण: <math>x=0</math> और <math>x=1</math> के लिए अभिसरण तुच्छ है, क्योंकि<math>f_n(0)=f(0)=0</math> और <math>f_n(1)=f(1)=1</math>, सभी <math>n</math> के लिए <math>x \in (0,1)</math> और दिए गए <math>\epsilon>0</math> के लिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि <math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon</math> जब भी <math>n\geq N</math> <math>N = \lceil\log\epsilon/\log x\rceil</math> चुनकर (यहां ऊपरी वर्ग कोष्ठक गोल करने का संकेत देते हैं, सीलिंग फलन देखें)। इसलिए, सभी <math>x\in[0,1]</math> के लिए <math>f_n\to f</math> बिंदुवार। ध्यान दें कि <math>N</math> का चुनाव <math>\epsilon</math> और <math>x</math> के मान पर निर्भर करता है। इसके अतिरिक्त ,<math>\epsilon</math> की एक निश्चित पसंद के लिए, <math>N</math> (जिसे छोटे के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है) जैसे-जैसे <math>x</math> 1 के समीप पहुंचता है, बिना किसी सीमा के बढ़ता है। ये अवलोकन एकसमान अभिसरण की संभावना को रोकते हैं। | ||
अभिसरण की गैर-एकरूपता: अभिसरण एक समान नहीं है, क्योंकि हम एक <math>\epsilon>0</math> पा सकते हैं ताकि हम कितना भी बड़ा <math>N,</math> चुनें, <math>x \in [0,1]</math> और <math>n \geq N</math> जैसे मान होंगे कि<math>|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon.</math>इसे देखने के लिए, पहले देखें कि चाहे <math>n</math> कितना भी बड़ा हो जाए जो सदैव एक <math>x_0 \in [0,1)</math> होता है जैसे कि <math>f_n(x_0)=1/2.</math> इस प्रकार, यदि हम <math>\epsilon = 1/4,</math> चुनते हैं तो हम कभी नहीं पा सकते हैं एक <math>N</math> ऐसा कि सभी <math>|f_n(x)-f( | |||