अक्षीय सदिश: Difference between revisions

(14 intermediate revisions by 4 users not shown)

Line 1:

{{Short description|Physical quantity that changes sign with improper rotation}}

{{Use American English|date=March 2019}}[[File:BIsAPseudovector.svg|thumb|right|तार का एक पाश (काला), जिसमें I [[धारा]] प्रवाहित होती है, एक [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''B''' (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा ~~डैश~~ रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यह''परावर्तित और उत्क्रमित'' होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र '''B''' एक छद्म सदिश है।<ref name=Tischchenko>

{{Use American English|date=March 2019}}[[File:BIsAPseudovector.svg|thumb|right|तार का एक पाश (काला), जिसमें '''I''' [[धारा]] प्रवाहित होती है, एक [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''B''' (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा असतत रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यह''परावर्तित और उत्क्रमित'' होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र '''B''' एक छद्म सदिश है।<ref name=Tischchenko>

{{cite book |page=343 |title=Linearity and the mathematics of several variables |author1=Stephen A. Fulling |author2=Michael N. Sinyakov |author3=Sergei V. Tischchenko |url=https://books.google.com/books?id=Eo3mcd_62DsC&q=pseudovector+%22magnetic+field%22&pg=RA1-PA343

Line 7:

</ref>]][[भौतिकी]] और [[गणित]] में, एक '''छद्म सदिश''' (या '''अक्षीय सदिश''') एक राशि है जो कई स्थितियों में एक [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को [[घूर्णन]], [[अनुवाद (ज्यामिति)|स्थानांतरण]], [[परावर्तन]], आदि द्वारा [[कठोरता|दृढ़ता]] [[से रूपांतरित]] कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का [[अभिविन्यास (स्थान)|अभिविन्यास]] बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, [[कोणीय संवेग]] एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और [[स्थिति वेक्टर|स्थिति सदिश]] को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए।

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय [[सदिश क्षेत्र]] का [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] और दो ध्रुवीय सदिशों का [[सदिश गुणनफल]] छद्मसदिश ~~हैं।~~<ref name=Tarapov>

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय [[सदिश क्षेत्र]] का [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] और दो ध्रुवीय सदिशों का [[सदिश गुणनफल]] छद्मसदिश है।<ref name=Tarapov>

{{cite book |title=Vector and tensor analysis with applications |author1=Aleksandr Ivanovich Borisenko |author2=Ivan Evgenʹevich Tarapov |url=https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=%22C+is+a+pseudovector.+Note+that%22&pg=PA125 |page=125 |isbn=0-486-63833-2 |year=1979 |edition=Reprint of 1968 Prentice-Hall |publisher=Courier Dover}}

</ref>

Line 13:

छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त [[समतल]] का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, '''a''' और '''b''' द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,<ref name="FeynmanLectures">

[https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1]

</ref> जो समतल को स्पैन करते हैं। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक - [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां [[सतही]] [[अभिलंबों को रूपांतरण|अभिलंबों का रूपांतरण]] करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।

</ref> जो समतल को स्पैन (विस्तृति) करते हैं। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक- [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां [[सतही]] [[अभिलंबों को रूपांतरण|अभिलंबों का रूपांतरण]] करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।

भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश [[bivector|~~बायवेक्टर~~]] के ~~बराबर~~ होते हैं, जिससे ~~छद्मसदिश~~ के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर ''n''-विमीय [[ज्यामितीय बीजगणित]] में छद्मसदिश विमा {{nowrap|''n'' − 1}} के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀n−1'R'n लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को [[स्यूडोस्केलर|छद्मअदिश]] और [[स्यूडोस्केलर|छद्मप्रदिश]] के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक [[अदिश]] या [[प्रदिश]] की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।

भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश [[bivector|द्विसदिश]] के तुल्य होते हैं, जिससे छद्मसदिशों के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर ''n''-विमीय [[ज्यामितीय बीजगणित]] में छद्मसदिश विमा {{nowrap|''n'' − 1}} के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀n−1'R'n लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को [[स्यूडोस्केलर|छद्मअदिश]] और [[स्यूडोस्केलर|छद्मप्रदिश]] के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक [[अदिश]] या [[प्रदिश]] की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।

==भौतिक उदाहरण==

छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में[[ टॉर्कः | बलाघूर्ण]],<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|कोणीय वेग, कोणीय संवेग,]]<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय क्षेत्र]],<ref name=FeynmanLectures/>और [[चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण|चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण]] सम्मिलित हैं |

[[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश [[कोणीय संवेग]] {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}} पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का ''वास्तविक'' कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी ~~प्रतिबिंब~~ में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।

[[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश [[कोणीय संवेग]] {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}} पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का ''वास्तविक'' कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी परावर्तन में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।

[[भौतिकी में समरूपता|भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव]] को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। {{nowrap|1=''z'' = 0}} समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत [[सममित]] (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।

भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के [[सदिश गुणनफल]] या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के [[कर्ल]] को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत ~~होंगे।~~

भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के [[सदिश गुणनफल]] या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के [[कर्ल]] को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होते हैं।

जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक [[बायवेक्टर]] उत्पन्न करता है जो 2 ~~रैंक~~ प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य , उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक [[बायवेक्टर|द्विसदिश]] उत्पन्न करता है जो 2 कोटि प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

==विवरण==

{{See also|सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त|~~Euclidean vector~~}}

{{See also|सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त|यूक्लिडियन सदिश }}

भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त [[सदिश समष्टि]] का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे [[घटकों]] की आवश्यकता होती है जो [[उचित घूर्णन]] के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित ~~होता है।~~ (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह [[सक्रिय रूपांतरणों]] का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक [[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन मैट्रिक्स]] R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] '''x''' {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}} में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" '''v''' को इसी प्रकार {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}} में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, [[वेग]] के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)

भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त [[सदिश समष्टि]] का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे [[घटकों]] की आवश्यकता होती है जो [[उचित घूर्णन]] के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होते हैं। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह [[सक्रिय रूपांतरणों]] का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक [[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन मैट्रिक्स]] R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] '''x''' {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}} में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" '''v''' को इसी प्रकार {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}} में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, [[वेग]] के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)

([[ विभेदक ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]] की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का [[प्रदिश]] और कोटि एक के सदिश के [[प्रतिपरिवर्त]] को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और [[प्रतिपरिवर्त]] कोटि भी हो सकते हैं, जो [[आइंस्टीन समाकलन कन्वेंशन|आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन]]) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।

Line 49:

जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और घूर्णन मैट्रिक्स '''R''' या तो उचित या अनुचित हो सकते हैं। प्रतीक det [[सारणिक]] (डिटर्मिनेंट) को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स के सारणिक क्रमशः +1 और -1 हैं।

===~~जोड़~~, ~~घटाव~~, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार===

===योग, व्यवकलन, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार===

मान लीजिए वी1 और वी2 ज्ञात छद्मसदिश हैं, और वी3 उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''3 = '''v'''1 + '''v'''2}}. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित ~~होता~~ है, तो 'v'3 ~~में परिवर्तित हो~~ जाता है

मान लीजिए '''v'''1 और '''v'''2 ज्ञात छद्मसदिश हैं, और '''v'''3 को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''3 = '''v'''1 + '''v'''2}} | यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो '''v'''3 को रूपांतरित किया जाता है

: <math>

Line 59:

\end{align}

</math>

तो वि3 एक छद्मसदिश भी है. इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के ~~बीच~~ का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय ~~वैक्टरों~~ का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक ~~ध्रुवीय सदिश~~ प्राप्त होता ~~है। संख्या एक और छद्मसदिश उत्पन्न करती~~ है।

तो '''v'''3 एक छद्मसदिश भी है| इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के मध्य का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय सदिशों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक अन्य छद्मसदिश प्राप्त होता है।

दूसरी ओर, मान लीजिए वी1 एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, वी2 एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और वी3 उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''3 = '''v'''1 + '''v'''2}}. यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में ~~परिवर्तित हो जाता~~ है

दूसरी ओर, मान लीजिए कि '''v'''1 को एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, '''v'''2 को एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और '''v'''3 को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''3 = '''v'''1 + '''v'''2}} | यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो v3 में रूपांतरित होता है

: <math>

\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) = R(\mathbf{v_1}+(\det R) \mathbf{v_2}).

</math>

इसलिए, वी3 न तो ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित ~~घुमाव~~ के लिए, वी3 सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:

इसलिए, '''v'''3 न तो एक ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश है (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घूर्णन के लिए, '''v'''3 सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:

: <math>|\mathbf{v_3}| = |\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}|, \text{ but } \left|\mathbf{v_3}'\right| = \left|\mathbf{v_1}'-\mathbf{v_2}'\right|</math>.

यदि v ~~का परिमाण~~3 एक ~~मापने योग्य~~ भौतिक ~~मात्रा~~ का वर्णन ~~करने के लिए,~~ इसका ~~मतलब~~ यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, ~~कमज़ोर~~ अंतःक्रिया में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय बाएँ और दाएँ अलग-अलग व्यवहार करते हैं, एक ऐसी घटना जिसे अंतर्निहित सिद्धांत में एक छद्मसदिश के साथ एक ध्रुवीय सदिश के योग का पता लगाया जा सकता है। (समता ~~उल्लंघन~~ देखें।)

यदि v3 का परिमाण एक मापनीय भौतिक राशि का वर्णन करता है तो इसका अर्थ यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, [[दुर्बल अंतःक्रिया]] में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय "बाएँ" और "दाएँ" को अलग-अलग तरीके से व्यवहार करते हैं | (समता खंडन देखें।)

===सदिश गुणनफलों के अंतर्गत व्यवहार===

[[Image:Uitwendig product onder inversie.svg|thumb|~~व्युत्क्रम~~ के ~~तहत~~ दो ~~वैक्टर संकेत~~ बदलते हैं, लेकिन उनका सदिश गुणनफल ~~अपरिवर्तनीय~~ होता है [काले दो मूल सदिश हैं, ~~ग्रे उल्टे~~ सदिश हैं, और लाल उनका पारस्परिक सदिश गुणनफल है]।]]रोटेशन मैट्रिक्स आर के लिए, चाहे उचित हो या अनुचित, निम्नलिखित गणितीय समीकरण हमेशा सत्य होता है:

[[Image:Uitwendig product onder inversie.svg|thumb|व्युत्क्रमण के अंतर्गत दो सदिश चिन्ह बदलते हैं, लेकिन उनका सदिश गुणनफल निश्चर होता है [काले दो मूल सदिश हैं, भूरे व्युत्क्रमित सदिश हैं, और लाल उनका पारस्परिक सदिश गुणनफल है]।]]

:<math>(R\mathbf{v_1})\times(R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}))</math>,

जहां वी1 और वी2 कोई त्रि-~~आयामी~~ सदिश हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)

जहां '''v'''1 और '''v'''2 कोई त्रि-विमीय सदिश हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)

मान लीजिए वी1 और वी2 ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और v3 उनके सदिश गुणनफल ~~के रूप में परिभाषित किया गया है~~, {{nowrap|1='''v'''3 = '''v'''1 × '''v'''2}}. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित ~~होता~~ है, तो 'v'3 ~~में परिवर्तित हो~~ जाता है

मान लीजिए कि '''v'''1 और '''v'''2 ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और '''v'''3 को उनके सदिश गुणनफल, {{nowrap|1='''v'''3 = '''v'''1 × '''v'''2}} के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स ''R'' द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो '''v'''3 को रूपांतरित किया जाता है

:<math>\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}' \times \mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) \times (R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})) = (\det R)(R\mathbf{v_3}).</math>

तो वि3 एक छद्मसदिश है. इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है:

तो '''v'''3 एक छद्मसदिश है| इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है:

*ध्रुवीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = छद्मसदिश

*~~छद्म सदिश× छद्म सदिश~~= ~~स्यूडोसदिश~~

*छद्मसदिश× छद्मसदिश= छद्मसदिश

*ध्रुवीय सदिश × छद्म सदिश= ध्रुवीय सदिश

*छद्मसदिश × ध्रुवीय सदिश = ध्रुवीय सदिश

यह ~~जोड़ मॉड्यूलो~~ 2 का समरूपी है, जहां ध्रुवीय 1 और छद्म 0 ~~से मेल खाता~~ है।

यह योग मापांक 2 का समरूपी है, जहां "ध्रुवीय" 1 और "छद्म" 0 के संगत होता है।

===उदाहरण===

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन सदिश एक ध्रुवीय सदिश है। वेग सदिश एक विस्थापन सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय सदिश भी है। इसी ~~तरह~~, संवेग सदिश वेग सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय सदिश है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय सदिश) और संवेग (एक ध्रुवीय सदिश) का सदिश गुणनफल है, और इसलिए यह एक छद्मसदिश है। इस ~~तरह~~ से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य सदिश को छद्मसदिश या ध्रुवीय सदिश के रूप में वर्गीकृत करना ~~सीधा~~ है। (~~कमजोर~~-~~अंतर्क्रिया~~ के सिद्धांत में समता-~~उल्लंघन करने~~ वाले सदिश हैं, जो न तो ध्रुवीय सदिश हैं और न ही छद्मसदिश हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन सदिश एक ध्रुवीय सदिश है। वेग सदिश एक विस्थापन सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय सदिश भी है। इसी प्रकार, संवेग सदिश वेग सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय सदिश है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय सदिश) और संवेग (एक ध्रुवीय सदिश) का सदिश गुणनफल है, और इसलिए यह एक छद्मसदिश है। इस प्रकार से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य सदिश को छद्मसदिश या ध्रुवीय सदिश के रूप में वर्गीकृत करना सरल है। (दुर्बल-अन्योन्य क्रिया के सिद्धांत में समता-खंडन वाले सदिश हैं, जो न तो ध्रुवीय सदिश हैं और न ही छद्मसदिश हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)

==दाहिने हाथ का नियम==

ऊपर, सक्रिय ~~और निष्क्रिय परिवर्तनों~~ का उपयोग करके छद्मसदिशों पर ~~चर्चा~~ की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, ~~सक्रिय और~~ निष्क्रिय ~~परिवर्तनों~~ की ~~तर्ज~~ पर, ब्रह्मांड को ~~स्थिर~~ रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह दाएं हाथ के नियम को बाएं हाथ के नियम से बदलना है, जिसमें सदिश गुणनफल और कर्ल की परिभाषा भी सम्मिलित ~~है ( अंक शास्त्र)।~~ कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक ~~अनुवाद~~ सदिश) अपरिवर्तित ~~होगा~~, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) ~~संकेतों~~ को बदल ~~देगा।~~ फिर भी~~, समता उल्लंघन के अलावा~~, कुछ [[रेडियोधर्मी क्षय]] जैसी समता-~~उल्लंघन घटनाओं को छोड़कर~~, कोई भौतिक परिणाम नहीं ~~होगा।~~<ref>See [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!"].</ref>

ऊपर, [[सक्रिय रूपांतरणों]] का उपयोग करके छद्मसदिशों पर परिचर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, निष्क्रिय रूपांतरणों की पद्धति पर, ब्रह्मांड को नियत रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह "[[दाएं हाथ के नियम]]" को "बाएं हाथ के नियम" से बदलना है, जिसमें [[सदिश गुणनफल]] और [[कर्ल]] की परिभाषा भी सम्मिलित है। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक स्थानांतरण सदिश) अपरिवर्तित होता है, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) चिन्हों को बदल देता है। फिर भी, कुछ [[रेडियोधर्मी क्षय|रेडियोसक्रिय क्षयों]] जैसी [[समता-खंडन]] परिघटनाओं के अलावा, कोई भौतिक परिणाम नहीं होते हैं।<ref>See [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!"].</ref>

==औपचारिकीकरण==

छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि V एक n-[[आयाम (वेक्टर स्थान)|~~आयाम (सदिश स्थान)~~]] सदिश ~~स्थान~~ है, तो V का एक छद्मसदिश (n − 1)-~~वें~~ बाहरी ~~बीजगणित#V की बाहरी शक्ति~~ का एक ~~तत्व~~ है: ~~⋀n−1~~(V). V के छद्मसदिश V के समान आयाम वाला एक सदिश ~~स्थान बनाते~~ हैं।

छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि ''V'' एक n-[[आयाम (वेक्टर स्थान)|विमीय]] सदिश समष्टि है, तो ''V'' का एक ''छद्मसदिश'' ''V'' की (''n - 1'')-वीं [[बाहरी घात|बाह्य घात]] का एक अवयव है: ⋀n−1(''V'')। ''V'' का छद्मसदिश, ''V'' का समान आयाम वाला एक सदिश समष्टि बनाता हैं।

यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित ~~घुमाव~~ के ~~तहत साइन~~ फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश ~~स्थानों~~ के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब n [[समता (गणित)]] है, तो ऐसे ~~छद्मसदिश~~ को ~~साइन~~ फ़्लिप का ~~अनुभव~~ नहीं होता है, और जब V के अंतर्निहित [[~~फ़ील्ड (गणित)~~]] की [[~~विशेषता (बीजगणित)~~]] 2 ~~होती~~ है, तो ~~साइन~~ फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो [[वॉल्यूम फॉर्म]] या [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) | अभिविन्यास ~~(सदिश स्थान)~~]] ) के बिना, की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं ~~हैn−1(V) V के साथ।~~

यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घूर्णन के अंतर्गत चिन्ह फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश समष्टि के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब ''n'' [[समता (गणित)|सम]] होता है, तो ऐसे छद्मसदिशो को चिन्ह फ़्लिप का ज्ञान नहीं होता है, और जब ''V'' के अंतर्निहित [[क्षेत्र]] का [[पूर्णाश]] ''2'' होता है, तो चिन्ह फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो [[वॉल्यूम फॉर्म|आयतन रूप]] या [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) | अभिविन्यास]]) के बिना, ''V'' के साथ ⋀n−1(''V'') की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं

Anonymous

Search

अक्षीय सदिश: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Physical quantity that changes sign with improper rotation}}
-{{Use American English|date=March 2019}}[[File:BIsAPseudovector.svg|thumb|right|तार का एक पाश (काला), जिसमें I [[धारा]] प्रवाहित होती है, एक [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''B''' (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा डैश रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यह''परावर्तित और उत्क्रमित'' होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र '''B''' एक छद्म सदिश है।<ref name=Tischchenko>
+{{Use American English|date=March 2019}}[[File:BIsAPseudovector.svg|thumb|right|तार का एक पाश (काला), जिसमें '''I''' [[धारा]] प्रवाहित होती है, एक [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''B''' (नीला) बनाता है। यदि तार की स्थिति और धारा असतत रेखा द्वारा सूचित समतल में परावर्तित होती है, तो इससे उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परावर्तित नहीं होगा: इसके अतिरिक्त, यह''परावर्तित और उत्क्रमित'' होगा। तार में किसी भी बिंदु पर स्थिति और धारा "वास्तविक" सदिश हैं, लेकिन चुंबकीय क्षेत्र '''B''' एक छद्म सदिश है।<ref name=Tischchenko>
 {{cite book |page=343 |title=Linearity and the mathematics of several variables |author1=Stephen A. Fulling |author2=Michael N. Sinyakov |author3=Sergei V. Tischchenko |url=https://books.google.com/books?id=Eo3mcd_62DsC&q=pseudovector+%22magnetic+field%22&pg=RA1-PA343
@@ Line 7: / Line 7: @@
 </ref>]][[भौतिकी]] और [[गणित]] में, एक '''छद्म सदिश''' (या '''अक्षीय सदिश''') एक राशि है जो कई स्थितियों में एक [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को [[घूर्णन]], [[अनुवाद (ज्यामिति)|स्थानांतरण]], [[परावर्तन]], आदि द्वारा [[कठोरता|दृढ़ता]] [[से रूपांतरित]] कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का [[अभिविन्यास (स्थान)|अभिविन्यास]] बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, [[कोणीय संवेग]] एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और [[स्थिति वेक्टर|स्थिति सदिश]] को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए।
-तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय [[सदिश क्षेत्र]] का [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] और दो ध्रुवीय सदिशों का [[सदिश गुणनफल]] छद्मसदिश हैं।<ref name=Tarapov>
+तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय [[सदिश क्षेत्र]] का [[कर्ल (गणित)|कर्ल]] और दो ध्रुवीय सदिशों का [[सदिश गुणनफल]] छद्मसदिश है।<ref name=Tarapov>
 {{cite book |title=Vector and tensor analysis with applications |author1=Aleksandr Ivanovich Borisenko |author2=Ivan Evgenʹevich Tarapov |url=https://books.google.com/books?id=CRIjIx2ac6AC&q=%22C+is+a+pseudovector.+Note+that%22&pg=PA125 |page=125 |isbn=0-486-63833-2 |year=1979 |edition=Reprint of 1968 Prentice-Hall |publisher=Courier Dover}}
 </ref>
@@ Line 13: / Line 13: @@
 छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त [[समतल]] का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, '''a''' और '''b''' द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,<ref name="FeynmanLectures">
 [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors, Feynman Lectures in Physics, Vol. 1]
-</ref> जो समतल को स्पैन करते हैं। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक - [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां [[सतही]] [[अभिलंबों को रूपांतरण|अभिलंबों का रूपांतरण]] करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।
+</ref> जो समतल को स्पैन (विस्तृति) करते हैं। सदिश {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक- [[दाहिने हाथ का नियम]] यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां [[सतही]] [[अभिलंबों को रूपांतरण|अभिलंबों का रूपांतरण]] करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।
-भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश [[bivector|बायवेक्टर]] के बराबर होते हैं, जिससे छद्मसदिश के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर ''n''-विमीय [[ज्यामितीय बीजगणित]] में छद्मसदिश विमा {{nowrap|''n'' − 1}} के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀<sup>n−1</sup>'R'<sup>n</sup> लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को [[स्यूडोस्केलर|छद्मअदिश]] और [[स्यूडोस्केलर|छद्मप्रदिश]] के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक [[अदिश]] या [[प्रदिश]] की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।
+भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और [[कोणीय वेग]] सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश [[bivector|द्विसदिश]] के तुल्य होते हैं, जिससे छद्मसदिशों के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर ''n''-विमीय [[ज्यामितीय बीजगणित]] में छद्मसदिश विमा {{nowrap|''n'' − 1}} के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀<sup>n−1</sup>'R'<sup>n</sup> लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को [[स्यूडोस्केलर|छद्मअदिश]] और [[स्यूडोस्केलर|छद्मप्रदिश]] के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक [[अदिश]] या [[प्रदिश]] की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।
 ==भौतिक उदाहरण==
 छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में[[ टॉर्कः | बलाघूर्ण]],<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|कोणीय वेग, कोणीय संवेग,]]<ref name=FeynmanLectures/>[[कोणीय वेग, कोणीय संवेग,चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय क्षेत्र]],<ref name=FeynmanLectures/>और [[चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण|चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण]] सम्मिलित हैं |
-[[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश [[कोणीय संवेग]] {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}} पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का ''वास्तविक'' कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी प्रतिबिंब में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।
+[[Image:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg|thumb|ड्राइविंग से दूर जाने वाली बाईं ओर कार के प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेत करने वाला एक कोणीय संवेग छद्मसदिश होता है। कार के दर्पण प्रतिबिंब के लिए भी यही सच है। तथ्य यह है कि तीर एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब होने के बजाय एक ही दिशा में संकेत करते हैं, यह दर्शाता है कि वे छद्मसदिश हैं।]]छद्मसदिश [[कोणीय संवेग]] {{nowrap|1='''L''' = Σ('''r''' × '''p''')}} पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का ''वास्तविक'' कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी परावर्तन में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।
 [[भौतिकी में समरूपता|भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव]] को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। {{nowrap|1=''z'' = 0}} समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत [[सममित]] (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।
-भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के [[सदिश गुणनफल]] या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के [[कर्ल]] को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होंगे।
+भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के [[सदिश गुणनफल]] या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के [[कर्ल]] को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होते हैं।
-जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक [[बायवेक्टर]] उत्पन्न करता है जो 2 रैंक प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य , उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।
+जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए <math>\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)</math>, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक [[बायवेक्टर|द्विसदिश]] उत्पन्न करता है जो 2 कोटि प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।
 ==विवरण==
-{{See also|सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त|Euclidean vector}}
+{{See also|सदिशों और यूक्लिडियन सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिपरिवर्त|यूक्लिडियन सदिश }}
-भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त [[सदिश समष्टि]] का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे [[घटकों]] की आवश्यकता होती है जो [[उचित घूर्णन]] के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होता है। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह [[सक्रिय रूपांतरणों]] का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक [[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन मैट्रिक्स]] R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] '''x''' {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}} में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" '''v''' को इसी प्रकार {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}} में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, [[वेग]] के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)
+भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त [[सदिश समष्टि]] का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे [[घटकों]] की आवश्यकता होती है जो [[उचित घूर्णन]] के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होते हैं। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह [[सक्रिय रूपांतरणों]] का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक [[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन मैट्रिक्स]] R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक [[विस्थापन वेक्टर|विस्थापन सदिश]] '''x''' {{nowrap|1='''x'''{{prime}} = ''R'''''x'''}} में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" '''v''' को इसी प्रकार {{nowrap|1='''v'''{{prime}} = ''R'''''v'''}} में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, [[वेग]] के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)
 ([[ विभेदक ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]] की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का [[प्रदिश]] और कोटि एक के सदिश के [[प्रतिपरिवर्त]] को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और [[प्रतिपरिवर्त]] कोटि भी हो सकते हैं, जो [[आइंस्टीन समाकलन कन्वेंशन|आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन]]) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।
@@ Line 49: / Line 49: @@
 जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और घूर्णन मैट्रिक्स '''R''' या तो उचित या अनुचित हो सकते हैं। प्रतीक det [[सारणिक]] (डिटर्मिनेंट) को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स के सारणिक क्रमशः +1 और -1 हैं।
-===जोड़, घटाव, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार===
+===योग, व्यवकलन, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार===
-मान लीजिए वी<sub>1</sub> और वी<sub>2</sub> ज्ञात छद्मसदिश हैं, और वी<sub>3</sub> उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>}}. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'<sub>3</sub> में परिवर्तित हो जाता है
+मान लीजिए '''v'''<sub>1</sub> और '''v'''<sub>2</sub> ज्ञात छद्मसदिश हैं, और '''v'''<sub>3</sub> को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>}} | यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो '''v'''<sub>3</sub> को रूपांतरित किया जाता है
 : <math>
@@ Line 59: / Line 59: @@
 \end{align}
 </math>
-तो वि<sub>3</sub> एक छद्मसदिश भी है. इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के बीच का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय वैक्टरों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है। संख्या एक और छद्मसदिश उत्पन्न करती है।
+तो '''v'''<sub>3</sub> एक छद्मसदिश भी है| इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के मध्य का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय सदिशों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक अन्य छद्मसदिश प्राप्त होता है।
-दूसरी ओर, मान लीजिए वी<sub>1</sub> एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, वी<sub>2</sub> एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और वी<sub>3</sub> उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>}}. यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'<sub>3</sub> में परिवर्तित हो जाता है
+दूसरी ओर, मान लीजिए कि '''v'''<sub>1</sub> को एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, '''v'''<sub>2</sub> को एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और '''v'''<sub>3</sub> को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>}} | यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो v<sub>3</sub> में रूपांतरित होता है
 : <math>
 \mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) = R(\mathbf{v_1}+(\det R) \mathbf{v_2}).
 </math>
-इसलिए, वी<sub>3</sub> न तो ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घुमाव के लिए, वी<sub>3</sub> सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:
+इसलिए, '''v'''<sub>3</sub> न तो एक ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश है  (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घूर्णन के लिए, '''v'''<sub>3</sub> सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:
 : <math>|\mathbf{v_3}| = |\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}|, \text{ but } \left|\mathbf{v_3}'\right| = \left|\mathbf{v_1}'-\mathbf{v_2}'\right|</math>.
-यदि v का परिमाण<sub>3</sub> एक मापने योग्य भौतिक मात्रा का वर्णन करने के लिए, इसका मतलब यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, कमज़ोर अंतःक्रिया में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय बाएँ और दाएँ अलग-अलग व्यवहार करते हैं, एक ऐसी घटना जिसे अंतर्निहित सिद्धांत में एक छद्मसदिश के साथ एक ध्रुवीय सदिश के योग का पता लगाया जा सकता है। (समता उल्लंघन देखें।)
+यदि v<sub>3</sub> का परिमाण एक मापनीय भौतिक राशि का वर्णन करता है तो इसका अर्थ यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, [[दुर्बल अंतःक्रिया]] में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय "बाएँ" और "दाएँ" को अलग-अलग तरीके से व्यवहार करते हैं | (समता खंडन देखें।)
 ===सदिश गुणनफलों के अंतर्गत व्यवहार===
-[[Image:Uitwendig product onder inversie.svg|thumb|व्युत्क्रम के तहत दो वैक्टर संकेत बदलते हैं, लेकिन उनका सदिश गुणनफल अपरिवर्तनीय होता है [काले दो मूल सदिश हैं, ग्रे उल्टे सदिश हैं, और लाल उनका पारस्परिक सदिश गुणनफल है]।]]रोटेशन मैट्रिक्स आर के लिए, चाहे उचित हो या अनुचित, निम्नलिखित गणितीय समीकरण हमेशा सत्य होता है:
+[[Image:Uitwendig product onder inversie.svg|thumb|व्युत्क्रमण के अंतर्गत दो सदिश चिन्ह बदलते हैं, लेकिन उनका सदिश गुणनफल निश्चर होता है [काले दो मूल सदिश हैं, भूरे व्युत्क्रमित सदिश हैं, और लाल उनका पारस्परिक सदिश गुणनफल है]।]]
 :<math>(R\mathbf{v_1})\times(R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}))</math>,
-जहां वी<sub>1</sub> और वी<sub>2</sub> कोई त्रि-आयामी सदिश हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)
+जहां '''v'''<sub>1</sub> और '''v'''<sub>2</sub> कोई त्रि-विमीय सदिश हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)
-मान लीजिए वी<sub>1</sub> और वी<sub>2</sub> ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और v<sub>3</sub> उनके सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> × '''v'''<sub>2</sub>}}. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'<sub>3</sub> में परिवर्तित हो जाता है
+मान लीजिए कि '''v'''<sub>1</sub> और '''v'''<sub>2</sub> ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और '''v'''<sub>3</sub> को उनके सदिश गुणनफल, {{nowrap|1='''v'''<sub>3</sub> = '''v'''<sub>1</sub> × '''v'''<sub>2</sub>}} के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स ''R'' द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो '''v'''<sub>3</sub> को रूपांतरित किया जाता है
 :<math>\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}' \times \mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) \times (R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})) = (\det R)(R\mathbf{v_3}).</math>
-तो वि<sub>3</sub> एक छद्मसदिश है. इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है:
+तो '''v'''<sub>3</sub> एक छद्मसदिश है| इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है:
