रैखिक संपूरकता समस्या: Difference between revisions

Latest revision as of 15:24, 31 July 2023

गणितीय अनुकूलन (गणित) में, रैखिक संपूरकता समस्या (एलसीपी) कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी में अधिकांशतः उत्पन्न होती है और विशेष स्थितियों के रूप में प्रसिद्ध द्विघात प्रोग्रामिंग को सम्मिलित करती है। इसे सन्न 1968 में कॉटल और जॉर्ज डेंजिग द्वारा प्रस्तावित किया गया था।^[1]^[2]^[3]

सूत्रीकरण

वास्तविक आव्युह M और सदिश q को देखते हुए, रैखिक संपूरकता समस्या एलसीपी(q, M) सदिश z और w की खोज करती है, जो निम्नलिखित बाधाओं को पूर्ण करती हैं।

$w,z\geqslant 0,$ (अर्थात्, इन दोनों सदिशो का प्रत्येक घटक गैर-ऋणात्मक होता है)
$z^{T}w=0$ या समकक्ष $\sum \nolimits _{i}w_{i}z_{i}=0.$ यह संपूरकता सिद्धांत की वह स्थिति है, जिससे कि इसका तात्पर्य यह है कि, सभी के लिए $i$ , अधिक से अधिक $w_{i}$ और $z_{i}$ धनात्मक हो सकता है।
$w=Mz+q$

इस समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के लिए पर्याप्त शर्त यह होती है कि एम सममित आव्युह धनात्मक-निश्चित होता है। यदि M ऐसा होता है कि $एलसीपी(q, M)$ के पास प्रत्येक q के लिए समाधान होता है, तब M q-आव्युह होता है। यदि M ऐसा है $एलसीपी(q, M)$ प्रत्येक q के लिए अद्वितीय समाधान होता है, तब M पी-आव्युह होता है। यह दोनों लक्षण पर्याप्त एवं आवश्यक होते हैं।^[4]

सदिश w असावधान चर है,^[5] और इसलिए z पाए जाने के पश्चात् सामान्यतः इसे छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, समस्या को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है।

$Mz+q\geqslant 0$
$z\geqslant 0$
$z^{\mathrm {T} }(Mz+q)=0$ (पूरक स्थिति)

उत्तल द्विघात-न्यूनीकरण: न्यूनतम शर्तें

रैखिक संपूरकता समस्या का समाधान खोजना द्विघात फलन को न्यूनतम करने से जुड़ा होता है

f(z)=z^{T}(Mz+q)

बाधाओं के अधीन

{Mz}+q\geqslant 0

z\geqslant 0

यह बाधाएं सुनिश्चित करती हैं कि f सदैव गैर-ऋणात्मक होता है। इस प्रकार z पर f का न्यूनतम मान 0 होता है और यदि z रैखिक संपूरकता समस्या को हल करता है।

यदि एम धनात्मक-निश्चित आव्युह है, तब उत्तल द्विघात प्रोग्रामिंग को हल करने के लिए कोई भी एल्गोरिदम एलसीपी को हल कर सकता है। विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए आधार-विनिमय पिवोटिंग एल्गोरिदम, जैसे कि लेम्के एल्गोरिदम और सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म का संस्करण दशकों से उपयोग किया जा रहा है। इस प्रकार बहुपद समय समष्टिता के अतिरिक्त, आंतरिक-बिंदु विधियाँ व्यवहार में भी प्रभावी होती हैं।

इसके अतिरिक्त, द्विघात-प्रोग्रामिंग समस्या को न्यूनतम बताया गया है $f(x)=c^{T}x+{\tfrac {1}{2}}x^{T}Qx$ का विषय होता है $Ax\geqslant b$ साथ ही $x\geqslant 0$ Q सममिति के साथ

एलसीपी को हल करने के समान ही होता है

q={\begin{bmatrix}c\\-b\end{bmatrix}},\qquad M={\begin{bmatrix}Q&-A^{T}\\A&0\end{bmatrix}}

ऐसा इसलिए होता है जिससे कि QP समस्या की करुश-कुह्न-टकर स्थितियों को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

{\begin{cases}v=Qx-A^{T}{\lambda }+c\\s=Ax-b\\x,{\lambda },v,s\geqslant 0\\x^{T}v+{\lambda }^{T}s=0\end{cases}}

गैर-ऋणात्मकता बाधाओं पर लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के साथ, λ असमानता बाधाओं पर गुणक, और असमानता बाधाओं के लिए असमानता चर चौथी स्थिति चरों के प्रत्येक समूह की संपूरकता असमानता से उत्पन्न होती है। इसके केकेटी सदिश (इष्टतम लैग्रेंज मल्टीप्लायर) के समुच्चय के साथ $(v, λ)$ . उस स्थितियों में,

z={\begin{bmatrix}x\\\lambda \end{bmatrix}},\qquad w={\begin{bmatrix}v\\s\end{bmatrix}}

यदि x पर गैर-ऋणात्मकता बाधा में ढील दी जाती है, तब एलसीपी समस्या की आयामीता को असमानताओं की संख्या तक कम किया जा सकता है, जब तक कि Q गैर-एकवचन है (जो कि धनात्मक-निश्चित आव्युह होने पर गारंटी है)।इस प्रकार गुणक v अभी उपस्तिथ नहीं हैं, और पहली केकेटी शर्तों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है।

Qx=A^{T}{\lambda }-c

या

x=Q^{-1}(A^{T}{\lambda }-c)

दोनों पक्षों को पहले A से गुणा करने और b घटाने पर हमें प्राप्त होता है।

Ax-b=AQ^{-1}(A^{T}{\lambda }-c)-b\,

दूसरी केकेटी स्थिति के कारण बाईं ओर, एस होता है। इस प्रकार प्रतिस्थापित करना और पुनः व्यवस्थित करना

s=(AQ^{-1}A^{T}){\lambda }+(-AQ^{-1}c-b)\,

अभी कॉल कर रहा हूँ

{\begin{aligned}M&:=(AQ^{-1}A^{T})\\q&:=(-AQ^{-1}c-b)\end{aligned}}

असमानता चर और उनके लैग्रेंज गुणक λ के मध्य संपूरकता के संबंध के कारण, हमारे पास एलसीपी होता है। इस प्रकार प्रत्येक बार जब हम इसे हल कर लेते हैं, तब हम पहली केकेटी स्थिति के माध्यम से λ से x का मान प्राप्त कर सकते हैं।

अंत में, अतिरिक्त समानता बाधाओं को संभालना भी संभव होता है।

A_{eq}x=b_{eq}

यह लैग्रेंज मल्टीप्लायरों μ के सदिश का परिचय देता है, जिसका आयाम $b_{eq}$ के समान होता है।

यह सत्यापित करना सरल होता है कि एलसीपी प्रणाली के लिए एम और क्यू $s=M{\lambda }+Q$ अभी इन्हें इस प्रकार व्यक्त किया गया है।

{\begin{aligned}M&:={\begin{bmatrix}A&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Q&A_{eq}^{T}\\-A_{eq}&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{T}\\0\end{bmatrix}}\\q&:=-{\begin{bmatrix}A&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Q&A_{eq}^{T}\\-A_{eq}&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}c\\b_{eq}\end{bmatrix}}-b\end{aligned}}

λ से अभी हम x और समानता के लैग्रेंज गुणक दोनों के मान μ पुनर्प्राप्त कर सकते हैं।

{\begin{bmatrix}x\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q&A_{eq}^{T}\\-A_{eq}&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{T}\lambda -c\\-b_{eq}\end{bmatrix}}

वास्तव में, अधिकांश क्यूपी सॉल्वर एलसीपी सूत्रीकरण पर कार्य करते हैं, जिसमें आंतरिक बिंदु विधि, प्रिंसिपल/पूरक पिवोटिंग और सक्रिय समुच्चय विधियां सम्मिलित होती हैं।^[1]^[2] एलसीपी समस्याओं को क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म द्वारा भी हल किया जा सकता है,^[6]^[7]^[8]^[9] इसके विपरीत, रैखिक संपूरकता समस्याओं के लिए, क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म केवल तभी समाप्त होता है जब आव्युह पर्याप्त आव्युह होता है।^[8]^[9] इस प्रकार पर्याप्त आव्युह धनात्मक-निश्चित आव्युह और पी-आव्युह दोनों का सामान्यीकरण होता है, जिसके प्रमुख नाबालिग प्रत्येक धनात्मक होते हैं।^[8]^[9]^[10]

ऐसे एलसीपी को तब हल किया जा सकता है जब उन्हें ओरिएंटेड-मैट्रोइड सिद्धांत का उपयोग करके अमूर्त रूप से तैयार किया जाता है।^[11]^[12]^[13]

यह भी देखें

पूरकता सिद्धांत
गेम के लिए भौतिकी इंजन आवेग/बाधा प्रकार के भौतिकी इंजन इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं।
संपर्क गतिशीलता नॉनस्मूथ दृष्टिकोण के साथ संपर्क गतिशीलता।
बिआव्युह गेम को एलसीपी तक कम किया जा सकता है।

↑ ^1.0 ^1.1 Murty (1988).
↑ ^2.0 ^2.1 Cottle, Pang & Stone (1992).
↑ Cottle & Dantzig (1968).
↑ Murty (1972).
↑ Taylor (2015), p. 172.
↑ Fukuda & Namiki (1994).
↑ Fukuda & Terlaky (1997).
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 den Hertog, Roos & Terlaky (1993).
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 Csizmadia & Illés (2006).
↑ Cottle, Pang & Venkateswaran (1989).
↑ Todd (1985).
↑ Terlaky & Zhang (1993).
↑ Björner et al. (1999).

संदर्भ

ब्योर्नर, ऐन्डर्स; लास वेर्गनास, मिशेल; स्टर्मफेल्स, बर्न्ड; सफ़ेद, नील; ज़ेग्लर, Günter (1999). "10 रैखिक प्रोग्रामिंग". ओरिएंटेड मैट्रोइड्स. कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस. pp. 417–479. doi:10.1017/CBO9780511586507. ISBN 978-0-521-77750-6. MR 1744046.
कोटले, आर. डब्ल्यू.; डेंटज़िग, जी. बी. (1968). "गणितीय प्रोग्रामिंग का पूरक धुरी सिद्धांत". रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग. 1: 103–125. doi:10.1016/0024-3795(68)90052-9. {{cite journal}}: Invalid |doi-access=मुक्त (help)
कोटले, रिचर्ड डब्ल्यू.; Pang, Jong-Shi; पत्थर, रिचर्ड ई. (1992). रैखिक संपूरकता समस्या. कंप्यूटर विज्ञान और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग. बोस्टन, एमए: अकादमिक प्रेस, इंक. pp. xxiv+762 pp. ISBN 978-0-12-192350-1. MR 1150683.
कोटले, आर. डब्ल्यू.; Pang, जे.-एस.; वेंकटेश्वरन, वी (मार्च-अप्रैल 1989). "पर्याप्त आव्यूह और रैखिक संपूरकता समस्या". रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग. 114–115: 231–249. doi:10.1016/0024-3795(89)90463-1. MR 0986877. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "पर्याप्त मैट्रिक्स के साथ रैखिक संपूरकता समस्याओं के लिए नए क्रिस-क्रॉस प्रकार के एल्गोरिदम" (PDF). अनुकूलन के तरीके और सॉफ्टवेयर. 21 (2): 247–266. doi:10.1080/10556780500095009. S2CID 24418835.
Fukuda, Komei; Namiki, Makoto (मार्च 1994). "मूर्ति की न्यूनतम सूचकांक पद्धति के चरम व्यवहार पर". गणितीय प्रोग्रामिंग. 64 (1): 365–370. doi:10.1007/BF01582581. MR 1286455. S2CID 21476636. {{cite journal}}: Check date values in: |date= (help)
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डेन हर्टोग, D.; Roos, C.; टर्लाकी, T. (1 July 1993). "रैखिक संपूरकता समस्या, पर्याप्त मैट्रिक्स और क्रिस-क्रॉस विधि" (PDF). रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग. 187: 1–14. doi:10.1016/0024-3795(93)90124-7.
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मूर्ति, K. G. (1988). रैखिक संपूरकता, रैखिक और अरेखीय प्रोग्रामिंग. अनुप्रयुक्त गणित में सिग्मा श्रृंखला. Vol. 3. बर्लिन: हेल्डरमैन वेरलाग. ISBN 978-3-88538-403-8. MR 0949214. Updated and free PDF version at Katta G. Murty's website. Archived from the original on 2010-04-01.
टेलर, जोशुआ एडम (2015). विद्युत प्रणालियों का उत्तल अनुकूलन. कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस. ISBN 9781107076877.
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टॉड, Michael J. (1985). "ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रैखिक और द्विघात प्रोग्रामिंग". कॉम्बिनेटोरियल थ्योरी का जर्नल. सीरीज बी. 39 (2): 105–133. doi:10.1016/0095-8956(85)90042-5. MR 0811116.

अग्रिम पठन

आर.चंद्रशेखरन. "बिमैट्रिक्स गेम्स" (PDF). pp. 5–7. Retrieved 18 दिसंबर 2015. {{cite web}}: Check date values in: |accessdate= (help)

बाहरी संबंध

एलसीपीसोल्व — रैखिक संपूरकता समस्या को हल करने के लिए GAUSS में सरल प्रक्रिया
सिकोनोस/लेम्के के एल्गोरिदम के सी में न्यूमेरिक्स ओपन-सोर्स जीपीएल कार्यान्वयन और एलसीपी और एमएलसीपी को हल करने के अन्य तरीके।

[FOOTNOTEMurty1988-1] 1.0 ^1.1 Murty (1988).

[FOOTNOTECottlePangStone1992-2] 2.0 ^2.1 Cottle, Pang & Stone (1992).

[FOOTNOTECottleDantzig1968-3] Cottle & Dantzig (1968).

[FOOTNOTEMurty1972-4] Murty (1972).

[FOOTNOTETaylor2015[httpsbooksgooglecombooksidJBdoBgAAQBAJpgPA172_172]-5] Taylor (2015), p. 172.

[FOOTNOTEFukudaNamiki1994-6] Fukuda & Namiki (1994).

[FOOTNOTEFukudaTerlaky1997-7] Fukuda & Terlaky (1997).

[FOOTNOTEden_HertogRoosTerlaky1993-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 den Hertog, Roos & Terlaky (1993).

[FOOTNOTECsizmadiaIllés2006-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 Csizmadia & Illés (2006).

[FOOTNOTECottlePangVenkateswaran1989-10] Cottle, Pang & Venkateswaran (1989).

[FOOTNOTETodd1985-11] Todd (1985).

[FOOTNOTETerlakyZhang1993-12] Terlaky & Zhang (1993).

[FOOTNOTEBjörnerLas_VergnasSturmfelsWhite1999-13] Björner et al. (1999).

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-गणितीय [[अनुकूलन (गणित)]] में, रैखिक संपूरकता समस्या (एलसीपी) [[कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी]] में अक्सर उत्पन्न होती है और एक विशेष मामले के रूप में प्रसिद्ध [[द्विघात प्रोग्रामिंग]] को शामिल करती है। इसे 1968 में कॉटल और [[जॉर्ज डेंजिग]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था।{{sfnp|Murty|1988}}{{sfnp|Cottle|Pang|Stone|1992}}{{sfnp|Cottle|Dantzig|1968}}
+गणितीय [[अनुकूलन (गणित)]] में, '''रैखिक संपूरकता समस्या (एलसीपी)''' [[कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी]] में अधिकांशतः उत्पन्न होती है और विशेष स्थितियों के रूप में प्रसिद्ध [[द्विघात प्रोग्रामिंग]] को सम्मिलित करती है। इसे सन्न 1968 में कॉटल और [[जॉर्ज डेंजिग]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था।{{sfnp|Murty|1988}}{{sfnp|Cottle|Pang|Stone|1992}}{{sfnp|Cottle|Dantzig|1968}}
-== सूत्रीकरण ==
+== '''सूत्रीकरण''' ==
-एक वास्तविक मैट्रिक्स M और वेक्टर q को देखते हुए, रैखिक संपूरकता समस्या LCP(q, M) वेक्टर z और w की तलाश करती है जो निम्नलिखित बाधाओं को पूरा करते हैं:
+वास्तविक आव्युह M और सदिश q को देखते हुए, रैखिक संपूरकता समस्या एलसीपी(q, M) सदिश z और w की खोज करती है, जो निम्नलिखित बाधाओं को पूर्ण करती हैं।
-* <math>w, z \geqslant 0,</math> (अर्थात, इन दोनों वैक्टरों का प्रत्येक घटक गैर-नकारात्मक है)
+* <math>w, z \geqslant 0,</math> (अर्थात्, इन दोनों सदिशो का प्रत्येक घटक गैर-ऋणात्मक होता है)
-* <math>z^Tw = 0</math> या समकक्ष <math>\sum\nolimits_i w_i z_i = 0.</math> यह [[संपूरकता सिद्धांत]] की स्थिति है, क्योंकि इसका तात्पर्य यह है कि, सभी के लिए <math>i</math>, अधिक से अधिक एक <math>w_i</math> और <math>z_i</math> सकारात्मक हो सकता है.
+* <math>z^Tw = 0</math> या समकक्ष <math>\sum\nolimits_i w_i z_i = 0.</math> यह [[संपूरकता सिद्धांत]] की वह स्थिति है, जिससे कि इसका तात्पर्य यह है कि, सभी के लिए <math>i</math>, अधिक से अधिक <math>w_i</math> और <math>z_i</math> धनात्मक हो सकता है।
 * <math>w = Mz + q</math>
-इस समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि एम [[सममित मैट्रिक्स]] [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] | सकारात्मक-निश्चित है। यदि M ऐसा है {{math|LCP(''q'', ''M'')}} के पास प्रत्येक q के लिए एक समाधान है, तो M एक [[q-मैट्रिक्स]] है। यदि M ऐसा है {{math|LCP(''q'', ''M'')}} प्रत्येक q के लिए एक अद्वितीय समाधान है, तो M एक [[पी-मैट्रिक्स]] है। ये दोनों लक्षण पर्याप्त एवं आवश्यक हैं।{{sfnp|Murty|1972}}
+इस समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के लिए पर्याप्त शर्त यह होती है कि एम [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्युह]] धनात्मक-निश्चित होता है। यदि M ऐसा होता है कि {{math|एलसीपी(''q'', ''M'')}} के पास प्रत्येक q के लिए समाधान होता है, तब M [[q-मैट्रिक्स|q-आव्युह]] होता है। यदि M ऐसा है {{math|एलसीपी(''q'', ''M'')}} प्रत्येक q के लिए अद्वितीय समाधान होता है, तब M [[पी-मैट्रिक्स|पी-आव्युह]] होता है। यह दोनों लक्षण पर्याप्त एवं आवश्यक होते हैं।{{sfnp|Murty|1972}}
-वेक्टर w एक [[सुस्त चर]] है,{{sfnp|Taylor|2015|p=[https://books.google.com/books?id=JBdoBgAAQBAJ&pg=PA172 172]}} और इसलिए z पाए जाने के बाद आम तौर पर इसे छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, समस्या को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है:
+सदिश w [[सुस्त चर|असावधान चर]] है,{{sfnp|Taylor|2015|p=[https://books.google.com/books?id=JBdoBgAAQBAJ&pg=PA172 172]}} और इसलिए z पाए जाने के पश्चात् सामान्यतः इसे छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, समस्या को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है।
 * <math>Mz+q \geqslant 0</math>
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 * <math>z^{\mathrm{T}}(Mz+q) = 0</math> (पूरक स्थिति)
-==उत्तल द्विघात-न्यूनीकरण: न्यूनतम शर्तें==
+=='''उत्तल द्विघात-न्यूनीकरण: न्यूनतम शर्तें'''==
-रैखिक संपूरकता समस्या का समाधान खोजना द्विघात फलन को न्यूनतम करने से जुड़ा है
+रैखिक संपूरकता समस्या का समाधान खोजना द्विघात फलन को न्यूनतम करने से जुड़ा होता है
 : <math>f(z) = z^T(Mz+q)</math>
@@ Line 23: / Line 23: @@
 : <math>{Mz}+q \geqslant 0</math>
 : <math>z \geqslant 0</math>
-ये बाधाएं सुनिश्चित करती हैं कि f हमेशा गैर-नकारात्मक है। z पर f का न्यूनतम मान 0 है यदि और केवल यदि z रैखिक संपूरकता समस्या को हल करता है।
+यह बाधाएं सुनिश्चित करती हैं कि f सदैव गैर-ऋणात्मक होता है। इस प्रकार z पर f का न्यूनतम मान 0 होता है और यदि z रैखिक संपूरकता समस्या को हल करता है।
-यदि एम सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, तो उत्तल द्विघात प्रोग्रामिंग को हल करने के लिए कोई भी एल्गोरिदम एलसीपी को हल कर सकता है। विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए बेस-एक्सचेंज पिवोटिंग एल्गोरिदम, जैसे कि लेम्के एल्गोरिदम और [[सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म]] का एक संस्करण दशकों से उपयोग किया जा रहा है। बहुपद समय जटिलता के अलावा, आंतरिक-बिंदु विधियाँ व्यवहार में भी प्रभावी हैं।
+यदि एम धनात्मक-निश्चित आव्युह है, तब उत्तल द्विघात प्रोग्रामिंग को हल करने के लिए कोई भी एल्गोरिदम एलसीपी को हल कर सकता है। विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए आधार-विनिमय पिवोटिंग एल्गोरिदम, जैसे कि लेम्के एल्गोरिदम और [[सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म]] का संस्करण दशकों से उपयोग किया जा रहा है। इस प्रकार बहुपद समय समष्टिता के अतिरिक्त, आंतरिक-बिंदु विधियाँ व्यवहार में भी प्रभावी होती हैं।
-इसके अलावा, एक द्विघात-प्रोग्रामिंग समस्या को न्यूनतम बताया गया है <math>f(x)=c^Tx+\tfrac{1}{2} x^T Qx</math> का विषय है <math>Ax \geqslant b</math> साथ ही <math>x \geqslant 0</math> Q सममिति के साथ
+इसके अतिरिक्त, द्विघात-प्रोग्रामिंग समस्या को न्यूनतम बताया गया है <math>f(x)=c^Tx+\tfrac{1}{2} x^T Qx</math> का विषय होता है <math>Ax \geqslant b</math> साथ ही <math>x \geqslant 0</math> Q सममिति के साथ
-एलसीपी को हल करने के समान ही है
+एलसीपी को हल करने के समान ही होता है
 :<math>q = \begin{bmatrix} c \\ -b \end{bmatrix}, \qquad M = \begin{bmatrix} Q & -A^T \\ A & 0 \end{bmatrix}</math>
-ऐसा इसलिए है क्योंकि QP समस्या की करुश-कुह्न-टकर स्थितियों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
+ऐसा इसलिए होता है जिससे कि QP समस्या की करुश-कुह्न-टकर स्थितियों को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
 :<math>\begin{cases}
@@ Line 40: / Line 40: @@
 x^{T} v+ {\lambda}^T s = 0
 \end{cases}</math>
-गैर-नकारात्मकता बाधाओं पर लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के साथ, λ <!-- Lagrange  -->असमानता बाधाओं पर गुणक, और असमानता बाधाओं के लिए सुस्त चर। चौथी स्थिति चरों के प्रत्येक समूह की संपूरकता से उत्पन्न होती है {{math|(''x'', ''s'')}} इसके केकेटी वैक्टर (इष्टतम लैग्रेंज मल्टीप्लायर) के सेट के साथ {{math|(''v'', ''λ'')}}. उस मामले में,
+गैर-ऋणात्मकता बाधाओं पर लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के साथ, λ असमानता बाधाओं पर गुणक, और असमानता बाधाओं के लिए असमानता चर चौथी स्थिति चरों के प्रत्येक समूह की संपूरकता असमानता से उत्पन्न होती है।  इसके केकेटी सदिश (इष्टतम लैग्रेंज मल्टीप्लायर) के समुच्चय के साथ {{math|(''v'', ''λ'')}}. उस स्थितियों में,
 : <math>z = \begin{bmatrix} x \\ \lambda \end{bmatrix}, \qquad w = \begin{bmatrix} v \\ s \end{bmatrix}</math>
-यदि x पर गैर-नकारात्मकता बाधा में ढील दी जाती है, तो LCP समस्या की आयामीता को असमानताओं की संख्या तक कम किया जा सकता है, जब तक कि Q गैर-एकवचन है (जो कि सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स होने पर गारंटी है)। गुणक v अब मौजूद नहीं हैं, और पहली केकेटी शर्तों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
+यदि x पर गैर-ऋणात्मकता बाधा में ढील दी जाती है, तब एलसीपी समस्या की आयामीता को असमानताओं की संख्या तक कम किया जा सकता है, जब तक कि Q गैर-एकवचन है (जो कि धनात्मक-निश्चित आव्युह होने पर गारंटी है)।इस प्रकार गुणक v अभी उपस्तिथ नहीं हैं, और पहली केकेटी शर्तों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है।
 : <math>Q x = A^{T} {\lambda} - c</math>
-या:
+या
 : <math> x = Q^{-1}(A^{T} {\lambda} - c)</math>
-दोनों पक्षों को पहले A से गुणा करने और b घटाने पर हमें प्राप्त होता है:
+दोनों पक्षों को पहले A से गुणा करने और b घटाने पर हमें प्राप्त होता है।
 : <math> A x - b = A Q^{-1}(A^{T} {\lambda} - c) -b \,</math>
-दूसरी केकेटी स्थिति के कारण बाईं ओर, एस है। प्रतिस्थापित करना और पुनः व्यवस्थित करना:
+दूसरी केकेटी स्थिति के कारण बाईं ओर, एस होता है। इस प्रकार प्रतिस्थापित करना और पुनः व्यवस्थित करना
 : <math> s = (A Q^{-1} A^{T}) {\lambda} + (- A Q^{-1} c - b )\,</math>
@@ Line 61: / Line 61: @@
 q &:=  (- A Q^{-1} c - b)
 \end{align}</math>
-स्लैक वेरिएबल्स और उनके लैग्रेंज गुणक λ के बीच संपूरकता के संबंध के कारण, हमारे पास एक एलसीपी है। एक बार जब हम इसे हल कर लेते हैं, तो हम पहली केकेटी स्थिति के माध्यम से λ से x का मान प्राप्त कर सकते हैं।
+असमानता चर और उनके लैग्रेंज गुणक λ के मध्य संपूरकता के संबंध के कारण, हमारे पास एलसीपी होता है। इस प्रकार प्रत्येक बार जब हम इसे हल कर लेते हैं, तब हम पहली केकेटी स्थिति के माध्यम से λ से x का मान प्राप्त कर सकते हैं।
-अंत में, अतिरिक्त समानता बाधाओं को संभालना भी संभव है:
+अंत में, अतिरिक्त समानता बाधाओं को संभालना भी संभव होता है।
 : <math>A_{eq}x = b_{eq}</math>
-यह लैग्रेंज मल्टीप्लायरों μ के एक वेक्टर का परिचय देता है, जिसका आयाम समान है <math>b_{eq}</math>.
+यह लैग्रेंज मल्टीप्लायरों μ के सदिश का परिचय देता है, जिसका आयाम <math>b_{eq}</math> के समान होता है।
-यह सत्यापित करना आसान है कि एलसीपी प्रणाली के लिए एम और क्यू <math> s = M {\lambda} + Q</math> अब इन्हें इस प्रकार व्यक्त किया गया है:
+यह सत्यापित करना सरल होता है कि एलसीपी प्रणाली के लिए एम और क्यू <math> s = M {\lambda} + Q</math> अभी इन्हें इस प्रकार व्यक्त किया गया है।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 74: / Line 74: @@
 q &:= - \begin{bmatrix} A & 0 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} Q & A_{eq}^{T} \\ -A_{eq} & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ b_{eq} \end{bmatrix} - b
 \end{align}</math>
-λ से अब हम x और समानता के लैग्रेंज गुणक दोनों के मान पुनर्प्राप्त कर सकते हैं μ:
+λ से अभी हम x और समानता के लैग्रेंज गुणक दोनों के मान μ पुनर्प्राप्त कर सकते हैं।
 :<math>\begin{bmatrix} x \\ \mu \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q & A_{eq}^{T} \\ -A_{eq} & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^T \lambda - c \\ -b_{eq} \end{bmatrix}</math>
-वास्तव में, अधिकांश क्यूपी सॉल्वर एलसीपी फॉर्मूलेशन पर काम करते हैं, जिसमें [[आंतरिक बिंदु विधि]], प्रिंसिपल/पूरक पिवोटिंग और [[सक्रिय सेट]] विधियां शामिल हैं।{{sfnp|Murty|1988}}{{sfnp|Cottle|Pang|Stone|1992}} एलसीपी समस्याओं को [[क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म]] द्वारा भी हल किया जा सकता है,{{sfnp|Fukuda|Namiki|1994}}{{sfnp|Fukuda|Terlaky|1997}}{{sfnp|den Hertog|Roos|Terlaky|1993}}{{sfnp|Csizmadia|Illés|2006}} इसके विपरीत, रैखिक संपूरकता समस्याओं के लिए, क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म केवल तभी समाप्त होता है जब मैट्रिक्स पर्याप्त मैट्रिक्स हो।{{sfnp|den Hertog|Roos|Terlaky|1993}}{{sfnp|Csizmadia|Illés|2006}} पर्याप्त मैट्रिक्स एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स और पी-मैट्रिक्स दोनों का एक सामान्यीकरण है, जिसके प्रमुख नाबालिग प्रत्येक सकारात्मक हैं।{{sfnp|den Hertog|Roos|Terlaky|1993}}{{sfnp|Csizmadia|Illés|2006}}{{sfnp|Cottle|Pang|Venkateswaran|1989}}
+वास्तव में, अधिकांश क्यूपी सॉल्वर एलसीपी सूत्रीकरण पर कार्य करते हैं, जिसमें [[आंतरिक बिंदु विधि]], प्रिंसिपल/पूरक पिवोटिंग और [[सक्रिय सेट|सक्रिय समुच्चय]] विधियां सम्मिलित होती हैं।{{sfnp|Murty|1988}}{{sfnp|Cottle|Pang|Stone|1992}} एलसीपी समस्याओं को [[क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म]] द्वारा भी हल किया जा सकता है,{{sfnp|Fukuda|Namiki|1994}}{{sfnp|Fukuda|Terlaky|1997}}{{sfnp|den Hertog|Roos|Terlaky|1993}}{{sfnp|Csizmadia|Illés|2006}} इसके विपरीत, रैखिक संपूरकता समस्याओं के लिए, क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म केवल तभी समाप्त होता है जब आव्युह पर्याप्त आव्युह होता है।{{sfnp|den Hertog|Roos|Terlaky|1993}}{{sfnp|Csizmadia|Illés|2006}} इस प्रकार पर्याप्त आव्युह धनात्मक-निश्चित आव्युह और पी-आव्युह दोनों का सामान्यीकरण होता है, जिसके प्रमुख नाबालिग प्रत्येक धनात्मक होते हैं।{{sfnp|den Hertog|Roos|Terlaky|1993}}{{sfnp|Csizmadia|Illés|2006}}{{sfnp|Cottle|Pang|Venkateswaran|1989}}
-ऐसे एलसीपी को तब हल किया जा सकता है जब उन्हें [[ओरिएंटेड मैट्रोइड]]|ओरिएंटेड-मैट्रोइड सिद्धांत का उपयोग करके अमूर्त रूप से तैयार किया जाता है।{{sfnp|Todd|1985|}}{{sfnp|Terlaky|Zhang|1993}}{{sfnp|Björner|Las Vergnas|Sturmfels|White|1999}}
-== यह भी देखें ==
+ऐसे एलसीपी को तब हल किया जा सकता है जब उन्हें ओरिएंटेड-मैट्रोइड सिद्धांत का उपयोग करके अमूर्त रूप से तैयार किया जाता है।{{sfnp|Todd|1985|}}{{sfnp|Terlaky|Zhang|1993}}{{sfnp|Björner|Las Vergnas|Sturmfels|White|1999}}
+== '''यह भी देखें''' ==
 *पूरकता सिद्धांत
 *गेम के लिए [[भौतिकी इंजन]] आवेग/बाधा प्रकार के भौतिकी इंजन इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं।
 *[[संपर्क गतिशीलता]] नॉनस्मूथ दृष्टिकोण के साथ संपर्क गतिशीलता।
-*[[बिमैट्रिक्स गेम]]्स को एलसीपी तक कम किया जा सकता है।
+*[[बिमैट्रिक्स गेम|बिआव्युह गेम]] को एलसीपी तक कम किया जा सकता है।
-==टिप्पणियाँ==
+=='''टिप्पणियाँ'''==
 {{Reflist|24em}}
+== '''संदर्भ''' ==
-== संदर्भ ==
+* {{cite book|last1=ब्योर्नर|first1=ऐन्डर्स|author-link1=एंडर्स ब्योर्नर|last2=लास वेर्गनास|author-link2=मिशेल लास वर्गनास|first2=मिशेल|last3=स्टर्मफेल्स|first3=बर्न्ड|author-link3=बर्नड स्टर्मफेल्स|last4=सफ़ेद|first4=नील |author-link4=नील व्हाइट|last5=ज़ेग्लर |first5=Günter|author-link5=गुंटर एम. ज़िग्लर |year=1999 |title=ओरिएंटेड मैट्रोइड्स|chapter=10 रैखिक प्रोग्रामिंग |publisher=कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस|isbn=978-0-521-77750-6 |pages=417–479 |doi=10.1017/CBO9780511586507 |mr=1744046}}
-* {{cite book|last1=Björner|first1=Anders|author-link1=Anders Björner|last2=Las Vergnas|author-link2=Michel Las Vergnas|first2=Michel|last3=Sturmfels|first3=Bernd|author-link3=Bernd Sturmfels|last4=White|first4=Neil |author-link4=Neil White|last5=Ziegler |first5=Günter|author-link5=Günter M. Ziegler |year=1999 |title=Oriented Matroids|chapter=10 Linear programming |publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-77750-6 |pages=417–479 |doi=10.1017/CBO9780511586507 |mr=1744046}}
+* {{cite journal|last1=कोटले|first1=आर. डब्ल्यू.|last2=डेंटज़िग|first2=जी. बी.|author-link2=जी. बी. डेंटज़िग |title=गणितीय प्रोग्रामिंग का पूरक धुरी सिद्धांत |journal=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग |volume=1 |pages=103–125 |date=1968|doi=10.1016/0024-3795(68)90052-9|doi-access=मुक्त}}
-* {{cite journal|last1=Cottle|first1=R. W.|last2=Dantzig|first2=G. B.|author-link2=G. B. Dantzig |title=Complementary pivot theory of mathematical programming |journal=Linear Algebra and Its Applications |volume=1 |pages=103–125 |date=1968|doi=10.1016/0024-3795(68)90052-9|doi-access=free}}
+* {{cite book|last1=कोटले|first1=रिचर्ड डब्ल्यू.|last2=Pang|first2=Jong-Shi|last3=पत्थर|first3=रिचर्ड ई. |title=रैखिक संपूरकता समस्या | series=कंप्यूटर विज्ञान और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग |publisher=अकादमिक प्रेस, इंक. |location=बोस्टन, एमए|year=1992|pages=xxiv+762 pp|isbn=978-0-12-192350-1 |mr=1150683}}
-* {{cite book|last1=Cottle|first1=Richard W.|last2=Pang|first2=Jong-Shi|last3=Stone|first3=Richard E. |title=The linear complementarity problem | series=Computer Science and Scientific Computing |publisher=Academic Press, Inc. |location=Boston, MA|year=1992|pages=xxiv+762 pp|isbn=978-0-12-192350-1 |mr=1150683}}
+* {{cite journal|last1=कोटले|first1=आर. डब्ल्यू.|authorlink1=रिचर्ड डब्ल्यू कॉटल|last2=Pang|first2=जे.-एस. |last3=वेंकटेश्वरन|first3=वी|title=पर्याप्त आव्यूह और रैखिक संपूरकता समस्या |journal=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|volume=114–115|date=मार्च-अप्रैल 1989|pages=231–249 |doi=10.1016/0024-3795(89)90463-1|mr=986877|doi-access=free}}
-* {{cite journal|last1=Cottle|first1=R. W.|authorlink1=Richard W. Cottle|last2=Pang|first2=J.-S. |last3=Venkateswaran|first3=V.|title=Sufficient matrices and the linear complementarity problem |journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=114–115|date=March–April 1989|pages=231–249 |doi=10.1016/0024-3795(89)90463-1|mr=986877|doi-access=free}}
+* {{cite journal|first1=Zsolt|last1=Csizmadia|first2=Tibor|last2=Illés|title=पर्याप्त मैट्रिक्स के साथ रैखिक संपूरकता समस्याओं के लिए नए क्रिस-क्रॉस प्रकार के एल्गोरिदम|journal=अनुकूलन के तरीके और सॉफ्टवेयर|volume=21 |year=2006|number=2|pages=247–266 |doi=10.1080/10556780500095009 |s2cid=24418835 |url=http://www.cs.elte.hu/opres/orr/download/ORR03_1.pdf}}
-* {{cite journal|first1=Zsolt|last1=Csizmadia|first2=Tibor|last2=Illés|title=New criss-cross type algorithms for linear complementarity problems with sufficient matrices|journal=Optimization Methods and Software|volume=21 |year=2006|number=2|pages=247–266 |doi=10.1080/10556780500095009 |s2cid=24418835 |url=http://www.cs.elte.hu/opres/orr/download/ORR03_1.pdf}}
+* {{cite journal|last1=Fukuda|first1=Komei|authorlink1=Komei Fukuda|last2=Namiki|first2=Makoto|title=मूर्ति की न्यूनतम सूचकांक पद्धति के चरम व्यवहार पर|journal=गणितीय प्रोग्रामिंग|date=मार्च 1994|pages=365–370|volume=64|issue=1|doi=10.1007/BF01582581|mr=1286455|s2cid=21476636}}
-* {{cite journal|last1=Fukuda|first1=Komei|authorlink1=Komei Fukuda|last2=Namiki|first2=Makoto|title=On extremal behaviors of Murty's least index method|journal=Mathematical Programming|date=March 1994|pages=365–370|volume=64|issue=1|doi=10.1007/BF01582581|mr=1286455|s2cid=21476636}}
+* {{cite journal|first1=Komei|last1=Fukuda <!-- authorlink1=Komei Fukuda -->|first2=Tamás|last2=Terlaky <!-- authorlink2=Tamás Terlaky -->|title=क्रिस-क्रॉस विधियाँ: पिवट एल्गोरिदम पर एक ताज़ा दृष्टिकोण |journal=गणितीय प्रोग्रामिंग, श्रृंखला बी|volume=79|issue=1–3| pages=369–395|series=1997 में लॉज़ेन में आयोजित गणितीय प्रोग्रामिंग पर 16वीं अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी के पेपर |editor=थॉमस एम. लिबलिंग |editor2=डोमिनिक डे वेरा |year=1997 |doi=10.1007/BF02614325|mr=1464775 |citeseerx=10.1.1.36.9373 |s2cid=2794181 |id=[http://www.cas.mcmaster.ca/~terlaky/files/crisscross.ps Postscript preprint]}}
-* {{cite journal|first1=Komei|last1=Fukuda <!-- authorlink1=Komei Fukuda -->|first2=Tamás|last2=Terlaky <!-- authorlink2=Tamás Terlaky -->|title=Criss-cross methods: A fresh view on pivot algorithms |journal=Mathematical Programming, Series B|volume=79|issue=1–3| pages=369–395|series=Papers from the 16th International Symposium on Mathematical Programming held in Lausanne, 1997 |editor=Thomas M. Liebling |editor2=Dominique de Werra |year=1997 |doi=10.1007/BF02614325|mr=1464775 |citeseerx=10.1.1.36.9373 |s2cid=2794181 |id=[http://www.cas.mcmaster.ca/~terlaky/files/crisscross.ps Postscript preprint]}}
+* {{cite journal|first1=D.|last1=डेन हर्टोग|first2=C.|last2=Roos|first3=T.|last3=टर्लाकी|title=रैखिक संपूरकता समस्या, पर्याप्त मैट्रिक्स और क्रिस-क्रॉस विधि| journal=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग |volume=187|date=1 July 1993|pages=1–14|url=http://core.ac.uk/download/pdf/6714737.pdf|doi=10.1016/0024-3795(93)90124-7|doi-access=free}}
-* {{cite journal|first1=D.|last1=den Hertog|first2=C.|last2=Roos|first3=T.|last3=Terlaky|title=The linear complementarity problem, sufficient matrices, and the criss-cross method| journal=Linear Algebra and Its Applications |volume=187|date=1 July 1993|pages=1–14|url=http://core.ac.uk/download/pdf/6714737.pdf|doi=10.1016/0024-3795(93)90124-7|doi-access=free}}
+* {{cite journal|last1=Murty|first1=कट्टा जी.|title=संपूरकता समस्या के समाधानों की संख्या और पूरक शंकुओं के फैलाव गुणों पर|journal=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग |date=जनवरी 1972 |volume=5 |issue=1|pages=65–108 |doi=10.1016/0024-3795(72)90019-5 |hdl=2027.42/34188 |url=https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/34188/1/0000477.pdf|hdl-access=free }}
-* {{cite journal|last1=Murty|first1=Katta G.|title=On the number of solutions to the complementarity problem and spanning properties of complementary cones|journal=Linear Algebra and Its Applications |date=January 1972 |volume=5 |issue=1|pages=65–108 |doi=10.1016/0024-3795(72)90019-5 |hdl=2027.42/34188 |url=https://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/34188/1/0000477.pdf|hdl-access=free }}
+* {{cite book|last=मूर्ति|first=K. G.|title=रैखिक संपूरकता, रैखिक और अरेखीय प्रोग्रामिंग |series=अनुप्रयुक्त गणित में सिग्मा श्रृंखला|volume=3|publisher=हेल्डरमैन वेरलाग|location=बर्लिन|year=1988 |isbn=978-3-88538-403-8 |url=http://ioe.engin.umich.edu/people/fac/books/murty/linear_complementarity_webbook/ |mr=949214|id=[http://www-personal.umich.edu/~murty/ Updated and free PDF version at Katta G. Murty's website]|archive-url=https://web.archive.org/web/20100401043940/http://ioe.engin.umich.edu/people/fac/books/murty/linear_complementarity_webbook/|archive-date=2010-04-01|url-status=dead}}
-* {{cite book|last=Murty|first=K. G.|title=Linear complementarity, linear and nonlinear programming |series=Sigma Series in Applied Mathematics|volume=3|publisher=Heldermann Verlag|location=Berlin|year=1988 |isbn=978-3-88538-403-8 |url=http://ioe.engin.umich.edu/people/fac/books/murty/linear_complementarity_webbook/ |mr=949214|id=[http://www-personal.umich.edu/~murty/ Updated and free PDF version at Katta G. Murty's website]|archive-url=https://web.archive.org/web/20100401043940/http://ioe.engin.umich.edu/people/fac/books/murty/linear_complementarity_webbook/|archive-date=2010-04-01|url-status=dead}}
+* {{cite book|last=टेलर|first=जोशुआ एडम|year=2015|title=विद्युत प्रणालियों का उत्तल अनुकूलन |publisher=कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस |isbn=9781107076877 |url=https://books.google.com/books?id=JBdoBgAAQBAJ}}
-* {{cite book|last=Taylor|first=Joshua Adam|year=2015|title=Convex Optimization of Power Systems |publisher=Cambridge University Press |isbn=9781107076877 |url=https://books.google.com/books?id=JBdoBgAAQBAJ}}
+* {{cite journal|last1=टर्लाकी|first1=Tamás <!-- authorlink1=Tamás Terlaky -->|last2=Zhang|first2=Shu Zhong |title=रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए धुरी नियम: हाल के सैद्धांतिक विकास पर एक सर्वेक्षण|series=अनुकूलन समस्याओं में गिरावट|journal=संचालन अनुसंधान के इतिहास|volume=46–47|year=1993|issue=1|pages=203–233 |doi=10.1007/BF02096264|mr=1260019|citeseerx=10.1.1.36.7658 |s2cid=6058077|issn=0254-5330}}
-* {{cite journal|last1=Terlaky|first1=Tamás <!-- authorlink1=Tamás Terlaky -->|last2=Zhang|first2=Shu Zhong |title=Pivot rules for linear programming: A Survey on recent theoretical developments|series=Degeneracy in optimization problems|journal=Annals of Operations Research|volume=46–47|year=1993|issue=1|pages=203–233 |doi=10.1007/BF02096264|mr=1260019|citeseerx=10.1.1.36.7658 |s2cid=6058077|issn=0254-5330}}
+*{{cite journal|last=टॉड|first=Michael J.|author-link=माइकल जे. टॉड (गणितज्ञ)|title=ओरिएंटेड मैट्रोइड्स में रैखिक और द्विघात प्रोग्रामिंग|journal=कॉम्बिनेटोरियल थ्योरी का जर्नल|series=सीरीज बी |volume=39 |year=1985 |issue=2|pages=105–133|mr=811116|doi=10.1016/0095-8956(85)90042-5 |doi-access=free}}
-*{{cite journal|last=Todd|first=Michael J.|author-link=Michael J. Todd (mathematician)|title=Linear and quadratic programming in oriented matroids|journal=Journal of Combinatorial Theory|series=Series B |volume=39 |year=1985 |issue=2|pages=105–133|mr=811116|doi=10.1016/0095-8956(85)90042-5 |doi-access=free}}
 ==अग्रिम पठन==
-*{{cite web | url=http://www.utdallas.edu/~chandra/documents/6311/bimatrix.pdf | title=Bimatrix games | accessdate=18 December 2015 | author=R. Chandrasekaran | pages=5–7}}
+*{{cite web | url=http://www.utdallas.edu/~chandra/documents/6311/bimatrix.pdf | title=बिमैट्रिक्स गेम्स | accessdate=18 दिसंबर 2015 | author=आर.चंद्रशेखरन | pages=5–7}}
 == बाहरी संबंध ==
-* [https://web.archive.org/web/20041029022008/http://www.american.edu/econ/gaussres/optimize/quadprog.src LCPSolve] &mdash; A simple procedure in GAUSS to solve a linear complementarity problem
+* [https://web.archive.org/web/20041029022008/http://www.american.edu/econ/gaussres/optimize/quadprog.src एलसीपीसोल्व] &mdash; रैखिक संपूरकता समस्या को हल करने के लिए GAUSS में सरल प्रक्रिया
-* [[Siconos]]/Numerics open-source GPL  implementation in C of Lemke's algorithm and other methods to solve LCPs and MLCPs
+* [[Siconos|सिकोनोस]]/लेम्के के एल्गोरिदम के सी में न्यूमेरिक्स ओपन-सोर्स जीपीएल कार्यान्वयन और एलसीपी और एमएलसीपी को हल करने के अन्य तरीके।
-{{Mathematical programming}}
-[[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: गणितीय अनुकूलन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:CS1 errors]]
 [[Category:Created On 10/07/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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