K3 सतह: Difference between revisions

|quote=मोन तालमेल के दूसरे भाग में, K3 के विभिन्न प्रकारों के सम्बन्ध में जानकारी, कुमेर, काहलर, कोडैरा और K2 या कैशेमायर के सम्मान में नामांकित व्यक्ति<br><br>

''मेरी रिपोर्ट के दूसरे भाग में, हम काहलर प्रकारो के सम्बन्ध में चर्चा कर रहे हैं जिन्हें K3 के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम [[अर्नस्ट कुमेर|कुमेर]], [[एरिच काहलर|काहलर]], [[कुनिहिको कोडैरा|कोडैरा]] और [[कश्मीर]] के सुन्दर पर्वत [[K2]] के सम्मान में रखा गया है।''

|source=आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958|loc=p.&nbsp;546}}, "K3 "सतह" नाम का कारण बताते हुए

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी अन्य-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी|L-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा,

*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार Lेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>

*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X स्मूथ सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2) I (इस शब्दावली का अर्थ है कि सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ''X'' में विपरीत छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का सहज वक्र है (गणित) 2.)

*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म|एबेलियन प्रकार]] A का भागफल <math>a\mapsto -a</math> है I इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के समाधान को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह समाधान K3 सतह है। जब A जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म|जैकोबियन प्रकार]] है, तो कुमेर ने भागफल प्रदर्शित किया I <math>A/(\pm 1)</math> में <math>\mathbf{P}^3</math>एम्बेड किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता नोड्स के 16 अपूर्व बिंदु के साथ चतुर्थक सतह के रूप में किया जा सकता है।

==दीर्घवृत्तीय K3 सतहें==

K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य  सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन|दीर्घवृत्तीय कंपन]] वाली K3 सतहें <math>X\to\mathbf{P}^1</math>सम्मिलित होती हैं I दीर्घवृत्तीय का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के स्मूथ वक्र हैं। अपूर्व फाइबर [[तर्कसंगत वक्र|रैशनल वक्रों]] के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के अपूर्व फाइबर होते हैं। सदैव कुछ अपूर्व फाइबर होते हैं, क्योंकि अपूर्व फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग <math>\chi(X)=24</math> होता है I सामान्य दीर्घवृत्तीय K3 सतह में 24 अपूर्व फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र) आदि I<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref> K3 सतह दीर्घवृत्तीय है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में दीर्घवृत्तीय कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई अन्य-शून्य तत्व <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math> हो I <ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है कोडैरा आयाम 1 की सतहें अर्ध-दीर्घवृत्तीय फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि दीर्घवृत्तीय फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो दीर्घवृत्तीय कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी समूह हैं, और दीर्घवृत्तीय कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।

उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें रेखा L होती है उसमें दीर्घवृत्तीय कंपन होता है I <math>X\to \mathbf{P}^1</math>'', L'' से दूर प्रक्षेपित कर दिया गया है। सभी स्मूथ चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है।

डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है, अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ''X'' में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः अपूर्व) का बड़ा असतत समूह होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने प्रदर्शित किया कि X पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X सदैव दीर्घवृत्तीय वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में अपूर्व हैं, जब तक कि X दीर्घवृत्तीय K3 सतह न हो।) प्रश्न जो विवृत रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह अन्य-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र <math>\C^2</math>को स्वीकार करती है (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref>

जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करते है I <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math> चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का समूह [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल <math>O(\Lambda)</math> है, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से संवृत होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी समूह N में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में स्वेच्छानुसार उपाय से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।

[[ अवधि मानचित्रण |अवधि मानचित्रण]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में प्रेक्षित करती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है

अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> चिह्नित K3 सतह X को जटिल रेखा पर प्रेक्षित करता है I <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex</math> यह विशेषण है, और स्थानीय समरूपता है, किन्तु समरूपता नहीं है (विशेष रूप से क्योंकि ''D'' हॉसडॉर्फ है और N नहीं है)। चूँकि, K3 सतहों के लिए 'वैश्विक टोरेली प्रमेय' कहता है कि समुच्चय का भागफल मानचित्र

वस्तुनिष्ठ है I इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का समरूपता जो प्रतिच्छेदन रूप <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)</math> को <math>H^0(Y,\Omega^2)</math> को संरक्षित करता है और प्रेक्षित करता है I<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.5.3.</ref>

जीनस g की ध्रुवीकृत K3 सतह ''X'' को प्रक्षेपी K3 सतह के साथ पर्याप्त रेखा बंडल ''L'' के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि ''L'' प्राथमिक है (अर्थात, 2 नहीं) या अधिक बार [[पर्याप्त लाइन बंडल]]) और <math>c_1(L)^2=2g-2</math> इसे 2''g''−2 डिग्री की ध्रुवीकृत K3 सतह भी कहा जाता है।<ref>Huybrechts (2016), Definition 2.4.1.</ref>  

इन धारणाओं के अंतर्गत, L आधार-बिंदु-मुक्त है। विशेषता शून्य में, बर्टिनी के प्रमेय का तात्पर्य है कि [[विभाजकों की रैखिक प्रणाली]] |L| में स्मूथ वक्र C है ऐसे, सभी वक्रों में जीनस g होता है, जो बताता है कि क्यों (X,L) को जीनस g कहा जाता है।

L के अनुभागों के सदिश स्थान का आयाम g + 1 है, और इसलिए L, ''X'' से प्रक्षेप्य स्थान तक आकारिता <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है I अधिकतर विषयों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, जिससे X डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक <math>\mathbf{P}^g</math> हो I

 

विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करते है। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत समूह है I <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2 उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, किन्तु अनंत रूप से कई भिन्न-भिन्न डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं I <math>\mathcal{F}_h</math>, <math>\mathcal{F}_g</math> यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है I <math>\mathcal{F}_g</math> चूँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref>

 

मान्यतः, जीनस ''g'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है प्राथमिक [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''L'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math> I ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद <math>\mathbf{P}^g</math> प्रदान करता है, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, जिससे X की छवि Y अपूर्व हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र <math>\mathbf{P}^1</math> है,  स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस g की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पूर्व मॉड्यूलि स्पेस को विवृत उपसमुच्चय के रूप में सम्मिलित होती करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना अच्छा काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref>

बीजगणितीय K3 सतहों की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि पिकार्ड जाली सतह के कई ज्यामितीय गुणों को निर्धारित करती है, जिसमें पर्याप्त विभाजक के [[उत्तल शंकु]] (पिकार्ड जाली के ऑटोमोर्फिज्म तक) सम्मिलित होते हैं। पर्याप्त शंकु पिकार्ड जाली द्वारा निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है। हॉज सूची प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिच्छेदन <math>N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R</math> सिग्नेचर <math>(1,\rho-1)</math> बनता है I यह इस प्रकार है कि तत्वों का समुच्चय <math>N^1(X)</math> सकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन के साथ दो जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) हैं। धनात्मक शंकु को वह घटक कहें जिसमें ''X'' पर कोई पर्याप्त भाजक हो।