गणितीय प्रेरण: Difference between revisions

(9 intermediate revisions by 3 users not shown)

Line 1:

~~{{Use dmy dates|date=February 2021}}~~

[[Image:Dominoeffect.png|thumb|right|डोमिनोज़ प्रभाव के अनुक्रमिक प्रभाव के संदर्भ में गणितीय प्रेरण को अनौपचारिक रूप से चित्रित किया जा सकता है।<ref>Matt DeVos, [https://www.sfu.ca/~mdevos/notes/graph/induction.pdf ''Mathematical Induction''], [[Simon Fraser University]]</ref><ref>Gerardo con Diaz, ''[http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf Mathematical Induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130502163438/http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf |date=2 May 2013 }}'', [[Harvard University]]</ref>]]गणितीय आगमन [[गणितीय प्रमाण]] के लिए एक विधि है कि एक कथन <math>P(n)</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए सत्य है <math>n</math>, अर्थात्, अपरिमित रूप से बहुत से मामले <math>P(0),P(1),P(2),P(3),\dots</math>सब पकड़। अनौपचारिक रूपक इस तकनीक को समझाने में मदद करते हैं, जैसे डोमिनोज़ गिरना या सीढ़ी चढ़ना:

[[Image:Dominoeffect.png|thumb|right|डोमिनोज़ प्रभाव के अनुक्रमिक प्रभाव के संदर्भ में गणितीय प्रेरण को अनौपचारिक रूप से चित्रित किया जा सकता है।<ref>Matt DeVos, [https://www.sfu.ca/~mdevos/notes/graph/induction.pdf ''Mathematical Induction''], [[Simon Fraser University]]</ref><ref>Gerardo con Diaz, ''[http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf Mathematical Induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130502163438/http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf |date=2 May 2013 }}'', [[Harvard University]]</ref>]]गणितीय आगमन [[गणितीय प्रमाण]] के लिए विधि है कि कथन <math>P(n)</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए सत्य है <math>n</math>, अर्थात्, अपरिमित रूप से बहुत से मामले <math>P(0),P(1),P(2),P(3),\dots</math>सब पकड़। अनौपचारिक रूपक इस तकनीक को समझाने में मदद करते हैं, जैसे डोमिनोज़ गिरना या सीढ़ी चढ़ना:

{{quote

|text=~~Mathematical induction proves that we can climb as high as we like on a ladder~~, ~~by proving that we can climb onto the bottom rung~~ (~~the~~ ''~~'basis'~~'') ~~and that from each rung we can climb up to the next one~~ (~~the '''step~~''').

|text=गणितीय प्रेरण यह साबित करता है कि हम सीढ़ी पर जितना चाहें उतना ऊपर चढ़ सकते हैं, यह साबित करके कि हम निचले पायदान (''आधार'') पर चढ़ सकते हैं और प्रत्येक पायदान से हम अगले पायदान पर चढ़ सकते हैं ( कदम''')।

|source=''[[~~Concrete Mathematics~~]]'', ~~page~~ 3 ~~margins.~~

|source=''[[ठोस गणित]]'', पेज 3 मार्जिन।

}}

प्रेरण द्वारा ~~एक सबूत~~ में दो ~~मामले होते~~ हैं। पहला, आधार ~~मामला~~, के लिए कथन को सिद्ध करता है <math>n=0</math> अन्य ~~मामलों~~ के ज्ञान के ~~बिना।~~ दूसरा ~~मामला~~, प्रेरण चरण, यह ~~साबित~~ करता है कि ''यदि'' कथन किसी दिए गए ~~मामले~~ के लिए मान्य है <math>n=k</math>, तो इसे अगले ~~मामले~~ के लिए भी ~~लागू~~ होना चाहिए <math>n=k+1</math>. ये दो चरण स्थापित करते हैं कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए ~~लागू~~ होता है <math>n</math>. आधार ~~मामला~~ आवश्यक रूप से ~~शुरू~~ नहीं होता है <math>n=0</math>, ~~लेकिन अक्सर~~ साथ <math>n=1</math>, और संभवतः किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के साथ <math>n=N</math>, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए कथन की सत्यता स्थापित करना <math>n\geq N</math>.

प्रेरण द्वारा प्रमाण में दो स्थितिया होती हैं। पहला, आधार स्थिति, के लिए कथन को सिद्ध करता है <math>n=0</math> अन्य स्थितियों के ज्ञान के बिना दूसरा स्थिति, प्रेरण चरण, यह सिद्ध करता है कि ''यदि'' कथन किसी दिए गए स्थितियों के लिए मान्य है <math>n=k</math>, तब इसे अगले स्थितियों के लिए भी प्रयुक्त होना चाहिए <math>n=k+1</math>. यह दो चरण स्थापित करते हैं कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए प्रयुक्त होता है <math>n</math>. आधार स्थिति आवश्यक रूप से प्रारंभ नहीं होता है <math>n=0</math>, किन्तु प्रायः साथ <math>n=1</math>, और संभवतः किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के साथ <math>n=N</math>, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए कथन की सत्यता स्थापित करना <math>n\geq N</math> होता है ।

अधिक सामान्य अच्छी ~~तरह~~ से स्थापित संरचनाओं, जैसे वृक्ष (~~सेट~~ सिद्धांत); यह सामान्यीकरण, जिसे [[संरचनात्मक प्रेरण]] के रूप में जाना जाता है, का उपयोग [[गणितीय तर्क]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] में किया जाता है। इस विस्तारित अर्थ में गणितीय आगमन पुनरावर्तन से निकटता से संबंधित है। गणितीय आगमन एक [[अनुमान नियम]] है जिसका उपयोग [[औपचारिक प्रमाण]]ों में किया जाता है, और यह कंप्यूटर प्रोग्रामों के लिए अधिकांश [[शुद्धता (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रमाणों का आधार है।<ref>

अधिक सामान्य अच्छी प्रकार से स्थापित संरचनाओं, जैसे वृक्ष (समुच्चय सिद्धांत); यह सामान्यीकरण, जिसे [[संरचनात्मक प्रेरण]] के रूप में जाना जाता है, इसका उपयोग [[गणितीय तर्क]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] में किया जाता है। इस विस्तारित अर्थ में गणितीय आगमन पुनरावर्तन से निकटता से संबंधित है। गणितीय आगमन [[अनुमान नियम]] है जिसका उपयोग [[औपचारिक प्रमाण]] में किया जाता है, और यह कंप्यूटर प्रोग्रामों के लिए अधिकांश [[शुद्धता (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रमाणों का आधार है।<ref>

{{cite book

| last = Anderson

Line 22:

| isbn = 978-0471033950

}}</ref>

यद्यपि इसका नाम अन्यथा सुझाव दे सकता है, गणितीय आगमन को आगमनात्मक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि [[दर्शन]]शास्त्र में प्रयोग किया जाता है ([[प्रेरण की समस्या]] देखें)। गणितीय पद्धति एक सामान्य कथन को सिद्ध करने के लिए असीम रूप से कई मामलों की जांच करती है, लेकिन ऐसा वेरिएबल (गणित) को शामिल करने वाली [[निगमनात्मक तर्क]] की एक परिमित श्रृंखला द्वारा करती है। <math>n</math>, जो अपरिमित रूप से अनेक मान ले सकता है।<ref>{{cite web|url=http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/math-ind.htm|title=Mathematical Induction|last=Suber|first=Peter|publisher=Earlham College|access-date=26 March 2011}}</ref>

यद्यपि इसका नाम अन्यथा सुझाव दे सकता है, गणितीय आगमन को आगमनात्मक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि [[दर्शन]]शास्त्र में प्रयोग किया जाता है ([[प्रेरण की समस्या]] देखें)। गणितीय पद्धति सामान्य कथन को सिद्ध करने के लिए असीम रूप से कुशल स्थितियों की जांच करती है, किन्तु ऐसा चर (गणित) को सम्मिलित करने वाली [[निगमनात्मक तर्क]] की परिमित श्रृंखला द्वारा करती है। <math>n</math>, जो अपरिमित रूप से कुशल मान ले सकता है।<ref>{{cite web|url=http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/math-ind.htm|title=Mathematical Induction|last=Suber|first=Peter|publisher=Earlham College|access-date=26 March 2011}}</ref>

== इतिहास ==

370 ई.पू. में, [[प्लेटो]] के [[परमेनाइड्स (संवाद)]] में निहित आगमनात्मक प्रमाण के प्रारंभिक उदाहरण के निशान सम्मिलित हो सकते हैं।{{sfn|Acerbi|2000}} इसके विपरीत पुनरावृत्त विधि , ऊपर की अतिरिक्त नीचे की ओर गिनना, सॉराइट्स विरोधाभास में पाया जाता है, जहां यह तर्क दिया गया था कि यदि रेत के 1,000,000 दाने ढेर बनाते हैं, और ढेर से दाने को हटाने से यह ढेर बन जाता है, तब रेत का दाना (या कोई दाना भी नहीं) ढेर बनाता है।{{sfn|Hyde|Raffman|2018}}

~~== इतिहास ==~~

गणितीय आगमन द्वारा सबसे पहला अंतर्निहित प्रमाण [[गेराज]] द्वारा 1000 ईस्वी के आसपास लिखे गए अल-फखरी में है, जिन्होंने पास्कल के त्रिकोण के [[द्विपद प्रमेय]] और गुणों को सिद्ध करने के लिए इसे [[अंकगणितीय प्रगति]] पर प्रयुक्त किया।{{sfn|Rashed|1994|pp=62–84}}<ref>[https://books.google.com/books?id=HGMXCgAAQBAJ&pg=PA193 Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices] "The earliest implicit proof by mathematical induction was given around 1000 in a work by the Persian mathematician Al-Karaji"</ref>

