विरूपण (गणित): Difference between revisions
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गणित में, '''विरूपण''' सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान ''P''<sub>ε</sub> में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε | गणित में, '''विरूपण''' सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान ''P''<sub>ε</sub> में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां [[बाधा (गणित)]] के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक गणना के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम अतिसूक्ष्म स्थितियाँ हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी शक्तियों को समायोजित करने के लिए [[विरूपण ([[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]])]] करता है। | ||
कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; | कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; एवं सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, [[संख्याओं की ज्यामिति]] में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा ([[समूह क्रिया (गणित)]]) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः [[ऑपरेटर (गणित)|संक्रियक (गणित)]] की विकृतियों पर भी ध्यान देता है। | ||
==[[जटिल अनेक गुना]]ओं की विकृतियाँ== | ==[[जटिल अनेक गुना]]ओं की विकृतियाँ== | ||
गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल | गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल बहुविध्स एवं बीजगणितीय वर्ग का रहा है। इसे [[कुनिहिको कोदैरा]] एवं डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा सशक्त आधार पर रखा गया था, जब विरूपण प्रौद्योगिकी को बीजीय ज्यामिति के इतालवी विद्यालय में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] को मापांक स्थान के समान करना चाहिए। चूँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं। | ||
[[रीमैन सतह]] | [[रीमैन सतह|रीमैन सतहों]] के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि [[रीमैन क्षेत्र]] पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, [[अण्डाकार वक्र]] में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फलन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह की पहचान करता है, | ||
: <math> H^1(\Theta) \, </math> | : <math> H^1(\Theta) \, </math> | ||
जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। | जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। उसी शीफ के ''H''<sup>2</sup> में बाधा है; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में सदैव शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में H<sup>1</sup>भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम [[हॉज नंबर]] ''h''<sup>1,0</sup> है, जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b'' के रूप के समीकरण होते हैं। ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, a एवं b पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन a एवं b से संबंधित समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र है जिसके लिए ''b''<sup>2</sup>''a''<sup>−3</sup> का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात a एवं b को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का उपाय ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b है'', परन्तु a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं परिवर्तित करते हैं। | ||
H<sup>1</sup> से संबंधित करने के लिए [[सेरे द्वैत]] का उपयोग करते हुए, जीनस g >1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है, | |||
: <math> H^0(\Omega^{[2]}) </math> | : <math> H^0(\Omega^{[2]}) </math> | ||
जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] | जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] एवं अंकन Ω है<sup>[2]</sup> का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी [[बाहरी शक्ति]] नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक [[द्विघात अंतर|द्विघात भिन्नताओं]] द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मापांक स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है। | ||
ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल | ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल बहुविध्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित [[विभेदक ज्यामिति]] की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; [[ग्रोथेंडिक]] के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के कार्य की ठोस व्याख्या हुई; एवं अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है। | ||
==विरूपण | ==विरूपण एवं समतल मानचित्र== | ||
विरूपण का सबसे सामान्य रूप | विरूपण का सबसे सामान्य रूप समतल मानचित्र <math>f:X \to S</math>, जटिल-विश्लेषणात्मक स्थानों की, [[योजना (गणित)]], या किसी स्थान पर कार्यों के रोगाणु है। ग्रोथेंडिक<ref name=":0">{{Cite book|last=Palamodov|title=अनेक जटिल चर IV|chapter=Deformations of Complex Spaces|series=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|year=1990|volume=10|isbn=978-3-642-64766-6|pages=105–194|doi=10.1007/978-3-642-61263-3_3}}</ref> विकृतियों के लिए इस दूरगामी सामान्यीकरण को खोजने वाले प्रथम व्यक्ति थे एवं उस संदर्भ में सिद्धांत विकसित किया। सामान्य विचार यह है कि सार्वभौमिक परिवार <math>\mathfrak{X} \to B</math> का अस्तित्व होना चाहिए, जैसे कि किसी भी विकृति को अद्वितीय पुलबैक वर्ग के रूप में पाया जा सकता है,<math>\begin{matrix} | ||
X & \to & \mathfrak{X} \\ | X & \to & \mathfrak{X} \\ | ||
\downarrow & & \downarrow \\ | \downarrow & & \downarrow \\ | ||
S & \to & B | S & \to & B | ||
\end{matrix}</math>कई | \end{matrix}</math>कई विषयों में, यह सार्वभौमिक परिवार या तो [[हिल्बर्ट योजना]] या कोट योजना है, या उनमें से किसी का भागफल है। उदाहरण के लिए, वक्रों के मापांक के निर्माण में, इसका निर्माण हिल्बर्ट योजना में चौरस वक्रों के भागफल के रूप में किया गया है। यदि पुलबैक वर्ग अद्वितीय नहीं है, तो परिवार केवल बहुमुखी है। | ||
==विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ== | ==विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ== | ||
विरूपण सिद्धांत के उपयोगी | विरूपण सिद्धांत के उपयोगी एवं सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि [[स्टीन मैनिफोल्ड|स्टीन बहुविध]], मिश्रित बहुविध, या मिश्रित विश्लेषणात्मक विविधता से आता है।<ref name=":0" />ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फलन, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के संचय पर विचार करके जटिल बहुविध्स एवं जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित इस रूप में होते हैं<math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}</math>, जहाँ <math>\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}</math> अभिसम्पूर्ण शक्ति-श्रृंखला का वलय है एवं <math>I</math> आदर्श है, उदाहरण के लिए, कई लेखक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित <math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}</math> समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के ऐसे रोगाणु का विरूपण <math>X_0</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित <math>f:X \to S</math> के रोगाणुओं के समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है, जहाँ <math>S</math> विशिष्ट बिंदु <math>0</math> है ऐसे कि <math>X_0</math> पुलबैक वर्ग में उचित होता है,<math>\begin{matrix} | ||
X_0 & \to & X \\ | X_0 & \to & X \\ | ||
\downarrow & & \downarrow \\ | \downarrow & & \downarrow \\ | ||
* & \xrightarrow[0]{} & S | * & \xrightarrow[0]{} & S | ||
\end{matrix}</math | \end{matrix}</math>इन विकृतियों में क्रमविनिमेय वर्गों द्वारा दिया गया तुल्यता संबंध होता है,<blockquote><math>\begin{matrix} | ||
X'& \to & X \\ | X'& \to & X \\ | ||
\downarrow & & \downarrow \\ | \downarrow & & \downarrow \\ | ||
S' & \to & S | S' & \to & S | ||
\end{matrix}</math></blockquote>जहां क्षैतिज तीर समरूपताएं हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक बीजगणित के क्रमविनिमेय आरेख के विपरीत आरेख द्वारा दी गई समतल वक्र विलक्षणता का विरूपण | \end{matrix}</math></blockquote>जहां क्षैतिज तीर समरूपताएं हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक बीजगणित के क्रमविनिमेय आरेख के विपरीत आरेख द्वारा दी गई समतल वक्र विलक्षणता का विरूपण <math>\begin{matrix} | ||
\frac{\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})} & \leftarrow & \frac{\mathbb {C} \{x,y, s\}}{(y^{2}-x^{n} + s)} \\ | \frac{\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})} & \leftarrow & \frac{\mathbb {C} \{x,y, s\}}{(y^{2}-x^{n} + s)} \\ | ||
\uparrow & & \uparrow \\ | \uparrow & & \uparrow \\ | ||
\mathbb{C} & \leftarrow & \mathbb{C}\{s\} | \mathbb{C} & \leftarrow & \mathbb{C}\{s\} | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math>है, वास्तव में, मिल्नोर ने ऐसी विकृतियों का अध्ययन किया, जहां विलक्षणता स्थिरांक द्वारा विकृत हो जाती है, इसलिए अन्य-शून्य पर फाइबर <math>s</math> मिल्नोर फाइबर कहा जाता है। | ||
=== विकृतियों की सह-समसामयिक व्याख्या === | === विकृतियों की सह-समसामयिक व्याख्या === | ||
यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के | यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के रोगाणु में कई विकृतियाँ हो सकती हैं। इस कारण से, इस सम्पूर्ण ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए कुछ बही-खाता उपकरणों की आवश्यकता होती है। इन संगठनात्मक उपकरणों का निर्माण टेंगेंट कोहोमोलॉजी का उपयोग करके किया गया है।<ref name=":0" />यह कोसज़ुल-टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके एवं अन्य-नियमित बीजगणित <math>A</math> के लिए अतिरिक्त जनरेटर जोड़कर इसे संभावित रूप से संशोधित करके बनाया गया है। विश्लेषणात्मक बीजगणित के विषय में इन संकल्पों को गणितज्ञ [[गैलिना ट्यूरिना]] के लिए तजुरिना संकल्प कहा जाता है, जिन्होंने सबसे पनिवारणे ऐसी वस्तुओं का अध्ययन किया था। यह ग्रेडेड-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित <math>(R_\bullet, s)</math> है, ऐसा कि <math>R_0 \to A</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित का विशेषण मानचित्र है, एवं यह मानचित्र सटीक अनुक्रम <math>\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0</math> में उचित है, फिर, व्युत्पत्तियों के विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को लेकर <math>(\text{Der}(R_\bullet), d)</math>, इसकी सह-समरूपता विश्लेषणात्मक बीजगणित <math>A</math> के रोगाणु की स्पर्शरेखा सह-समरूपता बनाती है। इन सहसंयोजी समूहों को <math>T^k(A)</math> दर्शाया गया है। <math>T^1(A)</math> में <math>A</math> की सभी विकृतियों के विषय में ज्ञान सम्मिलित है एवं सटीक अनुक्रम <math>0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0</math> का उपयोग करके सरलता से गणना की जा सकती है, यदि <math>A</math> बीजगणित के लिए समरूपी <math>\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}</math>है तो इसकी विकृतियाँ<blockquote> <math>T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}</math> के समान होती हैं।</blockquote>जहाँ <math>df</math>, <math>f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m</math>का जैकोबियन मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, हाइपरसतह की विकृतियाँ <math>f</math> द्वारा दी गई हैं जो विकृतियाँ <math>T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}</math> एकवचनता के लिए <math>y^2 - x^3</math>, यह मॉड्यूल <math>\frac{A^2}{(y, x^2)}</math> है, इसलिए केवल स्थिरांक या रैखिक कारकों को जोड़कर विकृतियां दी जाती हैं, इसलिए <math>f(x,y) = y^2 - x^3</math> की सामान्य विकृति <math>F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x </math> है, जहां <math>a_i</math> विरूपण पैरामीटर हैं। | ||
==कार्यात्मक वर्णन== | ==कार्यात | ||