वृत्ताकार खंड

एक वृत्ताकार खंड (हरे रंग में) एक सेकेंट/कॉर्ड (डैश्ड रेखा) और चाप के बीच घिरा हुआ है जिसका समापन बिंदु जीवा (हरे क्षेत्र के ऊपर दिखाया गया चाप) के समान है।

ज्यामिति में, एक वृत्ताकार खंड (प्रतीक: ⌓), जिसे डिस्क खंड के रूप में भी जाना जाता है, एक डिस्क का एक क्षेत्र है जो एक सेकेंट या कॉर्ड द्वारा डिस्क के बाकी भागो से "कट ऑफ़" है। अधिक औपचारिक रूप से, एक वृत्ताकार खंड द्वि-आयामी स्थान का एक क्षेत्र है जो एक वृत्ताकार चाप (परंपरा के अनुसार π रेडियन से कम) और चाप के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले वृत्ताकार तार से घिरा होता है।

सूत्र

मान लीजिए R चाप की त्रिज्या है जो खंड की परिधि का भाग है, θ चाप को रेडियन में अंतरित करने वाला केंद्रीय कोण है, c तार की लंबाई s चाप की लंबाई है h खंड की धनु (ऊंचाई) d खंड का एपोथेम और खंड का क्षेत्रफल है।

सामान्यतः, तार की लंबाई और ऊंचाई दी जाती है या मापी जाती है, और कभी-कभी चाप की लंबाई परिधि के भाग के रूप में होती है, और अज्ञात क्षेत्र होते हैं और कभी-कभी चाप की लंबाई होती है। इनकी गणना केवल तार की लंबाई और ऊंचाई से नहीं की जा सकती है, इसलिए दो मध्यवर्ती मात्राएं, त्रिज्या और केंद्रीय कोण की गणना सामान्यतः पहले की जाती है।

त्रिज्या और केंद्रीय कोण

त्रिज्या है:

$R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}$

तार की लंबाई और ऊंचाई

तार की लंबाई और ऊंचाई की गणना त्रिज्या और केंद्रीय कोण से की जा सकती है:

तार की लंबाई है

$c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}$

$c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}$

धनु_(ज्यामिति) है

$h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}$

एपोटेम है

$d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}$

चाप की लंबाई और क्षेत्रफल

एक वृत्त की परिचित ज्यामिति से, चाप की लंबाई है

$s={\theta }R$

वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल a, वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल को घटाकर त्रिकोणीय भाग के क्षेत्रफल के समान है ($\theta$ के संदर्भ में समीकरण प्राप्त करने के लिए दोहरे कोण सूत्र का उपयोग करें)।

$a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$

R और h, के संदर्भ में,

$a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}$

c और h के अनुसार,

$a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})$

जो कहा जा सकता है वह यह है कि जैसे-जैसे केंद्रीय कोण छोटा होता जाता है (या वैकल्पिक रूप से त्रिज्या बड़ी होती जाती है), क्षेत्र तेजी से और स्पर्शोन्मुख रूप से ${\tfrac {2}{3}}c\cdot h$. यदि $\theta \ll 1$, $a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ तक पहुंचता है, जो अधिक सीमा तक अच्छा अनुमान है।

यदि $c$ स्थिर रखा जाता है, और त्रिज्या को भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, तो हमारे पास है

$${\frac {\partial a}{\partial s}}=R$$

जैसे-जैसे केंद्रीय कोण π के करीब पहुंचता है, खंड का क्षेत्रफल अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तित हो जाता है, $$