बेथ संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 13:36, 3 August 2023

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित अनुक्रम होते हैं, जो परम्परागत रूप से इस तरह लिखे जाते हैं: $\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots$ , यहाँ $\beth$ दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करते है।जबकि बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं ( $\aleph _{0},\aleph _{1},\dots$ ) से संबंधित होते हैं, परंतु यदि सामान्यकृत अव्याप्ति सिद्धांत सत्य न हो, तो ऐसे संख्याओं का सूचकांक $\aleph$ से जुड़ा हुआ होता है जो $\beth$ से जुड़ा नहीं होता है।

परिभाष

बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\beth _{0}=\aleph _{0},$
$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$
$\beth _{\lambda }=\sup {\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda },$

यहाँ $\alpha$ एक क्रमसूचक और $\lambda$ एक सीमा क्रमसूचक हैं।

गणित में, $\beth _{0}=\aleph _{0}$ किसी भी गणनीय अनंत समुच्चय का आकार है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb {N}$ इसीलिए $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$ है।

यदि $\alpha$ एक क्रमसूचक हो, और $A_{\alpha }$ गणनांक के साथ एक समुच्चय $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ हो तो, निम्नलिखित संबंध होते हैं:

${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ के ऊर्जा समुच्चय $A_{\alpha }$ को दर्शाता है, अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का $A_{\alpha }$ समुच्चय ,
यहां, हम एक समुच्चय $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ को दर्शाते हैं जो सभी फलन समुच्चय $A_{\alpha }$ से {0,1} के मध्य ,
गणन $2^{\beth _{\alpha }}$ गणन घातांक का परिणाम है, और
$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|$ के ऊर्जा समुच्चय $A_{\alpha }$ का गणनांक है।

इस परिभाषा को देखते हुए,

normal second transfinite cardinal 0 comma normal second transfinite cardinal 1 comma normal second transfinite cardinal 2 comma normal second transfinite cardinal 3 comma ellipsis

