प्राइमोरियल: Difference between revisions

From Vigyanwiki
m (Deepak moved page आदिम to प्राइमोरियल without leaving a redirect)
No edit summary
 
(9 intermediate revisions by 5 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Short description|Product of the first prime numbers}}
{{Short description|Product of the first prime numbers}}{{wikt|-ial}}
{{Distinguish|Primordial (disambiguation){{!}}primordial}}
गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, '''प्राइमोरियल''', जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, भाज्य फलन के समान [[प्राकृतिक संख्या]]ओं से प्राकृतिक संख्याओं तक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है, किन्तु धनात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के अतिरिक्त, फलन केवल [[अभाज्य संख्या]]ओं को गुणा करता है।


{{wikt|-ial}}
[[हार्वे डबनेर]] द्वारा लिखा गया प्राइमोरियल नाम, ''प्राइम्स'' के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम ''कारकों'' से संबंधित है।
गणित में, और विशेष रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, [[ कारख़ाने का ]] फ़ंक्शन के समान [[प्राकृतिक संख्या]]ओं से प्राकृतिक संख्याओं तक एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] है, लेकिन सकारात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के बजाय, फ़ंक्शन केवल [[अभाज्य संख्या]]ओं को गुणा करता है।


[[हार्वे डबनेर]] द्वारा गढ़ा गया प्राइमोरियल नाम, ''प्राइम्स'' के साथ एक सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम ''कारकों'' से संबंधित है।
== अभाज्य संख्याओं की परिभाषा                                                                                                                     ==
 
[[Image:Primorial pn plot.png|thumb|300px|{{math|''p<sub>n</sub>''#}} के कार्य के रूप में {{math|''n''}}, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]nवें अभाज्य संख्या {{mvar|p<sub>n</sub>}} के लिए मूल {{math|''p<sub>n</sub>''#}} को पहले {{mvar|n}} अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>
== अभाज्य संख्याओं की परिभाषा ==
[[Image:Primorial pn plot.png|thumb|300px|{{math|''p<sub>n</sub>''#}} के एक कार्य के रूप में {{math|''n''}}, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]के लिए {{mvar|n}}वाँ अभाज्य संख्या {{mvar|p<sub>n</sub>}}, आदिम {{math|''p<sub>n</sub>''#}} को पहले के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|n}} अभाज्य:<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>
:<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>,
:<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>,


कहाँ {{mvar|p<sub>k</sub>}} है {{mvar|k}}वाँ अभाज्य संख्या. उदाहरण के लिए, {{math|''p''<sub>5</sub>#}} पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:
जहाँ {{mvar|p<sub>k</sub>}} {{mvar|k}}वाँ अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए {{math|''p''<sub>5</sub>#}} पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:


:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>
:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>
प्रथम पाँच आदिम {{math|''p<sub>n</sub>''#}} हैं:
प्रथम पाँच मौलिक {{math|''p<sub>n</sub>''#}} हैं:
 
:[[2 (संख्या)|2, 6, 30, 210, 2310]], {{OEIS|id=A002110}}.


:[[2 (संख्या)]], [[6 (संख्या)]], [[30 (संख्या)]], [[210 (संख्या)]], [[2310 (संख्या)]] {{OEIS|id=A002110}}.


क्रम भी शामिल है {{math|''p''<sub>0</sub># {{=}} 1}}[[खाली उत्पाद]] के रूप में। असम्बद्ध रूप से, आदिम {{math|''p<sub>n</sub>''#}}इसके अनुसार बढ़ें:
अनुक्रम में खाली उत्पाद के रूप में {{math|''p''<sub>0</sub># {{=}} 1}} भी सम्मिलित है। एसिम्प्टोटिकली प्राइमोरियल {{math|''p<sub>n</sub>''#}} इसके अनुसार बढ़ते हैं:


:<math>p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},</math>
:<math>p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},</math>
कहाँ {{math|''o''( )}} [[लिटिल ओ अंकन]] है।<ref name="OEIS A002110" />


जहां {{math|''o''( )}} [[लिटिल ओ अंकन]] है।<ref name="OEIS A002110" />
== प्राकृत संख्याओं की परिभाषा ==
== प्राकृत संख्याओं की परिभाषा ==
[[Image:Primorial n plot.png|thumb|300px|{{math|''n''!}} (पीला) के एक कार्य के रूप में {{math|''n''}}, की तुलना में {{math|''n''#}}(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]सामान्य तौर पर, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}, यह आदिम है, {{math|''n#''}}, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे बड़े नहीं हैं {{mvar|n}}; वह है,<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>
[[Image:Primorial n plot.png|thumb|300px|{{math|''n''!}} (पीला) के कार्य के रूप में {{math|''n''}}, की तुलना में {{math|''n''#}}(लाल), दोनों को लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।]]सामान्यतः, धनात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए, यह मौलिक {{math|''n#''}} है, उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो इससे {{mvar|n}} बड़े नहीं हैं ,<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>
:<math>n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>,
:<math>n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>,


कहाँ {{math|''π''(''n'')}} अभाज्य-गिनती कार्य है {{OEIS|id=A000720}}, जो अभाज्य संख्या ≤ देता है {{mvar|n}}. यह इसके बराबर है:
जहाँ {{math|''π''(''n'')}} अभाज्य-गिनती कार्य है {{OEIS|id=A000720}}, जो अभाज्य संख्या ≤ देता है यह इसके {{mvar|n}} सामान्य है:


:<math>n\# =  
:<math>n\# =  
Line 36: Line 33:
     (n-1)\# & \text{if } n \text{ is composite}.
     (n-1)\# & \text{if } n \text{ is composite}.
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है ≤ 12:
उदाहरण के लिए, 12# उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल ≤ 12 को दर्शाता है :


:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>
:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>
Line 42: Line 39:


:<math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.</math>
:<math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.</math>
के पहले 12 मानों पर विचार करें {{math|''n''#}}:
{{math|''n''#}} के पहले 12 मानों पर विचार करें :


:1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।
:1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310।


हम इसे समग्र के लिए देखते हैं {{mvar|n}} प्रत्येक पद {{math|''n''#}} बस पिछले शब्द की नकल करता है {{math|(''n'' − 1)#}}, जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में हमारे पास है {{math|12# {{=}} ''p''<sub>5</sub># {{=}} 11#}} चूँकि 12 एक भाज्य संख्या है।
हम इसे समग्र {{mvar|n}} के लिए देखते हैं प्रत्येक पद {{math|''n''#}} बस पिछले शब्द की नकल {{math|(''n'' − 1)#}} करता है , जैसा कि परिभाषा में दिया गया है। उपरोक्त उदाहरण में {{math|12# {{=}} ''p''<sub>5</sub># {{=}} 11#}} हमारे पास है चूँकि 12 भाज्य संख्या है।


प्रिमोरियल पहले लिखे गए [[चेबीशेव समारोह]] से संबंधित हैं {{not a typo|{{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} or {{math|''θ''(''n'')}}}} के अनुसार:
प्राइमोरियल पहले [[चेबीशेव समारोह|चेबीशेव]] फलन से संबंधित हैं जो {{not a typo|{{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} or {{math|''θ''(''n'')}}}} के अनुसार लिखा गया है:


:<math>\ln (n\#) = \vartheta(n).</math><ref>{{Mathworld | urlname=ChebyshevFunctions | title=Chebyshev Functions}}</ref>
:<math>\ln (n\#) = \vartheta(n).</math><ref>{{Mathworld | urlname=ChebyshevFunctions | title=Chebyshev Functions}}</ref>
तब से {{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण {{math|''n''}} के बड़े मूल्यों के लिए {{math|''n''}}, प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:
तब से {{math|''{{not a typo|ϑ}}''(''n'')}} स्पर्शोन्मुख रूप से दृष्टिकोण {{math|''n''}} के बड़े मूल्यों {{math|''n''}} के लिए , प्राइमोरियल्स इसलिए बढ़ते हैं:
:<math>n\# = e^{(1+o(1))n}.</math>
:<math>n\# = e^{(1+o(1))n}.</math>
सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
सभी ज्ञात अभाज्य संख्याओं को गुणा करने का विचार अभाज्य संख्याओं की अनंतता के कुछ प्रमाणों में होता है, जहाँ इसका उपयोग किसी अन्य अभाज्य संख्या के अस्तित्व को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।


== विशेषताएँ ==
== विशेषताएँ                                                                                                                                                             ==


* होने देना {{mvar|p}} और {{mvar|q}} दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ हों। कोई भी दिया गया <math>n \in \mathbb{N}</math>, कहाँ <math>p\leq n<q</math>:
* माना {{mvar|p}} और {{mvar|q}} दो आसन्न अभाज्य संख्याएँ है। किसी भी <math>n \in \mathbb{N}</math> को देखते हुए जहां <math>p\leq n<q</math>
:<math>n\#=p\#</math>
:<math>n\#=p\#</math>
* प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. 4th Edition. Oxford University Press, Oxford 1975. {{ISBN|0-19-853310-1}}.<br />Theorem 415, p.&nbsp;341</ref>
* प्राइमोरियल के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन ज्ञात है:<ref>G. H. Hardy, E. M. Wright: ''An Introduction to the Theory of Numbers''. 4th Edition. Oxford University Press, Oxford 1975. {{ISBN|0-19-853310-1}}.<br />Theorem 415, p.&nbsp;341</ref>
:<math>n\#\leq 4^n</math>.
:<math>n\#\leq 4^n</math>.
टिप्पणियाँ:
टिप्पणियाँ:
#प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह दर्शाया <math>n\#\leq 3^n</math><ref>{{Cite journal |last=Hanson |first=Denis |date=March 1972 |title=प्राइम्स के उत्पाद पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |volume=15 |issue=1 |pages=33–37 |doi=10.4153/cmb-1972-007-7|doi-access=free |issn=0008-4395}}</ref>
#प्रारंभिक विधि का प्रयोग करते हुए गणितज्ञ डेनिस हैन्सन ने यह <math>n\#\leq 3^n</math> दर्शाया था <ref>{{Cite journal |last=Hanson |first=Denis |date=March 1972 |title=प्राइम्स के उत्पाद पर|journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]] |volume=15 |issue=1 |pages=33–37 |doi=10.4153/cmb-1972-007-7|doi-access=free |issn=0008-4395}}</ref>
# अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया <math>n\#\leq (2.763)^n</math><ref name="RosserSchoenfeld1962">{{Cite journal |last1=Rosser |first1=J. Barkley |last2=Schoenfeld |first2=Lowell |date=1962-03-01 |title=अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र|journal=Illinois Journal of Mathematics |volume=6 |issue=1 |doi=10.1215/ijm/1255631807 |issn=0019-2082|doi-access=free }}</ref>
# अधिक उन्नत तरीकों का उपयोग करके, रोसेर और स्कोनफेल्ड ने <math>n\#\leq (2.763)^n</math> दिखाया था <ref name="RosserSchoenfeld1962">{{Cite journal |last1=Rosser |first1=J. Barkley |last2=Schoenfeld |first2=Lowell |date=1962-03-01 |title=अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र|journal=Illinois Journal of Mathematics |volume=6 |issue=1 |doi=10.1215/ijm/1255631807 |issn=0019-2082|doi-access=free }}</ref>
# प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने इसे दिखाया <math>n \ge 563</math>, <math>n\#\geq (2.22)^n</math><ref name="RosserSchoenfeld1962"/>
# प्रमेय 4, सूत्र 3.14 में रोसेर और स्कोनफेल्ड ने दिखाया <math>n \ge 563</math>, <math>n\#\geq (2.22)^n</math> के लिए <ref name="RosserSchoenfeld1962"/>


* आगे:
* इसके अतिरिक्त:
:<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e </math>
:<math>\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n\#} = e </math>
:के लिए <math>n<10^{11}</math>, मान e (गणितीय स्थिरांक)| से छोटे हैं{{mvar|e}},<ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. II. ''Math. Comp.'' Vol.&nbsp;34, No.&nbsp;134 (1976) 337–360; p.&nbsp;359.<br />Cited in: G. Robin: ''Estimation de la fonction de Tchebychef <math>\theta</math> sur le {{mvar|k}}-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction <math>\omega(n)</math>, nombre de diviseurs premiers de {{mvar|n}}''. ''Acta Arithm.'' XLII (1983) 367–389 ([http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4242.pdf PDF 731KB]); p.&nbsp;371</ref> लेकिन बड़े के लिए {{mvar|n}}, फ़ंक्शन का मान सीमा से अधिक है {{mvar|e}} और चारों ओर अनंत रूप से दोलन करता हूँ {{mvar|e}} बाद में।
:
:<math>n<10^{11}</math> के लिए मान e <ref>L. Schoenfeld: ''Sharper bounds for the Chebyshev functions <math>\theta(x)</math> and <math>\psi(x)</math>''. II. ''Math. Comp.'' Vol.&nbsp;34, No.&nbsp;134 (1976) 337–360; p.&nbsp;359.<br />Cited in: G. Robin: ''Estimation de la fonction de Tchebychef <math>\theta</math> sur le {{mvar|k}}-ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction <math>\omega(n)</math>, nombre de diviseurs premiers de {{mvar|n}}''. ''Acta Arithm.'' XLII (1983) 367–389 ([http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa42/aa4242.pdf PDF 731KB]); p.&nbsp;371</ref> से छोटे हैं, किन्तु बड़े {{mvar|n}} के लिए फलन के मान सीमा {{mvar|e}} से अधिक हैं और बाद में {{mvar|e}} के चारों ओर अनंत रूप से दोलन करते हैं।


* होने देना <math>p_k</math> हो {{mvar|k}}-वाँ अभाज्य, फिर <math>p_k\#</math> बिलकुल है <math>2^k</math> विभाजक. उदाहरण के लिए, <math>2\#</math> 2 भाजक हैं, <math>3\#</math> 4 भाजक हैं, <math>5\#</math> 8 भाजक हैं और <math>97\#</math> पहले से है <math>2^{25}</math> भाजक, क्योंकि 97 25वाँ अभाज्य है।
*मान लीजिए कि <math>p_k</math> {{mvar|k}} अभाज्य है, तो <math>p_k\#</math> में बिल्कुल <math>2^k</math> विभाजक हैं। उदाहरण के लिए, <math>2\#</math> में 2 विभाजक हैं, <math>3\#</math> में 4 विभाजक हैं <math>5\#</math> में 8 विभाजक हैं और <math>97\#</math> में पहले से ही विभाजक <math>2^{25}</math> हैं , चूँकि 97 25वाँ अभाज्य है।
* एक स्थिरांक की ओर प्राइमोरियल कन्वर्जेंट श्रृंखला के पारस्परिक मूल्यों का योग
* एक स्थिरांक की ओर प्राइमोरियल कन्वर्जेंट श्रृंखला के पारस्परिक मूल्यों का योग
:<math>\sum_{p\,\in \,\mathbb{P}}  {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots</math>
:<math>\sum_{p\,\in \,\mathbb{P}}  {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} + \ldots = 0{.}7052301717918\ldots</math>
Line 77: Line 75:
*यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, <math>p\# +1</math> अभाज्य संख्याओं की अनंतता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है।
*यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, <math>p\# +1</math> अभाज्य संख्याओं की अनंतता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है।


== अनुप्रयोग और गुण ==
== अनुप्रयोग और गुण                                                                                                                                                                                       ==
अंकगणितीय प्रगति में प्राइमोरियल प्राइम की खोज में भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए,
अंकगणितीय प्रगति में प्राइमोरियल प्राइम की खोज में भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए,
{{val|2236133941}} + 23# का परिणाम एक अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का एक क्रम शुरू होता है, और इसके साथ समाप्त होता है {{val|5136341251}}. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।


प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या आदिमों का गुणनफल है (जैसे [[360 (संख्या)]] = {{nowrap|2 × 6 × 30}}).<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A002182|name=Highly composite numbers}}</ref>
{{val|2236133941}} + 23# का परिणाम अभाज्य में होता है, बार-बार 23# जोड़ने से प्राप्त तेरह अभाज्यों का क्रम प्रारंभ होता है, और इसके साथ समाप्त होता है {{val|5136341251}}. 23# पंद्रह और सोलह अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति में भी सामान्य अंतर है।
प्राइमोरियल सभी [[वर्ग-मुक्त पूर्णांक]] होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक आदिम के लिए {{mvar|n}}, अंश {{math|{{sfrac|''φ''(''n'')|''n''}}}} किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां {{mvar|φ}} [[यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन]] है।
 
प्रत्येक उच्च भाज्य संख्या मौलिकों का गुणनफल है (जैसे [[360 (संख्या)]] = {{nowrap|2 × 6 × 30}}).<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A002182|name=Highly composite numbers}}</ref> प्राइमोरियल सभी [[वर्ग-मुक्त पूर्णांक]] होते हैं, और प्रत्येक में उससे छोटी किसी भी संख्या की तुलना में अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड होते हैं। प्रत्येक मौलिक के लिए {{mvar|n}}, अंश {{math|{{sfrac|''φ''(''n'')|''n''}}}} किसी भी छोटे पूर्णांक से छोटा है, जहां {{mvar|φ}} [[यूलर का टोटिएंट फ़ंक्शन|यूलर का टोटिएंट फलन]] है।


किसी भी पूर्ण गुणक फलन को प्राइमोरियल पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, क्योंकि इसे प्राइम पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आसन्न मानों के विभाजन द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
किसी भी पूर्ण गुणक फलन को प्राइमोरियल पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, क्योंकि इसे प्राइम पर उसके मानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आसन्न मानों के विभाजन द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
Line 88: Line 86:
प्राइमोरियल के अनुरूप बेस सिस्टम (जैसे कि बेस 30, मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल नंबर सिस्टम के साथ भ्रमित न हों) में किसी भी छोटे बेस की तुलना में दोहराए जाने वाले अंशों का अनुपात कम होता है।
प्राइमोरियल के अनुरूप बेस सिस्टम (जैसे कि बेस 30, मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल नंबर सिस्टम के साथ भ्रमित न हों) में किसी भी छोटे बेस की तुलना में दोहराए जाने वाले अंशों का अनुपात कम होता है।


प्रत्येक आदिम एक विरल योग संख्या है।<ref>{{cite journal | last1=Masser | first1=D.W. | author1-link=David Masser | last2=Shiu | first2=P. | title=विरल कुल संख्या पर| journal=Pacific Journal of Mathematics | volume=121 | pages=407–426 | year=1986 | issue=2 | issn=0030-8730 | zbl=0538.10006 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702441 | mr=819198 | doi=10.2140/pjm.1986.121.407| doi-access=free }}</ref>
प्रत्येक मौलिक विरल योग संख्या है।<ref>{{cite journal | last1=Masser | first1=D.W. | author1-link=David Masser | last2=Shiu | first2=P. | title=विरल कुल संख्या पर| journal=Pacific Journal of Mathematics | volume=121 | pages=407–426 | year=1986 | issue=2 | issn=0030-8730 | zbl=0538.10006 | url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702441 | mr=819198 | doi=10.2140/pjm.1986.121.407| doi-access=free }}</ref>
 
:{{mvar|n}|n}}-एक भाज्य संख्या का समायोजक {{mvar|n}} तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं {{mvar|n}} का गुणनफल है .<ref name="Wells 2011">{{cite book|last1=Wells|first1=David|author-link=David G. Wells|title=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|date=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781118045718|page=29|url=https://books.google.com/books?id=1MTcYrbTdsUC&q=Compositorial+primorial&pg=PA29|access-date=16 March 2016}}</ref> {{mvar|n}|n}}-कंपोजिटोरियल के सामान्य है {{mvar|n}}-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है {{math|''n''#}} कंपोज़िटोरियल हैं
{{mvar|n}|n}}-एक भाज्य संख्या का समायोजक {{mvar|n}} तक और सम्मिलित सभी भाज्य संख्याओं का गुणनफल है {{mvar|n}}.<ref name="Wells 2011">{{cite book|last1=Wells|first1=David|author-link=David G. Wells|title=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|date=2011|publisher=John Wiley & Sons|isbn=9781118045718|page=29|url=https://books.google.com/books?id=1MTcYrbTdsUC&q=Compositorial+primorial&pg=PA29|access-date=16 March 2016}}</ref> {{mvar|n}|n}}-कंपोजिटोरियल के बराबर है {{mvar|n}}-फैक्टोरियल को प्राइमोरियल से विभाजित किया जाता है {{math|''n''#}}. कंपोज़िटोरियल हैं
:1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, ... <ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A036691|name=Compositorial numbers: product of first n composite numbers.}}</ref>
:[[1 (संख्या)]], [[4 (संख्या)]], [[24 (संख्या)]], [[192 (संख्या)]], 1728, {{val|17280}}, {{val|207360}}, {{val|2903040}}, {{val|43545600}}, {{val|696729600}}, ...<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A036691|name=Compositorial numbers: product of first n composite numbers.}}</ref>
 
 
== रूप ==
== रूप ==


[[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] को एक से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है<ref name=mezo/>प्राइमोरियल फ़ंक्शन और जॉर्डन के टोटिएंट फ़ंक्शन का उपयोग करके {{math|''J<sub>k</sub>''(''n'')}}:
[[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा फलन]] को से अधिक धनात्मक पूर्णांकों पर व्यक्त किया जा सकता है <ref name=mezo/> प्राइमोरियल फलन और जॉर्डन के टोटिएंट फलन {{math|''J<sub>k</sub>''(''n'')}} का उपयोग करते है :
: <math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>
: <math> \zeta(k)=\frac{2^k}{2^k-1}+\sum_{r=2}^\infty\frac{(p_{r-1}\#)^k}{J_k(p_r\#)},\quad k=2,3,\dots </math>
 
== मौलिक तालिका                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             ==
 
== आदिकाल की तालिका ==


{| class="wikitable" style="text-align:right"
{| class="wikitable" style="text-align:right"
Line 108: Line 101:
! rowspan="2" | {{mvar|p<sub>n</sub>}}
! rowspan="2" | {{mvar|p<sub>n</sub>}}
! rowspan="2" | {{math|''p<sub>n</sub>''#}}
! rowspan="2" | {{math|''p<sub>n</sub>''#}}
! colspan="2" | [[Primorial prime]]?
! colspan="2" | [[Primorial prime|मौलिक प्राइम]]?
|-
|-
! ''p<sub>n</sub>''# + 1<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A014545|name=Primorial plus 1 prime indices}}</ref>
! ''p<sub>n</sub>''# + 1<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A014545|name=Primorial plus 1 prime indices}}</ref>
Line 400: Line 393:
| {{No}}
| {{No}}
|}
|}
 
== यह भी देखें                                                                                                                                                                         ==
 
== यह भी देखें ==
* बोन्से की असमानता
* बोन्से की असमानता
* चेबीशेव फ़ंक्शन
* चेबीशेव फलन
*मिश्रित मूलांक#प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
*मिश्रित मूलांक प्राइमोरियल संख्या प्रणाली
* [[आदिम प्रधान]]
* [[आदिम प्रधान|मौलिक प्राइम]]


== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ                                                                                                                                                                           ==
{{reflist|refs=
{{reflist|refs=
<ref name=mezo>
<ref name=mezo>
Line 421: Line 412:
}}</ref>
}}</ref>
}}
}}
== संदर्भ ==
== संदर्भ ==
* {{cite journal | last1 = Dubner | first1 = Harvey | year = 1987 | title = Factorial and primorial primes | journal = [[Journal of Recreational Mathematics|J. Recr. Math.]] | volume = 19 | pages = 197–203 }}
* {{cite journal | last1 = Dubner | first1 = Harvey | year = 1987 | title = Factorial and primorial primes | journal = [[Journal of Recreational Mathematics|J. Recr. Math.]] | volume = 19 | pages = 197–203 }}
*Spencer, Adam "Top 100" Number 59 part 4.
*Spencer, Adam "Top 100" Number 59 part 4.
[[Category: पूर्णांक क्रम]] [[Category: भाज्य और द्विपद विषय]] [[Category: प्रमुख संख्या]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 04/07/2023]]
[[Category:Created On 04/07/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:पूर्णांक क्रम]]
[[Category:प्रमुख संख्या]]
[[Category:भाज्य और द्विपद विषय]]

Latest revision as of 16:04, 29 August 2023

File:Wiktionary-logo-en-v2.svg
Look up -ial in Wiktionary, the free dictionary.

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, प्राइमोरियल, जिसे # द्वारा निरूपित किया जाता है, भाज्य फलन के समान प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक फलन (गणित) है, किन्तु धनात्मक पूर्णांकों को क्रमिक रूप से गुणा करने के अतिरिक्त, फलन केवल अभाज्य संख्याओं को गुणा करता है।

हार्वे डबनेर द्वारा लिखा गया प्राइमोरियल नाम, प्राइम्स के साथ सादृश्य बनाता है, ठीक उसी तरह जैसे फैक्टोरियल नाम कारकों से संबंधित है।

अभाज्य संख्याओं की परिभाषा

pn# के कार्य के रूप में n, लघुगणकीय रूप से प्लॉट किया गया।

nवें अभाज्य संख्या pn के लिए मूल pn# को पहले n अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है:[1][2]

,

जहाँ pk kवाँ अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए p5# पहले 5 अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता है:

प्रथम पाँच मौलिक pn# हैं:

2, 6, 30, 210, 2310, (sequence A002110 in the OEIS).


अनुक्रम में खाली उत्पाद के रूप में p0# = 1 भी सम्मिलित है। एसिम्प्टोटिकली प्राइमोरियल pn# इसके अनुसार बढ़ते हैं: