क्यू-फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:09, 25 July 2023

क्यू-फलन का प्लॉट

आंकड़ों में, क्यू-फलन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन (पूंछ वितरण फलन) है।^[1]^[2] दूसरे शब्दों में $Q(x)$ संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से $Q(x)$ यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर $x$ से बड़ा मान लेता है।

अगर $Y$ माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर $\mu$ हैं और विचरण $\sigma ^{2}$ , तो $X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}$ मानक सामान्य वितरण हैं और

P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)

$x={\frac {y-\mu }{\sigma }}$ जहाँ

क्यू-फलन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फलन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।^[3]

सामान्य वितरण के संचयी वितरण फलन से इसके संबंध के कारण क्यू-फलन को त्रुटि फलन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फलन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण

औपचारिक रूप से, क्यू-फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.

इस प्रकार,

Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,

जहाँ $\Phi (x)$ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फलन है।

क्यू-फलन को त्रुटि फलन या पूरक त्रुटि फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है^[2]

{\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}

क्यू-फलन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:^[4]

Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के सूत्र को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा ^[5] दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फलन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:

:

File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg

क्यू-फलन को सम्मिश्र सतह में प्लॉट किया गया

$Q (x$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 36: / Line 36: @@
 क्रेग के सूत्र को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा <ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.2986209 |title=क्रेग के क्यू-फंक्शन फॉर्मूला का एक नया विस्तार और दोहरे-शाखा ईजीसी प्रदर्शन विश्लेषण में इसका अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Communications |volume=68|issue=7|pages=4117–4125|year=2020|last1=Behnad|first1=Aydin|s2cid=216500014}}</ref> दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फलन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया:
-  :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb|क्यू-फलन को जटिल सतह में प्लॉट किया गया]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math>
+  :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb|क्यू-फलन को सम्मिश्र सतह में प्लॉट किया गया]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math>
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 ==सीमाएँ और सन्निकटन==
@@ Line 102: / Line 102: @@
 :<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y)  = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math>
-फलन <math>Q^{-1}(y)</math> अंकीय संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे सामान्यतौर पर डेसीबल फ़ील्ड मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और सामान्यतौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है:
+फलन <math>Q^{-1}(y)</math> अंकीय संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे सामान्यतौर पर डेसीबल क्षेत्र मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और सामान्यतौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है:
 :<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math>
-जहां y विश्लेषण के अंतर्गत अंकीय रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, योगात्मक सफेद गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए, ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो y के बराबर त्रुटि दर उत्पन्न करता है।
+जहां y विश्लेषण के अंतर्गत अंकीय रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, योगात्मक सफेद गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो y के बराबर त्रुटि दर उत्पन्न करता है।
     [[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]]
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 == संदर्भ ==
 <references />
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