समनिरंतरता: Difference between revisions

[[गणितीय विश्लेषण]] में, यदि सभी फलन सतत फलन हैं और यहां वर्णित सटीक अर्थ में, किसी दिए गए [[पड़ोस (गणित)|सामीप्य]] पर उनमें समान भिन्नता है, तो फलनों का एक परिवार '''समनिरंतर''' होता है।विशेष रूप से, यह अवधारणा गणनीय सेट परिवारों और इस प्रकार फलनों के ''अनुक्रमों'' पर अनप्रयुक्‍त होती है।

एस्कोली के प्रमेय के निर्माण में समनिरंतरता दिखाई देती है, जिसमें कहा गया है कि ''C''(''X'') का एक उपसमुच्चय, एक सघन हॉसडॉर्फ स्पेस ''X''  पर सतत फलनों का स्थान, सघन है यदि और केवल यदि यह बंद है, बिंदुवार घिरा हुआ है और समनिरंतर है। एक उपप्रमेय के रूप में, ''C''(''X'') में एक अनुक्रम समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह समनिरंतर है और बिंदुवार रूप से एक फलन में अभिसरण करता है (जरूरी नहीं कि संतत एक-प्राथमिकता हो)। विशेष रूप से, मीट्रिक स्थान पर या स्थानीय रूप से सतत स्थान पर<ref>More generally, on any [[compactly generated space]]; e.g., a [[first-countable space]].</ref> सतत फलनों ''f_n'' के एक समनिरंतर बिंदुवार अभिसरण अनुक्रम की सीमा या तो सतत है। यदि, इसके अतिरिक्त, ''f_n''[[ होलोमार्फिक | होलोमार्फिक]] हैं, तो सीमा भी होलोमोर्फिक है।

एकसमान सीमाबद्धता सिद्धांत बताता है कि बानाच स्थानों के बीच सतत रैखिक ऑपरेटरों का एक बिंदुवार बंधा हुआ परिवार समनिरंतर है।{{sfn|Rudin|1991|p=44 §2.5}}

==[[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्थानों]] के बीच समनिरंतरता ==

मान लीजिए कि ''X'' और ''Y'' दो मीट्रिक स्थान हैं, और ''F, X'' से ''Y'' तक फलनों का एक परिवार है। हम इन स्थानों के संबंधित मैट्रिक्स को ''d'' द्वारा निरूपित करेंगे।

परिवार F एक x₀∈ X '''बिंदु पर समसतत्''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₀), ''ƒ''(x)) < ε सभी ''ƒ'' ∈ F के लिए और सभी x जैसे कि d(x)₀, x) < δ है। यदि परिवार X के प्रत्येक बिंदु पर समसंतत है, तो वह '''बिंदुवार समसंतत''' है।<ref name=RS29>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29; {{harvtxt|Rudin|1987}}, p. 245</ref>

परिवार F '''समान रूप से समनिरंतर''' है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक δ > 0 निहित है जैसे कि d(ƒ(x)₁), ''ƒ''(x₂)) < ε सभी ƒ ∈ F और सभी x₁, x₂के लिए,∈ X जैसे कि d(x₁, x₂) <δ है।<ref>{{harvtxt|Reed|Simon|1980}}, p. 29</ref>

अधिक प्रायः, जब ''X'' एक सांस्थितिक स्पेस होता है, तो ''X'' से ''Y'' तक के फलनों के एक समुच्चय ''F'' को ''x'' पर समनिरंतर कहा जाता है यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए, ''x'' में एक निकटवर्ती ''U_x'' होता है जैसे कि     

सभी {{nowrap|''y'' ∈ ''U_x''}}  और ∈F  के लिए है। यह परिभाषा प्रायः [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक वेक्टर स्पेस]] के संदर्भ में दिखाई देती है।

जब ''X'' संहत होता है, तो एक समुच्चय समान रूप से समनिरंतर होता है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक बिंदु पर समनिरंतर हो, अनिवार्य रूप से उसी कारण से क्योंकि एकसमान निरंतरता और निरंतरता संहत स्थानों पर मेल खाती है। अपने आप में प्रयुक्त, "समनिरंतरता" शब्द संदर्भ के आधार पर या तो बिंदुवार या एकसमान धारणा को संदर्भित कर सकता है। एक सघन स्थान पर, ये धारणाएँ मेल खाती हैं।

कुछ बुनियादी गुण परिभाषा से तुरंत अनुसरण करते हैं। सतत फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है। एक समनिरंतर समुच्चय का समापन पुनः समनिरंतर है। फलनों  प्रके समान रूप से समनिरंतर समूह का प्रत्येक सदस्य समान रूप से निरंतर है, और समान रूप से निरंतर फलनों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समान रूप से समनिरंतर है।

*विश्लेषणात्मक फलन के पुनरावृत्तों का एक परिवार[[ फ़तौ सेट | फ़तौ समुच्चय]] पर समनिरंतर है।<ref>Alan F. Beardon, S. Axler, F.W. Gehring, K.A. Ribet : Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems. Springer, 2000; {{ISBN|0-387-95151-2}}, {{ISBN|978-0-387-95151-5}}; page 49</ref><ref>Joseph H. Silverman : The arithmetic of dynamical systems. Springer, 2007. {{ISBN|0-387-69903-1}}, {{ISBN|978-0-387-69903-5}}; page 22</ref>

मान लीजिए कि {{mvar|T}} एक सांस्थितिक स्पेस है और {{mvar|Y}} एक योज्य [[टोपोलॉजिकल समूह|सांस्थितिक समूह]] है (यानी एक [[समूह (बीजगणित)|समूह]] एक टोपोलॉजी से संपन्न है जो इसके संचालन को निरंतर बनाता है)। सांस्थितिक वेक्टर स्पेस सांस्थितिक समूहों के प्रमुख उदाहरण हैं और प्रत्येक सांस्थितिक समूह में एक संबद्ध विहित [[एकसमान स्थान|एकरूपता]] होती है।

:'''परिभाषा''':{{sfn | Narici|Beckenstein | 2011 | pp=133-136}} {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक के मानचित्रों के एक परिवार {{mvar|H}} को {{math|''t'' ∈ ''T''}}  '''पर समसतत्''' कहा जाता है  यदि {{mvar|Y}} में {{mvar|0}} के प्रत्येक सामीप्य {{mvar|V}} के लिए {{mvar|T}} में {{mvar|t}} के कुछ सामीप्य {{mvar|U}} निहित  जैसे कि प्रत्येक {{math|''h'' ∈ ''H''}} के लिए {{math|''h''(''U'') ⊆ ''h''(''t'') + ''V''}} है। हम कहते हैं कि {{mvar|H}} '''समसतत्''' है यदि यह {{mvar|T}} के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।

ध्यान दें कि यदि {{mvar|H}} एक बिंदु पर समसतत् है {{mvar|H}} में प्रत्येक मानचित्र बिंदु पर सतत है। स्पष्टतः, {{mvar|T}} से {{mvar|Y}} तक सतत मानचित्रों का प्रत्येक परिमित समुच्चय समसतत् है।

==समसतत् रैखिक मानचित्र==

क्योंकि प्रत्येक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) एक सांस्थितिक समूह है, इसलिए सांस्थितिक समूहों के लिए दिए गए मानचित्रों के एक समनिरंतर परिवार की परिभाषा बिना किसी बदलाव के टीवीएस में स्थानांतरित हो जाती है।

===समसतत् रैखिक मानचित्रों का लक्षण वर्णन===

दो सांस्थितिक वेक्टर स्पेस के बीच फॉर्म <math>X \to Y</math> के मानचित्रों के एक परिवार <math>H</math> को एक बिंदु <math>x \in X</math> पर समनिरंतर कहा जाता है यदि <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>X</math> में मूल के कुछ सामीप्य <math>U</math> निहित हैं जैसे कि <math>h(x + U) \subseteq h(x) + V</math> सभी <math>h \in H</math> के लिए है।

यदि <math>H</math> मानचित्रों का एक परिवार है और <math>U</math> एक समुच्चय है तो मान लीजिए <math>H(U) := \bigcup_{h \in H} h(U)</math> है। संकेतन के साथ, यदि  <math>U</math> और <math>V</math> तो समुच्चय हैं तो सभी <math>h \in H</math> के लिए <math>h(U) \subseteq V</math> यदि केवल <math>H(U) \subseteq V</math> है।

मान लीजिए कि  <math>X</math> और <math>Y</math> सांस्थितिक वेक्टर स्पेस (टीवीएस) हैं <math>H</math>  <math>X</math> से <math>Y</math> तक रैखिक ऑपरेटरों का एक परिवार है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:

# <math>H</math> समसतत् है।

2.  <math>H</math> <math>X</math> के प्रत्येक बिंदु पर समसतत् है।

3. <math>H</math> <math>X</math> के किसी बिंदु पर समसतत् है।

4. <math>H</math> मूल बिंदु पर समसतत् है।

* अर्थ-ात् <math>Y</math> में मूल के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए के लिए, <math>X</math> में मूल के एक सामीप्य  <math>U</math> का अस्तित्व है जैसे कि <math>H(U) \subseteq V</math> (या समकक्ष, प्रत्येक <math>h(U) \subseteq V</math> के लिए <math>h \in H</math> है)।{{sfn|Rudin|1991|p=44 Theorem 2.4}}

5. <math>Y</math> में मूल बिंदु के प्रत्येक सामीप्य <math>V</math> के लिए <math>\bigcap_{h \in H} h^{-1}(V)</math>, <math>X</math>  में मूल बिंदु का सामीप्य है।

6. <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> में <math>H</math> का बंद होना समसतत् हैl 

* <math>L_{\sigma}(X; Y)</math> बिंदु-वार अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न <math>L(X; Y)</math> को दर्शाता है।                                                                                                                                                      7. <math>H</math> का [[संतुलित सेट]] समसतत् है।

जबकि यदि <math>Y</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

8. का उत्तल पतवार <math>H</math> समनिरंतर है.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}  

9. [[बिल्कुल उत्तल सेट]] <math>H</math> समनिरंतर है.{{sfn|Trèves|2006|pp=335-345}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}

जबकि यदि <math>X</math> और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल हैं तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

10. प्रत्येक सतत [[ सेमिनोर्म | सेमिनोर्म]] के लिए <math>q</math> पर <math>Y,</math> वहाँ एक सतत सेमिनोर्म निहित है <math>p</math> पर <math>X</math> ऐसा है कि <math>q \circ h \leq p</math> सभी के लिए <math>h \in H.</math> {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=225-273}}  

* यहाँ, <math>q \circ h \leq p</math> मतलब कि <math>q(h(x)) \leq p(x)</math> सभी के लिए <math>x \in X.</math>

जबकि यदि <math>X</math> [[बैरल वाली जगह]] है और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल है तो इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है:

<ol प्रारंभ="11">

11. <math>H</math> में घिरा हुआ है <math>L_{\sigma}(X; Y)</math>;{{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}  

12. <math>H</math> में घिरा हुआ है <math>L_b(X; Y).</math> {{sfn|Trèves|2006|pp=346-350}}

* <math>L_b(X; Y)</math> अर्थ है <math>L(X; Y)</math>परिबद्ध अभिसरण की टोपोलॉजी से संपन्न (अर्थात, परिबद्ध उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण) <math>X.</math>