हेगनर संख्या: Difference between revisions

{{block indent|left=1.6|1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, और 163. {{OEIS|A003173}}}}

अभाज्यों के लिए यूलर का [[अभाज्य-जनक बहुपद]]<math display=block>n^2 + n + 41,</math>जो n = 0, ..., 39 के लिए (विशिष्ट) अभाज्य संख्या देता है, अतः हेगनर संख्या 163 = 4 · 41 − 1 से संबंधित होता है।

 

 

 

Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.</ref> <math>e^{\pi \sqrt{163}}</math>, जो लगभग [[पूर्णांक]] होता है, इसमें यह गणितीय संयोग है कि पूर्णांक में पाई या ई और संख्या 163 सम्मिलित होती है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/RamanujanConstant.html Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld<!-- Bot-generated title -->]</ref><math display=block>e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots\approx 640\,320^3+744.</math>इस संख्या की खोज सन्न 1859 में गणितज्ञ [[चार्ल्स हर्मिट]] ने की थी।<ref>{{cite book

निम्नलिखित में, j(z) सम्मिश्र संख्या z के जे-अपरिवर्तनीय को दर्शाता है। इस प्रकार संक्षेप में, <math>\textstyle j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right)</math> d हेगनर संख्या के लिए पूर्णांक होता है और<math display=block>e^{\pi \sqrt{d}} \approx -j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right) + 744</math>क्यू-विस्तार के माध्यम से,

 

 

जे का [[क्यू-विस्तार]], इसके फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ [[लॉरेंट श्रृंखला]] के रूप में लिखा गया है <math>q=e^{2 \pi i \tau}</math>, जो इस प्रकार प्रारंभ होता है।<math display="block">j(\tau) = \frac{1}{q} + 744 + 196\,884 q + \cdots.</math>गुणांक <math>c_n</math> स्पर्शोन्मुख रूप से से बढ़ता है<math display="block">\ln(c_n) \sim 4\pi \sqrt{n} + O\bigl(\ln(n)\bigr),</math>और निम्न क्रम गुणांक अधिक धीरे-धीरे बढ़ते हैं <math>200\,000^n</math>, अभीतक के लिए तब <math>\textstyle q \ll \frac{1}{200\,000}</math>, j को इसके पहले दो पदों द्वारा बहुत अच्छी प्रकार से अनुमानित किया गया है। इस प्रकार सेटिंग <math>\textstyle\tau = \frac{1+\sqrt{-163}}{2}</math> पैप्रामाणितर,<math display="block"> q=-e^{-\pi \sqrt{163}} \quad\therefore\quad \frac{1}{q}=-e^{\pi \sqrt{163}}. </math>अब,<math display="block">j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=\left(-640\,320\right)^3,</math>इसलिए,<math display="block">\left(-640\,320\right)^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right).</math>या<math display="block">e^{\pi \sqrt{163}}=640\,320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)</math>जहां त्रुटि का रैखिक पद होता है,<math display="block">\frac{-196\,884}{e^{\pi \sqrt{163}}} \approx \frac{-196\,884}{640\,320^3+744}

\approx -0.000\,000\,000\,000\,75</math>क्यों समझा रहा हूँ <math>e^{\pi \sqrt{163}}</math> पूर्णांक होने के लगभग ऊपर के अंदर होता है।

[[चुडनोव्स्की बंधुओं]] ने सन्न 1987 में इसकी खोज की थी

<math display=block>\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640\,320^\frac32} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3\,344\,418k + 13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^3 (-640\,320)^{3k}},</math>जिसका प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है<math display=block>j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right) = -640\,320^3.</math>समान सूत्रों के लिए, [[रामानुजन-सातो श्रृंखला]] देखें।

for the linear term of the error.</ref> निम्नानुसार हैं।<math display=block>\begin{align}

</math>वैकल्पिक रूप से,<ref>{{Cite web|url=http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#|title=More on e^(pi*SQRT(163))}}</ref><math display="block">\begin{align}

</math>जहां वर्गों का कारण कुछ [[आइज़ेंस्टीन श्रृंखला]] के कारण होता है। इस प्रकार हेगनर संख्या के लिए <math>d < 19</math>, किसी को लगभग पूर्णांक प्राप्त नहीं होता है। यहां तक ​​की <math>d = 19</math> उल्लेखनीय नहीं होता है,<ref>The absolute deviation of a random real number (picked uniformly from [[unit interval|{{closed-closed|0,1|size=120%}}]], say) is a uniformly distributed variable on {{closed-closed|0, 0.5|size=120%}}, so it has [[absolute average deviation]] and [[median absolute deviation]] of 0.25, and a deviation of 0.22 is not exceptional.</ref> अतः पूर्णांक जे-अपरिवर्तनीय अत्यधिक गुणनखंडन योग्य हैं, जो प्रपत्र से अनुसरण करता है।<math display="block">12^3\left(n^2-1\right)^3=\left(2^2\cdot 3 \cdot (n-1) \cdot (n+1)\right)^3,</math>और कारक के रूप में,<math display="block">\begin{align}

</math>यह [[पारलौकिक संख्याएँ]], पूर्णांकों (जो केवल डिग्री 1 की बीजीय संख्याएँ होती हैं) द्वारा सूक्ष्मता से अनुमानित होने के अतिरिक्त, डिग्री 3 की बीजगणितीय संख्याओं द्वारा सूक्ष्मता से अनुमानित की जा सकती हैं।<ref>{{cite web|url=http://sites.google.com/site/tpiezas/001|title=Pi Formulas}}</ref><math display="block">\begin{align}

</math>क्यूबिक्स के फलन का मूल बिल्कुल [[डेडेकाइंड और फ़ंक्शन|डेडेकाइंड और फलन]] η(τ) के भागफल द्वारा दिया जा सकता है, अतः मॉड्यूलर फलन जिसमें 24वां मार्ग सम्मिलित होता है और जो सन्निकटन में 24 की व्याख्या करता है। इस प्रकार उन्हें घात 4 की बीजगणितीय संख्याओं द्वारा भी सूक्ष्मता से अनुमानित किया जा सकता है।<ref>{{cite web|url=http://sites.google.com/site/tpiezas/ramanujan|title=Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients}}</ref><math display="block">\begin{align}

</math>यदि <math>x</math> कोष्ठक के अंदर अभिव्यक्ति को दर्शाता है (उदा. <math>x=3-\sqrt{2\left(1- \tfrac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot19}\right)}</math>), यह क्रमशः [[चतुर्थक समीकरण]] को संतुष्ट करता है।<math display="block">\begin{align}

</math>पूर्णांकों के पुनः प्रकटन पर ध्यान दीजिए कि <math>n = 3, 9, 21, 231</math> साथ ही यह तथ्य भी,<math display="block">\begin{align}

</math>जो उचित भिन्नात्मक शक्ति के साथ, त्रुटिहीन रूप से जे-अपरिवर्तनीय होता हैं।

इसी प्रकार घात 6 की बीजगणितीय संख्याओं के लिए,<math display="block">\begin{align}

जहां एक्सएस क्रमशः सेक्सटिक समीकरणों की उचित जड़ द्वारा दिए गए हैं।<math display=block>\begin{align}

 

 

जे-इनवेरिएंट के फिर से प्रकट होने के साथ यह सेक्स्टिक्स न केवल बीजगणितीय होते हैं, अतः वह nवें मूल में [[हल करने योग्य समूह]] भी होता हैं, जिससे कि वह विस्तार पर दो [[घन समीकरण]] में कारक <math>\Q\sqrt{5}</math> होता हैं  (पहले गुणनखंडन के साथ आगे दो [[द्विघात समीकरण]] में)। इन बीजगणितीय सन्निकटनों को डेडेकाइंड ईटा भागफल के रूप में त्रुटिहीन रूप से व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, आइए <math>\textstyle