सतत फलन: Difference between revisions

{{Short description|Mathematical function with no sudden changes}}गणित में, '''सतत फलन''' ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के [[मूल्य (गणित)|मान (गणित)]] में निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसका अर्थ यह है कि मान में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे ''विच्छेदों का वर्गीकरण'' कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक फलन निरंतर होता है यदि इसके मान में स्वैच्छिक रूप से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन एक ऐसा फलन है जो सतत नहीं है। 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की [[अंतर्ज्ञान|सहज]] धारणाओं पर विश्वाश करते थे, और केवल निरंतर फलनों पर विचार करते थे। निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए (ε, δ)-सीमा की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा प्रस्तुत की गई थी।

निरंतरता [[ गणना |गणना]] और [[गणितीय विश्लेषण]] की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां फलनों के तर्क और मान [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] संख्याएं हैं। इस अवधारणा को मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर फलन हैं, और उनकी परिभाषा [[टोपोलॉजी]] का आधार है।

उदाहरण के लिये, समय {{mvar|t}} पर बढ़ते फूल की ऊंचाई को दर्शाने वाले फलन {{math|''H''(''t'')}} को निरंतर माना जाएगा। इसके विपरीत, समय {{mvar|t}} पर बैंक खाते में धन की राशि को दर्शाने वाला फलन {{math|''M''(''t'')}} संवृत माना जाएगा, क्योंकि जब पैसा जमा किया जाता है या निकाला जाता है तो यह प्रत्येक बिंदु पर "उछलता" है।

निरंतरता की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा का (ε, δ) रूप पहली बार 1817 में [[बर्नार्ड बोलजानो]] द्वारा दिया गया था। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने <math>y = f(x)</math> की निरंतरता को इस प्रकार परिभाषित किया: स्वतंत्र वेरिएबल x का एक असीम रूप से छोटा वेतन वृद्धि <math>\alpha</math> हमेशा एक असीम रूप से छोटा उत्पन्न करता है आश्रित वेरिएबल y का <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> बदलें (उदाहरण देखें, कोर्ट्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। कॉची ने परिवर्तनीय मात्राओं के संदर्भ में असीम रूप से छोटी मात्राओं को परिभाषित किया, और निरंतरता की उनकी परिभाषा आज इस्तेमाल की जाने वाली अनंतिम परिभाषा के समानान्तर है ([[सूक्ष्म निरंतरता]] देखें)। बिंदुवार निरंतरता और एकसमान निरंतरता के बीच औपचारिक परिभाषा और अंतर पहली बार 1830 के दशक में बोलजानो द्वारा दिया गया था, किन्तु काम 1930 के दशक तक प्रकाशित नहीं हुआ था। बोल्ज़ानो की तरह,<ref>{{cite journal |url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400352|title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege |year=1817 |last1=Bolzano |first1=Bernard |publisher=Haase|location=Prague}}</ref> [[कार्ल वीयरस्ट्रैस]]<ref>{{Citation | last1=Dugac | first1=Pierre | title=Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass | journal=Archive for History of Exact Sciences | year=1973 | volume=10 | issue=1–2 | pages=41–176 | doi=10.1007/bf00343406| s2cid=122843140 }}</ref> ने किसी बिंदु c पर किसी फलन की निरंतरता से मना किया जब तक कि इसे c के दोनों किनारों पर परिभाषित नहीं किया जाता है, किन्तु एडौर्ड गौरसैट<ref>{{Citation | last1=Goursat | first1=E. | title=A course in mathematical analysis | publisher=Ginn | location=Boston | year=1904 | page=2}}</ref> ने फलन को केवल सी और [[केमिली जॉर्डन]] के तरफ परिभाषित करने की अनुमति दी।<ref>{{Citation | last1=Jordan | first1=M.C. | title=Cours d'analyse de l'École polytechnique | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | edition=2nd |year=1893 | volume=1|page=46|url={{Google books|h2VKAAAAMAAJ|page=46|plainurl=yes}}}}</ref> इसकी अनुमति दी गई, तथापि फलन केवल c पर परिभाषित किया गया हो। बिंदुवार निरंतरता की वे तीनों गैर-समतुल्य परिभाषाएँ अभी भी उपयोग में हैं।<ref>{{Citation|last1=Harper|first1=J.F.|title=Defining continuity of real functions of real variables|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|volume=31|issue=3|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16|s2cid=123997123}}</ref> [[एडवर्ड हेन]] ने 1872 में समान निरंतरता की पहली प्रकाशित परिभाषा प्रदान की, किन्तु ये विचार 1854 में [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित थे।<ref>{{citation|last1=Rusnock|first1=P.|last2=Kerr-Lawson|first2=A.|title=Bolzano and uniform continuity|journal=Historia Mathematica|volume=32|year=2005|pages=303–311|issue=3|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003|doi-access=free}}</ref>

==वास्तविक फलन==

[[File:Function-1 x.svg|thumb|फलनक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), किन्तु असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख मान]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> जटिल वेरिएबल के रूप में, यह बिंदु [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली [[लॉरेंट श्रृंखला]] को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, उदाहरण जैसे फलनों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत फलनों का उपयोग किन्तु मॉडल के रूप में किया जाता है।]]वास्तविक फलन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फलन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फलन निरंतर होता है यदि, सामान्यतः कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड [[वक्र]] है जिसका फलन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=निरंतरता और असंततता| last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there. | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | url-status=dead }}</ref>

वास्तविक फलनों की निरंतरता को आमतौर पर [[सीमा (गणित)|सीमाओं (गणित)]] के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। चर x के साथ एक फलन {{math|''f''}} वास्तविक संख्या {{mvar|c}} पर निरंतर है, यदि {{mvar|x}} के c की ओर बढ़ने पर <math>f(x),</math> की सीमा, <math>f(c)</math> के बराबर है।

 

एक फलन एक खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित होता है, और फलन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। एक फलन जो अंतराल <math>(-\infty, +\infty)</math> (संपूर्ण वास्तविक रेखा) पर निरंतर होता है, उसे किन्तु एक निरंतर फलन कहा जाता है; एक यह भी कहता है कि ऐसा फलन सर्वत्र निरन्तर होता रहता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद फलन प्रत्येक स्थान सतत होते हैं।

फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-विवृत या [[बंद अंतराल|संवृत अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब वेरिएबल अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फलन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो संवृत अंतराल <math>[0,+\infty)</math> हैं।  

सामान्यतः सामने आने वाले कई फलन आंशिक फलन होते हैं जिनका डोमेन कुछ [[पृथक बिंदु]]ओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं से बनता है। उदाहरण फलन <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> और <math>x\mapsto \tan x</math> हैं। जब वे अपने क्षेत्र में निरंतर होते हैं, तो कुछ संदर्भों में कहा जाता है कि वे निरंतर हैं, हालांकि वे हर जगह निरंतर नहीं होते हैं। अन्य संदर्भों में, मुख्य रूप से जब कोई असाधारण बिंदुओं के निकट अपने व्यवहार में रुचि रखता है, तो वह कहता है कि वे असंतत हैं।

आंशिक फलन बिंदु पर असंतत होता है, यदि बिंदु उसके डोमेन के [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] से संबंधित है, और या तो बिंदु फलन के डोमेन से संबंधित नहीं है, या फलन बिंदु पर निरंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, फलन <math display="inline">x\mapsto \frac {1}{x}</math> और <math display="inline">x\mapsto \sin(\frac {1}{x})</math> पर असंतत {{math|0}} हैं, और उन्हें परिभाषित करने के लिए जो भी मान चुना जाता है वह असंतत {{math|0}} रहता हैं। वह बिंदु जहां कोई फलन असंतत होता है, असंततता कहलाता है।

गणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, ऊपर उल्लिखित तीन इंद्रियों में से प्रत्येक में निरंतर फलनों को परिभाषित करने के कई विधियाँ हैं।

मान लीजिये <math display="block">f : D \to \R</math> वास्तविक संख्याओं के समुच्चय <math>\R</math> के उपसमुच्चय <math>D</math> पर परिभाषित एक फलन बनें।

यह उपसमुच्चय <math>D</math>, {{math|''f''}} का डोमेन है। कुछ संभावित विकल्पों में सम्मिलित हैं

*<math>D = \R </math>: अर्थात, <math> D </math> वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय है। या {{mvar|a}} और {{mvar|b}} वास्तविक संख्याओं के लिए,

 

डोमेन <math>D</math> को एक खुले अंतराल के रूप में परिभाषित किए जाने के स्थिति में, <math>a</math> और <math>b</math> <math>D</math> से संबंधित नहीं हैं, और <math>D</math> पर निरंतरता के लिए <math>f(a)</math> और <math>f(b)</math> के मान अर्थ नहीं रखते हैं।

फलन {{math|''f''}} अपने डोमेन के किसी बिंदु {{math|''c''}} पर निरंतर है यदि <math>f(x),</math> की [[किसी फ़ंक्शन की सीमा|सीमा]], जैसे-जैसे x, f के डोमेन के माध्यम से c की ओर बढ़ता है, उपस्थित है और <math>f(c)</math> के बराबर है।<ref>{{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Undergraduate analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-94841-6 | year=1997}}, section II.4</ref> गणितीय संकेतन में, यह के रूप में लिखा गया है

 

विस्तार से इसका अर्थ तीन स्थितियाँ हैं: '''पहला''', {{math|''f''}} को {{math|''c''}} पर परिभाषित किया जाना है (इस आवश्यकता की गारंटी है कि {{math|''c''}}, {{math|''f''}} के डोमेन में है)।

 

'''दूसरा''', समीकरण अस्तित्व में होना चाहिए। '''तीसरा''', इस सीमा का मान <math>f(c).</math> के बराबर होना चाहिए।

 

====निकटतम के संदर्भ में परिभाषा====

बिंदु c का [[पड़ोस (गणित)|निकटतम (गणित)]] एक ऐसा समुच्चय है जिसमें, कम से कम, c की कुछ निश्चित दूरी के सभी बिंदु शामिल होते हैं। सहज रूप से, एक फलन एक बिंदु c पर निरंतर होता है यदि c के निकटतम पर f की सीमा एक बिंदु <math>f(c)</math> तक सिकुड़ जाती है क्योंकि c के आसपास के निकटतम की चौड़ाई शून्य तक सिकुड़ जाती है। अधिक सटीक रूप से, एक फलन f अपने डोमेन के एक बिंदु c पर निरंतर होता है यदि, किसी भी निकटतम <math>N_1(f(c))</math> के लिए उसके डोमेन में एक निकटतम <math>N_2(c)</math> होता है जैसे कि <math>f(x) \in N_1(f(c))</math> जब भी <math>x\in N_2(c).</math> होता है।

 

जैसा कि निकटतम को किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में परिभाषित किया जाता है, सतत फलन की यह परिभाषा न केवल वास्तविक फलनों के लिए लागू होती है, किन्तु तब भी लागू होती है जब डोमेन और [[कोडोमेन]] टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं, और इस प्रकार यह सबसे सामान्य परिभाषा है। इसका तात्पर्य यह है कि फलन अपने डोमेन के प्रत्येक पृथक बिंदु पर स्वचालित रूप से निरंतर होता है। विशिष्ट उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों पर प्रत्येक वास्तविक मानवान फलन निरंतर है।

[[File:Continuity of the Exponential at 0.svg|thumb|क्रम {{math|exp(1/''n'')}} में एकत्रित हो जाता है {{math|1=exp(0) = 1}}]]इसके अतिरिक्त किसी भी [[अनुक्रम (गणित)]] <math>(x_n)_{n \in \N}</math> के लिए इसकी आवश्यकता हो सकती है डोमेन में बिंदुओं का जो अनुक्रम को c में परिवर्तित करता है, संगत अनुक्रम <math>\left(f(x_n)\right)_{n\in \N}</math> में एकत्रित <math>f(c)</math> हो जाता है। गणितीय संकेतन में, <math display="block">\forall (x_n)_{n \in \N} \subset D:\lim_{n\to\infty} x_n = c \Rightarrow \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(c)\,.</math>

[[File:Example of continuous function.svg|right|thumb|का चित्रण {{mvar|ε}}-{{mvar|δ}}-परिभाषा: पर {{math|1=''x'' = 2}}, कोई मान {{math|δ ≤ 0.5}} के लिए परिभाषा की शर्त को संतुष्ट करता है {{math|1=''ε'' = 0.5}}.]]किसी फलन की सीमा की परिभाषा को स्पष्ट रूप से सम्मिलित करते हुए, हम स्व-निहित परिभाषा प्राप्त करते हैं: फलन दिया गया <math>f : D \to \mathbb{R}</math> उपरोक्त और तत्व के रूप में <math>x_0</math> डोमेन का <math>D</math>, <math>f</math> बिंदु पर निरंतर <math>x_0</math> कहा जाता है जब निम्नलिखित मान्य हो: किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> तथापि वह कितनी भी छोटी क्यों न हो, कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या <math>\delta > 0</math> उपस्थित होती है ऐसा कि सभी के लिए <math>x</math> के क्षेत्र में <math>f</math> साथ <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta,</math> का मान है <math>f(x)</math> संतुष्ट

वैकल्पिक रूप से लिखा, की निरंतरता <math>f : D \to \mathbb{R}</math> पर <math>x_0 \in D</math> इसका अर्थ है कि हर किसी के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ उपस्थित है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x \in D</math>:

अधिक सहजता से हम कह सकते हैं कि यदि हम सब कुछ पाना चाहते हैं <math>f(x)</math> आसपास के कुछ छोटे [[टोपोलॉजिकल पड़ोस|टोपोलॉजिकल निकटतम]] में रहने का मान <math>f\left(x_0\right),</math> हमें बस इसके लिए छोटा सा निकटतम चुनने की जरूरत है <math>x</math> चारों ओर मान <math>x_0</math> यदि हम ऐसा कर सकते हैं तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना छोटा है <math>f(x_0)</math> तो निकटतम है <math>f</math> पर निरंतर <math>x_0</math> है।

 

वीयरस्ट्रैस को अंतराल की आवश्यकता थी <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta</math> पूरी तरह से डोमेन <math>D</math> के अन्दर हो, किन्तु जॉर्डन ने वह प्रतिबंध हटा दिया।

प्रमाणों और संख्यात्मक विश्लेषण में हमें किन्तु यह जानने की आवश्यकता होती है कि सीमाएँ कितनी तेजी से परिवर्तित हो रही हैं, या दूसरे शब्दों में, शेष पर नियंत्रण। हम इसे निरंतरता की परिभाषा के रूप में औपचारिक रूप दे सकते हैं।

 

फलन <math>C: [0,\infty) \to [0,\infty]</math> यदि नियंत्रण फलन कहा जाता है

फलन <math>f : D \to R</math> C-निरंतर है <math>x_0</math> यदि ऐसा कोई निकटतम <math display="inline">N(x_0)</math> उपस्थित है वह

फलन <math>x_0</math> निरंतर है यदि यह कुछ नियंत्रण फलन C के लिए C-निरंतर है।

यह दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से स्वीफलन नियंत्रण फलनों के फलन को सीमित करके निरंतरता की धारणा को परिष्कृत करने की ओर ले जाता है। नियंत्रण फलनों के दिए गए फलन के लिए <math>\mathcal{C}</math> फलन है {{nowrap|<math>\mathcal{C}</math>-continuous}} यदि यह है {{nowrap|<math>C</math>-continuous}} कुछ के लिए <math>C \in \mathcal{C}.</math> उदाहरण के लिए, [[लिप्सचिट्ज़ निरंतरता]] और घातांक के होल्डर निरंतर फलन {{mvar|α}} नीचे नियंत्रण फलनों के फलन द्वारा परिभाषित किया गया है