अभाज्य-गणना फलन: Difference between revisions
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गणित में, '''अभाज्य-गणना फलन''' वह फलन (गणित) है जो किसी [[वास्तविक संख्या]] ''x'' से कम या उसके समान [[अभाज्य संख्या]]ओं की संख्या की गणना करता है।<ref name="Bach">{{cite book |first=Eric |last=Bach |author2=Shallit, Jeffrey |year=1996 |title=Algorithmic Number Theory |publisher=MIT Press |isbn=0-262-02405-5 |pages=volume 1 page 234 section 8.8 |no-pp=true}}</ref><ref name="mathworld_pcf">{{MathWorld |title=Prime Counting Function |urlname=PrimeCountingFunction}}</ref> इसे {{pi}}(x) (संख्या {{pi}} से असंबंधित ) द्वारा दर्शाया जाता है. | |||
गणित में, अभाज्य-गणना फलन वह फलन (गणित) है जो किसी [[वास्तविक संख्या]] ''x'' से कम या उसके | |||
[[Image:PrimePi.svg|thumb|right|400px|के मान {{pi}}(एन) पहले 60 | [[Image:PrimePi.svg|thumb|right|400px|के मान {{pi}}(एन) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए]] | ||
== विकास दर == | == विकास दर == | ||
{{main| | {{main|अभाज्य संख्या प्रमेय}} | ||
[[संख्या सिद्धांत]] में बहुत रुचि प्रधान-गणना | [[संख्या सिद्धांत]] में बहुत रुचि प्रधान-गणना फलन का [[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]] है।<ref name="Caldwell">{{cite web | publisher=Chris K. Caldwell | title=How many primes are there? | url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml | access-date=2008-12-02 | archive-date=2012-10-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20121015002415/http://primes.utm.edu/howmany.shtml | url-status=dead }}</ref><ref name="Dickson">{{cite book |author-link=L. E. Dickson| first=Leonard Eugene | last=Dickson | year=2005 | title=History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality | publisher=Dover Publications | isbn=0-486-44232-2}}</ref> और 18वीं शताब्दी के अंत में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] और [[एड्रियन मैरी लीजेंड्रे]] द्वारा [[अनुमान]] लगाया गया था कि यह लगभग होना चाहिए। | ||
<math display=block> \frac x {\log(x)} </math> | <math display=block> \frac x {\log(x)} </math> | ||
जहाँ | जहाँ लॉग [[प्राकृतिक]] लघुगणक है, इस अर्थ में कि | ||
<math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1. </math> | <math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1. </math> | ||
यह कथन [[प्रधान संख्या प्रमेय]] है। समतुल्य कथन है | यह कथन [[प्रधान संख्या प्रमेय]] है। समतुल्य कथन है | ||
<math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1</math> | <math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1</math> | ||
जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को | इस प्रकार से जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रथम समय 1896 में [[जैक्स हैडमार्ड]] और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डे ला वेली पॉसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में [[बर्नहार्ड रीमैन]] द्वारा प्रस्तुत किए गए [[रीमैन जीटा फलन|रीमैन ज़ेटा फलन]] के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या [[सम्मिश्र विश्लेषण]] का उपयोग 1948 के चारों-ओर [[एटले सेलबर्ग]] और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।<ref name="Ireland">{{cite book | first=Kenneth | last=Ireland |author2=Rosen, Michael | year=1998 | title=A Classical Introduction to Modern Number Theory | edition=Second | publisher=Springer | isbn=0-387-97329-X }}</ref> | ||
=== अधिक स्पष्ट अनुमान === | |||
1899 में,चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन ने यह सिद्ध किया | |||
<ref>See also Theorem 23 of {{cite book |author = A. E. Ingham |author-link = Albert Ingham |title = The Distribution of Prime Numbers |date=2000 |publisher = Cambridge University Press |isbn=0-521-39789-8}}</ref> | |||
<math display="block">\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty</math> | |||
कुछ धनात्मक स्थिरांक के लिए a. जहाँ , ''O''(...) उच्च ''O'' अंकन है। | |||
का अधिक स्पष्ट अनुमान <math>\pi(x)\!</math> अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, [[केविन फोर्ड (गणितज्ञ)]] ने यह सिद्ध कर दिया<ref name="Ford">{{cite journal |author = Kevin Ford |title=Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function |journal=Proc. London Math. Soc. |date=November 2002 |volume=85 |issue=3 |pages=565–633 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf |doi=10.1112/S0024611502013655 |arxiv=1910.08209 |s2cid=121144007 }}</ref> | |||
<math display="block">\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right).</math> | |||
<ref> | मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने<ref>{{cite journal | first1 = Michael J. | last1 = Mossinghoff | first2 = Timothy S. | last2 = Trudgian | title = Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function | journal = J. Number Theory | volume = 157 | year = 2015 | pages = 329–349 | arxiv = 1410.3926 | doi = 10.1016/J.JNT.2015.05.010| s2cid = 117968965 }}</ref> <math>\pi(x)</math> और <math>\operatorname{li}(x)</math> के मध्य अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है: | ||
<math display=block>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x | |||
<math display="block">\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)</math> | |||
के लिए <math>x \ge 229</math>. | के लिए <math>x \ge 229</math>. | ||
<math>x</math> के मूल्यों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, <math>\operatorname{li}(x)</math>,<math>\pi(x)</math> से उच्च है हालाँकि . , <math> \pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> अनगिनत बार राशि परिवर्तन के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें। | |||
=== | === स्पष्ट रूप === | ||
<math>x>1</math> के लिए <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> दें जब <math>x</math> एक अभाज्य संख्या हो, और अन्यथा <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> हो। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम ऑन द नंबर ऑफ़ [[किसी दिए गए परिमाण से कम प्राइम्स की संख्या पर|प्राइम्स]] लेस दैन अ गिवेन मैग्निट्यूड में सिद्ध किया कि <math>\pi_0(x)</math> समान है<ref>{{Cite web|url=http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf|title=Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage|last=Hutama|first=Daniel|date=2017|website=Institut des sciences mathématiques}}</ref> | |||
<math display=block>\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),</math> | <math display="block">\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),</math> | ||
जहाँ | |||
<math display=block>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}),</math> | <math display="block">\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}),</math> | ||
{{math|''μ''(''n'')}} मोबियस | {{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फलन है, {{math|li(''x'')}} लघुगणक समाकल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और {{math|li(''x<sup>ρ/n</sup>'')}} शाखा कटौती के साथ मूल्यांकन नहीं किया जाता है किन्तु इसके अतिरिक्त माना जाता है {{math|Ei({{sfrac|''ρ''|''n''}} log ''x'')}} जहाँ {{math|Ei(''x'')}} [[घातीय अभिन्न]] है। यदि नगण्य शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल गैर-नगण्य शून्यों ρ रीमैन ज़ेटा फलन के ऊपर लिया जाता है, तो <math>\pi_0(x)</math> द्वारा अनुमानित किया जा सकता है<ref name="RieselGohl">{{Cite journal | author1-link=Hans Riesel | last1=Riesel | first1=Hans | last2=Göhl | first2=Gunnar | title=Some calculations related to Riemann's prime number formula | doi=10.2307/2004630 | mr=0277489 | year=1970 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=24 | issue=112 | pages=969–983 | jstor=2004630 | publisher=American Mathematical Society |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-112/S0025-5718-1970-0277489-3/S0025-5718-1970-0277489-3.pdf }}</ref> | ||
<math display=block>\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .</math> | <math display="block">\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .</math> | ||
[[रीमैन परिकल्पना]] बताती है कि ऐसा हर गैर- | [[रीमैन परिकल्पना]] बताती है कि ऐसा हर गैर-नगण्य शून्य {{math|1=Re(''s'') = {{sfrac|1|2}}}} के साथ स्थित है . | ||
== | == ''π(x), x / log x,'' और ''li(x)'' की तालिका == | ||
तालिका दिखाती है कि | तालिका दिखाती है कि कैसे तीन फलन {{pi}} (x), ''x /'' लॉग ''x'' और ''li(x)'' की तुलना ''10'' की घातों पर की जाती है।और यह भी देखें,<ref name="Caldwell" /><ref name="Silva">{{cite web |title=Tables of values of pi(x) and of pi2(x) |url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html |publisher=Tomás Oliveira e Silva |access-date=2008-09-14}}</ref> <ref name="Gourdon">{{cite web |title=A table of values of pi(x) |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html |publisher=Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel |access-date=2008-09-14}}</ref> | ||
:{| class="wikitable" style="text-align: right" | :{| class="wikitable" style="text-align: right" | ||
! ''x'' | ! ''x'' | ||
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[[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|प्राइम-काउंटिंग | [[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|प्राइम-काउंटिंग फलन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ {{pi}}(x) इसके दो अनुमानों के लिए, x/लॉग x और Li(x)। जैसे ही x बढ़ता है (ध्यान दें x अक्ष लॉगरिदमिक है), दोनों अनुपात 1 की ओर झुकते हैं। x/लॉग x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे अभिसरित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से अभिसरित होता है।]]पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, {{pi}}(x) स्तंभ अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A006880}}, {{nowrap| {{pi}}(''x'') − ''x''/log ''x''}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057835}}, और {{nowrap|li(''x'') − {{pi}}(''x'')}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057752}}. | ||
{{pi}}(10<sup>24</sup>) के मान की गणना मूल रूप से जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके जे द्वारा गणना की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए की थी।<ref name="Franke">{{cite web |title=Conditional Calculation of pi(10<sup>24</sup>) |url=http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html |publisher=Chris K. Caldwell |access-date=2010-08-03}}</ref> | |||
इसे पश्चात में डीजे प्लैट द्वारा गणना में बिना नियम सत्यापित किया गया था।<ref name="PlattARXIV2012">{{cite arXiv |title=Computing {{pi}}(''x'') Analytically) |eprint=1203.5712|last1= Platt|first1=David J.|class=math.NT|year=2012}}</ref> | |||
इस प्रकार से {{pi}}(10<sup>25</sup>) के मान की गणना जे. बुएथे, जेन्स फ्रांके|जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग के कारण है।<ref name="Buethe">{{cite web |title=How Many Primes Are There? |url=http://www.math.uni-bonn.de/people/jbuethe/topics/AnalyticPiX.html |publisher=J. Buethe |access-date=2015-09-01}}</ref> {{pi}}(10<sup>26</sup>) के मान की गणना गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।<ref name="Staple">{{cite thesis |title=The combinatorial algorithm for computing pi(x) |date=19 August 2015 |url=http://dalspace.library.dal.ca/handle/10222/60524 |publisher=Dalhousie University |access-date=2015-09-01|type=Thesis |last1=Staple |first1=Douglas }}</ref> इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था। | |||
== | 10<sup>27</sup> का मान की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web|website=Mersenne Forum|first=Kim |last=Walisch|title=New confirmed pi(10^27) prime counting function record|date=September 6, 2015|url=http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=20473}}</ref> | ||
10<sup>28</sup> का मान की घोषणा 2020 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Oct 26, 2020 |title=New confirmed pi(10^28) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref> | |||
खोजने का एक और | 10<sup>29</sup> का मान की घोषणा 2022 में डेविड बॉ और किम वालिस्क ने की थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Feb 28, 2022 |title=New confirmed pi(10^29) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref> | ||
== ''π(x)'' के मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम == | |||
यदि <math>x</math> बहुत बड़ा नहीं है तो <math>\pi(x)</math> को खोजने का एक आसान विधि यह है कि , [[एराटोस्थनीज की छलनी|एराटोस्थनीज की सीव]] का उपयोग करके <math>x</math> से कम या उसके समान अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करें और फिर उन्हें गिनने के लिए। | |||
<math>\pi(x)</math> को खोजने का एक अधिक विस्तृत विधि एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया <math>x</math>, यदि <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो <math>x</math> से कम या उसके बराबर पूर्णांकों की संख्या जो किसी भी <math>p_i</math> से विभाज्य नहीं हैं | |||
:<math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j} \left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math> | :<math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j} \left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math> | ||
( | (जहाँ <math>\lfloor{x}\rfloor</math> [[फर्श समारोह|फ़्लोर फलन]] को दर्शाता है)। यह संख्या इसलिए के समान है | ||
:<math>\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1</math> | :<math>\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1</math> | ||
जब संख्याएँ <math>p_1, p_2,\ldots,p_n</math> के वर्गमूल से कम या उसके | जब संख्याएँ <math>p_1, p_2,\ldots,p_n</math> के वर्गमूल से कम या उसके समान <math>x</math> अभाज्य संख्याएँ हैं . | ||
=== मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम === | |||
{{main|मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम}} | |||
इस प्रकार से 1870 और 1885 के मध्य प्रकाशित लेखों की श्रृंखला में, [[अर्न्स्ट मीसेल]] ने मूल्यांकन का व्यावहारिक दहनशील विधि वर्णित (और उपयोग किया) <math>\pi(x)</math>.मान लीजिए कि <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math> प्रथम <math>n</math> अभाज्य है और <math>\Phi(m,n)</math> द्वारा उन प्राकृतिक संख्याओं को निरूपित करता है जो M से अधिक नहीं हैं जो किसी भी <math>i\leq n</math> के लिए <math>p_i</math> में से किसी से भी विभाज्य नहीं हैं। | |||
1870 और 1885 के | |||
: <math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).</math> | : <math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).</math> | ||
प्राकृतिक संख्या <math>m</math> दी गई है , यदि <math>n=\pi\left(\sqrt[3]{m}\right)</math> और यदि <math>\mu = \pi\left(\sqrt{m}\right)-n</math>, तब | |||
: | |||
:<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right).</math> | :<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right).</math> | ||
इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, | : | ||
इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने <math>x</math> के लिए <math>\pi(x)</math> , की गणना 5{{e|5}}, 10<sup>6</sup>, 10<sup>7</sup>, और 10<sup>8</sup> के समान की | |||
1959 में, [[डेरिक हेनरी लेहमर]] ने मीसेल की विधि का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तविक के लिए परिभाषित करें <math>m</math> और प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n</math> और <math>k</math>, <math>P_k(m,n)</math> क्योंकि संख्याओं की संख्या m से अधिक नहीं है, ठीक k अभाज्य कारकों के साथ, सभी से अधिक <math>p_n</math>. इसके | '''1959 में,''' [[डेरिक हेनरी लेहमर]] ने मीसेल की विधि का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तविक के लिए परिभाषित करें <math>m</math> और प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n</math> और <math>k</math>, <math>P_k(m,n)</math> क्योंकि संख्याओं की संख्या m से अधिक नहीं है, ठीक k अभाज्य कारकों के साथ, सभी से अधिक <math>p_n</math>. इसके अतिरिक्त , समुच्चय करें <math>P_0(m,n)=1</math>. तब | ||
:<math>\Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)</math> | :<math>\Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)</math> | ||
जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना <math>y</math> | जहां योग वास्तव में केवल बहुत से अशून्य शब्द हैं। होने देना <math>y</math> पूर्णांक को निरूपित करें जैसे कि <math>\sqrt[3]{m}\le y\le\sqrt{m}</math>, और समुच्चय करें <math>n=\pi(y)</math>. तब <math>P_1(m,n)=\pi(m)-n</math> और <math>P_k(m,n)=0</math> कब <math>k \geq 3</math>. इसलिए, | ||
:<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)</math> | :<math>\pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_2(m,n)</math> | ||
| Line 304: | Line 310: | ||
#<math>\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor</math> | #<math>\Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor</math> | ||
#<math>\Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)</math> | #<math>\Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)</math> | ||
अपनी पद्धति और | अपनी पद्धति और आईबीएम 701 का उपयोग करते हुए, लेहमर के सही मान की गणना करने में सक्षम था <math>\pi\left(10^{9}\right)</math> और का सही मान चूक गए <math>\pi\left(10^{10}\right)</math> द्वारा 1.<ref name="lehmer">{{cite journal |last=Lehmer |first=Derrick Henry |date=April 1, 1958 |title=ON THE EXACT NUMBER OF PRIMES LESS THAN A GIVEN LIMIT |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255455259 |journal=Illinois J. Math. |volume=3 |issue=3 |pages=381–388 |access-date=February 1, 2017 }}</ref> | ||
इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलिग्लिस और रिवाट द्वारा किए गए थे।<ref name="pix_comp">{{cite journal |author1 = Marc Deleglise |author2 = Joel Rivat |title=कम्प्यूटिंग {{pi}}(''x''): मीसेल, लेह्मर, लागरियास, मिलर, ओडलिज़को विधि|journal=Mathematics of Computation |date=January 1996 |volume=65 |issue=213 |pages=235–245 |doi = 10.1090/S0025-5718-96-00674-6 |url=https://www.ams.org/mcom/1996-65-213/S0025-5718-96-00674-6/S0025-5718-96-00674-6.pdf |doi-access=free }} | |||