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 {{short description|Infinite Cardinal number}}
-गणित में, विशेष रूप से समुच्चय  सिद्धांत में, ''''बेथ संख्याएँ'''' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित क्रम हैं, परंपरागत रूप से लिखा गया  <math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math>, जहाँ <math>\beth</math> दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं (<math>\aleph_0, \aleph_1, \dots</math>) से संबंधित हैं, परंतु जब तक सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना सत्य नहीं होती तब तक संख्या <math>\aleph</math> को अनुक्रमित किया जाता है और 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे संख्या <math>\beth</math> को अनुक्रमित नहीं किया जाता है
+गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धांत में, ''''बेथ संख्याएँ'''' अनंत गणनांक संख्याओं का एक निश्चित अनुक्रम होते हैं, जो परम्परागत रूप से इस तरह लिखे जाते हैं:  <math>\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots</math>, यहाँ  <math>\beth</math> दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करते है।जबकि  बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं (<math>\aleph_0, \aleph_1, \dots</math>) से संबंधित होते हैं, परंतु यदि सामान्यकृत अव्याप्ति सिद्धांत सत्य न हो, तो ऐसे संख्याओं का सूचकांक <math>\aleph</math> से जुड़ा हुआ होता है जो <math>\beth</math> से जुड़ा नहीं होता है।
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 यहाँ <math>\alpha</math> एक  क्रमसूचक और <math>\lambda</math> एक सीमा क्रमसूचक हैं।
-गणित में, <math>\beth_0=\aleph_0</math> कोई भी गिनती योग्य अनंत समुच्चय की परिमाणता होती है, जैसे <math>\mathbb{N}</math> का समुच्चय, जिससे  <math>\beth_0=|\mathbb{N}|</math>हो।
+गणित में, <math>\beth_0=\aleph_0</math> किसी भी गणनीय अनंत समुच्चय का आकार है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय <math>\mathbb{N}</math> इसीलिए   <math>\beth_0=|\mathbb{N}|</math>है।
 यदि <math>\alpha</math> एक क्रमसूचक हो, और <math>A_\alpha</math>गणनांक के साथ एक समुच्चय  <math>\beth_\alpha=|A_\alpha|</math> हो तो, निम्नलिखित संबंध होते हैं:
 *<math>\mathcal{P}(A_\alpha)</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math> को दर्शाता है, अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का <math>A_\alpha</math>समुच्चय ,
-*समुच्चय  <math>2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)</math> से सभी कार्यों के समुच्चय  <math>A_\alpha</math>को दर्शाता है {0,1} तक,
+*यहां, हम एक समुच्चय  <math>2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)</math> को दर्शाते हैं जो सभी फलन समुच्चय <math>A_\alpha</math>से  {0,1} के मध्य ,
 *गणन <math>2^{\beth_\alpha}</math> [[कार्डिनल घातांक|गणन घातांक]] का परिणाम है, और
-*<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}=|2^{A_\alpha}|=|\mathcal{P}(A_\alpha)|</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math>की  गणनांक है।
+*<math>\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}=|2^{A_\alpha}|=|\mathcal{P}(A_\alpha)|</math> के ऊर्जा समुच्चय <math>A_\alpha</math>का गणनांक है।
 इस परिभाषा को देखते हुए,
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 :<math>\beth_1 \ge \aleph_1.</math>
 इस तर्क को पुनरावृत्ति करते हुए
-  <math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math> सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.
+  <math>\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha</math>
+सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.सातत्य परिकल्पना समतुल्य है
+:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>
+सामान्यकृत अव्याप्ति सिद्धांत  कहता है कि बेथ नंबर्स का यह अनुक्रम उसी अनुक्रम के समान होता है जो आलेफ संख्या  के लिए है, अर्थात्
+ <math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math>
+सभी आदेशिकों <math>\alpha</math>.के लिए ।
+[[index.php?title=Category:Pages with script errors|Short description/doc]]
+[[index.php?title=Category:Template documentation pages|Short description/doc]]
-सातत्य परिकल्पना समतुल्य है
-:<math>\beth_1=\aleph_1.</math>
-सामान्यरूपी प्रतिधारा के सिद्धांत के अनुसार, बेथ संख्याएँ और अलेफ संख्याएँ की अनुक्रमणिका एक जैसी हैं। अर्थात्, जिस प्रकार से बेथ संख्याएँ परिभाषित की गई हैं, वे अलेफ संख्याओं की अनुक्रमणिका के साथ समान हैं। इसे सामान्यरूपी प्रतिधारा के सिद्धांत कहा जाता है।
- <math>\beth_\alpha = \aleph_\alpha</math> सभी अध्यादेशों के लिए <math>\alpha</math>.
 ==विशिष्ट  गणन्स==
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 *मिश्रितसंख्या C
 *[[अगणनीय वास्तविक संख्या]]एँ
-*[[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन स्थान]]  R<sup>n</sup>
+*[[ यूक्लिडियन स्थान | यूक्लिडियन स्थान]] R<sup>n</sup>
 *प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय
-*पूर्णांकों के [[अनुक्रम|अनुक्रमो]] का समुच्चय अर्थात् सभी फ़ंक्शन ' '''N''' → '''Z''',', जिसे अक्सर ''''Z<sup>N</sup>''' कहा जाता है
+*पूर्णांकों के [[अनुक्रम|अनुक्रमो]] का समुच्चय अर्थात् सभी फ़ंक्शन ' '''N''' → '''Z''',', जिसे प्रायः ''''Z<sup>N</sup>''' कहा जाता है
 *वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का समुच्चय, '''R<sup>N</sup>'''
 *'''R''' से '''R''' तक सभीवास्तविक [[विश्लेषणात्मक कार्य]] का समुच्चय
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 :<math>\beth_0(\kappa)=\kappa,</math>
 :<math>\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)},</math>
-:<math>\beth_\lambda(\kappa)=\sup\{ \beth_\alpha(\kappa):\alpha<\lambda \}</math> यदि λ एक सीमा क्रमसूचक है।
+:<math>\beth_\lambda(\kappa)=\sup\{ \beth_\alpha(\kappa):\alpha<\lambda \}</math>
+:यदि λ एक सीमा क्रमसूचक है। तो
+<math>\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0).</math>
-इसलिए
-:<math>\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0).</math>
 ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) में, किसी भी गणन κ और μ के लिए, एक क्रमिक संख्या α होता है जैसे:
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 सभी पर्याप्त रूप से बड़े  गणनांक β के लिए मान्य है। अर्थात्, एक क्रमसूचक α है, जो प्रत्येक क्रमसूचक β ≥ α के लिए समानता रखता है।
-यह समानता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत  के साथ भी सत्य है जहां उर-तत्व के साथ चयन या बिना चयन के, यदि उर-तत्व एक समुच्चय बनाते हैं जो एक प्योर समुच्चय के समान संख्यक होता है। यदि चयन अभिगृहीत है, तो किसी भी समुच्चय  के उर-तत्व का समुच्चय एक शुद्ध समुच्चय के समान संख्यक होता है।
+यह स्थिति जर्मेलो-फ्रैंकल समुच्चय सिद्धांत में भी सत्य है जहां यूर-तत्व  के साथ और उनके बिना भी अभिग्रहण के साथ, प्राय टूटे समुच्चय के साथ समान संख्या की जा सकती है। यदि अभिग्रहण के उपदान काम आता है, तो किसी भी यूर-तत्वों की समूह प्राय टूटे समुच्चय के साथ समान संख्या की होती है।
 ==[[बोरेल निर्धारण]]==
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    | publisher = [[Virginia Commonwealth University]]
    | isbn = 978-0-9824062-4-3 }} See page 109 for beth numbers.
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