क्यू-फलन: Difference between revisions
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{{Short description|Statistics function}} | {{Short description|Statistics function}} | ||
{{For|the phase-space function representing a quantum state|Husimi Q representation}} | {{For|the phase-space function representing a quantum state|Husimi Q representation}} | ||
[[Image:Q-function.png|thumb|right|400px|क्यू- | [[Image:Q-function.png|thumb|right|400px|क्यू-फलन का प्लॉट]]आंकड़ों में, '''क्यू''-फलन''''' मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन (पूंछ वितरण फलन) है।<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ The Q-function], from [[cnx.org]]</ref><ref name="jo">[http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Basic properties of the Q-function] {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf |date=March 25, 2009 }}</ref> दूसरे शब्दों में <math>Q(x)</math> संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से <math>Q(x)</math> यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर <math>x</math> से बड़ा मान लेता है। | ||
अगर <math>Y</math> माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर | अगर <math>Y</math> माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर <math>\mu</math> हैं और विचरण <math>\sigma^2</math>, तो <math>X = \frac{Y-\mu}{\sigma}</math> मानक सामान्य वितरण हैं और | ||
:<math>P(Y > y) = P(X > x) = Q(x)</math> | :<math>P(Y > y) = P(X > x) = Q(x)</math> | ||
<math>x = \frac{y-\mu}{\sigma}</math> जहाँ | |||
क्यू- | '''क्यू-फलन''' की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फलन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html Normal Distribution Function – from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref> | ||
सामान्य वितरण के संचयी वितरण | |||
सामान्य वितरण के संचयी वितरण फलन से इसके संबंध के कारण '''क्यू-फलन''' को [[त्रुटि फ़ंक्शन|त्रुटि फलन]] के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फलन है। | |||
== परिभाषा और बुनियादी गुण == | == परिभाषा और बुनियादी गुण == | ||
औपचारिक रूप से, | औपचारिक रूप से, क्यू-फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
:<math>Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du.</math> | :<math>Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du.</math> | ||
| Line 18: | Line 19: | ||
:<math>Q(x) = 1 - Q(-x) = 1 - \Phi(x)\,\!,</math> | :<math>Q(x) = 1 - Q(-x) = 1 - \Phi(x)\,\!,</math> | ||
जहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फलन है। | |||
क्यू- | क्यू-फलन को त्रुटि फलन या पूरक त्रुटि फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name="jo"/> | ||
:<math> | :<math> | ||
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\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
क्यू- | क्यू-फलन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:<ref>{{cite book |doi=10.1109/MILCOM.1991.258319 |chapter-url=http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf|chapter=A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations|title=MILCOM 91 - Conference record|pages=571–575|year=1991|last1=Craig|first1=J.W.|isbn=0-87942-691-8|s2cid=16034807}}</ref> | ||
:<math>Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.</math> | :<math>Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.</math> | ||
यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है। | यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है। | ||
क्रेग के | क्रेग के सूत्र को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा <ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.2986209 |title=क्रेग के क्यू-फंक्शन फॉर्मूला का एक नया विस्तार और दोहरे-शाखा ईजीसी प्रदर्शन विश्लेषण में इसका अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Communications |volume=68|issue=7|pages=4117–4125|year=2020|last1=Behnad|first1=Aydin|s2cid=216500014}}</ref> दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फलन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया: | ||
:[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb| | :[[File:Q function complex plot plotted with Mathematica 13.1 ComplexPlot3D.svg|alt=the Q-function plotted in the complex plane|thumb|क्यू-फलन को सम्मिश्र सतह में प्लॉट किया गया]]<math>Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .</math> | ||
==सीमाएँ और सन्निकटन== | ==सीमाएँ और सन्निकटन== | ||
*क्यू- | *क्यू-फलन कोई प्राथमिक फलन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा जहाँ <math>\phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का घनत्व फलन है,<ref name = "Borjesson">{{Cite journal |doi = 10.1109/TCOM.1979.1094433|title = संचार अनुप्रयोगों के लिए त्रुटि फ़ंक्शन Q(x) का सरल अनुमान|journal = IEEE Transactions on Communications|volume = 27|issue = 3|pages = 639–643|year = 1979|last1 = Borjesson|first1 = P.|last2 = Sundberg|first2 = C.-E.}}</ref> | ||
::<math>\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,</math> | ::<math>\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,</math> | ||
:बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं | :बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं और अधिकतर उपयोगी होते हैं। | ||
:[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण]] | :[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण|प्रतिस्थापन]] v =u<sup>2</sup>/2 का उपयोग करके ऊपरी सीमा इस प्रकार प्राप्त की जाती है: | ||
::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math> | ::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math> | ||
:इसी प्रकार, | :इसी प्रकार, <math>\phi'(u) = - u \phi(u)</math> [[भागफल नियम|भागफल नियम का उपयोग करके]] | ||
::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty | ::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty | ||
| Line 62: | Line 63: | ||
:Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है। | :Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है। | ||
:ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य | :ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य <math>Q(x)</math> के लिए उपयुक्त सन्निकटन देता है: | ||
::<math>Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. </math> | ::<math>Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. </math> | ||
* | * निम्नलिखित अभिव्यक्ति को अनुकूलित करके <math>Q(x)</math> की सख्त सीमाएँ और सन्निकटन भी प्राप्त किए जा सकते हैं: <ref name = "Borjesson"/> | ||
:: <math> \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. </math> | :: <math> \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. </math> | ||
:के लिए <math>x \geq 0</math>, सर्वोत्तम ऊपरी सीमा किसके द्वारा दी गई है <math>a = 0.344</math> और <math>b = 5.334</math> 0.44% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। इसी प्रकार, सर्वोत्तम सन्निकटन द्वारा दिया गया है <math>a = 0.339</math> और <math>b = 5.510</math> 0.27% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। अंत में, सबसे अच्छी निचली सीमा दी गई है <math>a = 1/\pi</math> और <math>b = 2 \pi</math> 1.17% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। | :के लिए <math>x \geq 0</math>, सर्वोत्तम ऊपरी सीमा किसके द्वारा दी गई है <math>a = 0.344</math> और <math>b = 5.334</math> 0.44% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। इसी प्रकार, सर्वोत्तम सन्निकटन द्वारा दिया गया है <math>a = 0.339</math> और <math>b = 5.510</math> 0.27% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। अंत में, सबसे अच्छी निचली सीमा दी गई है <math>a = 1/\pi</math> और <math>b = 2 \pi</math> 1.17% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। | ||
* क्यू- | * क्यू-फलन का [[चेर्नॉफ़ बाध्य]] है | ||
::<math>Q(x)\leq e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math> | ::<math>Q(x)\leq e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math> | ||
*बेहतर घातीय सीमाएँ और | *बेहतर घातीय सीमाएँ और शुद्ध घातीय सन्निकटन हैं <ref>{{cite journal |url=http://campus.unibo.it/85943/1/mcddmsTranWIR2003.pdf |doi=10.1109/TWC.2003.814350|title=फ़ेडिंग चैनलों में त्रुटि संभावना की गणना के लिए नई घातीय सीमाएँ और सन्निकटन|journal=IEEE Transactions on Wireless Communications|volume=24|issue=5|pages=840–845|year=2003|last1=Chiani|first1=M.|last2=Dardari|first2=D.|last3=Simon|first3=M.K.}}</ref> | ||
::<math>Q(x)\leq \tfrac{1}{4}e^{-x^2}+\tfrac{1}{4}e^{-\frac{x^2}{2}} \leq \tfrac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math> | ::<math>Q(x)\leq \tfrac{1}{4}e^{-x^2}+\tfrac{1}{4}e^{-\frac{x^2}{2}} \leq \tfrac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0</math> | ||
:: <math>Q(x)\approx \frac{1}{12}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{1}{4}e^{-\frac{2}{3} x^2}, \qquad x>0 </math> | :: <math>Q(x)\approx \frac{1}{12}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{1}{4}e^{-\frac{2}{3} x^2}, \qquad x>0 </math> | ||
*उपरोक्त को तनाश और रिइहोनेन (2020) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.3006902|title=घातांक के योग द्वारा गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए वैश्विक न्यूनतम अनुमान और सीमाएँ|journal=IEEE Transactions on Communications|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=68|issue=10|pages=6514–6524|arxiv=2007.06939|s2cid=220514754}}</ref> | *उपरोक्त को तनाश और रिइहोनेन (2020) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2020.3006902|title=घातांक के योग द्वारा गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए वैश्विक न्यूनतम अनुमान और सीमाएँ|journal=IEEE Transactions on Communications|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=68|issue=10|pages=6514–6524|arxiv=2007.06939|s2cid=220514754}}</ref> जिन्होंने दिखाया कि <math>Q(x)</math> का उचित अनुमान लगाया जा सकता है या सीमाबद्ध किया जा सकता है | ||
::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math> | ::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math> | ||
:विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम | :विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन या बाध्य उत्पन्न करता है: <math>Q(x) \approx \tilde{Q}(x)</math>, <math>Q(x) \leq \tilde{Q}(x)</math> या <math>Q(x) \geq \tilde{Q}(x)</math> के लिए <math>x\geq0</math>. लेख्य में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ <math>N = 20</math> सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं <math>2.831 \cdot 10^{-6}</math> और <math>1.416 \cdot 10^{-6}</math> क्रमश से कम हैं। गुणांक <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए <math>N = 25</math> एक व्यापक डेटासेट के रूप में विवृत अभिगम के लिए जारी किया गया है।<ref>{{cite journal |doi=10.5281/zenodo.4112978|title=Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]|url=https://zenodo.org/record/4112978|website=Zenodo|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.}}</ref> | ||
* | *<math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> का एक और सन्निकटन कारागियानिडिस और लिओमपास (2007) द्वारा दिया गया है,<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने पैरामीटर्स के उचित चयन के लिए <math>\{A, B\}</math> प्रदर्शन किया | ||
:: <math>f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).</math> | :: <math>f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).</math> | ||
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:: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math> | :: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math> | ||
: | : <math>R = 20</math> का उपयोग करते हुए और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि तब हुई जब <math>\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},</math> जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान <math>\forall x \ge 0.</math>दिया | ||
: इन मूल्यों को प्रतिस्थापित | : इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और ऊपर से <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> के बीच संबंध का उपयोग करने से प्राप्त होता है | ||
:: <math> Q(x)\approx\frac{\left( 1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right) e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. </math> | :: <math> Q(x)\approx\frac{\left( 1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right) e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. </math> | ||
: किसी विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए सटीकता को तैयार करने या इसे एक तंग सीमा में बदलने के लिए उपरोक्त 'कारागियानिडिस-लिओमपास सन्निकटन' के लिए वैकल्पिक गुणांक भी उपलब्ध हैं।<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2021.3052257|title=Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function|journal=IEEE Communications Letters|year=2021|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=25|issue=5|pages=1468–1471|arxiv=2101.07631|s2cid=231639206}}</ref> | : किसी विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए सटीकता को तैयार करने या इसे एक तंग सीमा में बदलने के लिए उपरोक्त 'कारागियानिडिस-लिओमपास सन्निकटन' के लिए वैकल्पिक गुणांक भी उपलब्ध हैं।<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2021.3052257|title=Improved coefficients for the Karagiannidis–Lioumpas approximations and bounds to the Gaussian Q-function|journal=IEEE Communications Letters|year=2021|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.|volume=25|issue=5|pages=1468–1471|arxiv=2101.07631|s2cid=231639206}}</ref> | ||
*एक सख्त और अधिक सुव्यवस्थित सन्निकटन <math>Q(x)</math> सकारात्मक तर्कों के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> लोपेज़-बेनिटेज़ और कैसादेवल द्वारा दिया गया है (2011)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2011.012711.100105 |url=http://www.lopezbenitez.es/journals/IEEE_TCOM_2011.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए बहुमुखी, सटीक और विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल अनुमान|journal=IEEE Transactions on Communications|volume=59|issue=4|pages=917–922|year=2011|last1=Lopez-Benitez|first1=Miguel|last2=Casadevall|first2=Fernando|s2cid=1145101}}</ref> दूसरे क्रम के घातीय | *एक सख्त और अधिक सुव्यवस्थित सन्निकटन <math>Q(x)</math> सकारात्मक तर्कों के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> लोपेज़-बेनिटेज़ और कैसादेवल द्वारा दिया गया है (2011)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/TCOMM.2011.012711.100105 |url=http://www.lopezbenitez.es/journals/IEEE_TCOM_2011.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए बहुमुखी, सटीक और विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल अनुमान|journal=IEEE Transactions on Communications|volume=59|issue=4|pages=917–922|year=2011|last1=Lopez-Benitez|first1=Miguel|last2=Casadevall|first2=Fernando|s2cid=1145101}}</ref> दूसरे क्रम के घातीय फलन के आधार पर: | ||
:: <math> Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. </math> | :: <math> Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. </math> | ||
: फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> | : फिटिंग गुणांक <math> (a,b,c) </math> वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है (<math>a = 0.3842</math>, <math>b = 0.7640</math>, <math>c = 0.6964</math> के लिए <math>x \in [0,20]</math>) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें (<math>a = 0.4920</math>, <math>b = 0.2887</math>, <math>c = 1.1893</math> लिए <math>x \in [0,20]</math>). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक शिक्षणीयता के बीच एक अच्छा व्यापार-संवृत (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) <math>Q(x)</math> तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)। | ||
== | ==विपरीत Q== | ||
व्युत्क्रम Q- | व्युत्क्रम Q-फलन व्युत्क्रम त्रुटि फलन से संबंधित हो सकता है: | ||
:<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math> | :<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math> | ||
फलन <math>Q^{-1}(y)</math> अंकीय संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे सामान्यतौर पर डेसीबल क्षेत्र मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और सामान्यतौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है: | |||
:<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math> | :<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math> | ||
जहां y विश्लेषण के | जहां y विश्लेषण के अंतर्गत अंकीय रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, योगात्मक सफेद गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो y के बराबर त्रुटि दर उत्पन्न करता है। | ||
[[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]] | [[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]] | ||
== मान == | == मान == | ||
क्यू- | क्यू-फलन अच्छी तरह से सारणीबद्ध है और अधिकांश गणितीय सॉफ़्टवेयर संकुल जैसे कि [[आर (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]], मैटलैब और [[वोल्फ्राम मैथमैटिका]] में उपलब्ध संकुल में सीधे गणना की जा सकती है। क्यू-फलन के कुछ मान संदर्भ के लिए नीचे दिए गए हैं। | ||
<!-- This table was calculated in Matlab as follows: | <!-- This table was calculated in Matlab as follows: | ||
| Line 252: | Line 253: | ||
== उच्च आयामों का सामान्यीकरण == | == उच्च आयामों का सामान्यीकरण == | ||
क्यू-फलन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Savage|first1=I. R.|title=बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए मिल अनुपात|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|date=1962|volume=66|issue=3|pages=93–96|doi=10.6028/jres.066B.011|zbl=0105.12601|doi-access=free}}</ref> | |||
:<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math> | :<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math> | ||
जहाँ <math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) </math> सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\Sigma </math> और दहलीज प्रकार की होती है | |||
<math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक | <math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक सदिश के लिए <math> \mathbf{l}^*>\mathbf{0}</math> और सकारात्मक स्थिरांक <math>\gamma>0</math>. जैसा कि एक आयामी स्थिति में क्यू-फलन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी क्यू-फलन को [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53796 अव्यवस्थित रूप से अनुमानित किया जा सकता है] <math>\gamma</math> बड़ा और बड़ा होता जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref name="bmc17">{{cite book |chapter=Logarithmically efficient estimation of the tail of the multivariate normal distribution |last1=Botev |first1=Z. I. |last2=Mackinlay |first2=D. |last3=Chen |first3=Y.-L. |date=2017 |publisher=IEEE |isbn=978-1-5386-3428-8 |title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC)|pages=1903–191 |doi= 10.1109/WSC.2017.8247926 |s2cid=4626481 }} | ||
</ref> | </ref> | ||
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== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
<references /> | <references /> | ||
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