K3 सतह: Difference between revisions

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[[File:K3 surface.png|thumb|3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में [[तर्कसंगत बिंदु]] (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।]]
[[File:K3 surface.png|thumb|3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में [[तर्कसंगत बिंदु]] (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।]]
{{quotebox
{{quotebox
|quote=Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.<br><br>
|quote=मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति<br><br>
''In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of [[Ernst Kummer|Kummer]], [[Erich Kähler|Kähler]], [[Kunihiko Kodaira|Kodaira]] and of the beautiful mountain [[K2]] in [[Kashmir]].''
''मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम [[अर्नस्ट कुमेर|कुमेर]], [[एरिच काहलर|काहलर]], [[कुनिहिको कोडैरा|कोडैरा]] और [[कश्मीर]] के सुन्दर पर्वत [[K2]] के सम्मान में रखा गया है।''
|source=André {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, describing the reason for the name "K3 surface"
|source=आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए
|width=30%}}
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गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:-
गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:-
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==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है, अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ''X'' में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः अपूर्व) का बड़ा असतत समूह होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि X पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव दीर्घवृत्तीय वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में अपूर्व हैं, जब तक कि X दीर्घवृत्तीय K3 सतह न हो।) प्रश्न जो विवृत रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह अन्य-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\C^2</math>को स्वीकार करती है (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है, अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ''X'' में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः अपूर्व) का बड़ा असतत समूह होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने प्रदर्शित किया कि X पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव दीर्घवृत्तीय वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में अपूर्व हैं, जब तक कि X दीर्घवृत्तीय K3 सतह न हो।) प्रश्न जो विवृत रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह अन्य-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\C^2</math>को स्वीकार करती है (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>


== अवधि मानचित्र ==
== अवधि मानचित्र ==
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करते है I <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math> चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का समूह [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल <math>O(\Lambda)</math> है, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी समूह N में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में स्वेच्छानुसार उपाय से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करते है I <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math> चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का समूह [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल <math>O(\Lambda)</math> है, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से संवृत होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी समूह N में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में स्वेच्छानुसार उपाय से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।


[[ अवधि मानचित्रण |अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में प्रेक्षित करती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है
[[ अवधि मानचित्रण |अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में प्रेक्षित करती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है
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L के अनुभागों के सदिश स्थान का आयाम g + 1 है, और इसलिए L, ''X'' से प्रक्षेप्य स्थान तक आकारिता <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है I अधिकतर विषयों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, जिससे X डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक <math>\mathbf{P}^g</math> हो I
L के अनुभागों के सदिश स्थान का आयाम g + 1 है, और इसलिए L, ''X'' से प्रक्षेप्य स्थान तक आकारिता <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है I अधिकतर विषयों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, जिससे X डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक <math>\mathbf{P}^g</math> हो I


इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] <math>\mathcal{F}_g</math> है I प्रत्येक के लिए जीनस g की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>, इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक g के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>, इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math> द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}} है I
इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] <math>\mathcal{F}_g</math> है I प्रत्येक के लिए जीनस g की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>, इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक g के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने प्रदर्शित किया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>, इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math> द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}} है I


विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करते है। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत समूह है I <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2 उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, किन्तु अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं I <math>\mathcal{F}_h</math>, <math>\mathcal{F}_g</math> यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है I <math>\mathcal{F}_g</math> चूँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करते है। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत समूह है I <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2 उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, किन्तु अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं I <math>\mathcal{F}_h</math>, <math>\mathcal{F}_g</math> यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है I <math>\mathcal{F}_g</math> चूँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>
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== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
== विस्तारित शंकु और वक्रों का शंकु ==
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होती हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज इंडेक्स प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिच्छेदन बनता है <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर है <math>(1,\rho-1)</math>. यह इस प्रकार है कि तत्वों का सेट <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।
बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होते हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज सूची प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिच्छेदन <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर <math>(1,\rho-1)</math> बनता है I यह इस प्रकार है कि तत्वों का समुच्चय <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।


केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है <math>u^2=-2</math>. तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।
केस 1: पिक(''X'') का कोई तत्व ''u'' नहीं है, <math>u^2=-2</math> तब पर्याप्त शंकु धनात्मक शंकु के समान होता है। इस प्रकार यह मानक गोल शंकु है।


केस 2: अन्यथा, चलो <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली की जड़ों का समूह। जड़ों के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का सेट बनाते हैं जो सभी सकारात्मक शंकु से गुजरते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''्स'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] सम्मिलित होती है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
केस 2: अन्यथा, <math>\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}</math>, पिकार्ड जाली के आधारों का समूह आधार के [[ऑर्थोगोनल पूरक]] हाइपरप्लेन का समुच्चय बनाते हैं, जो सभी सकारात्मक शंकु से निकलते हैं। फिर पर्याप्त शंकु सकारात्मक शंकु में इन हाइपरप्लेन के पूरक का जुड़ा घटक है। ऐसे कोई भी दो घटक जाली पिक (''X'') के ऑर्थोगोनल समूह के माध्यम से आइसोमोर्फिक हैं, क्योंकि इसमें प्रत्येक रूट हाइपरप्लेन में [[प्रतिबिंब (गणित)]] सम्मिलित होती है। इस अर्थ में, पिकार्ड जाली समरूपता तक पर्याप्त शंकु निर्धारित करती है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.2.11.</ref>
सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूरा शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या है <math>\rho\geq 3</math>. यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> खाली है, तो वक्रों का बंद शंकु धनात्मक शंकु का बंद होना है। अन्यथा, वक्रों का बंद शंकु सभी तत्वों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है <math>u\in\Delta</math> साथ <math>A\cdot u>0</math>. पूर्व सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का बंद शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा फैला हुआ बंद उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (अगर <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा फैलाया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तेज कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक फैला होता है)।
 
सैंडोर कोवाक्स के कारण संबंधित कथन यह है कि पिक(X) में पर्याप्त भाजक A को जानने से X के वक्रों का पूर्ण शंकु निर्धारित होता है। अर्थात्, मान लीजिए कि X के पास पिकार्ड संख्या<math>\rho\geq 3</math> है I यदि जड़ों का समुच्चय <math>\Delta</math> रिक्त है, तो वक्रों का संवृत शंकु धनात्मक शंकु का संवृत होना है। अन्यथा, वक्रों का संवृत शंकु सभी तत्वों द्वारा विस्तारित हुआ संवृत उत्तल शंकु <math>u\in\Delta</math> है I <math>A\cdot u>0</math> पूर्व सम्बन्ध में, X में कोई (−2)-वक्र नहीं है; दूसरे  सम्बन्ध में, वक्रों का संवृत शंकु सभी (−2)-वक्रों द्वारा विस्तारित हुआ संवृत उत्तल शंकु है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 8.3.12.</ref> (यदि <math>\rho=2</math>, अन्य संभावना है: वक्रों का शंकु (−2)-वक्र और स्व-प्रतिच्छेदन 0 के साथ वक्र द्वारा विस्तारित किया जा सकता है।) इसलिए वक्रों का शंकु या तो मानक गोल शंकु है, या फिर इसमें तीव्र कोने हैं (क्योंकि प्रत्येक (−2)-वक्र वक्रों के शंकु की पृथक चरम किरण तक विस्तारित होता है)।


==ऑटोमोर्फिज्म समूह==
==ऑटोमोर्फिज्म समूह==
बीजगणितीय प्रकारों के मध्य K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के संस्करण के अनुसार, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(पिक(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(पिक(X)) का [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(पिक(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स) तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>
बीजगणितीय प्रकारों के मध्य K3 सतहें कुछ सीमा तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के संस्करण के अनुसार, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W आधारों के समुच्चय में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(पिक(X)) का उपसमूह <math>\Delta</math> है, तब W, O(पिक(X)) का [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(पिक(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण संबंधित कथन यह है कि ऑट (X) तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ X के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>


== स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध ==
== स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध ==
K3 सतहें [[स्ट्रिंग द्वैत]] में लगभग सर्वव्यापी दिखाई देती हैं और इसे समझने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करती हैं। कॉम्पैक्टीफिकेशन (भौतिकी)#इन सतहों पर स्ट्रिंग सिद्धांत में कॉम्पैक्टीफिकेशन मामूली नहीं है, फिर भी वे अपने अधिकांश गुणों का विस्तार से विश्लेषण करने के लिए काफी सरल हैं। प्रकार IIA स्ट्रिंग, प्रकार IIB स्ट्रिंग, E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> हेटेरोटिक स्ट्रिंग, स्पिन(32)/जेड2 हेटेरोटिक स्ट्रिंग, और एम-सिद्धांत K3 सतह पर संघनन द्वारा संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, K3 सतह पर संकुचित प्रकार IIA स्ट्रिंग 4-टोरस पर संकुचित हेटेरोटिक स्ट्रिंग के समान है ({{harvtxt|Aspinwall|1996}}).
K3 सतहें [[स्ट्रिंग द्वैत]] में लगभग सर्वव्यापी दिखाई देती हैं और इसे समझने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करती हैं। कॉम्पैक्टीफिकेशन (भौतिकी) इन सतहों पर स्ट्रिंग सिद्धांत में कॉम्पैक्टीफिकेशन सामान्य नहीं है, फिर भी वे अपने अधिकांश गुणों का विस्तार से विश्लेषण करने के लिए सरल हैं। प्रकार IIA स्ट्रिंग, प्रकार IIB स्ट्रिंग, E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> हेटेरोटिक स्ट्रिंग, स्पिन(32)/Z2 हेटेरोटिक स्ट्रिंग, और एम-सिद्धांत K3 सतह पर संघनन द्वारा संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, K3 सतह पर संकुचित प्रकार IIA स्ट्रिंग 4-टोरस पर संकुचित हेटेरोटिक स्ट्रिंग के समान है ({{harvtxt|Aspinwall|1996}}) I