370 ई.पू. में, [[प्लेटो]] के [[परमेनाइड्स (संवाद)]] में निहित आगमनात्मक प्रमाण के एक प्रारंभिक उदाहरण के निशान शामिल हो सकते हैं।{{sfn|Acerbi|2000}} एक विपरीत पुनरावृत्त तकनीक, ऊपर की बजाय नीचे की ओर गिनना, सॉराइट्स विरोधाभास में पाया जाता है, जहां यह तर्क दिया गया था कि यदि रेत के 1,000,000 दाने एक ढेर बनाते हैं, और एक ढेर से एक दाने को हटाने से यह एक ढेर बन जाता है, तो रेत का एक दाना (या कोई दाना भी नहीं) एक ढेर बनाता है।{{sfn|Hyde|Raffman|2018}}

जैसा कि काट्ज़ कहते हैं {{quote|text=अल-कराजी द्वारा प्रस्तुत किया गया और अल-सामावल और अन्य लोगों द्वारा जारी रखा गया एक और महत्वपूर्ण विचार कुछ अंकगणितीय अनुक्रमों से निपटने के लिए आगमनात्मक तर्क था। इस प्रकार अल-कराजी ने [[आर्यभट्ट]] को पहले से ही ज्ञात अभिन्न घनों के योग पर परिणाम साबित करने के लिए इस तरह के तर्क का उपयोग किया, हालांकि, अल-कराजी ने मनमाने ढंग से ''एन'' के लिए एक सामान्य परिणाम नहीं बताया। . उन्होंने विशेष पूर्णांक 10 के लिए अपना प्रमेय बताया [...] उनका प्रमाण, फिर भी, स्पष्ट रूप से किसी अन्य पूर्णांक तक विस्तार योग्य होने के लिए डिज़ाइन किया गया था। [...] अल-करजी के तर्क में संक्षेप में प्रेरण द्वारा आधुनिक तर्क के दो बुनियादी घटक शामिल हैं, अर्थात् ''n'' = 1 (1 = 13<) के लिए कथन का [[सत्य]] /sup>) और ''n'' = ''k'' से ''n'' = ''k'' के लिए सत्य की व्युत्पत्ति - 1. बेशक, यह दूसरा घटक स्पष्ट नहीं है क्योंकि, कुछ अर्थों में, अल-काराजी का तर्क उलटा है; यानी, वह ''n'' = 10 से शुरू करता है और ऊपर की ओर बढ़ने के बजाय नीचे 1 तक जाता है। फिर भी, ''अल-फखरी'' में उनका तर्क [[वर्ग त्रिकोणीय संख्या|पूर्णांक घनों का योग सूत्र]] का सबसे पुराना प्रमाण है।<ref>काट्ज़ (1998), पृष्ठ। 255</ref>}}

गणितीय आगमन द्वारा सबसे पहला अंतर्निहित प्रमाण [[गेराज]] द्वारा 1000 ईस्वी के आसपास लिखे गए अल-फखरी में है, जिन्होंने पास्कल के त्रिकोण के [[द्विपद प्रमेय]] और गुणों को ~~साबित~~ करने के लिए इसे [[अंकगणितीय प्रगति]] पर ~~लागू~~ किया।{{sfn|Rashed|1994|pp=62–84}}<ref>[https://books.google.com/books?id=HGMXCgAAQBAJ&pg=PA193 Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices] "The earliest implicit proof by mathematical induction was given around 1000 in a work by the Persian mathematician Al-Karaji"</ref>

जैसा कि काट्ज़ कहते हैं {{quote|text=~~Another important idea introduced by al~~-~~Karaji and continued by al~~-~~Samaw'al and others was that of an inductive argument for dealing with certain arithmetic sequences. Thus al~~-~~Karaji used such an argument to prove the result on the sums of integral cubes already known to~~ [[~~Aryabhata~~]] ~~[...] Al-Karaji did not~~, ~~however~~, ~~state a general result for arbitrary~~ ''n''. ~~He stated his theorem for the particular integer~~ 10 [...] ~~His proof~~, ~~nevertheless~~, ~~was clearly designed to be extendable to any other integer.~~ [...] Al-~~Karaji's argument includes in essence the two basic components of a modern argument by induction~~, ~~namely the [[truth]] of the statement for~~ ''n'' = 1 (1 = 13) ~~and the deriving of the truth for~~ ''n'' = ''k'' ~~from that of~~ ''n'' = ''k'' - 1. ~~Of course~~, ~~this second component is not explicit since~~, ~~in some sense~~, al-~~Karaji's argument is in reverse~~; ~~this is~~, ~~he starts from~~ ''n'' = 10 ~~and goes down to~~ 1 ~~rather than proceeding upward. Nevertheless~~, ~~his argument in~~ ''al-~~Fakhri~~'' ~~is the earliest extant proof of~~ [[~~Squared triangular number~~|~~the sum formula for integral cubes~~]].<ref>~~Katz~~ (1998), p. 255</ref>}}

भारत में, भास्कर द्वितीय की [[चक्रवला विधि]] में गणितीय आगमन द्वारा प्रारंभिक अंतर्निहित प्रमाण दिखाई देते हैं।<ref name="Induction Bussey">{{harvp|Cajori|1918|p=197|ps=: 'The process of reasoning called "Mathematical Induction" has had several independent origins. It has been traced back to the Swiss Jakob (James) Bernoulli, the Frenchman B. Pascal and P. Fermat, and the Italian F. Maurolycus. [...] By reading a little between the lines one can find traces of mathematical induction still earlier, in the writings of the Hindus and the Greeks, as, for instance, in the "cyclic method" of Bhaskara, and in Euclid's proof that the number of primes is infinite.'}}</ref>

हालांकि, इन प्राचीन गणितज्ञों में से किसी ने भी आगमन परिकल्पना को स्पष्ट रूप से नहीं बताया। इसी तरह का एक और मामला (वैका ने जो लिखा है, उसके विपरीत, जैसा कि फ्रायडेंथल ने ध्यान से दिखाया है){{sfn|Rashed|1994|p=62}} [[फ्रांसिस मौरोलिको]] की अपनी अरिथमेटिकोरम लिब्री डुओ (1575) में थी, जिसने यह साबित करने के लिए तकनीक का इस्तेमाल किया था कि पहले n [[समता (गणित)]] [[पूर्णांक]]ों का योग n है2</उप>।

इंडक्शन का सबसे पहला कठोर #गणितीय_प्रमाण उपयोग [[गर्सोनाइडेस]] (1288-1344) द्वारा किया गया था।{{sfn|Simonson|2000}}{{sfn|Rabinovitch|1970}} इंडक्शन के सिद्धांत का पहला स्पष्ट सूत्रीकरण [[ब्लेस पास्कल]] ने अपने ट्रेटे डु त्रिकोण अंकगणित (1665) में दिया था। एक अन्य फ्रांसीसी, [[पियरे डी फर्मेट]] ने संबंधित सिद्धांत का पर्याप्त उपयोग किया: [[अनंत वंश]] द्वारा अप्रत्यक्ष प्रमाण।

~~प्रेरण~~ परिकल्पना को ~~स्विस [[जैकब बर्नौली]] द्वारा भी नियोजित किया गया था, और तभी से यह अच्छी तरह~~ से ~~जाना जाने लगा। सिद्धांत~~ का आधुनिक औपचारिक उपचार केवल 19वीं शताब्दी में [[जॉर्ज बूले]] के साथ आया,<ref>"It is sometimes required to prove a theorem which shall be true whenever a certain quantity ''n'' which it involves shall be an integer or whole number and the method of proof is usually of the following kind. ''1st''. The theorem is proved to be true when ''n'' = 1. ''2ndly''. It is proved that if the theorem is true when ''n'' is a given whole number, it will be true if ''n'' is the next greater integer. Hence the theorem is true universally. … This species of argument may be termed a continued ''[[Polysyllogism|sorites]]''" (~~Boole c. 1849 ''Elementary Treatise on Logic not mathematical'' pp. 40–41 reprinted in [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness~~, ~~Ivor]] and Bornet~~, ~~Gérard (1997~~)~~, ''George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy'', Birkhäuser Verlag, Berlin,~~ {{~~isbn~~|~~3-7643-5456-9~~}}~~)</ref>~~ [[~~ऑगस्टस डी मॉर्गन~~]], [[~~चार्ल्स सैंडर्स पियर्स~~]]~~,{{sfn|Peirce|1881}}{{sfn|Shields|1997}}~~ [[~~जोसेफ पीनो~~]]~~, और [[रिचर्ड डेडेकिंड]]।~~<~~ref name="Induction Bussey"~~/>

चूंकि , इन प्राचीन गणितज्ञों में से किसी ने भी आगमन परिकल्पना को स्पष्ट रूप से नहीं बताया। इसी प्रकार का और स्थिति (वैका ने जो लिखा है, उसके विपरीत, जैसा कि फ्रायडेंथल ने ध्यान से दिखाया है){{sfn|Rashed|1994|p=62}} [[फ्रांसिस मौरोलिको]] की अपनी अरिथमेटिकोरम लिब्री डुओ (1575) में थी, जिसने यह सिद्ध करने के लिए विधि का उपयोग किया था कि पहले n [[समता (गणित)]] [[पूर्णांक]] का योग ''n''2 है।

गणितीय आगमन का सबसे पहला कठोर गणितीय प्रमाण उपयोग [[गर्सोनाइडेस]] (1288-1344) द्वारा किया गया था।{{sfn|Simonson|2000}}{{sfn|Rabinovitch|1970}} गणितीय आगमन के सिद्धांत का पहला स्पष्ट सूत्रीकरण [[ब्लेस पास्कल]] ने अपने ट्रेटे डु त्रिकोण अंकगणित (1665) में दिया था। अन्य फ्रांसीसी, [[पियरे डी फर्मेट]] ने संबंधित सिद्धांत का पर्याप्त उपयोग किया: [[अनंत वंश]] द्वारा अप्रत्यक्ष प्रमाण होता है ।

प्रेरण परिकल्पना को स्विस [[जैकब बर्नौली]] द्वारा भी नियोजित किया गया था, और तभी से यह अच्छी प्रकार से जाना जाने लगा। सिद्धांत का आधुनिक औपचारिक उपचार केवल 19वीं शताब्दी में [[जॉर्ज बूले]] के साथ आया,<ref>"It is sometimes required to prove a theorem which shall be true whenever a certain quantity ''n'' which it involves shall be an integer or whole number and the method of proof is usually of the following kind. ''1st''. The theorem is proved to be true when ''n'' = 1. ''2ndly''. It is proved that if the theorem is true when ''n'' is a given whole number, it will be true if ''n'' is the next greater integer. Hence the theorem is true universally. … This species of argument may be termed a continued ''[[Polysyllogism|sorites]]''" (Boole c. 1849 ''Elementary Treatise on Logic not mathematical'' pp. 40–41 reprinted in [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness, Ivor]] and Bornet, Gérard (1997), ''George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy'', Birkhäuser Verlag, Berlin, {{isbn|3-7643-5456-9}})</ref> [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]], [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]],{{sfn|Peirce|1881}}{{sfn|Shields|1997}} [[जोसेफ पीनो]], और [[रिचर्ड डेडेकिंड]]।<ref name="Induction Bussey"/>

== विवरण ==

गणितीय आगमन का सबसे सरल और सबसे सामान्य रूप अनुमान लगाता है कि एक कथन जिसमें एक प्राकृतिक संख्या ~~शामिल~~ है {{mvar|n}} (~~यानी एक~~ पूर्णांक {{math|''n'' ≥ 0}} या 1) के सभी मूल्यों के लिए धारण करता है {{mvar|n}}. प्रमाण में दो चरण होते हैं:

गणितीय आगमन का सबसे सरल और सबसे सामान्य रूप अनुमान लगाता है कि कथन जिसमें प्राकृतिक संख्या सम्मिलित है {{mvar|n}} (अर्थात पूर्णांक {{math|''n'' ≥ 0}} या 1) के सभी मूल्यों के लिए धारण करता है {{mvar|n}}. प्रमाण में दो चरण होते हैं:

# ~~{{anchor|base case}}~~आधार ~~मामला~~ (या प्रारंभिक ~~मामला~~): सिद्ध करें कि कथन 0 या 1 के लिए है।

# आधार स्थिति (या प्रारंभिक स्थिति): सिद्ध करें कि कथन 0 या 1 के लिए है।

# ~~{{anchor|induction step}}~~प्रेरण कदम (या आगमनात्मक कदम, या कदम का ~~मामला~~): ~~साबित~~ करें कि हर के लिए {{mvar|n}}, यदि कथन के लिए है {{mvar|n}}, तो यह धारण करता है {{math|''n'' + 1}}. दूसरे शब्दों में, मान लें कि ~~बयान~~ कुछ मनमानी प्राकृतिक संख्या के लिए है {{mvar|n}}, और ~~साबित करें कि कथन के लिए है~~ {{math|''n'' + 1}}.

# प्रेरण कदम (या आगमनात्मक कदम, या कदम का स्थिति): सिद्ध करें कि हर के लिए {{mvar|n}}, यदि कथन के लिए है {{mvar|n}}, तब यह धारण करता है {{math|''n'' + 1}} दूसरे शब्दों में, मान लें कि कथन कुछ मनमानी प्राकृतिक संख्या के लिए है {{mvar|n}}, और {{math|''n'' + 1}} सिद्ध करें कि कथन के लिए है ।

प्रेरण चरण में परिकल्पना, कि कथन किसी विशेष के लिए धारण करता है ~~{{mvar|n}}~~, प्रेरण परिकल्पना या आगमनात्मक परिकल्पना कहलाती है। ~~इंडक्शन~~ स्टेप को ~~साबित~~ करने के लिए, ~~इंडक्शन~~ परिकल्पना को मान लिया जाता है {{mvar|n}} और ~~फिर इस धारणा का उपयोग यह साबित करने के लिए करता है कि कथन के लिए है~~ {{math|''n'' + 1}}.

प्रेरण चरण में परिकल्पना, {{mvar|n}} कि कथन किसी विशेष के लिए धारण करता है, प्रेरण परिकल्पना या आगमनात्मक परिकल्पना कहलाती है। गणितीय आगमन स्टेप को सिद्ध करने के लिए, गणितीय आगमन परिकल्पना को मान लिया जाता है {{mvar|n}} और {{math|''n'' + 1}} फिर इस धारणा का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए करता है कि कथन के लिए है।

लेखक जो प्राकृतिक संख्याओं को 0 से ~~शुरू~~ करने के लिए परिभाषित करना पसंद करते हैं, आधार ~~मामले~~ में उस मान का उपयोग करते हैं; जो 1 से ~~शुरू~~ होने वाली प्राकृत संख्याओं को परिभाषित करते हैं वे उस मान का उपयोग करते हैं।

लेखक जो प्राकृतिक संख्याओं को 0 से प्रारंभ करने के लिए परिभाषित करना पसंद करते हैं, आधार स्थितियों में उस मान का उपयोग करते हैं; जो 1 से प्रारंभ होने वाली प्राकृत संख्याओं को परिभाषित करते हैं वे उस मान का उपयोग करते हैं।

== उदाहरण ==

Line 51:

Line 50:

सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए निम्नलिखित कथन P(n) को सिद्ध करने के लिए गणितीय आगमन का उपयोग किया जा सकता है।

: <math>P(n)\!:\ \ 0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.</math>

यह दी गई संख्या से कम या उसके ~~बराबर~~ प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए एक सामान्य सूत्र बताता है; वास्तव में ~~बयानों~~ का एक अनंत क्रम: <math>0 = \tfrac{(0)(0+1)}2</math>, <math>0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2</math>, <math>0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2</math>, आदि।

यह दी गई संख्या से कम या उसके सामान्तर प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए सामान्य सूत्र बताता है; वास्तव में कथनों का अनंत क्रम: <math>0 = \tfrac{(0)(0+1)}2</math>, <math>0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2</math>, <math>0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2</math>, आदि।

~~प्रस्ताव।~~ प्रत्येक के लिए <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math>

प्रस्ताव:- प्रत्येक के लिए <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math>

सबूत। मान लीजिए ''P''(''n'') कथन है <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math> हम n पर आगमन द्वारा उपपत्ति देते हैं।

~~आधार मामला~~: ~~दिखाएँ कि~~ कथन ~~सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या~~ n = ~~0 के लिए है।~~

प्रमाण:- मान लीजिए ''P''(''n'') कथन है <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math> हम n पर आगमन द्वारा उपपत्ति देते हैं।

~~पी (0) स्पष्ट रूप से सच है: <math>0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2}\,.</math>~~

आधार स्थिति: दिखाएँ कि कथन सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n = 0 के लिए है।

~~प्रेरण चरण~~: दिखाएँ कि ~~प्रत्येक k ≥~~ 0 के लिए~~, यदि P(k) धारण करता है, तो P(k + 1) भी धारण करता~~ है।

प्रेरण परिकल्पना मान लें कि किसी विशेष k के लिए, एकल ~~मामला~~ n = k धारण करता है, जिसका अर्थ है P(k) सत्य है:<blockquote><math>0 + 1 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}2.</math></blockquote>यह इस प्रकार है:

P (0) स्पष्ट रूप से सच है: <math>0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2}\,.</math>

प्रेरण चरण: दिखाएँ कि प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, यदि P(k) धारण करता है, तब P(k + 1) भी धारण करता है।

प्रेरण परिकल्पना मान लें कि किसी विशेष k के लिए, एकल स्थिति n = k धारण करता है, जिसका अर्थ है P(k) सत्य है:<blockquote><math>0 + 1 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}2.</math></blockquote>यह इस प्रकार है:

: <math>(0 + 1 + 2 + \cdots + k )+ (k+1) = \frac{k(k+1)}2 + (k+1).</math>

[[बीजगणित]]ीय रूप से, दाहिने हाथ की ओर सरल करता है:

[[बीजगणित]]य रूप से, दाहिने हाथ की ओर सरल करता है:

: <math>\begin{align}

\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) &= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \\

Line 69:

Line 70:

&= \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}.

\end{align}</math>

चरम बाएँ और दाएँ पक्ष की ~~बराबरी~~ करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:<blockquote><math>0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}2.</math></blockquote>अर्थात्, कथन P(k + 1) भी सत्य है, जो प्रेरण चरण की स्थापना करता है।

चरम बाएँ और दाएँ पक्ष की सामान्तरी करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:<blockquote><math>0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}2.</math></blockquote>अर्थात्, कथन P(k + 1) भी सत्य है, जो प्रेरण चरण की स्थापना करता है।

निष्कर्ष: चूँकि बेस केस और ~~इंडक्शन स्टेप~~ दोनों ही सही ~~साबित~~ हुए हैं, गणितीय ~~इंडक्शन~~ द्वारा स्टेटमेंट P(n) हर प्राकृतिक संख्या n के लिए है। क्यू.ई.डी.|∎

निष्कर्ष: चूँकि बेस केस और गणितीय आगमन दोनों ही सही सिद्ध हुए हैं, गणितीय आगमन द्वारा स्टेटमेंट P(n) हर प्राकृतिक संख्या n के लिए है। क्यू.ई.डी.।∎

=== एक त्रिकोणमितीय असमानता ===

=== त्रिकोणमितीय असमानता ===

~~इंडक्शन~~ का उपयोग ~~अक्सर~~ [[असमानता (गणित)]] को ~~साबित~~ करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, हम यह ~~साबित~~ करते हैं <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>x</math> और प्राकृतिक संख्या <math>n</math>.

गणितीय आगमन का उपयोग प्रायः [[असमानता (गणित)]] को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के रूप में, हम यह सिद्ध करते हैं <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>x</math> और प्राकृतिक संख्या <math>n</math>.

पहली नज़र में, ऐसा प्रतीत हो सकता है कि एक अधिक सामान्य संस्करण, <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी वास्तविक संख्या के लिए <math>n,x</math>, प्रेरण के बिना सिद्ध किया जा सकता है; ~~लेकिन मामला~~ <math display="inline">n=\frac{1}{2},\, x=\pi</math> दिखाता है कि के गैर-पूर्णांक मानों के लिए यह असत्य हो सकता है <math>n</math>. इससे पता चलता है कि हम विशेष रूप से के प्राकृतिक मूल्यों के लिए ~~बयान~~ की जांच करते हैं <math>n</math>, और प्रेरण सबसे आसान उपकरण है।

पहली नज़र में, ऐसा प्रतीत हो सकता है कि अधिक सामान्य संस्करण, <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी वास्तविक संख्या के लिए <math>n,x</math>, प्रेरण के बिना सिद्ध किया जा सकता है; किन्तु स्थिति <math display="inline">n=\frac{1}{2},\, x=\pi</math> दिखाता है कि के गैर-पूर्णांक मानों के लिए यह असत्य हो सकता है <math>n</math>. इससे पता चलता है कि हम विशेष रूप से के प्राकृतिक मूल्यों के लिए कथन की जांच करते हैं <math>n</math>, और प्रेरण सबसे आसान उपकरण है।

प्रस्ताव। किसी के लिए भी <math>x \in \mathbb{R}</math> और <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>.

~~सबूत। एक~~ मनमाना वास्तविक संख्या तय करें <math>x</math>, और जाने <math>P(n)</math> ~~बयान~~ हो <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>. हम ~~शामिल~~ करते हैं <math>n</math>.

प्रमाण। मनमाना वास्तविक संख्या तय करें <math>x</math>, और जाने <math>P(n)</math> कथन हो <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>. हम सम्मिलित करते हैं <math>n</math>.

आधार ~~मामला~~: गणना <math>|\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x|</math> पुष्टि करता है <math>P(0)</math>.

आधार स्थिति: गणना <math>|\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x|</math> पुष्टि करता है <math>P(0)</math>.

प्रेरण कदम: हम [[निहितार्थ (तर्क)]] दिखाते हैं <math>P(k) \implies P(k+1)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>k</math>. प्रेरण परिकल्पना मानें: किसी दिए गए मान के लिए <math>n = k \geq 0</math>, एकल ~~मामला~~ <math>P(k)</math> क्या सच है। [[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची]] और निरपेक्ष मान#वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:

प्रेरण कदम: हम [[निहितार्थ (तर्क)]] दिखाते हैं <math>P(k) \implies P(k+1)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>k</math>. प्रेरण परिकल्पना मानें: किसी दिए गए मान के लिए <math>n = k \geq 0</math>, एकल स्थिति <math>P(k)</math> क्या सच है। [[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची]] और निरपेक्ष मान#वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:

: <math>\begin{array}{rcll}

|\!\sin(k+1)x|

Line 99:

Line 100:

&= & (k+1)\,|\!\sin x|. &

\end{array}</math>

चरम बाएँ और दाएँ हाथ की मात्राओं के ~~बीच~~ असमानता यह दर्शाती है <math>P(k+1)</math> सत्य है, जो प्रेरण चरण को पूरा करता है।

चरम बाएँ और दाएँ हाथ की मात्राओं के मध्य असमानता यह दर्शाती है <math>P(k+1)</math> सत्य है, जो प्रेरण चरण को पूरा करता है।

निष्कर्ष: प्रस्ताव <math>P(n)</math> सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है <math>n</math>. ∎

== वेरिएंट ==

~~{{no footnotes|section|date=July 2013}}~~

व्यवहार में, गणितीय आगमन द्वारा प्रूफ को प्रायः अलग प्रकार से संरचित किया जाता है, जो कि सिद्ध की जाने वाली संपत्ति की सटीक प्रकृति पर निर्भर करता है।

व्यवहार में, ~~इंडक्शन~~ द्वारा प्रूफ को ~~अक्सर~~ अलग ~~तरह~~ से संरचित किया जाता है, जो कि सिद्ध की जाने वाली संपत्ति की सटीक प्रकृति पर निर्भर करता है।

इंडक्शन के सभी प्रकार [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] के विशेष मामले हैं; #ट्रांसफिनिट इंडक्शन देखें।

~~=== 0 या 1 ===~~ के ~~अलावा बेस केस~~

गणितीय आगमन के सभी प्रकार [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन|ट्रांसफिनिट गणितीय आगमन]] के विशेष स्थितियों हैं; #ट्रांसफिनिट गणितीय आगमन देखें गए हैं ।

~~यदि कोई कथन सिद्ध करना चाहता है, तो~~ सभी ~~प्राकृतिक संख्याओं~~ के लिए नहीं, बल्कि केवल सभी संख्याओं के लिए {{mvar|n}} किसी निश्चित संख्या से अधिक या उसके बराबर {{mvar|b}}, तो प्रेरण द्वारा प्रमाण में निम्नलिखित शामिल हैं:

# ~~दिखा रहा है कि बयान कब धारण करता है {{math|1=''n'' = ''b''}}.~~

# दिखा रहा है कि यदि कथन मनमाना संख्या के लिए है {{math|''n'' ≥ ''b''}}, तो वही कथन भी मान्य है {{math|''n'' + 1}}.

इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए किया जा सकता है {{math|2''n'' ≥ ''n'' + 5}} के लिए {{math|''n'' ≥ 3}}.

~~इस प्रकार, कोई उस कथन को सिद्ध कर सकता है {{math|''P''(''n'')}} सभी के लिए रखता है {{math|''n'' ≥~~ 1~~}}, या सभी~~ के लिए भी {{math|''n'' ≥ −5}}. गणितीय आगमन का यह रूप वास्तव में पिछले रूप का एक विशेष मामला है, क्योंकि यदि कथन को सिद्ध किया जाना है {{math|''P''(''n'')}} तो इन दो नियमों के साथ इसे साबित करना साबित करने के बराबर है {{math|''P''(''n'' + ''b'')}} सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए {{mvar|n}} इंडक्शन बेस केस ~~के साथ {{math|0}}.<ref>Ted Sundstrom, ''Mathematical Reasoning'', p. 190, Pearson, 2006, {{isbn|978-0131877184}}</ref>~~

=== 0 या 1 === के अतिरिक्त बेस केस

यदि कोई कथन सिद्ध करना चाहता है, तब सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, किंतु केवल सभी संख्याओं के लिए {{mvar|n}} किसी निश्चित संख्या से अधिक या उसके सामान्तर {{mvar|b}}, तब प्रेरण द्वारा प्रमाण में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

# दिखा रहा है कि कथन कब धारण करता है {{math|1=''n'' = ''b''}}.

# दिखा रहा है कि यदि कथन मनमाना संख्या के लिए है {{math|''n'' ≥ ''b''}}, तब वही कथन भी मान्य है {{math|''n'' + 1}}.

इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए किया जा सकता है {{math|2''n'' ≥ ''n'' + 5}} के लिए {{math|''n'' ≥ 3}}.

इस प्रकार, कोई उस कथन को सिद्ध कर सकता है {{math|''P''(''n'')}} सभी के लिए रखता है {{math|''n'' ≥ 1}}, या सभी के लिए भी {{math|''n'' ≥ −5}}. गणितीय आगमन का यह रूप वास्तव में पिछले रूप का विशेष स्थिति है, क्योंकि यदि कथन को सिद्ध किया जाना है {{math|''P''(''n'')}} तब इन दो नियमों के साथ इसे सिद्ध करना सिद्ध करने के सामान्तर है {{math|''P''(''n'' + ''b'')}} सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए {{mvar|n}} गणितीय आगमन बेस केस के साथ {{math|0}}.<ref>Ted Sundstrom, ''Mathematical Reasoning'', p. 190, Pearson, 2006, {{isbn|978-0131877184}}</ref> होता है।

==== उदाहरण: सिक्कों द्वारा डॉलर की राशि बनाना ====

4- और 5-डॉलर के सिक्कों की अनंत आपूर्ति मान लें। ~~इंडक्शन~~ का उपयोग यह ~~साबित~~ करने के लिए किया जा सकता है कि डॉलर की कोई भी पूरी राशि इससे अधिक या ~~बराबर~~ है {{math|12}} ऐसे सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। होने देना {{math|''S''(''k'')}} कथन को निरूपित करें{{mvar|k}} डॉलर को 4- और 5-डॉलर के सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। इसका प्रमाण {{math|''S''(''k'')}} सभी के लिए सत्य है {{math|''k'' ≥ 12}} फिर प्रेरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है {{mvar|k}} निम्नलिखित नुसार:

4- और 5-डॉलर के सिक्कों की अनंत आपूर्ति मान लें। गणितीय आगमन का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि डॉलर की कोई भी पूरी राशि इससे अधिक या सामान्तर है {{math|12}} ऐसे सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। होने देना {{math|''S''(''k'')}} कथन को निरूपित करें{{mvar|k}} डॉलर को 4- और 5-डॉलर के सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। इसका प्रमाण {{math|''S''(''k'')}} सभी के लिए सत्य है {{math|''k'' ≥ 12}} फिर प्रेरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है {{mvar|k}} निम्नलिखित नुसार:

Anonymous

Search

गणितीय प्रेरण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Form of mathematical proof}}
-{{Distinguish|inductive reasoning}}
+{{Distinguish|विवेचनात्मक तार्किकता}}
-{{Use dmy dates|date=February 2021}}
-[[Image:Dominoeffect.png|thumb|right|डोमिनोज़ प्रभाव के अनुक्रमिक प्रभाव के संदर्भ में गणितीय प्रेरण को अनौपचारिक रूप से चित्रित किया जा सकता है।<ref>Matt DeVos, [https://www.sfu.ca/~mdevos/notes/graph/induction.pdf ''Mathematical Induction''], [[Simon Fraser University]]</ref><ref>Gerardo con Diaz, ''[http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf Mathematical Induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130502163438/http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf |date=2 May 2013 }}'', [[Harvard University]]</ref>]]गणितीय आगमन [[गणितीय प्रमाण]] के लिए एक विधि है कि एक कथन <math>P(n)</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए सत्य है <math>n</math>, अर्थात्, अपरिमित रूप से बहुत से मामले <math>P(0),P(1),P(2),P(3),\dots</math>सब पकड़। अनौपचारिक रूपक इस तकनीक को समझाने में मदद करते हैं, जैसे डोमिनोज़ गिरना या सीढ़ी चढ़ना:
+[[Image:Dominoeffect.png|thumb|right|डोमिनोज़ प्रभाव के अनुक्रमिक प्रभाव के संदर्भ में गणितीय प्रेरण को अनौपचारिक रूप से चित्रित किया जा सकता है।<ref>Matt DeVos, [https://www.sfu.ca/~mdevos/notes/graph/induction.pdf ''Mathematical Induction''], [[Simon Fraser University]]</ref><ref>Gerardo con Diaz, ''[http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf Mathematical Induction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130502163438/http://www.math.harvard.edu/archive/23a_fall_05/Handouts/induction.pdf |date=2 May 2013 }}'', [[Harvard University]]</ref>]]गणितीय आगमन [[गणितीय प्रमाण]] के लिए विधि है कि कथन <math>P(n)</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए सत्य है <math>n</math>, अर्थात्, अपरिमित रूप से बहुत से मामले <math>P(0),P(1),P(2),P(3),\dots</math>सब पकड़। अनौपचारिक रूपक इस तकनीक को समझाने में मदद करते हैं, जैसे डोमिनोज़ गिरना या सीढ़ी चढ़ना:
 {{quote
-|text=Mathematical induction proves that we can climb as high as we like on a ladder, by proving that we can climb onto the bottom rung (the '''basis''') and that from each rung we can climb up to the next one (the '''step''').
+|text=गणितीय प्रेरण यह साबित करता है कि हम सीढ़ी पर जितना चाहें उतना ऊपर चढ़ सकते हैं, यह साबित करके कि हम निचले पायदान (''आधार'') पर चढ़ सकते हैं और प्रत्येक पायदान से हम अगले पायदान पर चढ़ सकते हैं ( कदम''')।
-|source=''[[Concrete Mathematics]]'', page 3 margins.
+|source=''[[ठोस गणित]]'', पेज 3 मार्जिन।
 }}
-प्रेरण द्वारा एक सबूत में दो मामले होते हैं। पहला, आधार मामला, के लिए कथन को सिद्ध करता है <math>n=0</math> अन्य मामलों के ज्ञान के बिना। दूसरा मामला, प्रेरण चरण, यह साबित करता है कि ''यदि'' कथन किसी दिए गए मामले के लिए मान्य है <math>n=k</math>, तो इसे अगले मामले के लिए भी लागू होना चाहिए <math>n=k+1</math>. ये दो चरण स्थापित करते हैं कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए लागू होता है <math>n</math>. आधार मामला आवश्यक रूप से शुरू नहीं होता है <math>n=0</math>, लेकिन अक्सर साथ <math>n=1</math>, और संभवतः किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के साथ <math>n=N</math>, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए कथन की सत्यता स्थापित करना <math>n\geq N</math>.
+प्रेरण द्वारा प्रमाण में दो स्थितिया होती हैं। पहला, आधार स्थिति, के लिए कथन को सिद्ध करता है <math>n=0</math> अन्य स्थितियों के ज्ञान के बिना दूसरा स्थिति, प्रेरण चरण, यह सिद्ध करता है कि ''यदि'' कथन किसी दिए गए स्थितियों के लिए मान्य है <math>n=k</math>, तब इसे अगले स्थितियों के लिए भी प्रयुक्त होना चाहिए <math>n=k+1</math>. यह दो चरण स्थापित करते हैं कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए प्रयुक्त होता है <math>n</math>. आधार स्थिति आवश्यक रूप से प्रारंभ नहीं होता है <math>n=0</math>, किन्तु प्रायः साथ <math>n=1</math>, और संभवतः किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के साथ <math>n=N</math>, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए कथन की सत्यता स्थापित करना <math>n\geq N</math> होता है ।
-अधिक सामान्य अच्छी तरह से स्थापित संरचनाओं, जैसे वृक्ष (सेट सिद्धांत); यह सामान्यीकरण, जिसे [[संरचनात्मक प्रेरण]] के रूप में जाना जाता है, का उपयोग [[गणितीय तर्क]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] में किया जाता है। इस विस्तारित अर्थ में गणितीय आगमन पुनरावर्तन से निकटता से संबंधित है। गणितीय आगमन एक [[अनुमान नियम]] है जिसका उपयोग [[औपचारिक प्रमाण]]ों में किया जाता है, और यह कंप्यूटर प्रोग्रामों के लिए अधिकांश [[शुद्धता (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रमाणों का आधार है।<ref>
+अधिक सामान्य अच्छी प्रकार से स्थापित संरचनाओं, जैसे वृक्ष (समुच्चय सिद्धांत); यह सामान्यीकरण, जिसे [[संरचनात्मक प्रेरण]] के रूप में जाना जाता है, इसका उपयोग [[गणितीय तर्क]] और [[कंप्यूटर विज्ञान]] में किया जाता है। इस विस्तारित अर्थ में गणितीय आगमन पुनरावर्तन से निकटता से संबंधित है। गणितीय आगमन [[अनुमान नियम]] है जिसका उपयोग [[औपचारिक प्रमाण]] में किया जाता है, और यह कंप्यूटर प्रोग्रामों के लिए अधिकांश [[शुद्धता (कंप्यूटर विज्ञान)]] प्रमाणों का आधार है।<ref>
 {{cite book
   | last = Anderson
@@ Line 22: / Line 22: @@
   | isbn = 978-0471033950
   }}</ref>
-यद्यपि इसका नाम अन्यथा सुझाव दे सकता है, गणितीय आगमन को आगमनात्मक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि [[दर्शन]]शास्त्र में प्रयोग किया जाता है ([[प्रेरण की समस्या]] देखें)। गणितीय पद्धति एक सामान्य कथन को सिद्ध करने के लिए असीम रूप से कई मामलों की जांच करती है, लेकिन ऐसा वेरिएबल (गणित) को शामिल करने वाली [[निगमनात्मक तर्क]] की एक परिमित श्रृंखला द्वारा करती है। <math>n</math>, जो अपरिमित रूप से अनेक मान ले सकता है।<ref>{{cite web|url=http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/math-ind.htm|title=Mathematical Induction|last=Suber|first=Peter|publisher=Earlham College|access-date=26 March 2011}}</ref>
+यद्यपि इसका नाम अन्यथा सुझाव दे सकता है, गणितीय आगमन को आगमनात्मक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि [[दर्शन]]शास्त्र में प्रयोग किया जाता है ([[प्रेरण की समस्या]] देखें)। गणितीय पद्धति सामान्य कथन को सिद्ध करने के लिए असीम रूप से कुशल स्थितियों की जांच करती है, किन्तु ऐसा चर (गणित) को सम्मिलित करने वाली [[निगमनात्मक तर्क]] की परिमित श्रृंखला द्वारा करती है। <math>n</math>, जो अपरिमित रूप से कुशल मान ले सकता है।<ref>{{cite web|url=http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/math-ind.htm|title=Mathematical Induction|last=Suber|first=Peter|publisher=Earlham College|access-date=26 March 2011}}</ref>
+== इतिहास ==
+ई.पू. में, [[प्लेटो]] के [[परमेनाइड्स (संवाद)]] में निहित आगमनात्मक प्रमाण के प्रारंभिक उदाहरण के निशान सम्मिलित हो सकते हैं।{{sfn|Acerbi|2000}} इसके विपरीत पुनरावृत्त विधि , ऊपर की अतिरिक्त नीचे की ओर गिनना, सॉराइट्स विरोधाभास में पाया जाता है, जहां यह तर्क दिया गया था कि यदि रेत के 1,000,000 दाने ढेर बनाते हैं, और ढेर से दाने को हटाने से यह ढेर बन जाता है, तब रेत का दाना (या कोई दाना भी नहीं) ढेर बनाता है।{{sfn|Hyde|Raffman|2018}}
-== इतिहास ==
+गणितीय आगमन द्वारा सबसे पहला अंतर्निहित प्रमाण [[गेराज]] द्वारा 1000 ईस्वी के आसपास लिखे गए अल-फखरी में है, जिन्होंने पास्कल के त्रिकोण के [[द्विपद प्रमेय]] और गुणों को सिद्ध करने के लिए इसे [[अंकगणितीय प्रगति]] पर प्रयुक्त किया।{{sfn|Rashed|1994|pp=62–84}}<ref>[https://books.google.com/books?id=HGMXCgAAQBAJ&pg=PA193 Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices] "The earliest implicit proof by mathematical induction was given around 1000 in a work by the Persian mathematician Al-Karaji"</ref>
-ई.पू. में, [[प्लेटो]] के [[परमेनाइड्स (संवाद)]] में निहित आगमनात्मक प्रमाण के एक प्रारंभिक उदाहरण के निशान शामिल हो सकते हैं।{{sfn|Acerbi|2000}} एक विपरीत पुनरावृत्त तकनीक, ऊपर की बजाय नीचे की ओर गिनना, सॉराइट्स विरोधाभास में पाया जाता है, जहां यह तर्क दिया गया था कि यदि रेत के 1,000,000 दाने एक ढेर बनाते हैं, और एक ढेर से एक दाने को हटाने से यह एक ढेर बन जाता है, तो रेत का एक दाना (या कोई दाना भी नहीं) एक ढेर बनाता है।{{sfn|Hyde|Raffman|2018}}
+जैसा कि काट्ज़ कहते हैं {{quote|text=अल-कराजी द्वारा प्रस्तुत किया गया और अल-सामावल और अन्य लोगों द्वारा जारी रखा गया एक और महत्वपूर्ण विचार कुछ अंकगणितीय अनुक्रमों से निपटने के लिए आगमनात्मक तर्क था। इस प्रकार अल-कराजी ने [[आर्यभट्ट]] को पहले से ही ज्ञात अभिन्न घनों के योग पर परिणाम साबित करने के लिए इस तरह के तर्क का उपयोग किया, हालांकि, अल-कराजी ने मनमाने ढंग से ''एन'' के लिए एक सामान्य परिणाम नहीं बताया। . उन्होंने विशेष पूर्णांक 10 के लिए अपना प्रमेय बताया [...] उनका प्रमाण, फिर भी, स्पष्ट रूप से किसी अन्य पूर्णांक तक विस्तार योग्य होने के लिए डिज़ाइन किया गया था। [...] अल-करजी के तर्क में संक्षेप में प्रेरण द्वारा आधुनिक तर्क के दो बुनियादी घटक शामिल हैं, अर्थात् ''n'' = 1 (1 = 1<sup>3<) के लिए कथन का [[सत्य]] /sup>) और ''n'' = ''k'' से ''n'' = ''k'' के लिए सत्य की व्युत्पत्ति - 1. बेशक, यह दूसरा घटक स्पष्ट नहीं है क्योंकि, कुछ अर्थों में, अल-काराजी का तर्क उलटा है; यानी, वह ''n'' = 10 से शुरू करता है और ऊपर की ओर बढ़ने के बजाय नीचे 1 तक जाता है। फिर भी, ''अल-फखरी'' में उनका तर्क [[वर्ग त्रिकोणीय संख्या|पूर्णांक घनों का योग सूत्र]] का सबसे पुराना प्रमाण है।<ref>काट्ज़ (1998), पृष्ठ। 255</ref>}}
-गणितीय आगमन द्वारा सबसे पहला अंतर्निहित प्रमाण [[गेराज]] द्वारा 1000 ईस्वी के आसपास लिखे गए अल-फखरी में है, जिन्होंने पास्कल के त्रिकोण के [[द्विपद प्रमेय]] और गुणों को साबित करने के लिए इसे [[अंकगणितीय प्रगति]] पर लागू किया।{{sfn|Rashed|1994|pp=62–84}}<ref>[https://books.google.com/books?id=HGMXCgAAQBAJ&pg=PA193 Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices] "The earliest implicit proof by mathematical induction was given around 1000 in a work by the Persian mathematician Al-Karaji"</ref>
-जैसा कि काट्ज़ कहते हैं {{quote|text=Another important idea introduced by al-Karaji and continued by al-Samaw'al and others was that of an inductive argument for dealing with certain arithmetic sequences. Thus al-Karaji used such an argument to prove the result on the sums of integral cubes already known to [[Aryabhata]] [...] Al-Karaji did not, however, state a general result for arbitrary ''n''. He stated his theorem for the particular integer 10 [...] His proof, nevertheless, was clearly designed to be extendable to any other integer. [...] Al-Karaji's argument includes in essence the two basic components of a modern argument by induction, namely the [[truth]] of the statement for ''n'' = 1 (1 = 1<sup>3</sup>) and the deriving of the truth for ''n'' = ''k'' from that of ''n'' = ''k'' - 1. Of course, this second component is not explicit since, in some sense, al-Karaji's argument is in reverse; this is, he starts from ''n'' = 10 and goes down to 1 rather than proceeding upward. Nevertheless, his argument in ''al-Fakhri'' is the earliest extant proof of [[Squared triangular number|the sum formula for integral cubes]].<ref>Katz (1998), p. 255</ref>}}
 भारत में, भास्कर द्वितीय की [[चक्रवला विधि]] में गणितीय आगमन द्वारा प्रारंभिक अंतर्निहित प्रमाण दिखाई देते हैं।<ref name="Induction Bussey">{{harvp|Cajori|1918|p=197|ps=: 'The process of reasoning called "Mathematical Induction" has had several independent origins. It has been traced back to the Swiss Jakob (James) Bernoulli, the Frenchman B. Pascal and P. Fermat, and the Italian F. Maurolycus. [...] By reading a little between the lines one can find traces of mathematical induction still earlier, in the writings of the Hindus and the Greeks, as, for instance, in the "cyclic method" of Bhaskara, and in Euclid's proof that the number of primes is infinite.'}}</ref>
-हालांकि, इन प्राचीन गणितज्ञों में से किसी ने भी आगमन परिकल्पना को स्पष्ट रूप से नहीं बताया। इसी तरह का एक और मामला (वैका ने जो लिखा है, उसके विपरीत, जैसा कि फ्रायडेंथल ने ध्यान से दिखाया है){{sfn|Rashed|1994|p=62}} [[फ्रांसिस मौरोलिको]] की अपनी अरिथमेटिकोरम लिब्री डुओ (1575) में थी, जिसने यह साबित करने के लिए तकनीक का इस्तेमाल किया था कि पहले n [[समता (गणित)]] [[पूर्णांक]]ों का योग n है<sup>2</उप>।
-इंडक्शन का सबसे पहला कठोर #गणितीय_प्रमाण उपयोग [[गर्सोनाइडेस]] (1288-1344) द्वारा किया गया था।{{sfn|Simonson|2000}}{{sfn|Rabinovitch|1970}} इंडक्शन के सिद्धांत का पहला स्पष्ट सूत्रीकरण [[ब्लेस पास्कल]] ने अपने ट्रेटे डु त्रिकोण अंकगणित (1665) में दिया था। एक अन्य फ्रांसीसी, [[पियरे डी फर्मेट]] ने संबंधित सिद्धांत का पर्याप्त उपयोग किया: [[अनंत वंश]] द्वारा अप्रत्यक्ष प्रमाण।
-प्रेरण परिकल्पना को स्विस [[जैकब बर्नौली]] द्वारा भी नियोजित किया गया था, और तभी से यह अच्छी तरह से जाना जाने लगा। सिद्धांत का आधुनिक औपचारिक उपचार केवल 19वीं शताब्दी में [[जॉर्ज बूले]] के साथ आया,<ref>"It is sometimes required to prove a theorem which shall be true whenever a certain quantity ''n'' which it involves shall be an integer or whole number and the method of proof is usually of the following kind. ''1st''. The theorem is proved to be true when&nbsp;''n''&nbsp;=&nbsp;1. ''2ndly''. It is proved that if the theorem is true when ''n'' is a given whole number, it will be true if ''n'' is the next greater integer. Hence the theorem is true universally. … This species of argument may be termed a continued ''[[Polysyllogism|sorites]]''" (Boole c. 1849 ''Elementary Treatise on Logic not mathematical'' pp. 40–41 reprinted in [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness, Ivor]] and Bornet, Gérard (1997), ''George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy'', Birkhäuser Verlag, Berlin, {{isbn|3-7643-5456-9}})</ref> [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]], [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]],{{sfn|Peirce|1881}}{{sfn|Shields|1997}} [[जोसेफ पीनो]], और [[रिचर्ड डेडेकिंड]]।<ref name="Induction Bussey"/>
+चूंकि , इन प्राचीन गणितज्ञों में से किसी ने भी आगमन परिकल्पना को स्पष्ट रूप से नहीं बताया। इसी प्रकार का और स्थिति (वैका ने जो लिखा है, उसके विपरीत, जैसा कि फ्रायडेंथल ने ध्यान से दिखाया है){{sfn|Rashed|1994|p=62}} [[फ्रांसिस मौरोलिको]] की अपनी अरिथमेटिकोरम लिब्री डुओ (1575) में थी, जिसने यह सिद्ध करने के लिए विधि का उपयोग किया था कि पहले n [[समता (गणित)]] [[पूर्णांक]] का योग ''n''<sup>2</sup> है।
+गणितीय आगमन का सबसे पहला कठोर गणितीय प्रमाण उपयोग [[गर्सोनाइडेस]] (1288-1344) द्वारा किया गया था।{{sfn|Simonson|2000}}{{sfn|Rabinovitch|1970}} गणितीय आगमन के सिद्धांत का पहला स्पष्ट सूत्रीकरण [[ब्लेस पास्कल]] ने अपने ट्रेटे डु त्रिकोण अंकगणित (1665) में दिया था। अन्य फ्रांसीसी, [[पियरे डी फर्मेट]] ने संबंधित सिद्धांत का पर्याप्त उपयोग किया: [[अनंत वंश]] द्वारा अप्रत्यक्ष प्रमाण होता है ।
+प्रेरण परिकल्पना को स्विस [[जैकब बर्नौली]] द्वारा भी नियोजित किया गया था, और तभी से यह अच्छी प्रकार से जाना जाने लगा। सिद्धांत का आधुनिक औपचारिक उपचार केवल 19वीं शताब्दी में [[जॉर्ज बूले]] के साथ आया,<ref>"It is sometimes required to prove a theorem which shall be true whenever a certain quantity ''n'' which it involves shall be an integer or whole number and the method of proof is usually of the following kind. ''1st''. The theorem is proved to be true when&nbsp;''n''&nbsp;=&nbsp;1. ''2ndly''. It is proved that if the theorem is true when ''n'' is a given whole number, it will be true if ''n'' is the next greater integer. Hence the theorem is true universally. … This species of argument may be termed a continued ''[[Polysyllogism|sorites]]''" (Boole c. 1849 ''Elementary Treatise on Logic not mathematical'' pp. 40–41 reprinted in [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness, Ivor]] and Bornet, Gérard (1997), ''George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy'', Birkhäuser Verlag, Berlin, {{isbn|3-7643-5456-9}})</ref> [[ऑगस्टस डी मॉर्गन]], [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]],{{sfn|Peirce|1881}}{{sfn|Shields|1997}} [[जोसेफ पीनो]], और [[रिचर्ड डेडेकिंड]]।<ref name="Induction Bussey"/>
 == विवरण ==
-गणितीय आगमन का सबसे सरल और सबसे सामान्य रूप अनुमान लगाता है कि एक कथन जिसमें एक प्राकृतिक संख्या शामिल है {{mvar|n}} (यानी एक पूर्णांक {{math|''n'' ≥ 0}} या 1) के सभी मूल्यों के लिए धारण करता है {{mvar|n}}. प्रमाण में दो चरण होते हैं:
+गणितीय आगमन का सबसे सरल और सबसे सामान्य रूप अनुमान लगाता है कि कथन जिसमें प्राकृतिक संख्या सम्मिलित है {{mvar|n}} (अर्थात पूर्णांक {{math|''n'' ≥ 0}} या 1) के सभी मूल्यों के लिए धारण करता है {{mvar|n}}. प्रमाण में दो चरण होते हैं:
-# {{anchor|base case}}आधार मामला (या प्रारंभिक मामला): सिद्ध करें कि कथन 0 या 1 के लिए है।
+# आधार स्थिति (या प्रारंभिक स्थिति): सिद्ध करें कि कथन 0 या 1 के लिए है।
-# {{anchor|induction step}}प्रेरण कदम (या आगमनात्मक कदम, या कदम का मामला): साबित करें कि हर के लिए {{mvar|n}}, यदि कथन के लिए है {{mvar|n}}, तो यह धारण करता है {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}}. दूसरे शब्दों में, मान लें कि बयान कुछ मनमानी प्राकृतिक संख्या के लिए है {{mvar|n}}, और साबित करें कि कथन के लिए है {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}}.
+# प्रेरण कदम (या आगमनात्मक कदम, या कदम का स्थिति): सिद्ध करें कि हर के लिए {{mvar|n}}, यदि कथन के लिए है {{mvar|n}}, तब यह धारण करता है {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}} दूसरे शब्दों में, मान लें कि कथन कुछ मनमानी प्राकृतिक संख्या के लिए है {{mvar|n}}, और {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}} सिद्ध करें कि कथन के लिए है ।
-प्रेरण चरण में परिकल्पना, कि कथन किसी विशेष के लिए धारण करता है {{mvar|n}}, प्रेरण परिकल्पना या आगमनात्मक परिकल्पना कहलाती है। इंडक्शन स्टेप को साबित करने के लिए, इंडक्शन परिकल्पना को मान लिया जाता है {{mvar|n}} और फिर इस धारणा का उपयोग यह साबित करने के लिए करता है कि कथन के लिए है {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}}.
+प्रेरण चरण में परिकल्पना, {{mvar|n}} कि कथन किसी विशेष के लिए धारण करता है, प्रेरण परिकल्पना या आगमनात्मक परिकल्पना कहलाती है। गणितीय आगमन स्टेप को सिद्ध करने के लिए, गणितीय आगमन परिकल्पना को मान लिया जाता है {{mvar|n}} और {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}} फिर इस धारणा का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए करता है कि कथन के लिए है।
-लेखक जो प्राकृतिक संख्याओं को 0 से शुरू करने के लिए परिभाषित करना पसंद करते हैं, आधार मामले में उस मान का उपयोग करते हैं; जो 1 से शुरू होने वाली प्राकृत संख्याओं को परिभाषित करते हैं वे उस मान का उपयोग करते हैं।
+लेखक जो प्राकृतिक संख्याओं को 0 से प्रारंभ करने के लिए परिभाषित करना पसंद करते हैं, आधार स्थितियों में उस मान का उपयोग करते हैं; जो 1 से प्रारंभ होने वाली प्राकृत संख्याओं को परिभाषित करते हैं वे उस मान का उपयोग करते हैं।
 == उदाहरण ==
@@ Line 51: / Line 50: @@
 सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए निम्नलिखित कथन P(n) को सिद्ध करने के लिए गणितीय आगमन का उपयोग किया जा सकता है।
 : <math>P(n)\!:\ \ 0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.</math>
-यह दी गई संख्या से कम या उसके बराबर प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए एक सामान्य सूत्र बताता है; वास्तव में बयानों का एक अनंत क्रम: <math>0 = \tfrac{(0)(0+1)}2</math>, <math>0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2</math>, <math>0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2</math>, आदि।
+यह दी गई संख्या से कम या उसके सामान्तर प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए सामान्य सूत्र बताता है; वास्तव में कथनों का अनंत क्रम: <math>0 = \tfrac{(0)(0+1)}2</math>, <math>0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2</math>, <math>0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2</math>, आदि।
-<u>प्रस्ताव।</u> प्रत्येक के लिए <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math>
+<u>प्रस्ताव:-</u> प्रत्येक के लिए <math>n\in\mathbb{N}</math>, <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math>
-सबूत। मान लीजिए ''P''(''n'') कथन है <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math> हम n पर आगमन द्वारा उपपत्ति देते हैं।
-आधार मामला: दिखाएँ कि कथन सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n = 0 के लिए है।
+प्रमाण:-  मान लीजिए ''P''(''n'') कथन है <math>0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.</math> हम n पर आगमन द्वारा उपपत्ति देते हैं।
-पी (0) स्पष्ट रूप से सच है: <math>0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2}\,.</math>
+आधार स्थिति: दिखाएँ कि कथन सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n = 0 के लिए है।
-प्रेरण चरण: दिखाएँ कि प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, यदि P(k) धारण करता है, तो P(k + 1) भी धारण करता है।
-प्रेरण परिकल्पना मान लें कि किसी विशेष k के लिए, एकल मामला n = k धारण करता है, जिसका अर्थ है P(k) सत्य है:<blockquote><math>0 + 1 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}2.</math></blockquote>यह इस प्रकार है:
+P (0) स्पष्ट रूप से सच है: <math>0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2}\,.</math>
+प्रेरण चरण: दिखाएँ कि प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, यदि P(k) धारण करता है, तब P(k + 1) भी धारण करता है।
+प्रेरण परिकल्पना मान लें कि किसी विशेष k के लिए, एकल स्थिति n = k धारण करता है, जिसका अर्थ है P(k) सत्य है:<blockquote><math>0 + 1 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}2.</math></blockquote>यह इस प्रकार है:
 : <math>(0 + 1 + 2 + \cdots + k )+ (k+1) = \frac{k(k+1)}2 + (k+1).</math>
-[[बीजगणित]]ीय रूप से, दाहिने हाथ की ओर सरल करता है:
+[[बीजगणित]]य रूप से, दाहिने हाथ की ओर सरल करता है:
 : <math>\begin{align}
 \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) &= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \\
@@ Line 69: / Line 70: @@
 &= \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}.
 \end{align}</math>
-चरम बाएँ और दाएँ पक्ष की बराबरी करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:<blockquote><math>0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}2.</math></blockquote>अर्थात्, कथन P(k + 1) भी सत्य है, जो प्रेरण चरण की स्थापना करता है।
+चरम बाएँ और दाएँ पक्ष की सामान्तरी करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:<blockquote><math>0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}2.</math></blockquote>अर्थात्, कथन P(k + 1) भी सत्य है, जो प्रेरण चरण की स्थापना करता है।
-निष्कर्ष: चूँकि बेस केस और इंडक्शन स्टेप दोनों ही सही साबित हुए हैं, गणितीय इंडक्शन द्वारा स्टेटमेंट P(n) हर प्राकृतिक संख्या n के लिए है। क्यू.ई.डी.|∎
+निष्कर्ष: चूँकि बेस केस और गणितीय आगमन दोनों ही सही सिद्ध हुए हैं, गणितीय आगमन द्वारा स्टेटमेंट P(n) हर प्राकृतिक संख्या n के लिए है। क्यू.ई.डी.।∎
-=== एक त्रिकोणमितीय असमानता ===
+=== त्रिकोणमितीय असमानता ===
-इंडक्शन का उपयोग अक्सर [[असमानता (गणित)]] को साबित करने के लिए किया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, हम यह साबित करते हैं <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>x</math> और प्राकृतिक संख्या <math>n</math>.
+गणितीय आगमन का उपयोग प्रायः [[असमानता (गणित)]] को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के रूप में, हम यह सिद्ध करते हैं <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>x</math> और प्राकृतिक संख्या <math>n</math>.
-पहली नज़र में, ऐसा प्रतीत हो सकता है कि एक अधिक सामान्य संस्करण, <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी वास्तविक संख्या के लिए <math>n,x</math>, प्रेरण के बिना सिद्ध किया जा सकता है; लेकिन मामला <math display="inline">n=\frac{1}{2},\, x=\pi</math> दिखाता है कि के गैर-पूर्णांक मानों के लिए यह असत्य हो सकता है <math>n</math>. इससे पता चलता है कि हम विशेष रूप से के प्राकृतिक मूल्यों के लिए बयान की जांच करते हैं <math>n</math>, और प्रेरण सबसे आसान उपकरण है।
+पहली नज़र में, ऐसा प्रतीत हो सकता है कि अधिक सामान्य संस्करण, <math>|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|</math> किसी भी वास्तविक संख्या के लिए <math>n,x</math>, प्रेरण के बिना सिद्ध किया जा सकता है; किन्तु स्थिति <math display="inline">n=\frac{1}{2},\, x=\pi</math> दिखाता है कि के गैर-पूर्णांक मानों के लिए यह असत्य हो सकता है <math>n</math>. इससे पता चलता है कि हम विशेष रूप से के प्राकृतिक मूल्यों के लिए कथन की जांच करते हैं <math>n</math>, और प्रेरण सबसे आसान उपकरण है।
 <u>प्रस्ताव।</u> किसी के लिए भी <math>x \in \mathbb{R}</math> और <math>n \in \mathbb{N}</math>, <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>.
-सबूत। एक मनमाना वास्तविक संख्या तय करें <math>x</math>, और जाने <math>P(n)</math> बयान हो <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>. हम शामिल करते हैं <math>n</math>.
+प्रमाण। मनमाना वास्तविक संख्या तय करें <math>x</math>, और जाने <math>P(n)</math> कथन हो <math>|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|</math>. हम सम्मिलित करते हैं <math>n</math>.
-आधार मामला: गणना <math>|\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x|</math> पुष्टि करता है <math>P(0)</math>.
+आधार स्थिति: गणना <math>|\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x|</math> पुष्टि करता है <math>P(0)</math>.
-प्रेरण कदम: हम [[निहितार्थ (तर्क)]] दिखाते हैं <math>P(k) \implies P(k+1)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>k</math>. प्रेरण परिकल्पना मानें: किसी दिए गए मान के लिए <math>n = k \geq 0</math>, एकल मामला <math>P(k)</math> क्या सच है। [[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची]] और निरपेक्ष मान#वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:
+प्रेरण कदम: हम [[निहितार्थ (तर्क)]] दिखाते हैं <math>P(k) \implies P(k+1)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>k</math>. प्रेरण परिकल्पना मानें: किसी दिए गए मान के लिए <math>n = k \geq 0</math>, एकल स्थिति <math>P(k)</math> क्या सच है। [[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची]] और निरपेक्ष मान#वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:
 : <math>\begin{array}{rcll}
 |\!\sin(k+1)x|
@@ Line 99: / Line 100: @@
 &= & (k+1)\,|\!\sin x|. &
 \end{array}</math>
-चरम बाएँ और दाएँ हाथ की मात्राओं के बीच असमानता यह दर्शाती है <math>P(k+1)</math> सत्य है, जो प्रेरण चरण को पूरा करता है।
+चरम बाएँ और दाएँ हाथ की मात्राओं के मध्य असमानता यह दर्शाती है <math>P(k+1)</math> सत्य है, जो प्रेरण चरण को पूरा करता है।
 निष्कर्ष: प्रस्ताव <math>P(n)</math> सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है <math>n</math>. ∎
 == वेरिएंट ==
-{{no footnotes|section|date=July 2013}}
+व्यवहार में, गणितीय आगमन द्वारा प्रूफ को प्रायः अलग प्रकार से संरचित किया जाता है, जो कि सिद्ध की जाने वाली संपत्ति की सटीक प्रकृति पर निर्भर करता है।
-व्यवहार में, इंडक्शन द्वारा प्रूफ को अक्सर अलग तरह से संरचित किया जाता है, जो कि सिद्ध की जाने वाली संपत्ति की सटीक प्रकृति पर निर्भर करता है।
-इंडक्शन के सभी प्रकार [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन]] के विशेष मामले हैं; #ट्रांसफिनिट इंडक्शन देखें।
-=== 0 या 1 === के अलावा बेस केस
+गणितीय आगमन के सभी प्रकार [[ट्रांसफिनिट इंडक्शन|ट्रांसफिनिट गणितीय आगमन]] के विशेष स्थितियों हैं; #ट्रांसफिनिट गणितीय आगमन देखें गए हैं ।
-यदि कोई कथन सिद्ध करना चाहता है, तो सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल सभी संख्याओं के लिए {{mvar|n}} किसी निश्चित संख्या से अधिक या उसके बराबर {{mvar|b}}, तो प्रेरण द्वारा प्रमाण में निम्नलिखित शामिल हैं:
-# दिखा रहा है कि बयान कब धारण करता है {{math|1=''n'' = ''b''}}.
-# दिखा रहा है कि यदि कथन मनमाना संख्या के लिए है {{math|''n'' ≥ ''b''}}, तो वही कथन भी मान्य है {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}}.
-इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए किया जा सकता है {{math|2<sup>''n''</sup> ≥ ''n'' + 5}} के लिए {{math|''n'' ≥ 3}}.
-इस प्रकार, कोई उस कथन को सिद्ध कर सकता है {{math|''P''(''n'')}} सभी के लिए रखता है {{math|''n'' ≥ 1}}, या सभी के लिए भी {{math|''n'' ≥ −5}}. गणितीय आगमन का यह रूप वास्तव में पिछले रूप का एक विशेष मामला है, क्योंकि यदि कथन को सिद्ध किया जाना है {{math|''P''(''n'')}} तो इन दो नियमों के साथ इसे साबित करना साबित करने के बराबर है {{math|''P''(''n'' + ''b'')}} सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए {{mvar|n}} इंडक्शन बेस केस के साथ {{math|0}}.<ref>Ted Sundstrom, ''Mathematical Reasoning'', p. 190, Pearson, 2006, {{isbn|978-0131877184}}</ref>
+=== 0 या 1 === के अतिरिक्त बेस केस
+यदि कोई कथन सिद्ध करना चाहता है, तब सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, किंतु केवल सभी संख्याओं के लिए {{mvar|n}} किसी निश्चित संख्या से अधिक या उसके सामान्तर {{mvar|b}}, तब प्रेरण द्वारा प्रमाण में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
+# दिखा रहा है कि कथन कब धारण करता है {{math|1=''n'' = ''b''}}.
+# दिखा रहा है कि यदि कथन मनमाना संख्या के लिए है {{math|''n'' ≥ ''b''}}, तब वही कथन भी मान्य है {{math|''n''&nbsp;+&thinsp;1}}.
+इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए किया जा सकता है {{math|2<sup>''n''</sup> ≥ ''n'' + 5}} के लिए {{math|''n'' ≥ 3}}.
+इस प्रकार, कोई उस कथन को सिद्ध कर सकता है {{math|''P''(''n'')}} सभी के लिए रखता है {{math|''n'' ≥ 1}}, या सभी के लिए भी {{math|''n'' ≥ −5}}. गणितीय आगमन का यह रूप वास्तव में पिछले रूप का विशेष स्थिति है, क्योंकि यदि कथन को सिद्ध किया जाना है {{math|''P''(''n'')}} तब इन दो नियमों के साथ इसे सिद्ध करना सिद्ध करने के सामान्तर है {{math|''P''(''n'' + ''b'')}} सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए {{mvar|n}} गणितीय आगमन बेस केस के साथ {{math|0}}.<ref>Ted Sundstrom, ''Mathematical Reasoning'', p. 190, Pearson, 2006, {{isbn|978-0131877184}}</ref> होता है।
 ==== उदाहरण: सिक्कों द्वारा डॉलर की राशि बनाना ====
-- और 5-डॉलर के सिक्कों की अनंत आपूर्ति मान लें। इंडक्शन का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि डॉलर की कोई भी पूरी राशि इससे अधिक या बराबर है {{math|12}} ऐसे सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। होने देना {{math|''S''(''k'')}} कथन को निरूपित करें{{mvar|k}} डॉलर को 4- और 5-डॉलर के सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। इसका प्रमाण {{math|''S''(''k'')}} सभी के लिए सत्य है {{math|''k'' ≥ 12}} फिर प्रेरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है {{mvar|k}} निम्नलिखित नुसार:
+- और 5-डॉलर के सिक्कों की अनंत आपूर्ति मान लें। गणितीय आगमन का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि डॉलर की कोई भी पूरी राशि इससे अधिक या सामान्तर है {{math|12}} ऐसे सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। होने देना {{math|''S''(''k'')}} कथन को निरूपित करें{{mvar|k}} डॉलर को 4- और 5-डॉलर के सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। इसका प्रमाण {{math|''S''(''k'')}} सभी के लिए सत्य है {{math|''k'' ≥ 12}} फिर प्रेरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है {{mvar|k}} निम्नलिखित नुसार: