पिकार्ड समूह: Difference between revisions

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गणित में, [[चक्राकार स्थान|वलययुक्त समिष्ट]] ''X'' का '''पिकार्ड समूह''', जिसे Pic(''X'') द्वारा निरूपित किया जाता है, ''X'' पर उल्टे शीव्स (या [[लाइन बंडल]]) के समरूपता वर्गों का समूह है, इस प्रकार [[समूह संचालन]] [[टेंसर उत्पाद]] है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या [[आदर्श वर्ग समूह]] के निर्माण का वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और समष्टि मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।
गणित में, [[चक्राकार स्थान|वलययुक्त समिष्ट]] ''X'' का '''पिकार्ड समूह''', जिसे Pic(''X'') द्वारा निरूपित किया जाता है, ''X'' पर उल्टे शीव्स (या [[लाइन बंडल]]) के समरूपता वर्गों का समूह है, इस प्रकार [[समूह संचालन]] [[टेंसर उत्पाद]] है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या [[आदर्श वर्ग समूह]] के निर्माण का वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और समष्टि मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।


वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है                                                                                                                


:<math>H^1 (X, \mathcal{O}_X^{*}).\,</math>
:<math>H^1 (X, \mathcal{O}_X^{*}).\,</math>
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* [[डेडेकाइंड डोमेन]] के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
* [[डेडेकाइंड डोमेन]] के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
*k क्षेत्र के लिए प्रक्षेप्य [[प्रक्षेप्य स्थान|समिष्ट]] P<sup>n</sup>(k) पर विपरीत शीव्स घुमाने वाले शीव्स <math>\mathcal{O}(m),\,</math> हैं, इसलिए P<sup>n</sup>(k) का पिकार्ड समूह Z के लिए समरूपी है।
*k क्षेत्र के लिए प्रक्षेप्य [[प्रक्षेप्य स्थान|समिष्ट]] P<sup>n</sup>(k) पर विपरीत शीव्स घुमाने वाले शीव्स <math>\mathcal{O}(m),\,</math> हैं, इसलिए P<sup>n</sup>(k) का पिकार्ड समूह Z के लिए समरूपी है।
*k पर दो मूलों वाली f़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
*k पर दो मूलों वाली एफ़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
*पिकार्ड समूह <math>n</math>-आयामी समष्टि f़िन स्पेस: <math>\operatorname{Pic}(\mathbb{C}^n)=0</math>, वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे स्पष्ट अनुक्रम उत्पन्न करता है
*पिकार्ड समूह <math>n</math>-आयामी समष्टि एफ़िन समष्टि: <math>\operatorname{Pic}(\mathbb{C}^n)=0</math>, वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे स्पष्ट अनुक्रम उत्पन्न करता है
*:<math> \dots\to H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})\to H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to\cdots</math>
*:<math> \dots\to H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})\to H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to\cdots</math>
:और चूँकि <math>H^k(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H_{\scriptscriptstyle\rm sing}^k(\mathbb{C}^n;\mathbb{Z})</math><ref>[[Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients]]</ref> हमारे पास <math>H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq 0</math> है क्योंकि <math>\mathbb{C}^n</math> अनुबंध योग्य है, तो <math>H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \simeq H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})</math> और हम डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी लेम्मा द्वारा <math>H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n})\simeq H^1(\mathbb{C}^n,\Omega^0_{\mathbb{C}^n})\simeq H^{0,1}_{\bar{\partial}}(\mathbb{C}^n)=0</math> की गणना करने के लिए डॉल्बियॉल्ट समरूपता प्रयुक्त कर सकते हैं।
:और चूँकि <math>H^k(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H_{\scriptscriptstyle\rm sing}^k(\mathbb{C}^n;\mathbb{Z})</math><ref>[[Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients]]</ref> हमारे पास <math>H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq 0</math> है क्योंकि <math>\mathbb{C}^n</math> अनुबंध योग्य है, तो <math>H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \simeq H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})</math> और हम डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी लेम्मा द्वारा <math>H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n})\simeq H^1(\mathbb{C}^n,\Omega^0_{\mathbb{C}^n})\simeq H^{0,1}_{\bar{\partial}}(\mathbb{C}^n)=0</math> की गणना करने के लिए डॉल्बियॉल्ट समरूपता प्रयुक्त कर सकते हैं।
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:<math>1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 1.\,</math>
:<math>1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 1.\,</math>
तथ्य यह है कि ns (वी) का रैंक परिमित है, [[फ्रांसिस सेवेरी]] का 'आधार का प्रमेय' है; रैंक V का 'पिकार्ड नंबर' है, जिसे अधिकांशतः ρ(V) से दर्शाया जाता है। ज्यामितीय रूप से ns(v) पर वि[[भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)]] के बीजगणितीय तुल्यता वर्गों का वर्णन करता है; अर्थात्, विभाजकों की रैखिक तुल्यता के समिष्ट पर सशक्त, गैर-रैखिक तुल्यता संबंध का उपयोग करके, वर्गीकरण असतत अपरिवर्तनीयों के लिए उत्तरदायी हो जाता है। बीजगणितीय तुल्यता [[संख्यात्मक तुल्यता]] से निकटता से संबंधित है, जो प्रतिच्छेदन संख्याओं द्वारा अनिवार्य रूप से टोपोलॉजिकल वर्गीकरण है।
तथ्य यह है कि ns (V) का रैंक परिमित है, [[फ्रांसिस सेवेरी]] का 'आधार का प्रमेय' है; रैंक V का 'पिकार्ड नंबर' है, जिसे अधिकांशतः ρ(V) से दर्शाया जाता है। ज्यामितीय रूप से ns(v) पर वि[[भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)]] के बीजगणितीय तुल्यता वर्गों का वर्णन करता है; अर्थात्, विभाजकों की रैखिक तुल्यता के समिष्ट पर सशक्त, गैर-रैखिक तुल्यता संबंध का उपयोग करके, वर्गीकरण असतत अपरिवर्तनीयों के लिए उत्तरदायी हो जाता है। बीजगणितीय तुल्यता [[संख्यात्मक तुल्यता]] से निकटता से संबंधित है, जो प्रतिच्छेदन संख्याओं द्वारा अनिवार्य रूप से टोपोलॉजिकल वर्गीकरण है।


== सापेक्ष पिकार्ड स्कीम                                                                                                                                                                                                                        ==
== सापेक्ष पिकार्ड स्कीम                                                                                                                                                                                                                        ==
मान लीजिए f: X →S स्कीमओं का रूप है। 'सापेक्ष पिकार्ड फ़ैक्टर' (या 'सापेक्ष पिकार्ड स्कीम' यदि यह स्कीम है) द्वारा दी गई है:<ref>{{harvnb|Kleiman|2005|loc=Definition 9.2.2.}}</ref> किसी भी s-स्कीम T के लिए,
मान लीजिए f: X →S स्कीमओं का रूप है। 'सापेक्ष पिकार्ड फ़ैक्टर' (या 'सापेक्ष पिकार्ड स्कीम' यदि यह स्कीम है) द्वारा दी गई है:<ref>{{harvnb|Kleiman|2005|loc=Definition 9.2.2.}}</ref> किसी भी s-स्कीम T के लिए,
:<math>\operatorname{Pic}_{X/S}(T) = \operatorname{Pic}(X_T)/f_T^*(\operatorname{Pic}(T))</math>
:<math>\operatorname{Pic}_{X/S}(T) = \operatorname{Pic}(X_T)/f_T^*(\operatorname{Pic}(T))</math>
कहाँ <math>f_T: X_T \to T</math> <sub>''T''</sub> f और f का आधार परिवर्तन है.                                                                                                                                                                                                                                         
जहाँ <math>f_T: X_T \to T</math> <sub>''T''</sub> f और f का आधार परिवर्तन है.                                                                                                                                                                                                                                         


हम कहते हैं L इन <math>\operatorname{Pic}_{X/S}(T)</math> यदि किसी ज्यामितीय बिंदु s → T के लिए पुलबैक है तो इसकी डिग्री r है इस प्रकार <math>s^*L</math> s के साथ L की डिग्री आर फाइबर x<sub>''s''</sub> पर उलटा शीफ ​​के रूप में है (जब डिग्री को x<sub>''s''</sub> के पिकार्ड समूह के लिए परिभाषित किया गया है)
हम कहते हैं L इन <math>\operatorname{Pic}_{X/S}(T)</math> यदि किसी ज्यामितीय बिंदु s → T के लिए पुलबैक है तो इसकी डिग्री r है इस प्रकार <math>s^*L</math> s के साथ L की डिग्री आर फाइबर x<sub>''s''</sub> पर उलटा शीफ ​​के रूप में है (जब डिग्री को x<sub>''s''</sub> के पिकार्ड समूह के लिए परिभाषित किया गया है)
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*{{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Lectures on Curves on an Algebraic Surface | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-07993-6 | mr=0209285  | year=1966 | volume=59| oclc=171541070}}
*{{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Lectures on Curves on an Algebraic Surface | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-07993-6 | mr=0209285  | year=1966 | volume=59| oclc=171541070}}
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link= David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}
* {{Citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link= David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | location=Oxford | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}
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Latest revision as of 12:50, 28 July 2023

Not to be confused with पिकार्ड मॉड्यूलर समूह.

गणित में, वलययुक्त समिष्ट X का पिकार्ड समूह, जिसे Pic(X) द्वारा निरूपित किया जाता है, X पर उल्टे शीव्स (या लाइन बंडल) के समरूपता वर्गों का समूह है, इस प्रकार समूह संचालन टेंसर उत्पाद है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या आदर्श वर्ग समूह के निर्माण का वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति और समष्टि मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।

वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को शीफ़ कोहोमोलोजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

अभिन्न स्कीम (गणित) के लिए पिकार्ड समूह कार्टियर विभाजक के वर्ग समूह के समरूपी है। समष्टि मैनिफ़ोल्ड के लिए घातीय शीफ़ अनुक्रम पिकार्ड समूह पर मूलभूत जानकारी देता है।

यह नाम एमिल पिकार्ड के सिद्धांतों, विशेष रूप से बीजगणितीय सतह पर विभाजक के सम्मान में है।

उदाहरण

  • डेडेकाइंड डोमेन के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
  • k क्षेत्र के लिए प्रक्षेप्य समिष्ट Pn(k) पर विपरीत शीव्स घुमाने वाले शीव्स हैं, इसलिए Pn(k) का पिकार्ड समूह Z के लिए समरूपी है।
  • k पर दो मूलों वाली एफ़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
  • पिकार्ड समूह -आयामी समष्टि एफ़िन समष्टि: , वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे स्पष्ट अनुक्रम उत्पन्न करता है
और चूँकि [1] हमारे पास है क्योंकि अनुबंध योग्य है, तो और हम डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी लेम्मा द्वारा