पॉइसन वितरण: Difference between revisions

Latest revision as of 13:38, 8 September 2023

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या सम्मिस्ट के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना^[1] इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन (/ˈpwɑːsɒn/; French pronunciation: [pwasɔ̃]) के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

उदाहरण के लिए, कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत कुछ संभावना है और बहुत कुछ संभावना है यह 10 हो सकता है.

एक अन्य उदाहरण परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या होती है।

इतिहास

वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके फलन अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था।^[2]^: 205-207 इस फलन ने कुछ यादृच्छिक चर पर $N$ ध्यान केंद्रित करके किसी दिए गए देश में गलत सजाओं की संख्या के बारे में सिद्धांत दिया गया है जो अन्य बातबं के अतिरिक्त दी गई लंबाई के समय-अंतराल के समय होने वाली अलग-अलग घटनाओं (कभी-कभी घटनाएँ या आगमन भी कहा जाता है) की संख्या की गणना करता है। परिणाम पहले ही 1711 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा डी मेन्सुरा सॉर्टिस सेउ में दिया जा चुका था; लुडिस ए कैसु फोर्टुइटो पेंडेंटिबस में डी प्रोबेबिलिटेट इवेंटम है।^[3]^: 219^[4]^: 14-15^[5]^: 193^[6]^: 157 यह इसे स्टिगलर के नियम का उदाहरण बनाता है और इसने कुछ लेखकों को यह तर्क देने के लिए प्रेरित किया जाता है कि पॉइसन वितरण पर डी मोइवर का नाम होना चाहिए।^[7]^[8]

1860 में, साइमन न्यूकॉम्ब ने अंतरिक्ष की इकाई में पाए जाने वाले तारों की संख्या के लिए पॉइसन वितरण को फिट किया गया था।^[9] इस वितरण का और वास्तविक अनुप्रयोग 1898 में लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ द्वारा किया गया था जब उन्हें प्रशिया सेना में घोड़े की लात से दुर्घटनावश मारे गए सैनिकों की संख्या की जांच करने का काम दिया गया था;^[10]^: 23-25 इस प्रयोग ने पॉइसन वितरण को विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के क्षेत्र में प्रस्तुत किया था ।

परिभाषाएँ

प्रायिकता द्रव्यमान फलन

एक असतत यादृच्छिक चर $X$ को पॉइसन वितरण कहा जाता है पैरामीटर $\lambda >0,$ के साथ यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान फलन दिया गया है:^[11]^: 60

f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},

जहाँ

$k$ घटनाओं की संख्या ( $k=0,1,2,\ldots$ ) है
$e$ ई (गणितीय स्थिरांक) यूलर की संख्या ( $e=2.71828\ldots$ ) है|
$!$ भाज्य फलन है.

धनात्मक वास्तविक संख्या $λ$ $X$ के अपेक्षित मान और इसके विचरण के समान है।^[12]

\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).

पॉइसन वितरण को बड़ी संख्या में दुर्लभ घटनाओं वाले प्रणाली पर प्रयुक्त किया जा सकता है | इस प्रकार बड़ी संख्या में संभावित घटनाएं, जिनमें से प्रत्येक दुर्लभ है। निश्चित समय अंतराल के समय होने वाली ऐसी घटनाओं की संख्या, सही परिस्थितियों में पॉइसन वितरण के साथ यादृच्छिक संख्या होती है।

समीकरण को अनुकूलित किया जा सकता है यदि, घटनाओं की औसत संख्या $\lambda ,$ के अतिरिक्त हमें वह औसत दर $r$ दी जाए जिस पर घटनाएं घटित होती हैं। फिर $\lambda =rt,$ और:^[13]

P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.

उदाहरण

फुटपाथ पर च्युइंग गम चबाना। में टाइल पर च्युइंग गम की संख्या लगभग पॉइसन वितरित होती है।

पॉइसन वितरण निम्नलिखित घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है:

एक वर्ष में पृथ्वी से टकराने वाले 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या हैं|
एक विशेष समय अंतराल में डिटेक्टर से टकराने वाले लेजर फोटॉनों की संख्या होती हैं|
किसी परीक्षा में निम्न और उच्च अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या हैं।

मान्यताएँ और वैधता

यदि निम्नलिखित धारणाएँ सत्य हैं तब पॉइसन वितरण उपयुक्त मॉडल होता है|^[14]

$k$ किसी अंतराल में किसी घटना के घटित होने की संख्या है और $k$ मान 0, 1, 2,.. ले सकता है।
एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती हैं। अर्थात् घटनाएँ स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं।
घटनाएँ घटित होने की औसत दर किसी भी घटना से स्वतंत्र होती है। सरलता के लिए, इसे सामान्यतः स्थिर माना जाता है, किंतु व्यवहार में समय के साथ इसमें परिवर्तन हो सकता है।
दो घटनाएँ बिल्कुल ही क्षण में घटित नहीं हो सकतीं हैं| इसके अतिरिक्त , प्रत्येक बहुत छोटे उप-अंतराल पर, या �

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

@@ Line 452: / Line 452: @@
 * [[जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय]] (जीएसएल): फलन [https://www.gnu.org/software/gsl/doc/html/randist.html#the-poisson-distribution gsl_ran_poisson]
-यादृच्छिक पॉइसन-वितरित संख्याएं ([[छद्म-यादृच्छिक संख्या नमूनाकरण|छद्म-यादृच्छिक संख्या प्रतिरूपकरण]]) उत्पन्न करने के लिएमानोंसरल एल्गोरिदम [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा दिया गया है|{{r|Knuth1997|p=137-138}}<syntaxhighlight>
+यादृच्छिक पॉइसन-वितरित संख्याएं ([[छद्म-यादृच्छिक संख्या नमूनाकरण|छद्म-यादृच्छिक संख्या प्रतिरूपकरण]]) उत्पन्न करने के लिएमानोंसरल एल्गोरिदम [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा दिया गया है|
-algorithm poisson random number (Knuth):
+ '''algorithm''' ''poisson random number (Knuth)'':
-    init:
+     '''init''':
-        Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1.
+         '''Let''' L ← ''e''<sup>−λ</sup>, k ← 0 and p ← 1.
-    do:
+     '''do''':
-        k ← k + 1.
+         k ← k + 1.
-        Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p × u.
+         Generate uniform random number u in [0,1] and '''let''' p ← p × u.
-    while p > L.
+     '''while''' p > L.
-    return k − 1.
+     '''return''' k − 1.लौटाए गए मान {{mvar|k}}, में जटिलता रैखिक होता है, जो औसतन {{mvar|λ                                                                                                                    }} है। इसे सुधारने के लिए अनेक अन्य एल्गोरिदम हैं। अन्य अहरेंस और डाइटर में दिए गए हैं, जिन्हें नीचे {{slink||संदर्भ}} देखा जा सकता हैं|
-</syntaxhighlight>लौटाए गए मान {{mvar|k}}, में जटिलता रैखिक होता है, जो औसतन {{mvar|λ                                                                                                                    }} है। इसे सुधारने के लिए अनेक अन्य एल्गोरिदम हैं। अन्य अहरेंस और डाइटर में दिए गए हैं, जिन्हें नीचे {{slink||संदर्भ}} देखा जा सकता हैं|
 इसमें {{mvar|λ                                                                                                 }} के बड़े मानों के लिए, {{mvar|L}}= e<sup>−{{mvar|λ}}</sup> का मान इतना छोटा हो सकता है कि इसका प्रतिनिधित्व करना कठिन होता है। इसके एल्गोरिदम में परिवर्तन करके हल किया जा सकता है जो मानों अतिरिक्त पैरामीटर STEP का उपयोग करता है जैसे कि ''e''<sup>−STEP</sup> कुछ प्रवाहित नहीं होता है| [उद्धरण वांछित]
- <syntaxhighlight>
+  '''algorithm''' ''poisson random number (Junhao, based on Knuth)'':
-algorithm poisson random number (Junhao, based on Knuth):
+     '''init''':
-    init:
+         '''Let''' {{mvar|λ}}Left ← {{mvar|λ}}, k ← 0 and p ← 1.
-        Let λLeft ← λ, k ← 0 and p ← 1.
+     '''do''':
-    do:
+         k ← k + 1.
-        k ← k + 1.
+         Generate uniform random number u in (0,1) and '''let''' p ← p × u.
-        Generate uniform random number u in (0,1) and let p ← p × u.
+         '''while''' p < 1 and {{mvar|λ}}Left > 0:
-        while p < 1 and λLeft > 0:
+             '''if''' {{mvar|λ}}Left > STEP:
-            if λLeft > STEP:
+                 p ← p × ''e''<sup>STEP</sup>
-                p ← p × eSTEP
+                 {{mvar|λ}}Left ← {{mvar|λ}}Left − STEP
-                λLeft ← λLeft − STEP
+             '''else''':
-            else:
+                 p ← p × ''e''<sup>{{mvar|λ}}Left</sup>
-                p ← p × eλLeft
+                 {{mvar|λ}}Left ← 0
-                λLeft ← 0
+     '''while''' p > 1.
-    while p > 1.
+     '''return''' k − 1.
-    return k − 1.
-</syntaxhighlight>{{mvar|λ}}बाएं ← {{mvar|λ}}बाएँ - कदम
-  अन्य:
-  पी ← पी × ''ई''<sup>{{mvar|λ}}बाएं</sup>
-{{mvar|λ}}बाएं ← 0
-  जबकि पी > 1.
-  वापसी क − 1.
 इस प्रकार STEP का चुनाव अतिप्रवाह की सीमा पर निर्भर करता है। दोहरे परिशुद्धता फ़्लोटिंग पॉइंट प्रारूप के लिए सीमा ''e''<sup>700</sup> के समीप होता है, इसलिए 500 मानों सुरक्षित कदम होना चाहिए।{{r|Devroye1986|p=505}}
@@ Line 503: / Line 495: @@
      return x.
 </syntaxhighlight>
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1]]
+[[Category:CS1 Deutsch-language sources (de)]]
+[[Category:CS1 Latina-language sources (la)]]
+[[Category:CS1 dansk-language sources (da)]]
+[[Category:CS1 français-language sources (fr)]]
+[[Category:Collapse templates]]
+[[Category:Created On 07/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Multi-column templates]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages using div col with small parameter]]
+[[Category:Pages with maths render errors]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Pages with syntax highlighting errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Templates using under-protected Lua modules]]
+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Div col]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
 == यह भी देखें ==
@@ Line 1,148: / Line 1,170: @@
 {{refend}}
-{{-}}
+{{-}}{{Authority control}}
-{{ProbDistributions|discrete-infinite}}
-{{Authority control}}
-श्रेणी:पॉइसन वितरण
-श्रेणी: उदाहरण छद्मकोड वाले लेख
-श्रेणी:पूर्व वितरणों को संयुग्मित करें
-श्रेणी:कारकीय और द्विपद विषय
-श्रेणी:असीम रूप से विभाज्य संभाव्यता वितरण
 [[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
@@ Line 1,167: / Line 1,180: @@
 [[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 07/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
 [[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Multi-column templates]]
 [[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages using div col with small parameter]]
+[[Category:Pages with maths render errors]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Pages with syntax highlighting errors]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates generating microformats]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Templates using under-protected Lua modules]]
+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Div col]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]

Anonymous

Search

पॉइसन वितरण: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions