डायगामा फंक्शन: Difference between revisions
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{{For|बार्न्स का दो चरों का गामा फलन|दोहरा गामा फ़ंक्शन}} | {{For|बार्न्स का दो चरों का गामा फलन|दोहरा गामा फ़ंक्शन}} | ||
[[File:Digamma.png|thumb|300px| | [[File:Digamma.png|thumb|300px|डायगामा फलन <math>\psi(z)</math>,<br>[[डोमेन रंग]] का उपयोग करके कल्पना की गई]] | ||
[[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px| | [[File:Mplwp polygamma03.svg|thumb|300px|डायगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं]]गणित में, डायगामा [[गामा फ़ंक्शन|फलन]] को गामा फलन के [[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref name="AbramowitzStegun"/><ref name="DLMF5"/><ref name="Weissstein"/> | ||
:<math>\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.</math> | :<math>\psi(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.</math> | ||
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इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए। | इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक <math>\varepsilon</math>. . . . के साथ सेक्टर <math>|\arg z|<\pi-\varepsilon</math> में उच्च तर्क (<math>|z|\rightarrow\infty</math>) के लिए। | ||
डायगामा फलन को सदैव <math>\psi_0(x), \psi^{(0)}(x) </math> इस रूप में दर्शाया जाता है या {{math|Ϝ}}<ref>{{cite book |last=Pairman |first=Eleanor |author-link=Eleanor Pairman |date=1919 |title=दिगम्मा और त्रिगामा कार्यों की तालिकाएँ|url=https://archive.org/details/cu31924001468416/page/n9/mode/2up |publisher=Cambridge University Press |page=5}}</ref> (पुरातन ग्रीक [[व्यंजन]] डायगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।। | |||
==हार्मोनिक संख्याओं से संबंध== | ==हार्मोनिक संख्याओं से संबंध== | ||
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:<math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math> | :<math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 k, </math> | ||
डायगामा फलन उनसे संबंधित होती है | |||
:<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math> | :<math>\psi(n)=H_{n-1}-\gamma,</math> | ||
जहाँ {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए | जहाँ {{math|''H''<sub>0</sub> {{=}} 0,}} और {{mvar|γ}} यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डायगामा फलन मान लेता है<math> \psi \left(n+\tfrac12\right)=-\gamma-2\ln 2 +\sum_{k=1}^n \frac 2 {2k-1}.</math> | ||
==अभिन्न प्रतिनिधित्व== | ==अभिन्न प्रतिनिधित्व== | ||
यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण | यदि का वास्तविक भाग {{mvar|z}} सकारात्मक है तो गॉस के कारण डायगामा फलन में निम्नलिखित [[अभिन्न]] प्रतिनिधित्व होता है:<ref name="Whittaker and Watson, 12.3">Whittaker and Watson, 12.3.</ref> | ||
:<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math> | :<math>\psi(z) = \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)\,dt.</math> | ||
इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता देता है: | इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर <math>\gamma</math> प्राप्त होता देता है: | ||
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यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। | यहां <math>x_k</math>, <math>\psi</math> का ''k''th शून्य है (नीचे देखें), और <math>\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। | ||
नोट: | नोट: डायगामा फलन <math>\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=\psi(z)</math> की परिभाषा के कारण यह भी <math>-\frac{d}{dz}\frac{1}{\Gamma(z)}</math> के समान है. | ||
==श्रृंखला प्रतिनिधित्व == | ==श्रृंखला प्रतिनिधित्व == | ||
===श्रृंखला सूत्र === | ===श्रृंखला सूत्र === | ||
गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, | गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, डायगामा फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है:<ref name="AbramowitzStegun"/>:<math>\begin{align} | ||
\psi(z + 1) | \psi(z + 1) | ||
&= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\ | &= -\gamma + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + z}\right), \qquad z \neq -1, -2, -3, \ldots, \\ | ||
| Line 112: | Line 112: | ||
===[[टेलर श्रृंखला]]=== | ===[[टेलर श्रृंखला]]=== | ||
डायगामा में एक [[तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला]] है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा {{math|''z'' {{=}} 1}} पर दी गई है। यह है. | |||
:<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math> | :<math>\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1) (-z)^k,</math> | ||
| Line 118: | Line 118: | ||
===न्यूटन श्रृंखला === | ===न्यूटन श्रृंखला === | ||
डायगामा के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है,<ref>{{cite book|first = N. E.|last = Nörlund|author-link = Niels Erik Nörlund|year = 1924|title = Vorlesungen über Differenzenrechnung|publisher =Springer|location = Berlin}}</ref><ref name="blag2018">{{cite journal | |||
| last = Blagouchine | first = Ia. V. | | last = Blagouchine | first = Ia. V. | ||
| arxiv = 1606.02044 | | arxiv = 1606.02044 | ||
| Line 136: | Line 136: | ||
जहाँ {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" /> | जहाँ {{math|''m'' {{=}} 2,3,4,...}}<ref name="blag2018" /> | ||
===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला === | ===ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला === | ||
इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले | इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डायगामा के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक {{math|''G''<sub>''n''</sub>}} है | ||
:<math> | :<math> | ||
\psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad | \psi(v) =\ln v- \sum_{n=1}^\infty\frac{\big| G_{n}\big|(n-1)!}{(v)_{n}},\qquad | ||
| Line 198: | Line 198: | ||
==[[प्रतिबिंब सूत्र]]== | ==[[प्रतिबिंब सूत्र]]== | ||
डायगामा फलन गामा फलन के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है: | |||
:<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math> | :<math>\psi(1-x)-\psi(x)=\pi \cot \pi x</math> | ||
==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन == | ==पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन == | ||
डायगामा फलन [[पुनरावृत्ति संबंध]] को संतुष्ट करता है | |||
:<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math> | :<math>\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}.</math> | ||
| Line 226: | Line 226: | ||
: <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math> | : <math> \psi(x+N)-\psi(x)=\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{x+k}</math> | ||
== | ==डायगामा फलन से जुड़े कुछ सीमित योग == | ||
डायगामा फलन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे | |||
:<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math> | :<math>\sum_{r=1}^m \psi\left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma+\ln m),</math> | ||
| Line 246: | Line 246: | ||
हमारे समीप भी है <ref>{{cite book |title=जटिल कार्य सिद्धांत में शास्त्रीय विषय|pages=46}}</ref> | हमारे समीप भी है <ref>{{cite book |title=जटिल कार्य सिद्धांत में शास्त्रीय विषय|pages=46}}</ref> | ||
:<math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}-\gamma=\frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}\psi\left(1+\frac{n}{k}\right), k=2,3, ...</math> | :<math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}-\gamma=\frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}\psi\left(1+\frac{n}{k}\right), k=2,3, ...</math> | ||
==गॉस का | ==गॉस का डायगामा प्रमेय== | ||
धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|r}} और {{mvar|m}} ({{math|''r'' < ''m''}}), | धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|r}} और {{mvar|m}} ({{math|''r'' < ''m''}}), डायगामा फलन को यूलर के स्थिरांक और प्रारंभिक फलन की सीमित संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<ref>{{cite journal|first1=Junesang|last1=Choi|first2=Djurdje|last2=Cvijovic|title=बहुविवाह के मान तर्कसंगत तर्कों पर कार्य करते हैं|journal=Journal of Physics A|year=2007|volume=40|pages=15019|doi=10.1088/1751-8113/40/50/007|number=50|bibcode=2007JPhA...4015019C |s2cid=118527596 }}</ref> | ||
:<math>\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right) </math> | :<math>\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right) </math> | ||
जो, अपने पुनरावृत्ति समीकरण के कारण, सभी तर्कसंगत तर्कों के लिए मान्य है। | जो, अपने पुनरावृत्ति समीकरण के कारण, सभी तर्कसंगत तर्कों के लिए मान्य है। | ||
==स्पर्शोन्मुख विस्तार == | ==स्पर्शोन्मुख विस्तार == | ||
डायगामा फलन में स्पर्शोन्मुख विस्तार होता है | |||
:<math>\psi(z) \sim \ln z + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-n)}{z^n} = \ln z - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_n}{nz^n},</math> | :<math>\psi(z) \sim \ln z + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-n)}{z^n} = \ln z - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_n}{nz^n},</math> | ||
जहाँ {{mvar|''B''<sub>''k''</sub>}} है kth [[बर्नौली संख्या]] और {{mvar|ζ}} रीमैन ज़ेटा फलन है। इस विस्तार की प्रथम कुछ नियम इस प्रकार से हैं: | जहाँ {{mvar|''B''<sub>''k''</sub>}} है kth [[बर्नौली संख्या]] और {{mvar|ζ}} रीमैन ज़ेटा फलन है। इस विस्तार की प्रथम कुछ नियम इस प्रकार से हैं: | ||
| Line 275: | Line 275: | ||
जहाँ <math>\gamma=-\psi(1)</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।<ref>{{cite journal |doi=10.7153/MIA-03-26|title=गौत्शी की असमानता में सर्वोत्तम सीमा|year=2000 |last1=Elezović |first1=Neven |last2=Giordano |first2=Carla |last3=Pečarić |first3=Josip |journal=Mathematical Inequalities & Applications |issue=2 |pages=239–252 |doi-access=free }}</ref> स्थिरांक (<math>0.5</math> और <math>e^{-\gamma}\approx0.56</math>) इन सीमाओं में प्रदर्शित होना सर्वोत्तम संभव होती है।<ref>{{cite journal | arxiv=0902.2524 | doi=10.1515/anly-2014-0001 | title=पीएसआई फ़ंक्शन और हार्मोनिक संख्याओं के लिए तीव्र असमानताएं| year=2014 | last1=Guo | first1=Bai-Ni | last2=Qi | first2=Feng | journal=Analysis | volume=34 | issue=2 | s2cid=16909853 }}</ref> | जहाँ <math>\gamma=-\psi(1)</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।<ref>{{cite journal |doi=10.7153/MIA-03-26|title=गौत्शी की असमानता में सर्वोत्तम सीमा|year=2000 |last1=Elezović |first1=Neven |last2=Giordano |first2=Carla |last3=Pečarić |first3=Josip |journal=Mathematical Inequalities & Applications |issue=2 |pages=239–252 |doi-access=free }}</ref> स्थिरांक (<math>0.5</math> और <math>e^{-\gamma}\approx0.56</math>) इन सीमाओं में प्रदर्शित होना सर्वोत्तम संभव होती है।<ref>{{cite journal | arxiv=0902.2524 | doi=10.1515/anly-2014-0001 | title=पीएसआई फ़ंक्शन और हार्मोनिक संख्याओं के लिए तीव्र असमानताएं| year=2014 | last1=Guo | first1=Bai-Ni | last2=Qi | first2=Feng | journal=Analysis | volume=34 | issue=2 | s2cid=16909853 }}</ref> | ||
इस प्रकार से [[माध्य मान प्रमेय]] गौत्शी की असमानता के निम्नलिखित अनुरूप का तात्पर्य करता है: यदि {{math|''x'' > ''c''}}, जहाँ {{math|''c'' ≈ 1.461}} | इस प्रकार से [[माध्य मान प्रमेय]] गौत्शी की असमानता के निम्नलिखित अनुरूप का तात्पर्य करता है: यदि {{math|''x'' > ''c''}}, जहाँ {{math|''c'' ≈ 1.461}} डायगामा फलन का अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक मूल है, और यदि {{math|''s'' > 0}}, तब | ||
:<math>\exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + 1)}{\psi(x + 1)}\right) \le \frac{\psi(x + 1)}{\psi(x + s)} \le \exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + s)}{\psi(x + s)}\right).</math> | :<math>\exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + 1)}{\psi(x + 1)}\right) \le \frac{\psi(x + 1)}{\psi(x + s)} \le \exp\left((1 - s)\frac{\psi'(x + s)}{\psi(x + s)}\right).</math> | ||
इसके अतिरिक्त , समानता केवल यदि और केवल यदि ही मान्य {{math|''s'' {{=}} 1}} है .<ref>{{cite journal |doi=10.1016/j.jmaa.2013.05.045 |doi-access=free|title=Exponential, gamma and polygamma functions: Simple proofs of classical and new inequalities |year=2013 |last1=Laforgia |first1=Andrea |last2=Natalini |first2=Pierpaolo |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |volume=407 |issue=2 |pages=495–504 }}</ref> | इसके अतिरिक्त , समानता केवल यदि और केवल यदि ही मान्य {{math|''s'' {{=}} 1}} है .<ref>{{cite journal |doi=10.1016/j.jmaa.2013.05.045 |doi-access=free|title=Exponential, gamma and polygamma functions: Simple proofs of classical and new inequalities |year=2013 |last1=Laforgia |first1=Andrea |last2=Natalini |first2=Pierpaolo |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |volume=407 |issue=2 |pages=495–504 }}</ref> | ||
शास्त्रीय गामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता से प्रेरित होकर, होर्ज्ट अल्ज़र और ग्राहम जेमिसन ने अन्य संवाद के अतिरिक्त , | शास्त्रीय गामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता से प्रेरित होकर, होर्ज्ट अल्ज़र और ग्राहम जेमिसन ने अन्य संवाद के अतिरिक्त , डायगामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता प्रमाणित की: | ||
<math> -\gamma \leq \frac{2 \psi(x) \psi(\frac{1}{x})}{\psi(x)+\psi(\frac{1}{x})} </math> के लिए <math>x>0</math> | <math> -\gamma \leq \frac{2 \psi(x) \psi(\frac{1}{x})}{\psi(x)+\psi(\frac{1}{x})} </math> के लिए <math>x>0</math> | ||
| Line 313: | Line 313: | ||
:<math> \exp \psi\left(x+\tfrac{1}{2}\right) \sim x + \frac{1}{4!\cdot x} - \frac{37}{8\cdot6!\cdot x^3} + \frac{10313}{72\cdot8!\cdot x^5} - \frac{5509121}{384\cdot10!\cdot x^7} + \cdots</math> | :<math> \exp \psi\left(x+\tfrac{1}{2}\right) \sim x + \frac{1}{4!\cdot x} - \frac{37}{8\cdot6!\cdot x^3} + \frac{10313}{72\cdot8!\cdot x^5} - \frac{5509121}{384\cdot10!\cdot x^7} + \cdots</math> | ||
==विशेष मूल्य== | ==विशेष मूल्य== | ||
#गॉस के | #गॉस के डायगामा प्रमेय|गॉस के डायगामा प्रमेय के परिणामस्वरूप, डायगामा फलन में तर्कसंगत संख्याओं के लिए बंद रूप में मान होते हैं। कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 327: | Line 327: | ||
:<math>\operatorname{Im} \psi(bi) = \frac{1}{2b}+\frac{\pi}{2}\coth (\pi b),</math> | :<math>\operatorname{Im} \psi(bi) = \frac{1}{2b}+\frac{\pi}{2}\coth (\pi b),</math> | ||
:<math>\operatorname{Im} \psi(\tfrac{1}{2}+bi) = \frac{\pi}{2}\tanh (\pi b).</math> | :<math>\operatorname{Im} \psi(\tfrac{1}{2}+bi) = \frac{\pi}{2}\tanh (\pi b).</math> | ||
गॉस के | गॉस के डायगामा प्रमेय के अतिरिक्त , सामान्य रूप से वास्तविक भाग के लिए ऐसा कोई बंद सूत्र ज्ञात नहीं है। उदाहरण के लिए, हमारे समीप [[काल्पनिक इकाई]] पर संख्यात्मक सन्निकटन है | ||
:<math>\operatorname{Re} \psi(i) = -\gamma-\sum_{n=0}^\infty\frac{n-1}{n^3+n^2+n+1} \approx 0.09465.</math> | :<math>\operatorname{Re} \psi(i) = -\gamma-\sum_{n=0}^\infty\frac{n-1}{n^3+n^2+n+1} \approx 0.09465.</math> | ||
== | ==डायगामा फलन की जड़ें == | ||
डायगामा फलन के मूल कॉम्प्लेक्स-मूल्यवान गामा फलन के सैडल बिंदु हैं। इस प्रकार वे सभी वास्तविक रेखाएँ या वास्तविक बीजगणित में स्थित हैं। सकारात्मक वास्तविक अक्षर पर वास्तविक वास्तविक-मूल्यवान गामा फलन {{math|'''[[Real number|R]]'''<sup>+</sup>}} का अद्वितीय न्यूनतम है {{math|''x''<sub>0</sub> {{=}} {{val|1.46163214496836234126}}...}}. अन्य सभी ऋणात्मक अक्ष पर ध्रुवों के मध्य एकल होते हैं: | |||
:{{math|''x''<sub>1</sub> {{=}} {{val|-0.50408300826445540925}}...}} | :{{math|''x''<sub>1</sub> {{=}} {{val|-0.50408300826445540925}}...}} | ||
| Line 390: | Line 390: | ||
==नियमितीकरण == | ==नियमितीकरण == | ||
डायगामा फलन अपसारी अभिन्नों के नियमितीकरण में प्रकट होता है | |||
:<math> \int_0^\infty \frac{dx}{x+a},</math> | :<math> \int_0^\infty \frac{dx}{x+a},</math> | ||
| Line 399: | Line 399: | ||
* पॉलीगामा फलन | * पॉलीगामा फलन | ||
* [[त्रिगामा समारोह|त्रिगामा फलन]] | * [[त्रिगामा समारोह|त्रिगामा फलन]] | ||
* | * डायगामा फलन का [[चेबीशेव बहुपद]] {{cite journal|first1=Jet|last1=Wimp | title=अभिन्न परिवर्तनों के लिए बहुपद सन्निकटन|journal=Math. Comp. |year=1961|volume=15|issue=74 |pages=174–178| doi=10.1090/S0025-5718-61-99221-3|doi-access=free}} | ||
==संदर्भ == | ==संदर्भ == | ||
| Line 413: | Line 413: | ||
* {{OEIS el|1=A020759|2=Decimal expansion of (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) where Gamma(x) denotes the Gamma function}}—psi(1/2) | * {{OEIS el|1=A020759|2=Decimal expansion of (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) where Gamma(x) denotes the Gamma function}}—psi(1/2) | ||
:{{OEIS2C|A047787}} psi(1/3), {{OEIS2C|A200064}} psi(2/3), {{OEIS2C|A020777}} psi(1/4), {{OEIS2C|A200134}} psi(3/4), {{OEIS2C|A200135}} to {{OEIS2C|A200138}} psi(1/5) to psi(4/5). | :{{OEIS2C|A047787}} psi(1/3), {{OEIS2C|A200064}} psi(2/3), {{OEIS2C|A020777}} psi(1/4), {{OEIS2C|A200134}} psi(3/4), {{OEIS2C|A200135}} to {{OEIS2C|A200138}} psi(1/5) to psi(4/5). | ||
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[[Category:Templates that generate short descriptions]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:गामा और संबंधित कार्य]] | |||
Latest revision as of 10:31, 8 September 2023
गणित में, डायगामा फलन को गामा फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:[1][2][3]
यह पॉलीगामा फलन में से प्रथम होता है। यह फलन कठोरता से बढ़ रहा है और मोनोटोनिक फलन और पर जटिलता से अवतल है ,[4] और यह स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के रूप में व्यवहार करता है[5]
इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक . . . . के साथ सेक्टर