अक्षीय सदिश: Difference between revisions
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{{Short description|Physical quantity that changes sign with improper rotation}} | {{Short description|Physical quantity that changes sign with improper rotation}} | ||
{{Use American English|date=March 2019}}[[File:BIsAPseudovector.svg|thumb|right|तार का एक पाश (काला), जिसमें I [[धारा]] प्रवाहित होती है, एक [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''B''' (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा | {{Use American English|date=March 2019}}[[File:BIsAPseudovector.svg|thumb|right|तार का एक पाश (काला), जिसमें '''I''' [[धारा]] प्रवाहित होती है, एक [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''B''' (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा असतत रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यह''परावर्तित और उत्क्रमित'' होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र '''B''' एक छद्म सदिश है।<ref name=Tischchenko> | ||
{{cite book |page=343 |title=Linearity and the mathematics of several variables |author1=Stephen A. Fulling |author2=Michael N. Sinyakov |author3=Sergei V. Tischchenko |url=https://books.google.com/books?id=Eo3mcd_62DsC&q=pseudovector+%22magnetic+field%22&pg=RA1-PA343 | {{cite book |page=343 |title=Linearity and the mathematics of several variables |author1=Stephen A. Fulling |author2=Michael N. Sinyakov |author3=Sergei V. Tischchenko |url=https://books.google.com/books?id=Eo3mcd_62DsC&q=pseudovector+%22magnetic+field%22&pg=RA1-PA343 | ||
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</ref>]][[भौतिकी]] और [[गणित]] में, एक '''छद्म सदिश''' (या '''अक्षीय सदिश''') एक राशि है जो कई स्थितियों में एक [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को [[घूर्णन]], [[अनुवाद (ज्यामिति)|स्थानांतरण]], [[परावर्तन]], आदि द्वारा [[कठोरता|दृढ़ता]] [[से रूपांतरित]] कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का [[अभिविन्यास (स्थान)|अभिविन्यास]] बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, [[कोणीय संवेग]] एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और [[स्थिति वेक्टर|स्थिति सदिश]] को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए। | </ref>]][[भौतिकी]] और [[गणित]] में, एक '''छद्म सदिश''' (या '''अक्षीय सदिश''') एक राशि है जो कई स्थितियों में एक [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को [[घूर्णन]], [[अनुवाद (ज्यामिति)|स्थानांतरण]], [[परावर्तन]], आदि द्वारा [[कठोरता|दृढ़ता]] [[से रूपांतरित]] कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का [[अभिविन्यास (स्थान)|अभिविन्यास]] बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, [[कोणीय संवेग]] एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और [[स्थिति वेक्टर|स्थिति सदिश]] को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए। | ||
तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय [[सदिश क्षेत्र]] का [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] और दो ध्रुवीय सदिशों का [[सदिश गुणनफल]] छद्मसदिश | तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय [[सदिश क्षेत्र]] का [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] और दो ध्रुवीय सदिशों का [[सदिश गुणनफल]] छद्मसदिश है।<ref name=Tarapov> | ||
{{cite book |title=Vector and tensor analysis with applications |author1=Aleksandr Ivanovich Borisenko |author2=Ivan Evgenʹevich Tarapov |url=https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=%22C+is+a+pseudovector.+Note+that%22&pg=PA125 |page=125 |isbn=0-486-63833-2 |year=1979 |edition=Reprint of 1968 Prentice-Hall |publisher=Courier Dover}} | {{cite book |title=Vector and tensor analysis with applications |author1=Aleksandr Ivanovich Borisenko |author2=Ivan Evgenʹevich Tarapov |url=https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=%22C+is+a+pseudovector.+Note+that%22&pg=PA125 |page=125 |isbn=0-486-63833-2 |year=1979 |edition=Reprint of 1968 Prentice-Hall |publisher=Courier Dover}} | ||
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छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त [[समतल]] का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, '''a''' और '''b''' द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,<ref name="FeynmanLectures"> | छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त [[समतल]] का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, '''a''' और '''b''' द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,<ref name="FeynmanLectures"> | ||
[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1] | [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1] | ||
</ref> जो समतल को स्पैन करते हैं। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक - [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां [[सतही]] [[अभिलंबों को रूपांतरण|अभिलंबों का रूपांतरण]] करते समय इस पर विचार करना पड़ता है। | </ref> जो समतल को स्पैन (विस्तृति) करते हैं। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक- [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां [[सतही]] [[अभिलंबों को रूपांतरण|अभिलंबों का रूपांतरण]] करते समय इस पर विचार करना पड़ता है। | ||
भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश [[bivector| | भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश [[bivector|द्विसदिश]] के तुल्य होते हैं, जिससे छद्मसदिशों के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर ''n''-विमीय [[ज्यामितीय बीजगणित]] में छद्मसदिश विमा {{nowrap|''n'' − 1}} के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀<sup>n−1</sup>'R'<sup>n</sup> लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को [[स्यूडोस्केलर|छद्मअदिश]] और [[स्यूडोस्केलर|छद्मप्रदिश]] के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक [[अदिश]] या [[प्रदिश]] की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं। | ||
==भौतिक उदाहरण== | ==भौतिक उदाहरण== | ||
छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में[[ टॉर्कः | बलाघूर्ण]],<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|कोणीय वेग, कोणीय संवेग,]]<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय क्षेत्र]],<ref name=FeynmanLectures/>और [[चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण|चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण]] सम्मिलित हैं | | छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में[[ टॉर्कः | बलाघूर्ण]],<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|कोणीय वेग, कोणीय संवेग,]]<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय क्षेत्र]],<ref name=FeynmanLectures/>और [[चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण|चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण]] सम्मिलित हैं | | ||
[[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश [[कोणीय संवेग]] {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}} पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का ''वास्तविक'' कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी | [[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश [[कोणीय संवेग]] {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}} पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का ''वास्तविक'' कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी परावर्तन में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है। | ||
[[भौतिकी में समरूपता|भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव]] को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। {{nowrap|1=''z'' = 0}} समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत [[सममित]] (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है। | [[भौतिकी में समरूपता|भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव]] को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। {{nowrap|1=''z'' = 0}} समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत [[सममित]] (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है। | ||
भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के [[सदिश गुणनफल]] या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के [[कर्ल]] को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत | भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के [[सदिश गुणनफल]] या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के [[कर्ल]] को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होते हैं। | ||
जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक [[बायवेक्टर]] उत्पन्न करता है जो 2 | जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक [[बायवेक्टर|द्विसदिश]] उत्पन्न करता है जो 2 कोटि प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है। | ||
==विवरण== | ==विवरण== | ||
{{See also|सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त| | {{See also|सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त|यूक्लिडियन सदिश }} | ||
भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त [[सदिश समष्टि]] का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे [[घटकों]] की आवश्यकता होती है जो [[उचित घूर्णन]] के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित | भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त [[सदिश समष्टि]] का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे [[घटकों]] की आवश्यकता होती है जो [[उचित घूर्णन]] के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होते हैं। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह [[सक्रिय रूपांतरणों]] का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक [[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन मैट्रिक्स]] R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] '''x''' {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}} में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" '''v''' को इसी प्रकार {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}} में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, [[वेग]] के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।) | ||
([[ विभेदक ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]] की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का [[प्रदिश]] और कोटि एक के सदिश के [[प्रतिपरिवर्त]] को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और [[प्रतिपरिवर्त]] कोटि भी हो सकते हैं, जो [[आइंस्टीन समाकलन कन्वेंशन|आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन]]) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं। | ([[ विभेदक ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]] की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का [[प्रदिश]] और कोटि एक के सदिश के [[प्रतिपरिवर्त]] को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और [[प्रतिपरिवर्त]] कोटि भी हो सकते हैं, जो [[आइंस्टीन समाकलन कन्वेंशन|आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन]]) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं। | ||
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ऊपर, [[सक्रिय रूपांतरणों]] का उपयोग करके छद्मसदिशों पर परिचर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, निष्क्रिय रूपांतरणों की पद्धति पर, ब्रह्मांड को नियत रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह "[[दाएं हाथ के नियम]]" को "बाएं हाथ के नियम" से बदलना है, जिसमें [[सदिश गुणनफल]] और [[कर्ल]] की परिभाषा भी सम्मिलित है। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक स्थानांतरण सदिश) अपरिवर्तित होता है, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) चिन्हों को बदल देता है। फिर भी, कुछ [[रेडियोधर्मी क्षय|रेडियोसक्रिय क्षयों]] जैसी [[समता-खंडन]] परिघटनाओं के अलावा, कोई भौतिक परिणाम नहीं होते हैं।<ref>See [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!"].</ref> | ऊपर, [[सक्रिय रूपांतरणों]] का उपयोग करके छद्मसदिशों पर परिचर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, निष्क्रिय रूपांतरणों की पद्धति पर, ब्रह्मांड को नियत रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह "[[दाएं हाथ के नियम]]" को "बाएं हाथ के नियम" से बदलना है, जिसमें [[सदिश गुणनफल]] और [[कर्ल]] की परिभाषा भी सम्मिलित है। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक स्थानांतरण सदिश) अपरिवर्तित होता है, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) चिन्हों को बदल देता है। फिर भी, कुछ [[रेडियोधर्मी क्षय|रेडियोसक्रिय क्षयों]] जैसी [[समता-खंडन]] परिघटनाओं के अलावा, कोई भौतिक परिणाम नहीं होते हैं।<ref>See [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!"].</ref> | ||
==औपचारिकीकरण== | ==औपचारिकीकरण== | ||
छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि V एक n-[[आयाम (वेक्टर स्थान)| | छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि ''V'' एक n-[[आयाम (वेक्टर स्थान)|विमीय]] सदिश समष्टि है, तो ''V'' का एक ''छद्मसदिश'' ''V'' की (''n - 1'')-वीं [[बाहरी घात|बाह्य घात]] का एक अवयव है: ⋀n−1(''V'')। ''V'' का छद्मसदिश, ''V'' का समान आयाम वाला एक सदिश समष्टि बनाता हैं। | ||
यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित | यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घूर्णन के अंतर्गत चिन्ह फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश समष्टि के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब ''n'' [[समता (गणित)|सम]] होता है, तो ऐसे छद्मसदिशो को चिन्ह फ़्लिप का ज्ञान नहीं होता है, और जब ''V'' के अंतर्निहित [[क्षेत्र]] का [[पूर्णाश]] ''2'' होता है, तो चिन्ह फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो [[वॉल्यूम फॉर्म|आयतन रूप]] या [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) | अभिविन्यास]]) के बिना, ''V'' के साथ ⋀n−1(''V'') की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं है। | ||
उन्हें औपचारिक बनाने का दूसरा तरीका उन्हें | उन्हें औपचारिक बनाने का दूसरा तरीका उन्हें <math>\text{O}(n)</math> के [[निरूपण समष्टि]] के अवयवों के रूप में मानना है। सदिश <math>(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{fund}}, \text{O}(n))</math> द्वारा दिए गए डेटा ''O(n)'' के साथ [[मूलभूत निरूपण]] में रूपांतरित हो जाते हैं, ताकि किसी भी मैट्रिक्स के लिए <math>R</math> में <math>\text{O}(n)</math>, किसी के पास <math>\rho_{\text{fund}}(R) = R</math> हो| छद्मसदिश <math>(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{pseudo}}, \text{O}(n))</math> के साथ मूल निरूपण <math>\rho_{\text{pseudo}}(R) = \det(R)R</math> में रूपांतरित हो जाते हैं। <math>n</math> विषम की समरूपता को इस स्थिति <math>\text{O}(n) \cong \text{SO}(n)\times \mathbb{Z}_2</math>में देखा जा सकता है| तब <math>\rho_{\text{pseudo}}</math> समूह समरूपता का प्रत्यक्ष गुणनफल है; यह <math>\mathbb{Z}_2</math>पर साधारण समरूपता के साथ '''''So(n)''''' पर मूलभूत समरूपता का प्रत्यक्ष गुणनफल है। | ||
==ज्यामितीय बीजगणित== | ==ज्यामितीय बीजगणित== | ||
ज्यामितीय बीजगणित में मूल | [[ज्यामितीय बीजगणित]] में मूल अवयव सदिश होते हैं, और इनका उपयोग इस बीजगणित में गुणनफलों की परिभाषाओं का उपयोग करके अवयवों का पदानुक्रम बनाने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, बीजगणित सदिशों से छद्मसदिश बनाता है। | ||
ज्यामितीय बीजगणित में मूल गुणन [[ज्यामितीय उत्पाद]] है, जिसे | ज्यामितीय बीजगणित में मूल गुणन [[ज्यामितीय उत्पाद|ज्यामितीय गुणनफल]] है, जिसे '''ab''' में दो सदिशों को जोड़कर दर्शाया जाता है। यह गुणनफल इस प्रकार व्यक्त किया गया है: | ||
:<math> \mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \ , </math> | :<math> \mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \ , </math> | ||
जहां अग्रणी पद प्रथागत | जहां अग्रणी पद प्रथागत [[डॉट उत्पाद|सदिश गुणनफल]] है और दूसरे पद को [[वेज गुणनफल]] कहा जाता है। बीजगणित की अभिधारणाओं का उपयोग करके, [[डॉट उत्पाद|सदिश]] और वेज गुणनफलों के सभी संयोजनों का मूल्यांकन किया जा सकता है। विभिन्न संयोजनों का वर्णन करने के लिए एक शब्दावली प्रदान की गई है। उदाहरण के लिए, एक [[बहुसदिश]] विभिन्न ''k''-मानों के ''k''-फोल्ड वेज गुणनफलों का एक योग है। ''k''-फ़ोल्ड वेज गुणनफल को ''k''-ब्लेड के रूप में भी जाना जाता है। | ||
वर्तमान संदर्भ में छद्मसदिश इन संयोजनों में से एक है। यह | वर्तमान संदर्भ में ''छद्मसदिश'' इन संयोजनों में से एक है। यह पद समष्टि के आयामों (अर्थात्, समष्टि में [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] सदिशों की संख्या) के आधार पर एक अलग बहुसदिश से जुड़ा हुआ है। तीन [[आयामों]] में, सबसे सामान्य 2-ब्लेड या [[द्विसदिश]] को दो सदिशों के वेज गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह एक छद्मसदिश है।<ref name=Pezzaglia> | ||
{{cite book |title=Deformations of mathematical structures II |chapter-url=https://books.google.com/books?id=KfNgBHNUW_cC&pg=PA131 |page=131 ''ff'' |isbn=0-7923-2576-1 |author=William M Pezzaglia Jr.|editor=Julian Ławrynowicz |year=1992 |publisher =Springer |chapter=Clifford algebra derivation of the characteristic hypersurfaces of Maxwell's equations}} | {{cite book |title=Deformations of mathematical structures II |chapter-url=https://books.google.com/books?id=KfNgBHNUW_cC&pg=PA131 |page=131 ''ff'' |isbn=0-7923-2576-1 |author=William M Pezzaglia Jr.|editor=Julian Ławrynowicz |year=1992 |publisher =Springer |chapter=Clifford algebra derivation of the characteristic hypersurfaces of Maxwell's equations}} | ||
</ref> हालाँकि, चार आयामों में, छद्मसदिश [[मल्टीवेक्टर| | </ref> हालाँकि, चार आयामों में, छद्मसदिश [[मल्टीवेक्टर|त्रिसदिश]] हैं।<ref name=DeSabbata> | ||
In four dimensions, such as a [[Dirac algebra]], the pseudovectors are [[multivector|trivectors]]. {{cite book |title=Geometric algebra and applications to physics |author1=Venzo De Sabbata |author2=Bidyut Kumar Datta |url=https://books.google.com/books?id=AXTQXnws8E8C&q=bivector+trivector+pseudovector+%22geometric+algebra%22&pg=PA64 |isbn=978-1-58488-772-0 |year=2007 |page=64 |publisher=CRC Press}} | In four dimensions, such as a [[Dirac algebra]], the pseudovectors are [[multivector|trivectors]]. {{cite book |title=Geometric algebra and applications to physics |author1=Venzo De Sabbata |author2=Bidyut Kumar Datta |url=https://books.google.com/books?id=AXTQXnws8E8C&q=bivector+trivector+pseudovector+%22geometric+algebra%22&pg=PA64 |isbn=978-1-58488-772-0 |year=2007 |page=64 |publisher=CRC Press}} | ||
</ref> सामान्य तौर पर, यह एक | </ref> सामान्य तौर पर, यह एक {{nowrap|(''n'' − 1)}}-ब्लेड है, जहां ''n'' समष्टि और बीजगणित का आयाम है।<ref name=Baylis01> | ||
{{cite book |chapter-url=https://books.google.com/books?id=oaoLbMS3ErwC&q=%22pseudovectors+%28grade+n+-+1+elements%29%22&pg=PA100 |page=100 |author=William E Baylis |title=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications |isbn=0-8176-3257-3 |year=2004 |chapter=§4.2.3 Higher-grade multivectors in ''Cℓ''<sub>n</sub>: Duals |publisher=Birkhäuser}} | {{cite book |chapter-url=https://books.google.com/books?id=oaoLbMS3ErwC&q=%22pseudovectors+%28grade+n+-+1+elements%29%22&pg=PA100 |page=100 |author=William E Baylis |title=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications |isbn=0-8176-3257-3 |year=2004 |chapter=§4.2.3 Higher-grade multivectors in ''Cℓ''<sub>n</sub>: Duals |publisher=Birkhäuser}} | ||
</ref> एक n- | </ref> एक ''n''-विमीय समष्टि में ''n'' आधार सदिश और ''n'' आधार छद्मसदिश भी होते हैं। कई आधार छद्म सदिश ''n'' आधार सदिशों में से एक को छोड़कर सभी के बाह्य (वेज) गुणनफल से बनते हैं। उदाहरण के लिए, चार आयामों में जहां आधार सदिशों को {'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>, '''e'''<sub>4</sub>}'' माना जाता है, छद्मसदिशों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: {'''e'''<sub>234</sub>, '''e'''<sub>134</sub>, '''e'''<sub>124</sub>, '''e'''<sub>123</sub>} |'' | ||
===तीन आयामों में परिवर्तन=== | ===तीन आयामों में परिवर्तन=== | ||
तीन आयामों में छद्म | तीन आयामों में छद्म सदिश के रूपांतरण गुणों की तुलना बेलिस द्वारा [[वेक्टर क्रॉस उत्पाद|सदिश सदिश गुणनफल]] से की गई है।<ref name=Baylis> | ||
{{cite book |author=William E Baylis |title=Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V |url=https://archive.org/details/theoreticalmetho0000bayl |url-access=registration |page=[https://archive.org/details/theoreticalmetho0000bayl/page/234 234], see footnote |isbn=0-8176-3715-X |year=1994 |publisher=Birkhäuser}} | {{cite book |author=William E Baylis |title=Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V |url=https://archive.org/details/theoreticalmetho0000bayl |url-access=registration |page=[https://archive.org/details/theoreticalmetho0000bayl/page/234 234], see footnote |isbn=0-8176-3715-X |year=1994 |publisher=Birkhäuser}} | ||
</ref> वह कहते हैं: अक्षीय सदिश और छद्म | </ref> वह कहते हैं: "''अक्षीय सदिश'' और ''छद्म सदिश'' को अधिकतर समानार्थी माना जाता है, लेकिन द्विसदिश को उसके द्वैती से विभेदन करने में सक्षम होना काफी उपयोगी है।" बेलिस की व्याख्या करने के लिए: तीन आयामों में दो ध्रुवीय सदिश (अर्थात, वास्तविक सदिश) '<nowiki/>'''a'''<nowiki/>' और '<nowiki/>'''b'''<nowiki/>' को देखते हुए, '<nowiki/>'''a'''<nowiki/>' और '<nowiki/>'''b'''<nowiki/>' से बना सदिश गुणनफल {{nowrap|1='''c''' = '''a''' × '''b'''}} द्वारा दिए गए उनके समतल के लिए सामान्य सदिश है। दाएं हाथ के ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश {{nowrap|{ '''e'''<sub>ℓ</sub> }<nowiki/>}} के एक समुच्चय को देखते हुए, सदिश गुणनफल को इसके घटकों के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: | ||
:<math>\mathbf {a} \times \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_1 + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_2 + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_3 ,</math> | :<math>\mathbf {a} \times \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_1 + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_2 + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_3 ,</math> | ||
जहां सुपरस्क्रिप्ट सदिश घटकों को | जहां सुपरस्क्रिप्ट सदिश घटकों को अंकित करते हैं। दूसरी ओर, दो सदिशों के तल को [[बाह्य गुणनफल]] या वेज गुणनफल द्वारा निरूपित किया जाता है जिसे {{nowrap|'''a''' ∧ '''b'''}} द्वारा दर्शाया जाता है।ज्यामितीय बीजगणित के इस संदर्भ में, इस [[द्विसदिश]] को छद्मसदिश कहा जाता है, और यह सदिश गुणनफल का[[ हॉज दोहरे | ''हॉज द्वैत'']] है।<ref name=Li> | ||
{{cite book |title=Computer algebra and geometric algebra with applications |page=330 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=uxofVAQE3LoC&q=%22is+termed+the+dual | |||