==इतिहास==
==इतिहास==
चतुर्थक सतहों में <math>\mathbf{P}^3</math> [[गंभीर दुःख]], [[आर्थर केली]], [[फ्रेडरिक शूर]] और अन्य 19वीं सदी के जियोमीटर द्वारा अध्ययन किया गया था। अधिक सामान्यतः, [[फेडरिको एनरिक्स]] ने 1893 में देखा कि विभिन्न संख्याओं g के लिए, डिग्री 2g−2 की सतहें होती हैं <math>\mathbf{P}^g</math> तुच्छ विहित बंडल और अनियमितता शून्य के साथ।<ref>Enriques (1893), section III.6.</ref> 1909 में, एनरिकेज़ ने दिखाया कि ऐसी सतहें सभी के लिए मौजूद हैं <math>g\geq 3</math>, और [[फ्रांसिस सेवेरी]] ने दिखाया कि ऐसी सतहों के मॉड्यूलि स्पेस में प्रत्येक जी के लिए आयाम 19 है।<ref>Enriques (1909); Severi (1909).</ref>
चतुर्थक सतहों में <math>\mathbf{P}^3</math> [[गंभीर दुःख|अर्न्स्ट कुमेर]], [[आर्थर केली]], [[फ्रेडरिक शूर]] और अन्य 19वीं सदी के जियोमीटर द्वारा अध्ययन किया गया था। अधिक सामान्यतः, [[फेडरिको एनरिक्स]] ने 1893 में देखा कि विभिन्न संख्याओं g के लिए, डिग्री 2g−2 की सतहें <math>\mathbf{P}^g</math>तुच्छ विहित बंडल और अनियमितता शून्य के साथ होती हैं।<ref>Enriques (1893), section III.6.</ref> 1909 में, एनरिकेज़ ने प्रदर्शित किया कि ऐसी सतहें सभी के लिए उपस्थित हैं, <math>g\geq 3</math>, और [[फ्रांसिस सेवेरी]] ने प्रदर्शित किया कि ऐसी सतहों के मॉड्यूलि स्पेस में प्रत्येक g के लिए आयाम 19 है।<ref>Enriques (1909); Severi (1909).</ref>
आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958}} ने K3 सतहों को उनका नाम दिया (ऊपर उद्धरण देखें) और उनके वर्गीकरण के सम्बन्ध में कई प्रभावशाली अनुमान लगाए। कुनिहिको कोदैरा ने 1960 के आसपास बुनियादी सिद्धांत पूरा किया, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों का पहला व्यवस्थित अध्ययन किया जो बीजगणितीय नहीं हैं। उन्होंने दिखाया कि कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें विरूपण-समतुल्य हैं और इसलिए भिन्नरूपी हैं, जो बीजगणितीय K3 सतहों के लिए भी नया था। महत्वपूर्ण पश्चात् की प्रगति जटिल बीजीय K3 सतहों के लिए [[इल्या पियाटेत्स्की-शापिरो]] और इगोर शफ़ारेविच (1971) द्वारा टोरेली प्रमेय का प्रमाण था, जिसे डैनियल बर्न्स और [[माइकल रैपोपोर्ट]] (1975) द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों तक विस्तारित किया गया था।
 
आंद्रे {{harvtxt|वेल|1958}} ने K3 सतहों को उनका नाम दिया (ऊपर उद्धरण देखें) और उनके वर्गीकरण के सम्बन्ध में कई प्रभावशाली अनुमान लगाए। कुनिहिको कोदैरा ने 1960 के निकट मूलरूप सिद्धांत पूर्ण किया, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों का प्रथम व्यवस्थित अध्ययन किया जो बीजगणितीय नहीं हैं। उन्होंने प्रदर्शित किया कि कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें विरूपण-समतुल्य हैं और इसलिए भिन्नरूपी हैं, जो बीजगणितीय K3 सतहों के लिए भी नया था। महत्वपूर्ण प्रगति जटिल बीजीय K3 सतहों के लिए [[इल्या पियाटेत्स्की-शापिरो]] और इगोर शफ़ारेविच (1971) द्वारा टोरेली प्रमेय का प्रमाण था, जिसे डैनियल बर्न्स और [[माइकल रैपोपोर्ट]] (1975) द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों तक विस्तारित किया गया था।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
*सतह को समृद्ध करता है
*सतह को समृद्ध करता है
*[[टेट अनुमान]]
*[[टेट अनुमान]]
*[[छत्रछाया चांदनी]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के मध्य रहस्यमय संबंध।
*[[छत्रछाया चांदनी|मैथ्यू मूनशाइन]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के मध्य रहस्यमय संबंध।


==टिप्पणियाँ==
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{{String theory topics |state=collapsed}}
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Latest revision as of 15:20, 31 July 2023

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3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति

मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम कुमेर, काहलर, कोडैरा और कश्मीर के सुन्दर पर्वत K2 के सम्मान में रखा गया है।

आंद्रे Weil (1958, p. 546), "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

परिभाषा

K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)

परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।

बेट्टी संख्या की गणना

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।[2] ( समान तर्क L-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल