क्वांटम समूह: Difference between revisions

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गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "क्वांटम समूह" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है,  यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।
गणित और [[सैद्धांतिक भौतिकी]] में, "'''क्वांटम समूह'''" शब्द एक ऐसे कई भिन्न प्रकार के गैर-सामयिक बीजगणितीय समूहों का संक्षेपण करता है जिनमें अतिरिक्त संरचना होती है। ये क्वांटम समूह नामक गणितीय संरचनाएँ सम्मिलित हैं, जिनमें ड्रिंफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह, संक्षिप्त आव्यूह क्वांटम समूह, और बाईक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह सम्मिलित होते हैं। अपने नाम के अतिरिक्त, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है,  यद्यपि वे किसी रूप में 'समूह' के नज़दीक होते हैं।


"क्वांटम समूह" शब्द पहले क्वांटम एकीकरणीय प्रणालियों के सिद्धांत में प्रकट हुआ था, जिसे फिर [[व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड]] और [[मिचियो जिम्बो]] ने एक विशेष प्रकार के हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में सार्वजनिक बनाया गया। यही शब्द दूसरी भी हॉप्फ़ बीजगणितओं के लिए उपयोग किया जाता है जो गणितीय लिए समान्तर रूप से या क्लासिकल ली समूहों या ली बीजगणितओं के निग्रानीयता से अलग होते हैं, जैसे एक "बाईक्रॉसप्रोडक्ट" क्वांटम समूह जिसे शाहन मजिद ने ड्रिंफेल्ड और जिम्बो के काम के बाद थोड़ी देर बाद प्रस्तुत किया गया था।
शब्द "क्वांटम समूह" पहली बार क्वांटम इंटीग्रेबल सिस्टम के सिद्धांत में दिखाई दिया, जिसे तब व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो द्वारा हॉपफ बीजगणित के एक विशेष वर्ग के रूप में औपचारिक रूप दिया गया था। इसी शब्द का उपयोग अन्य हॉपफ बीजगणितों के लिए भी किया जाता है जो विकृत हैं  या ली बीजगणित के नज़दीक हैं, जैसे कि ड्रिनफेल्ड और जिम्बो के काम के कुछ समय बाद शाहन माजिद द्वारा शुरू किए गए क्वांटम समूहों का "बाइक्रॉसप्रोडक्ट" वर्ग।


ड्रिंफेल्ड के दृष्टिकोण से, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित|सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित]] बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित सेमीसिम्पल बीजगणितीय बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं।
ड्रिनफेल्ड के दृष्टिकोण में, क्वांटम समूह हॉप्फ़ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं जो एक सहायक पैरामीटर q या h पर निर्भर करते हैं, जो q = 1 या h = 0 होने पर एक विशेष प्रकार के ली बीजगणित के [[सार्वभौमिक आवरण बीजगणित|सार्वभौमिक आच्छादक बीजगणित]] बन जाते हैं। ये ली बीजगणितएं प्रायः अर्धसरल या अफाइन होती हैं। इनसे जुड़े कुछ संबंधित दोहरे विषय भी होते हैं, जो भी हॉप्फ़ बीजगणितएं होते हैं और जिन्हें क्वांटम समूह के रूप में जाना जाता है। इन्हें भी हम क्वांटम समूह कहते हैं। ये संबंधित अर्धसरल बीजगणित या एक सुसम्बद्ध ली समूह पर फलन के बीजगणित को विकृत करते हैं।


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यदि A = (aij) [[कार्टन मैट्रिक्स|कार्टन आव्यूह]] है केएसी-मूडी बीजगणित की, और q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह Uq(G), जहां G वह ली बीजगणित है जिसकी कार्तन आव्यूह A है, निम्नलिखित रूप में परिभाषित होता है:
यदि A = (aij) [[कार्टन मैट्रिक्स|कार्टन आव्यूह]] है केएसी-मूडी बीजगणित की, और q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह Uq(G), जहां G वह ली बीजगणित है जिसकी कार्तन आव्यूह A है, निम्नलिखित रूप में परिभाषित होता है:


यह एक एककीय एसोसिएटिव बीजगणित है जिसमें जेनरेटर kλ (जहां λ वेट जाली का एक तत्व है, अर्थात् सभी i के लिए 2(λ, αi)/(αi, αi) एक पूर्णांक है, और सरल मूल αi के लिए ei और fi होते हैं, जो निम्नलिखित संबंधों के अधीन होते हैं:
यह एक एककीय एसोसिएटिव बीजगणित है जिसमें जनित्र ''k<sub>λ</sub>'' जहां λ भार  जाली का एक तत्व है, अर्थात् सभी i के लिए 2(λ, αi)/(αi, αi) एक पूर्णांक है, और सरल मूल αi के लिए ei और fi होते हैं, जो निम्नलिखित संबंधों के अधीन होते हैं:
:<math>\begin{align}
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k_0 &= 1 \\
k_0 &= 1 \\
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  \left [e_i, f_j \right ] &= \delta_{ij} \frac{k_i - k_i^{-1}}{q_i - q_i^{-1}} && k_i = k_{\alpha_i}, q_i = q^{\frac{1}{2}(\alpha_i,\alpha_i)} \\
  \left [e_i, f_j \right ] &= \delta_{ij} \frac{k_i - k_i^{-1}}{q_i - q_i^{-1}} && k_i = k_{\alpha_i}, q_i = q^{\frac{1}{2}(\alpha_i,\alpha_i)} \\
\end{align}</math>
\end{align}</math>
और i ≠ j के लिए हमारे पास q-सेरे संबंध हैं, जो [[ जीन पियरे सेरे ]] संबंधों की विकृति हैं:
और i ≠ j के लिए हमारे पास q-सेरे संबंध हैं, जो [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] संबंधों की विकृति हैं:


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:<math>k_{\lambda} \to 1, \qquad \frac{k_\lambda - k_{-\lambda}}{q - q^{-1}} \to t_\lambda</math>
:<math>k_{\lambda} \to 1, \qquad \frac{k_\lambda - k_{-\lambda}}{q - q^{-1}} \to t_\lambda</math>
और टी<sub>λ</sub>कार्टन उपबीजगणित का तत्व संतोषजनक है (टी<sub>λ</sub>, h) = λ(h) कार्टन उपबीजगणित में सभी h के लिए।
और tλ कार्टन उप-बीजगणित का तत्व है जो कार्टन उप-बीजगणित में सभी h के लिए (tλ, h) = λ(h) को संतुष्ट करता है।


विभिन्न [[कोलजेब्रा]] हैं जिनके अंतर्गत ये बीजगणित हॉपफ बीजगणित हैं, उदाहरण के लिए,
ऐसे विभिन्न सहसंबंधी सहउत्पाद हैं जिनके अंतर्गत ये बीजगणित हॉपफ बीजगणित हैं, उदाहरण के लिए,


:<math> \begin{array}{lll}
:<math> \begin{array}{lll}
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\Delta_3(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda & \Delta_3(e_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}} & \Delta_3(f_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}
\Delta_3(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda & \Delta_3(e_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}} & \Delta_3(f_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}
\end{array}</math>
\end{array}</math>
जहां, यदि आवश्यक हो, तो k को शामिल करने के लिए जनरेटर का सेट बढ़ाया गया है<sub>λ</sub>λ के लिए जो भार जालक के एक तत्व और मूल जालक के आधे तत्व के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
जहां आवश्यकता हो, वहां जनित्रो का समुच्चय विस्तारित किया गया है जिससे इसमें kλ भी सम्मिलित हो, जहां λ भार जाली के तत्व और रूट जाली के आधे तत्व के योग से व्यक्त किया जा सकता है।


इसके अलावा, कोई भी हॉपफ बीजगणित उलटे सहउत्पाद टी के साथ दूसरे की ओर ले जाता है <small> o </small> Δ, जहां T को T(x ⊗ y) = y ⊗ x द्वारा दिया गया है, जिससे तीन और संभावित संस्करण मिलते हैं।
इसके अतिरिक्त, कोई भी हॉपफ बीजगणित उलटे सहउत्पाद T o Δ के साथ दूसरे की ओर ले जाता है, जहां T को T(x ⊗ y) = y ⊗ x द्वारा दिया जाता है, जिससे तीन और संभावित संस्करण मिलते हैं।


यू पर गिनती<sub>''q''</sub>(ए) इन सभी सह-उत्पादों के लिए समान है: ε(k<sub>λ</sub>) = 1, ई(ई<sub>i</sub>) = ई(एफ<sub>i</sub>) = 0, और उपरोक्त सह-उत्पादों के लिए संबंधित हॉपफ बीजगणित इस प्रकार दिया गया है
इन सभी सह-उत्पादों के लिए Uq(A) पर गणक समान है: ε(kλ) = 1, ε(ei) = ε(fi) = 0, और उपरोक्त सह-उत्पादों के लिए संबंधित प्रतिध्रुव इस प्रकार दिए गए हैं


:<math> \begin{array}{lll}
:<math> \begin{array}{lll}
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S_3(k_\lambda) = k_{-\lambda} & S_3(e_i) = - q_i e_i & S_3(f_i) = - q_i^{-1} f_i
S_3(k_\lambda) = k_{-\lambda} & S_3(e_i) = - q_i e_i & S_3(f_i) = - q_i^{-1} f_i
\end{array}</math>
\end{array}</math>
वैकल्पिक रूप से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) को 'सी' (क्यू) क्षेत्र पर एक बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जो 'सी' पर एक अनिश्चित क्यू के सभी [[तर्कसंगत कार्य]]ों का क्षेत्र है।
वैकल्पिक रूप से, क्वांटम समूह Uq(G) को क्षेत्र C(q) पर एक बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जो C पर एक अनिश्चित q के सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है।


इसी प्रकार, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) को क्षेत्र 'क्यू' (क्यू) पर एक बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जो 'क्यू' पर एक अनिश्चित क्यू के सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है (क्यू = 0 पर क्वांटम समूहों पर अनुभाग में नीचे देखें)। क्वांटम समूह के केंद्र को क्वांटम निर्धारक द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
इसी प्रकार, क्वांटम समूह Uq(G) को क्षेत्र Q(q) पर एक बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जो Q पर एक अनिश्चित q के सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है। क्वांटम समूह के केंद्र को क्वांटम निर्धारक द्वारा वर्णित किया जा सकता है।


===प्रतिनिधित्व सिद्धांत===
===प्रतिनिधित्व सिद्धांत===
जिस तरह केएसी-मूडी बीजगणित और उनके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के लिए कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं, उसी तरह क्वांटम समूहों के लिए भी कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं।
जिस तरह केएसी-मूडी बीजगणित और उनके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के लिए कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं, उसी तरह क्वांटम समूहों के लिए भी कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं।


जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित का मामला है, यू<sub>q</sub>(जी) के पास एक मॉड्यूल के रूप में स्वयं पर एक [[सहायक एंडोमोर्फिज्म]] है, जिसके द्वारा कार्रवाई दी जा रही है
जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित के मामले में है, ''U<sub>q</sub>''(''G'') के पास एक अनुखण्ड  के रूप में स्वयं पर एक [[सहायक एंडोमोर्फिज्म|सहायक प्रतिनिधित्व]] है, जिसके द्वारा अनुयोजन दी जा रही है
:<math>\mathrm{Ad}_x \cdot y = \sum_{(x)} x_{(1)} y S(x_{(2)}),</math>
:<math>\mathrm{Ad}_x \cdot y = \sum_{(x)} x_{(1)} y S(x_{(2)}),</math>
कहाँ
जहाँ
:<math>\Delta(x) = \sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)}.</math>
:<math>\Delta(x) = \sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)}.</math>




====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है====
====केस 1: ''q'' एकता की जड़ नहीं है====
एक महत्वपूर्ण प्रकार का प्रतिनिधित्व वजन प्रतिनिधित्व है, और संबंधित [[मॉड्यूल (गणित)]] को वजन मॉड्यूल कहा जाता है। वेट मॉड्यूल वेट वैक्टर के आधार पर एक मॉड्यूल है। एक भार वेक्टर एक गैर-शून्य वेक्टर v है जैसे कि k<sub>λ</sub>· में = डी<sub>λ</sub>v सभी λ के लिए, जहां d<sub>λ</sub>सभी भारों के लिए जटिल संख्याएँ हैं λ जैसे कि
एक महत्वपूर्ण प्रकार की प्रतिनिधि है एक भार प्रतिनिधि, और इससे संबंधित अनुखण्ड को भार अनुखण्ड कहते हैं। भार  अनुखण्ड  एक अनुखण्ड  है जिसमें भार सदिशो के आधार से बना होता है। भार सदिश एक गैर-शून्य सदिश v है जिसके लिए सभी भार λ के लिए kλ · v = dλv होता है, जहां dλ सभी भार λ के लिए एक मिश्रित संख्या होता है, जैसा कि dλ के सभी भार λ के लिए होता है।


:<math>d_0 = 1,</math>
:<math>d_0 = 1,</math>
:<math>d_\lambda d_\mu = d_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ।
:<math>d_\lambda d_\mu = d_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ।


यदि ई की क्रियाएं होती हैं तो एक वजन मॉड्यूल को इंटीग्रेबल कहा जाता है<sub>i</sub>और एफ<sub>i</sub>स्थानीय रूप से निलपोटेंट हैं (यानी मॉड्यूल में किसी भी वेक्टर v के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक k मौजूद है, संभवतः v पर निर्भर है, जैसे कि <math>e_i^k.v = f_i^k.v = 0</math> सभी के लिए मैं)। पूर्णांक मॉड्यूल के मामले में, सम्मिश्र संख्याएँ d<sub>''λ''</sub> एक वजन वेक्टर संतुष्ट के साथ जुड़ा हुआ है <math>d_\lambda = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)}</math>,{{Citation needed|date=July 2016}} जहां ν भार जाली का एक तत्व है, और सी<sub>λ</sub>ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं
भार  अनुखण्ड को "संयुक्त" कहा जाता है यदि ''e<sub>i</sub>'' और ''f<sub>i</sub>'' के क्रियाएँ स्थानिक शून्य हों अर्थात अनुखण्ड में किसी भी सदिश ''v'' के लिए, ''v'' पर निर्भर करते हुए एक सकारात्मक पूर्णांक ''k'' होता है, जो संभवतः ''v'' पर निर्भर करता है, ऐसा कि <math>e_i^k.v = f_i^k.v = 0</math> होता है सभी ''i'' के लिए। संयुक्त अनुखण्ड के विषय में, भार सदिश के साथ जुड़े जटिल संख्याएँ ''d<sub>λ</sub>'' निम्नलिखित रूप में होती हैं:
 


:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> सबके लिए मैं
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> सभी के लिए ''i''.
 
 
 
विशेष रूप से [[उच्चतम-वजन प्रतिनिधित्व|उच्चतम-भार  प्रतिनिधित्व]] और उससे संबंधित उच्चतम-भार अनुखंड बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। एक उच्चतम-भार अनुखंड  एक अनुखंड होता है जो भार  सदिश ''v'' द्वारा उत्पन्न किया गया होता है, जो सभी भार ''μ'' के लिए ''k<sub>λ</sub>'' · ''v'' = ''d<sub>λ</sub>v'' और सभी ''i'' के लिए ''e<sub>i</sub>'' · ''v'' = 0 को पूरा करता हो। इसी तरह, क्वांटम समूह के पास एक निम्नतम-भार प्रतिनिधित्व और उससे संबंधित निम्नतम-भार अनुखंड हो सकता है, जो एक भार सदिश ''v'' द्वारा उत्पन्न किया जाता है, जो सभी भार  ''λ'' के लिए ''k<sub>λ</sub>'' · ''v'' = ''d<sub>λ</sub>v'' और सभी ''i'' के लिए ''f<sub>i</sub>'' · ''v'' = 0 को पूरा करता है।


विशेष रुचि के उच्चतम-वजन वाले अभ्यावेदन और संबंधित उच्चतम-वजन वाले मॉड्यूल हैं। उच्चतम भार मॉड्यूल एक भार वेक्टर v द्वारा उत्पन्न मॉड्यूल है, जो k के अधीन है<sub>''λ''</sub> · में = डी<sub>λ</sub>v सभी भारों के लिए μ, और e<sub>i</sub>· सभी i के लिए v = 0. इसी तरह, एक क्वांटम समूह में सबसे कम वजन प्रतिनिधित्व और सबसे कम वजन मॉड्यूल हो सकता है, यानी एक वजन वेक्टर वी द्वारा उत्पन्न मॉड्यूल, के अधीन<sub>λ</sub>· में = डी<sub>λ</sub>v सभी भारों के लिए λ, और f<sub>i</sub>· सभी i के लिए v = 0.


यदि भार ν हो तो एक सदिश v को परिभाषित करें <math>k_\lambda\cdot v = q^{(\lambda,\nu)} v</math> वजन जाली में सभी λ के लिए।


यदि G एक Kac-Moody बीजगणित है, तो U के किसी भी अघुलनशील उच्चतम भार प्रतिनिधित्व में<sub>''q''</sub>(जी), उच्चतम वजन ν के साथ, वजन की बहुलता समान उच्चतम वजन के साथ यू (जी) के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में उनकी बहुलता के बराबर होती है। यदि उच्चतम वजन प्रमुख और अभिन्न है (एक वजन μ प्रमुख और अभिन्न है यदि μ इस शर्त को पूरा करता है कि <math>2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)</math> सभी i के लिए एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है), तो जी के लिए [[वेइल समूह]] के तहत अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का वजन स्पेक्ट्रम अपरिवर्तनीय है, और प्रतिनिधित्व पूर्णांक है।
एक सदिश  ''v'' को भार  ''ν'' रखा जाता है यदि सभी भार ''λ'' के लिए <math>k_\lambda\cdot v = q^{(\lambda,\nu)} v</math> हो। यहां, ''ν'' भार  जाली का एक तत्व है और ''q'' एक गैर-शून्य जटिल संख्या है।


इसके विपरीत, यदि उच्चतम भार मॉड्यूल पूर्णांकीय है, तो इसका उच्चतम भार वेक्टर v संतुष्ट करता है <math>k_\lambda\cdot v = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)} v</math>, जहां सी<sub>''λ''</sub> · में = डी<sub>''λ''</sub>v ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं
यदि G एक काक-मूडी बीजगणित है, तो U के किसी भी अघुलनशील उच्चतम भार प्रतिनिधित्व में <sub>''q''</sub>(G), उच्चतम भार ν के साथ, भार की बहुलता समान उच्चतम भार के साथ ''U''(''G'') के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में उनकी बहुलता के बराबर होती है। यदि उच्चतम भार प्रमुख और अभिन्न है एक भार μ प्रमुख और अभिन्न है यदि μ इस शर्त को पूरा करता है कि <math>2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)</math> सभी i के लिए एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, तो ''G'' के लिए [[वेइल समूह]] के तहत अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का भार स्पेक्ट्रम अपरिवर्तनीय है, और प्रतिनिधित्व पूर्णांक है।
 
इसके विपरीत, यदि उच्चतम भार अनुखण्ड  पूर्णांकीय है, तो इसका उच्चतम भार सदिश v संतुष्ट करता है <math>k_\lambda\cdot v = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)} v</math>, जहां ''c<sub>λ</sub>'' · ''v'' = ''d<sub>λ</sub>v'' ऐसी सम्मिश्रत संख्याएँ हैं


:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_0 = 1,</math>
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},</math> सभी भारों के लिए λ और μ,
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> मैं सबके लिए,
:*<math>c_{2\alpha_i} = 1</math> ''i''  सभी लिए,


और ν प्रमुख और अभिन्न है।
और ν प्रमुख और अभिन्न है।


जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित के मामले में है, दो मॉड्यूल का [[टेंसर उत्पाद]] एक अन्य मॉड्यूल है। U के एक तत्व x के लिए<sub>q</sub>(जी), और संबंधित मॉड्यूल में वैक्टर वी और डब्ल्यू के लिए, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), ताकि <math>k_\lambda\cdot(v \otimes w) = k_\lambda\cdot v \otimes k_\lambda.w</math>, और सहउत्पाद के मामले में Δ<sub>1</sub>, <math>e_i\cdot(v \otimes w) = k_i\cdot v \otimes e_i\cdot w + e_i\cdot v \otimes w</math> और <math>f_i\cdot(v \otimes w) = v \otimes f_i\cdot w + f_i\cdot v \otimes k_i^{-1}\cdot w.</math>
जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित के स्थिति में है, दो अनुखण्ड का [[टेंसर उत्पाद]] एक अन्य अनुखण्ड है। U के एक तत्व x के लिए <sub>q</sub>(G), और संबंधित अनुखण्ड में वैक्टर ''v और''  ''w''  के लिए, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), जिससे 
ऊपर वर्णित एकीकृत उच्चतम वजन मॉड्यूल एक-आयामी मॉड्यूल का एक टेंसर उत्पाद है (जिस पर k<sub>λ</sub> = सी<sub>''λ''</sub> सभी λ के लिए, और ई<sub>i</sub>= एफ<sub>i</sub>= 0 सभी के लिए i) और एक गैर-शून्य वेक्टर v द्वारा उत्पन्न उच्चतम वजन मॉड्यूल<sub>0</sub>, का विषय है <math>k_\lambda\cdot v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> सभी भारों के लिए λ, और <math>e_i\cdot v_0 = 0</math> सबके लिए मैं
 
<math>k_\lambda\cdot(v \otimes w) = k_\lambda\cdot v \otimes k_\lambda.w</math>, और सहउत्पाद के विषय में Δ<sub>1</sub>, <math>e_i\cdot(v \otimes w) = k_i\cdot v \otimes e_i\cdot w + e_i\cdot v \otimes w</math> और <math>f_i\cdot(v \otimes w) = v \otimes f_i\cdot w + f_i\cdot v \otimes k_i^{-1}\cdot w.</math>
 
ऊपर वर्णित संयुक्त उच्चतम-भार अनुखंड एक एक-आयामीअनुखंड का एक टेंसर गुणन है (जिसमें सभी भार  ''λ'' के लिए ''k<sub>λ</sub> = c<sub>λ</sub>'' है, और सभी ''i'' के लिए ''e<sub>i</sub> = f<sub>i</sub> = 0'' है) और एक उच्चतम-भार अनुखंड जो एक गैर शून्य सदिश  ''v<sub>0</sub>'' द्वारा उत्पन्न किया गया है, जो सभी भार  ''λ'' के लिए ''k<sub>λ</sub>⋅v<sub>0</sub> = q<sup>(λ,ν)</sup>⋅v<sub>0</sub>'' और सभी ''i'' के लिए ''e<sub>i</sub>⋅v<sub>0</sub> = 0'' को पूरा करता है।
 
विशेष रूप से, जब ''G'' एक सीमित-आयामी ली बीजगणित है , तो अधिकतम अवशेष पूर्णांशी उच्चतम-भार के अपूर्णिय रूपांतरण भी सीमित-आयामी होते हैं।
 
उच्चतम-भार अनुखंण्डो के एक टेंसर गुणन के विषय में, उनके उप-अनुखंण्डो में विभाजन का वही समान होता है जो कैक-मूडी बीजगणित के संबंधितअनुखंण्डों के टेंसर गुणन के विषय में होता है उच्चतम-भार  समान होते हैं, उनकी अधिकतमता भी समान होती है।
 


विशिष्ट मामले में जहां G एक परिमित-आयामी झूठ बीजगणित है (Kac-Moody बीजगणित के एक विशेष मामले के रूप में), तो प्रमुख अभिन्न उच्चतम भार के साथ अघुलनशील प्रतिनिधित्व भी परिमित-आयामी हैं।


उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के मामले में, सबमॉड्यूल में इसका अपघटन केएसी-मूडी बीजगणित के संबंधित मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के समान होता है (उच्चतम वजन समान होते हैं, जैसे उनकी बहुलताएं होती हैं)।


====केस 2: क्यू एकता की जड़ है====
<!--- This subsubsection is waiting for input --->




===अर्धत्रिकोणीयता===


====केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है====
 
सख्ती से, क्वांटम समूह यू<sub>''q''</sub>(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, परंतु  इसे लगभग अर्धत्रिकोणीय माना जा सकता है क्योंकि इसमें एक अनंत औपचारिक योग मौजूद है जो आर-आव्यूह|आर-आव्यूह की भूमिका निभाता है। यह अनंत औपचारिक योग जेनरेटर ई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<sub>i</sub>और एफ<sub>i</sub>, और कार्टन जनरेटर टी<sub>''λ''</sub>, जहां के<sub>λ</sub>औपचारिक रूप से q से पहचाना जाता है<sup>t<sub>''λ''</sub></सुपर>. अनंत औपचारिक योग दो कारकों का गुणनफल है,{{citation needed|reason=I could not find this in references or anywhere else. Chari-Pressley has a different formula.|date=July 2016}}
 
 
 
 
====केस 2: q एकता की जड़ है====
 
== अर्धत्रिकोणीयता ==
'''केस 1''': '''q एकता की जड़ नहीं है'''
 
यद्यपि क्वांटम समूह Uq(G) नियमित त्रिकोणीय नहीं है, लेकिन इसे "लगभग त्रिकोणीय" समझा जा सकता है क्योंकि एक अनंत औपचारिक योग होता है जो आर-आव्यूह की भूमिका निभाता है। इस अनंत औपचारिक योग को उत्पन्न करने के लिए उत्पन्नकर्ता ei और fi, और कार्टन उत्पन्नकर्ता tλ के आधार पर अभिव्यक्ति किया जा सकता है, जहां kλ को औपचारिक रूप से qtλ के साथ खोला जा सकता है। इस अनंत औपचारिक योग को दो अंशों का गुणा करके प्रस्तुत किया जा सकता है।
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math>
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}</math>
और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λ<sub>''j''</sub> कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार है<sub>''j''</sub> दोहरा आधार है, और η = ±1.
और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λj कार्टन उपसमघ के प्रतियोगी स्थान के लिए एक आधार है, और μj इसके प्रतियोगी आधार हैं, और एक स्थिर चिह्न η = ±1 है।


औपचारिक अनंत योग जो आर-आव्यूह | आर-आव्यूह का हिस्सा निभाता है, दो अपरिवर्तनीय उच्चतम वजन मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर और दो सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्रवाई करता है। विशेष रूप से, यदि v का भार α है और w का भार β है, तो
 
यदि v का भार α है और w का भार β है, तो यह औपचारिक अनंत योग दो अविभाज्य उच्चतम भार अनुखंडों के अथवा दो निम्नतम भार अनुखंडों के टेंसर गुणक पर विशेष रूप से प्रभावी होगा।
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,</math>
:<math>q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,</math>
और तथ्य यह है कि मॉड्यूल दोनों उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल हैं या दोनों सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल v ⊗ W पर अन्य कारक की कार्रवाई को एक सीमित योग तक कम कर देते हैं।
यदि अनुखंड दोनों ही उच्चतम भार अनुखंड हैं या दोनों ही निम्नतम भार अनुखंड हैं, तो दूसरे फैक्टर का v ⊗ W पर प्रभाव एक सीमित योग के रूप में कम हो जाएगा।


विशेष रूप से, यदि वी एक उच्चतम वजन मॉड्यूल है, तो औपचारिक अनंत योग, आर, में वी ⊗ वी पर एक अच्छी तरह से परिभाषित, और उलटा कार्रवाई है, और आर का यह मान (अंत के एक तत्व के रूप में (वी ⊗ वी)) यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करता है, और इसलिए हमें ब्रैड समूह का प्रतिनिधित्व निर्धारित करने और [[गाँठ (गणित)]], [[लिंक (गाँठ सिद्धांत)]] और ब्रैड सिद्धांत के लिए अर्ध-अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
विशेष रूप से, यदि V एक उच्चतम वजन मॉड्यूल है, तो औपचारिक अनंत योग R, V ⊗ V पर एक स्पष्ट परिभाषित और परिवर्तनीय प्रभाव रखता है। और यह R का मान यांग-बैक्स्टर समीकरण को पूरा करता है, इससे हमें एक ब्रेड समूह के प्रतिनिधित्व को निर्धारित करने की अनुमति होती है, और कॉनट्स, लिंक्स और ब्रेड के लिए क्वासी-अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की अनुमति होती है।


====केस 2: क्यू एकता की जड़ है====
====केस 2: ''q''  एकता की जड़ है====
<!--- This subsubsection is waiting for input --->




===क्वांटम समूह q = 0=== पर
{{main|Crystal base}}


[[मसाकी काशीवारा]] ने क्यू → 0 के रूप में क्वांटम समूहों के सीमित व्यवहार पर शोध किया है, और एक विशेष रूप से अच्छा व्यवहार वाला आधार पाया है जिसे [[क्रिस्टल आधार]] कहा जाता है।
== q = 0 पर क्वांटम समूह ==
{{main|क्रिस्टल आधार}}


===रूट-सिस्टम और डायनकिन आरेख द्वारा विवरण और वर्गीकरण===
[[मसाकी काशीवारा]]  ने क्वांटम समूहों के q → 0 के सीमित  व्यवहार का अध्ययन किया है, और उन्होंने एक विशेष रूप से सुव्यवहृत आधार को "[[क्रिस्टल आधार]]" के रूप में पाया ह