 *ध्रुवीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = छद्मसदिश
-*छद्म सदिश× छद्म सदिश= स्यूडोसदिश
+*छद्मसदिश× छद्मसदिश= छद्मसदिश
 *ध्रुवीय सदिश × छद्म सदिश= ध्रुवीय सदिश
 *छद्मसदिश × ध्रुवीय सदिश = ध्रुवीय सदिश
-यह जोड़ मॉड्यूलो 2 का समरूपी है, जहां ध्रुवीय 1 और छद्म 0 से मेल खाता है।
+यह योग मापांक 2 का समरूपी है, जहां "ध्रुवीय" 1 और "छद्म" 0 के संगत होता है।
 ===उदाहरण===
-परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन सदिश एक ध्रुवीय सदिश है। वेग सदिश एक विस्थापन सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय सदिश भी है। इसी तरह, संवेग सदिश वेग सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय सदिश है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय सदिश) और संवेग (एक ध्रुवीय सदिश) का सदिश गुणनफल है, और इसलिए यह एक छद्मसदिश है। इस तरह से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य सदिश को छद्मसदिश या ध्रुवीय सदिश के रूप में वर्गीकृत करना सीधा है। (कमजोर-अंतर्क्रिया के सिद्धांत में समता-उल्लंघन करने वाले सदिश हैं, जो न तो ध्रुवीय सदिश हैं और न ही छद्मसदिश हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)
+परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन सदिश एक ध्रुवीय सदिश है। वेग सदिश एक विस्थापन सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय सदिश भी है। इसी प्रकार, संवेग सदिश वेग सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय सदिश है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय सदिश) और संवेग (एक ध्रुवीय सदिश) का सदिश गुणनफल है, और इसलिए यह एक छद्मसदिश है। इस प्रकार से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य सदिश को छद्मसदिश या ध्रुवीय सदिश के रूप में वर्गीकृत करना सरल है। (दुर्बल-अन्योन्य क्रिया के सिद्धांत में समता-खंडन वाले सदिश हैं, जो न तो ध्रुवीय सदिश हैं और न ही छद्मसदिश हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)
 ==दाहिने हाथ का नियम==
-ऊपर, सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों का उपयोग करके छद्मसदिशों पर चर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों की तर्ज पर, ब्रह्मांड को स्थिर रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह दाएं हाथ के नियम को बाएं हाथ के नियम से बदलना है, जिसमें सदिश गुणनफल और कर्ल की परिभाषा भी सम्मिलित है ( अंक शास्त्र)। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक अनुवाद सदिश) अपरिवर्तित होगा, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) संकेतों को बदल देगा। फिर भी, समता उल्लंघन के अलावा, कुछ [[रेडियोधर्मी क्षय]] जैसी समता-उल्लंघन घटनाओं को छोड़कर, कोई भौतिक परिणाम नहीं होगा।<ref>See [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!"].</ref>
+ऊपर, [[सक्रिय रूपांतरणों]] का उपयोग करके छद्मसदिशों पर परिचर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, निष्क्रिय रूपांतरणों की पद्धति पर, ब्रह्मांड को नियत रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह "[[दाएं हाथ के नियम]]" को "बाएं हाथ के नियम" से बदलना है, जिसमें [[सदिश गुणनफल]] और [[कर्ल]] की परिभाषा भी सम्मिलित है। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक स्थानांतरण सदिश) अपरिवर्तित होता है, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) चिन्हों को बदल देता है। फिर भी, कुछ [[रेडियोधर्मी क्षय|रेडियोसक्रिय क्षयों]] जैसी [[समता-खंडन]] परिघटनाओं के अलावा, कोई भौतिक परिणाम नहीं होते हैं।<ref>See [https://feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html Feynman Lectures, 52-7, "Parity is not conserved!"].</ref>
 ==औपचारिकीकरण==
-छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि V एक n-[[आयाम (वेक्टर स्थान)|आयाम (सदिश स्थान)]] सदिश स्थान है, तो V का एक छद्मसदिश (n − 1)-वें बाहरी बीजगणित#V की बाहरी शक्ति का एक तत्व है: ⋀<sup>n−1</sup>(V). V के छद्मसदिश V के समान आयाम वाला एक सदिश स्थान बनाते हैं।
+छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि ''V'' एक n-[[आयाम (वेक्टर स्थान)|विमीय]] सदिश समष्टि है, तो ''V'' का एक ''छद्मसदिश'' ''V'' की (''n - 1'')-वीं [[बाहरी घात|बाह्य घात]] का एक अवयव है: ⋀n−1(''V'')। ''V'' का छद्मसदिश, ''V'' का समान आयाम वाला एक सदिश समष्टि बनाता हैं।
-यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घुमाव के तहत साइन फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश स्थानों के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब n [[समता (गणित)]] है, तो ऐसे छद्मसदिश को साइन फ़्लिप का अनुभव नहीं होता है, और जब V के अंतर्निहित [[फ़ील्ड (गणित)]] की [[विशेषता (बीजगणित)]] 2 होती है, तो साइन फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो [[वॉल्यूम फॉर्म]] या [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) | अभिविन्यास (सदिश स्थान)]] ) के बिना, की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं है<sup>n−1</sup>(V) V के साथ।
+यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घूर्णन के अंतर्गत चिन्ह फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश समष्टि के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब ''n'' [[समता (गणित)|सम]] होता है, तो ऐसे छद्मसदिशो को चिन्ह फ़्लिप का ज्ञान नहीं होता है, और जब ''V'' के अंतर्निहित [[क्षेत्र]] का [[पूर्णाश]] ''2'' होता है, तो चिन्ह फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो [[वॉल्यूम फॉर्म|आयतन रूप]] या [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) | अभिविन्यास]]) के बिना, ''V'' के साथ ⋀n−1(''V'') की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं