अनुमान: Difference between revisions

[[File:RiemannCriticalLine.svg|thumb|350px|महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 के साथ रीमैन जीटा फलन का वास्तविक भाग (लाल) और काल्पनिक भाग (नीला)। प्रथम गैर-तुच्छ शून्य Im(s) = ±14.135, ±21.022 और ±25.011 पर देखा जा सकता है। [[रीमैन परिकल्पना]], प्रसिद्ध अनुमान है, जो कहती है कि जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा के साथ स्थित हैं।]]गणित में, अनुमान [[प्रस्ताव]] का एक ऐसा परिणाम है जिसे [[औपचारिक प्रमाण]] के बिना अस्थायी आधार पर चयनित किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/conjecture|title=Definition of CONJECTURE|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref><ref>{{cite book|title=Oxford Dictionary of English|edition=2010}}</ref><ref>{{cite book|last1=Schwartz|first1=JL|title=Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics.|date=1995|page=93|url=https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&q=%22although+counterpoint+between+the+particular+and+the+general%22&pg=PA93|isbn=9780195115772}}</ref> कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय ([[एंड्रयू विल्स]] द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक अनुमान), ने गणितीय इतिहास को आकार दिया है क्योंकि उन्हें सिद्ध करने के लिए गणित के नवीन क्षेत्रों का विकास किया गया है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html|title=Fermat's Last Theorem|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-12}}</ref>

[[संख्या सिद्धांत]] में, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (कभी-कभी फ़र्मेट का अनुमान कहा जाता है, विशेष रूप से प्राचीन ग्रंथों में) कहता है कि कोई तीन [[सकारात्मक संख्या|धनात्मक संख्या]] [[पूर्णांक]] <math>a</math>,<math>b</math>, और <math>c</math>दो से अधिक <math>n</math> के किसी भी पूर्णांक मान के लिए समीकरण <math>a^n + b^n = c^n</math>को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं।

इस प्रमेय को प्रथमतः 1637 में [[अंकगणित]] की प्रति के लाभ में [[पियरे डी फर्मेट]] द्वारा अनुमान लगाया गया था, जहां उन्होंने अनुरोध किया था कि उनके निकट प्रमाण है जो लाभ में फिट होने के लिए बहुत बड़ा था।<ref>{{citation|first=Oystein|last=Ore|title=Number Theory and Its History|year=1988|orig-year=1948|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5|pages=[https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203 203–204]|url=https://archive.org/details/numbertheoryitsh0000orey/page/203}}</ref> फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा जारी किया गया था, और गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित हुआ था। अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में [[बीजगणितीय संख्या सिद्धांत]] के विकास और 20वीं शताब्दी में [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के प्रमाण को प्रेरित किया था। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से है, और इसके प्रमाण से पूर्व यह सबसे जटिल गणितीय समस्याओं के लिए [[गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स]] में सम्मिलित था।<ref>{{Cite book|title=The Guinness Book of World Records|publisher=Guinness Publishing Ltd.|year=1995|chapter=Science and Technology}}</ref>

[[File:Map of United States vivid colors shown.png|thumb|संयुक्त राज्य अमेरिका के राज्यों के प्रतिचित्र का चार-वर्ण (झीलों की उपेक्षा)।]]गणित में, [[चार रंग प्रमेय|चार वर्ण प्रमेय]], या चार वर्ण प्रतिचित्र प्रमेय, बताता है कि किसी समतल को सन्निहित क्षेत्रों में अलग करने पर, एक आकृति का निर्माण होता है जिसे प्रतिचित्र कहा जाता है, प्रतिचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक वर्णों की आवश्यकता नहीं होती है - इसलिए कि किसी भी दो निकटवर्ती क्षेत्रों का वर्ण एक जैसा नहीं है। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे सामान्य सीमा साझा करते हैं जो कोण नहीं है, जहां कोण तीन या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं।<ref>{{cite journal |title=Formal Proof—The Four-Color Theorem |author-link=Georges Gonthier|author=Georges Gonthier |journal=Notices of the AMS |volume=55 |issue=11 |date=December 2008 |pages=1382–1393|quote=From this paper: Definitions: A planar map is a set of pairwise disjoint subsets of the plane, called regions. A simple map is one whose regions are connected open sets. Two regions of a map are adjacent if their respective closures have a common point that is not a corner of the map. A point is a corner of a map if and only if it belongs to the closures of at least three regions. Theorem: The regions of any simple planar map can be colored with only four colors, in such a way that any two adjacent regions have different colors.}}</ref> उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के प्रतिचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, परन्तु यूटा और न्यू मैक्सिको, जो मात्र एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित चार कोण स्मारक साझा करते हैं, नहीं हैं।

अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने 1840 के प्रारम्भ में अपने व्याख्यानों में इस समस्या का उल्लेख किया।<ref name="rouse_ball_1960">डब्ल्यू. डब्ल्यू. राउज़ बॉल (1960) द फोर कलर थ्योरम, इन मैथेमेटिकल रिक्रिएशन एंड एसेज, मैकमिलन, न्यूयॉर्क, पीपी 222-232।</ref> यह अनुमान प्रथमतः 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था,<ref>रेफरी नाम=मैकेंजी>डोनाल्ड मैकेंजी, मैकेनाइजिंग प्रूफ: कम्प्यूटिंग, रिस्क, एंड ट्रस्ट (एमआईटी प्रेस, 2004) पृष्ठ 103</रेफ></ref> जब [[फ्रांसिस गुथरी]] ने इंग्लैंड की काउंटियों के प्रतिचित्र को रंगने का प्रयत्न करते हुए देखा कि मात्र चार अलग-अलग वर्णों की आवश्यकता थी। [[पांच रंग प्रमेय|पांच वर्ण प्रमेय]], जिसका संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण है, कहता है कि पांच वर्ण प्रतिचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गए थे;<ref>रेफरी>{{Cite journal|last=Heawood|first=P. J.|date=1890|title=मानचित्र-रंग प्रमेय|journal=Quarterly Journal of Mathematics|location=Oxford|volume=24|pages=332–338}}<nowiki></ref></nowiki></ref> यद्यपि, यह सिद्ध करना कि पर्याप्त चार वर्ण अत्यधिक जटिल निकले। 1852 में चार वर्ण [[प्रमेय]] के पूर्व कथन के बाद से कई असत्य प्रमाण और असत्य [[प्रति उदाहरण]] सामने आए हैं।

चार वर्णों वाली प्रमेय अंततः 1976 में [[केनेथ एपल]] और [[वोल्फगैंग हेकेन]] द्वारा सिद्ध की गई थी। यह कंप्यूटर-सहायता प्रमाण होने वाला प्रथम प्रमुख प्रमेय था, प्रमेय कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से सिद्ध हुआ। एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए प्रारम्भ हुआ कि 1,936 प्रतिचित्रों का विशेष समूह है, जिनमें से प्रत्येक चार वर्ण प्रमेय के लिए छोटे आकार के प्रति उदाहरण का भाग नहीं हो सकता है (अर्थात, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है)। एपेल और हेकेन ने विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि इनमें से प्रत्येक प्रतिचित्र में यह गुण था। इसके अतिरिक्त, कोई प्रतिचित्र जो संभावित रूप से प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें भाग होना चाहिए जो इन 1,936 प्रतिचित्रों में से जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण स्थित नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 प्रतिचित्रों में से होना चाहिए, फिर भी सम्मिलित नहीं है। इस विरोधाभास का अर्थ है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा निश्चित स्वीकार नहीं किया गया था क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं था।<ref>रेफरी>{{Cite journal|last=Swart|first=E. R.|date=1980|title=चार रंगों की समस्या के दार्शनिक निहितार्थ|journal=The American Mathematical Monthly|volume=87|issue=9|pages=697–702|doi=10.2307/2321855|issn=0002-9890|jstor=2321855}}</ रेफ></ref> यद्यपि, प्रमाण तब से व्यापक स्वीकृति प्राप्त कर चुका है, यद्यपि संदेह अभी भी बना हुआ है।<ref>{{Cite book|title=चार रंग पर्याप्त हैं: मानचित्र की समस्या को कैसे हल किया गया|last=Wilson|first=Robin|publisher=Princeton University Press|year=2014|isbn=9780691158228|edition=Revised color|location=Princeton, New Jersey|pages=216–222|oclc=847985591}}</ref>

[[ज्यामितीय टोपोलॉजी]] का मुख्य अनुमान ([[मुख्य अनुमान]] के लिए जर्मन) एक ऐसा अनुमान है कि [[त्रिकोणीय स्थान]] के किसी भी दो त्रिभुज (टोपोलॉजी) में सामान्य शोधन होता है, एकल त्रिभुज जो उन दोनों का उपखंड है। यह मूल रूप से 1908 में [[अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़]] और [[हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़]] द्वारा तैयार किया गया था।<ref>{{Cite web|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/haupt/|title=Triangulation and the Hauptvermutung|website=www.maths.ed.ac.uk|access-date=2019-11-12}}</ref>

यह अनुमान अब असत्य माना जाता है। गैर-कई गुना संस्करण [[जॉन मिल्नोर]]<ref>{{Cite journal|first=John W.|last= Milnor |title=Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct|journal= [[Annals of Mathematics]]|volume=74|year=1961|issue= 2 |pages=575&ndash;590|mr=133127|doi=10.2307/1970299|jstor=1970299}}</ref> ने 1961 में [[विश्लेषणात्मक मरोड़|रीडमिस्टर आघूर्ण बल]] का उपयोग करके अस्वीकृत कर दिया था।

[[कई गुना]] संस्करण [[आयाम|विमाओं]] {{nowrap|1=''m'' ≤ 3}} में सत्य है। स्थिति {{nowrap|1=''m'' = 2 और 3}} को क्रमशः 1920 और 1950 के दशक में टिबोर राडो और एडविन ई. मोइज़ द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite book | last = Moise | first = Edwin E. | title = Geometric Topology in Dimensions 2 and 3 | publisher = New York : Springer-Verlag | location = New York | year = 1977 | isbn = 978-0-387-90220-3 }}</ref>

गणित में, वेइल अनुमान {{harvs|txt|authorlink=André Weil|first=André |last=Weil|year=1949}} द्वारा [[परिमित क्षेत्र|परिमित क्षेत्रों]] पर बीजगणितीय विविधता पर अंकों की संख्या की गणना से प्राप्त [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनक फलन]] (स्थानीय जीटा-फलन के रूप में जाना जाता है) पर कुछ अत्यधिक प्रभावशाली प्रस्ताव थे।

q अवयवों वाले एक परिमित क्षेत्र पर एक प्रकार V तर्कसंगत बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है, साथ ही उस क्षेत्र वाले q^k अवयवों वाले प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर बिंदु होते हैं। जनक फलन में q_''k'' अवयवों के साथ संख्या (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) क्षेत्र पर बिंदुओं की संख्या ''N_k'' से प्राप्त गुणांक होते हैं।

वेइल ने अनुमान लगाया कि इस प्रकार के जीटा-फलन तर्कसंगत फलन होने चाहिए, [[कार्यात्मक समीकरण]] के रूप को संतुष्ट करना चाहिए, और प्रतिबंधित स्थानों में उनके शून्य होने चाहिए। पूर्व दो भागों को [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] और रीमैन परिकल्पना पर अत्यधिक सचेत रूप से तैयार किया गया था। तर्कसंगतता को {{harvtxt|डवर्क|1960}}, कार्यात्मक समीकरण {{harvtxt|ग्रोथेंडिक|1965}}, द्वारा सिद्ध किया गया था, और रीमैन परिकल्पना का समधर्मी {{harvtxt|डेलिग्ने|1974}} द्वारा सिद्ध किया गया था।

अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का स्थूलतर रूप सम्मिलित होता है जिसे समस्थेयता समतुल्य कहा जाता है: यदि [[3-कई गुना]] समस्थेयता 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक है।

मूल रूप से 1904 में हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-विमीय समष्टि के जैसे दिखता है परन्तु सम्बद्ध है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक [[बंद कई गुना|संवृत कई गुना]] 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का अनुरोध है कि यदि ऐसे स्थान में अतिरिक्त गुण है कि समष्टि में प्रत्येक [[पथ (टोपोलॉजी)]] को बिंदु पर निरंतर दृढ़ीकृत किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से त्रि-विमीय क्षेत्र है। कुछ समय के लिए सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च विमाओं में जाना जाता है।

गणितज्ञों द्वारा लगभग शताब्दी के प्रयास के बाद, [[त्वरित पेरेलमैन]] ने 2002 और 2003 में [[arXiv|अरक्सीव]] पर उपलब्ध कराए गए तीन लेखों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया था। समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए [[रिक्की प्रवाह]] का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस. हैमिल्टन के कार्यक्रम से प्रमाण का पालन किया गया गया था। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का संशोधन प्रस्तुत किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, ताकि नियंत्रित विधि से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके, परन्तु यह सिद्ध करने में असमर्थ था कि यह विधि तीन विमाओं में परिवर्तित हो गई है।<ref>{{cite journal | last = Hamilton | first = Richard S. | author-link = Richard S. Hamilton | title = Four-manifolds with positive isotropic curvature | journal = Communications in Analysis and Geometry | volume = 5 | issue = 1 | pages = 1&ndash;92 | year = 1997 | doi =  10.4310/CAG.1997.v5.n1.a1| mr = 1456308 | zbl = 0892.53018| doi-access = free }}</ref> पेरेलमैन ने प्रमाण के इस भाग को पूर्ण किया। गणितज्ञों की कई टीमों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सत्य है।

सिद्ध होने से पूर्व पोंकारे अनुमान, [[टोपोलॉजी]] में सबसे महत्वपूर्ण विवृत प्रश्नों में से था।

गणित में, {{harvs|txt|first=बर्नहार्ड|last= रीमैन|year=1859|author-link=बर्नहार्ड रीमैन}} द्वारा प्रस्तावित रीमैन परिकल्पना का अनुमान है कि रीमैन जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्यों का [[वास्तविक भाग]] 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना।

रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के वितरण के विषय में परिणाम बताती है। उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे [[शुद्ध गणित]] की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|title=The Riemann Hypothesis – official problem description|last=Bombieri|first=Enrico|date=2000|website=Clay Mathematics Institute|access-date=2019-11-12}}</ref> रिमेंन परिकल्पना, [[गोल्डबैक अनुमान]] के साथ, [[डेविड हिल्बर्ट]] की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का भाग है; यह [[मिट्टी गणित संस्थान]] [[मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं]] में से है।

[[पी बनाम एनपी समस्या]] कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं की प्रमुख सूची है। अनौपचारिक रूप से, यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका हल कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है; यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से प्रथमतः 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा [[जॉन वॉन न्यूमैन]] को लिखे गए लेख में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है।<ref>Juris Hartmanis 1989, [http://ecommons.library.cornell.edu/bitstream/1813/6910/1/89-994.pdf Gödel, von Neumann, and the P = NP problem], Bulletin of the

European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101–107</ref> P=NP समस्या का यथार्थ कथन 1971 में [[स्टीफन कुक]] द्वारा अपने मौलिक लेख "प्रमेय सिद्ध करने की प्रक्रियाओं की जटिलता" में प्रस्तुत किया गया था<ref>{{Cite book|last=Cook|first=Stephen|author-link=Stephen Cook|year=1971|chapter=The complexity of theorem proving procedures|chapter-url=http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=805047|title=Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing|pages=151–158|doi=10.1145/800157.805047|isbn=9781450374644|s2cid=7573663}}</ref> और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण विवृत समस्या माना जाता है।<ref>[[Lance Fortnow]], [https://wayback.archive-it.org/all/20110224135332/http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf ''The status of the '''P''' versus '''NP''' problem''], Communications of the ACM 52 (2009), no.&nbsp;9, pp.&nbsp;78–86. {{doi|10.1145/1562164.1562186}}</ref> क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा चुने गए सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक है, जिसके पूर्व सत्य हल के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाएगा।

* [[जुड़वां प्रधान अनुमान|जुड़वां अभाज्य अनुमान]]

* दूसरा हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों के युग्म है, जिनमें से प्रथम पूर्वोक्त जुड़वां अभाज्य अनुमान पर विस्तार करता है। न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध, परन्तु यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों साथ सत्य नहीं हो सकते (अर्थात, कम से कम असत्य होना चाहिए)। यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा असत्य है, परन्तु यह व्यापक रूप से माना जाता है कि प्रथम अनुमान सत्य है और दूसरा असत्य है।<ref>{{cite journal | first=Ian | last=Richards | title=On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes | journal=Bull. Amer. Math. Soc. | volume=80 | pages=419–438 | year=1974 | doi=10.1090/S0002-9904-1974-13434-8 | doi-access=free }}</ref>

औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, [[सार्वभौमिक रूप से परिमाणित]] अनुमान का समर्थन करने वाली स्थितियों की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। गणितीय लेखिकाएं कभी-कभी अनुसंधान समूहों के साधारण परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पूर्व की तुलना में प्रति उदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, कोल्लात्ज़ अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ [[अनुक्रम]] समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 10¹² (एक ट्रिलियन से अधिक) तक सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है। यद्यपि, व्यापक खोज के बाद प्रति उदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान असत्य हो सकता है परन्तु बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ है।

एक अनुमान को तभी सिद्ध माना जाता है जब यह दिखाया गया हो कि उसका असत्य होना तार्किक रूप से असंभव है। ऐसा करने की विभिन्न विधि हैं; अधिक विवरण के लिए गणितीय उपपत्ति की विधियाँ देखें।

प्रमाण की विधि, लागू होती है जब स्थितियों की मात्र सीमित संख्या होती है जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, [[थकावट से सबूत|पाशविक बल]] के रूप में जाना जाता है: इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित स्थितियों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, स्थितियों की संख्या अत्यधिक बड़ी होती है, ऐसे में सभी स्थितियों की जांच के लिए पाशविक-बल प्रमाण के लिए व्यावहारिक स्थिति के रूप में कंप्यूटर एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार वर्ण प्रमेय के 1976 और 1997 के पाशविक-बल प्रमाण की वैधता पर प्रारम्भ में संदेह किया गया था, परन्तु अंततः