रफ़ सेट: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
 
(6 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Short description|Approximation of a mathematical set}}
{{Short description|Approximation of a mathematical set}}
[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, [[फजी सेट|'''रफ सेट''']], जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।
[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, [[फजी सेट|'''रफ सेट''']], जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] (अर्थात, पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।


==परिभाषाएँ==
==परिभाषाएँ==
Line 6: Line 6:


===सूचना प्रणाली संरचना===
===सूचना प्रणाली संरचना===
<math>I = (\mathbb{U},\mathbb{A})</math>  सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां <math> \mathbb{U}</math> वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, <math> \mathbb{A}</math> ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक<math>I:\mathbb{U} \rightarrow V_a</math>  के लिए  <math>a \in \mathbb{A}</math> है। <math>V_a</math> मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है <math>a</math> लग सकता है। सूचना तालिका मान <math>a(x)</math> से <math>V_a</math>निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए <math>a</math> एवं आपत्ति <math>x</math> ब्रह्मांड में <math>\mathbb{U}</math> होता है।                                                                                                                                                                                                                  किसी के साथ <math>P \subseteq \mathbb{A}</math> संबद्ध तुल्यता संबंध है <math>\mathrm{IND}(P)</math> है।
<math>I = (\mathbb{U},\mathbb{A})</math>  सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां <math> \mathbb{U}</math> वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, <math> \mathbb{A}</math> ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक<math>I:\mathbb{U} \rightarrow V_a</math>  के लिए  <math>a \in \mathbb{A}</math> है। <math>V_a</math> मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है <math>a</math> लग सकता है। सूचना तालिका मान <math>a(x)</math> से <math>V_a</math>निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए <math>a</math> एवं आपत्ति <math>x</math> ब्रह्मांड में <math>\mathbb{U}</math> होता है।                                                                                                                                                                                                                  किसी के साथ <math>P \subseteq \mathbb{A}</math> संबद्ध तुल्यता संबंध <math>\mathrm{IND}(P)</math> है।


:<math>
:<math>
   \mathrm{IND}(P) = \left\{(x,y) \in \mathbb{U}^2 \mid \forall a \in P, a(x)=a(y)\right\}
   \mathrm{IND}(P) = \left\{(x,y) \in \mathbb{U}^2 \mid \forall a \in P, a(x)=a(y)\right\}
</math>
</math>
संबंध <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का परिवार है <math>\mathrm{IND}(P)</math> एवं द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>).
संबंध <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का परिवार<math>\mathrm{IND}(P)</math> है,  एवं द्वारा प्रदर्शित किया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।


यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> एवं <math>y</math> गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) हैं <math>P</math> .
यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> एवं <math>y</math> गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) <math>P</math> हैं  .


के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>.
समतुल्य वर्ग <math>P</math> अविवेकी संबंध <math>[x]_P</math> निरूपित किया जाता है।


===उदाहरण: तुल्यता-वर्ग संरचना===
===उदाहरण: तुल्यता-वर्ग संरचना===
Line 21: Line 21:


:{| class="wikitable" style="text-align:center; width:30%" border="1"
:{| class="wikitable" style="text-align:center; width:30%" border="1"
|+ Sample Information System
|+ प्रतिरूप सूचना प्रणाली
! Object !! <math>P_{1}</math> !! <math>P_{2}</math> !! <math>P_{3}</math> !! <math>P_{4}</math> !! <math>P_{5}</math>
! वस्तु !! <math>P_{1}</math> !! <math>P_{2}</math> !! <math>P_{3}</math> !! <math>P_{4}</math> !! <math>P_{5}</math>
|-
|-
! <math>O_{1}</math>
! <math>O_{1}</math>
Line 83: Line 83:
उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूर्ण उपलब्ध सेट है। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि <math>[x]_P,</math> में वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं, इस प्रकार, किसी भी सेट <math>X</math> का प्रतिनिधित्व करने की कोई विधि नहीं है, जिसमें <math>O_{3}</math> सम्मिलित है किन्तु  <math>O_{7}</math> एवं <math>O_{10}</math>वस्तुओं को छोड़ देता है।
उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूर्ण उपलब्ध सेट है। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि <math>[x]_P,</math> में वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं, इस प्रकार, किसी भी सेट <math>X</math> का प्रतिनिधित्व करने की कोई विधि नहीं है, जिसमें <math>O_{3}</math> सम्मिलित है किन्तु  <math>O_{7}</math> एवं <math>O_{10}</math>वस्तुओं को छोड़ देता है।


चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है,
चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math> ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है,


:<math>
:<math>
Line 96: Line 96:
'''निचला सन्निकटन एवं सकारात्मक क्षेत्र'''                                                                                                                                                                                  <math>P</math> निचला सन्निकटन, या सकारात्मक क्षेत्र, सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है जो लक्ष्य निर्धारित द्वारा समाहित हैं (अर्थात, इसके उपसमूह हैं), उदाहरण में, <math>{\underline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\}</math>, दो समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जो निर्धारित लक्ष्य में समाहित है। निचला सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) लक्ष्य निर्धारित से <math>X</math> संबंधित रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।
'''निचला सन्निकटन एवं सकारात्मक क्षेत्र'''                                                                                                                                                                                  <math>P</math> निचला सन्निकटन, या सकारात्मक क्षेत्र, सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है जो लक्ष्य निर्धारित द्वारा समाहित हैं (अर्थात, इसके उपसमूह हैं), उदाहरण में, <math>{\underline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\}</math>, दो समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जो निर्धारित लक्ष्य में समाहित है। निचला सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) लक्ष्य निर्धारित से <math>X</math> संबंधित रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।


'''ऊपरी सन्निकटन एवं ऋणात्मक क्षेत्र'''                                                                                                                                                                                        <math>P</math> ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है, जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ अन्य रिक्त प्रतिच्छेदन है, उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता, (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math> है।  दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट <math>X</math> के सदस्य हैं .
'''ऊपरी सन्निकटन एवं ऋणात्मक क्षेत्र'''                                                                                                                                                                                        <math>P</math> ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है, जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ अन्य रिक्त प्रतिच्छेदन है, उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट <math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता, (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math> है।  दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूर्ण सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट <math>X</math> के सदस्य हैं।


सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से अस्वीकार किया जा सकता है।
सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से अस्वीकार किया जा सकता है।
Line 113: Line 113:
\alpha_{P}(X) = \frac{\left | {\underline P}X \right |} {\left | {\overline P}X \right |}  
\alpha_{P}(X) = \frac{\left | {\underline P}X \right |} {\left | {\overline P}X \right |}  
</math>
</math>
अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान होते हैं (अर्थात, सीमा क्षेत्र खाली होता है), तो <math>\alpha_{P}(X) = 1</math>, एवं सन्निकटन उचित है; दूसरे चरम पर, जब भी निचला सन्निकटन खाली होता है, सटीकता शून्य होती है (ऊपरी सन्निकटन के आकार की परवाह किए बिना) शून्य होती है।
किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान होते हैं (अर्थात, सीमा क्षेत्र खाली होता है), तो <math>\alpha_{P}(X) = 1</math>, एवं सन्निकटन उचित है; दूसरे चरम पर, जब भी निचला सन्निकटन खाली होता है, सटीकता शून्य होती है (ऊपरी सन्निकटन के आकार की परवाह किए बिना) शून्य होती है।


====उद्देश्य विश्लेषण====
====उद्देश्य विश्लेषण====
Line 131: Line 131:


* <math>[x]_{\mathrm{RED}}</math> = <math>[x]_P</math>, अर्थात्, कम विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग <math>\mathrm{RED}</math> पूर्ण विशेषता सेट <math>P</math> द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग संरचना के समान हैं।
* <math>[x]_{\mathrm{RED}}</math> = <math>[x]_P</math>, अर्थात्, कम विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग <math>\mathrm{RED}</math> पूर्ण विशेषता सेट <math>P</math> द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग संरचना के समान हैं।
* विशेषता सेट <math>\mathrm{RED}</math> न्यूनतम है, इस अर्थ में <math>[x]_{(\mathrm{RED}-\{a\})} \neq [x]_P</math> किसी भी विशेषता के लिए <math>a \in \mathrm{RED}</math>; दूसरे शब्दों में, किसी भी विशेषता को सेट <math>\mathrm{RED}</math> से निकला नहीं जा सकता समतुल्य वर्गों <math>[x]_P</math> को परिवर्तित किए बिना निकाला नहीं जा सकता है।
* विशेषता सेट <math>\mathrm{RED}</math> न्यूनतम है, इस अर्थ में <math>[x]_{(\mathrm{RED}-\{a\})} \neq [x]_P</math> किसी भी विशेषता के लिए <math>a \in \mathrm{RED}</math>; दूसरे शब्दों में, किसी भी विशेषता को सेट <math>\mathrm{RED}</math> से निकला नहीं जा सकता समतुल्य वर्गों <math>[x]_P</math> को परिवर्तित किए बिना निकाला नहीं जा सकता है।


कमी को सुविधाओं के पर्याप्त सेट अर्थात श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए विचार किया जा सकता है,। उपरोक्त उदाहरण तालिका में, विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math>  कमी है, केवल इन विशेषताओं पर प्रक्षेपित सूचना प्रणाली में समान समतुल्य वर्ग संरचना होती है जो पूर्ण विशेषता सेट द्वारा व्यक्त की जाती है:
कमी को सुविधाओं के पर्याप्त सेट अर्थात श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए विचार किया जा सकता है,। उपरोक्त उदाहरण तालिका में, विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math>  कमी है, केवल इन विशेषताओं पर प्रक्षेपित सूचना प्रणाली में समान समतुल्य वर्ग संरचना होती है जो पूर्ण विशेषता सेट द्वारा व्यक्त की जाती है:
Line 163: Line 163:
\gamma_{P}(Q) =  \frac{\sum_{i=1}^N \left | {\underline P}Q_i \right |} {\left | \mathbb{U} \right |} \leq 1
\gamma_{P}(Q) =  \frac{\sum_{i=1}^N \left | {\underline P}Q_i \right |} {\left | \mathbb{U} \right |} \leq 1
</math>
</math>
अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं <math>P</math> द्वारा जोड़ते हैं। <math>{\underline P}Q_i</math> यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर हैं<sub>,</sub> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से <math>Q_i</math> पहचाना जा सकता है। सभी समतुल्य वर्गों <math>[x]_Q</math>में जोड़ा गया , उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर आधारित है,  विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से <math>Q</math> वर्गीकृत किया जा सकता है, इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के अंदर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math> मूल्यों को जानना पर्याप्त है।   
अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं <math>P</math> द्वारा जोड़ते हैं। <math>{\underline P}Q_i</math> यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर हैं<sub>,</sub> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से <math>Q_i</math> पहचाना जा सकता है। सभी समतुल्य वर्गों <math>[x]_Q</math> में जोड़ा गया , उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर आधारित है,  विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से <math>Q</math> वर्गीकृत किया जा सकता है, इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के अंदर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math> मूल्यों को जानना पर्याप्त है।   


निर्भरता पर विचार करने का सहज, विधिप्रेरित विभाजन <math>Q</math> को लेना है, लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट <math>C</math> का उपयोग करना चाहते हैं, यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर <math>P</math> पर करता है; यदि <math>P</math> इसका परिणाम व्यर्थ एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण <math>C</math> होता है, तब <math>Q</math> पर <math>P</math> निर्भर नहीं होता है।
निर्भरता पर विचार करने का सहज, विधिप्रेरित विभाजन <math>Q</math> को लेना है, लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट <math>C</math> का उपयोग करना चाहते हैं, यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर <math>P</math> पर करता है; यदि <math>P</math> इसका परिणाम व्यर्थ एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण <math>C</math> होता है, तब <math>Q</math> पर <math>P</math> निर्भर नहीं होता है।
Line 185: Line 185:
इसे उदाहरण द्वारा सबसे उचित प्रकार  से समझाया गया है (जो बहुत सारे नोटेशन से भी बचाता है)। ऊपर दी गई तालिका पर विचार करें, एवं आइए <math>P_{4}</math> निर्णय परिवर्तनशील बनें (अर्थात, निहितार्थ के दाईं ओर चर) एवं रहने दें <math>\{P_1,P_2,P_3\}</math> स्थिति चर बनें (निहितार्थ के बाईं ओर)। हम ध्यान दें कि निर्णय परिवर्तनशील है <math>P_{4}</math> अर्थात् दो भिन्न मान ग्रहण करता है <math>\{1, 2\}</math>. हम प्रत्येक विषयों को भिन्न से देखते हैं।
इसे उदाहरण द्वारा सबसे उचित प्रकार  से समझाया गया है (जो बहुत सारे नोटेशन से भी बचाता है)। ऊपर दी गई तालिका पर विचार करें, एवं आइए <math>P_{4}</math> निर्णय परिवर्तनशील बनें (अर्थात, निहितार्थ के दाईं ओर चर) एवं रहने दें <math>\{P_1,P_2,P_3\}</math> स्थिति चर बनें (निहितार्थ के बाईं ओर)। हम ध्यान दें कि निर्णय परिवर्तनशील है <math>P_{4}</math> अर्थात् दो भिन्न मान ग्रहण करता है <math>\{1, 2\}</math>. हम प्रत्येक विषयों को भिन्न से देखते हैं।


विषय को देखते हैं <math>P_{4}=1</math>, एवं हम विभाजित हो जाते हैं <math>\mathbb{U}</math> उन वस्तुओं में जिनके पास<math>P_{4}=1</math> है  एवं जिनके पास<math>P_{4} \ne 1</math> है। (ध्यान दें कि ऑब्जेक्ट के साथ <math>P_{4} \ne 1</math> इस विषयों में केवल वे वस्तुएं हैं जो <math>P_{4}=2</math> हैं, किन्तु सामान्य रूप में, <math>P_{4} \ne 1</math> इसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित होंगी जिनके लिए कोई मूल्य हो <math>P_{4}</math> के अतिरिक्त अन्य <math>P_{4}=1</math>, एवं वस्तुओं के ऐसे कई वर्ग हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, जिनके पास <math>P_{4}=2,3,4,etc.</math>), इस विषयों में, वस्तुओं<math>\{O_1,O_2,O_3,O_7,O_{10}\}</math> का होना <math>P_{4}=1</math> हैं,  जबकि जो वस्तुएं <math>\{O_4,O_5,O_6,O_8,O_9\}</math> <math>P_{4} \ne 1</math> हैं। निर्णय मैट्रिक्स <math>P_{4}=1</math> वस्तुओं के मध्य सभी भिन्नताओं को <math>P_{4}=1</math>सूचीबद्ध करता है  एवं जिनके पास <math>P_{4} \ne 1</math>है ; अर्थात्, निर्णय मैट्रिक्स मध्य के सभी भिन्नताओं को सूचीबद्ध करता है <math>\{O_1,O_2,O_3,O_7,O_{10}\}</math> एवं <math>\{O_4,O_5,O_6,O_8,O_9\}</math> सूचीबद्ध करता है, सकारात्मक वस्तुएँ (<math>P_{4}=1</math>) पंक्तियों एवं नकारात्मक वस्तुओं के रूप में <math>P_{4} \ne 1</math> स्तंभों के रूप मेंहैं।
विषय को देखते हैं <math>P_{4}=1</math>, एवं हम विभाजित हो जाते हैं <math>\mathbb{U}</math> उन वस्तुओं में जिनके पास<math>P_{4}=1</math> है  एवं जिनके पास<math>P_{4} \ne 1</math> है। (ध्यान दें कि ऑब्जेक्ट के साथ <math>P_{4} \ne 1</math> इस विषयों में केवल वे वस्तुएं हैं जो <math>P_{4}=2</math> हैं, किन्तु सामान्य रूप में, <math>P_{4} \ne 1</math> इसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित होंगी जिनके लिए कोई मूल्य हो <math>P_{4}</math> के अतिरिक्त अन्य <math>P_{4}=1</math>, एवं वस्तुओं के ऐसे कई वर्ग हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, जिनके पास <math>P_{4}=2,3,4,etc.</math>), इस विषयों में, वस्तुओं<math>\{O_1,O_2,O_3,O_7,O_{10}\}</math> का होना <math>P_{4}=1</math> हैं,  जबकि जो वस्तुएं <math>\{O_4,O_5,O_6,O_8,O_9\}</math> <math>P_{4} \ne 1</math> हैं। निर्णय मैट्रिक्स <math>P_{4}=1</math> वस्तुओं के मध्य सभी भिन्नताओं को <math>P_{4}=1</math> सूचीबद्ध करता है  एवं जिनके पास <math>P_{4} \ne 1</math>है ; अर्थात्, निर्णय मैट्रिक्स मध्य के सभी भिन्नताओं को <math>\{O_1,O_2,O_3,O_7,O_{10}\}</math> एवं <math>\{O_4,O_5,O_6,O_8,O_9\}</math> सूचीबद्ध करता है, सकारात्मक वस्तुएँ (<math>P_{4}=1</math>) पंक्तियों एवं नकारात्मक वस्तुओं के रूप में <math>P_{4} \ne 1</math> स्तंभों के रूप में हैं।


:{| class="wikitable" style="text-align:center; width:30%" border="1"
:{| class="wikitable" style="text-align:center; width:30%" border="1"
Line 281: Line 281:
लुप्त विशेषता मानों वाले दो विशेष डेटा सेटों का बड़े स्तर पर अध्ययन किया गया: प्राथमिक विषयों में, सभी विशेषता मान खो गए थे (स्टेफ़ानोव्स्की एवं त्सुकियास, 2001), दूसरे विषयों क्रिस्ज़किविज़, 1999) में, सभी लुप्त विशेषता मान परवाह नहीं करने वाली स्थिति में थे।  
लुप्त विशेषता मानों वाले दो विशेष डेटा सेटों का बड़े स्तर पर अध्ययन किया गया: प्राथमिक विषयों में, सभी विशेषता मान खो गए थे (स्टेफ़ानोव्स्की एवं त्सुकियास, 2001), दूसरे विषयों क्रिस्ज़किविज़, 1999) में, सभी लुप्त विशेषता मान परवाह नहीं करने वाली स्थिति में थे।  


किसी लुप्त विशेषता मान की विशेषता-अवधारणा मान व्याख्या में, लुप्त विशेषता मान को उस अवधारणा तक सीमित विशेषता डोमेन के किसी भी मान से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें लुप्त विशेषता मान वाली वस्तु संबंधित है (ग्रज़िमाला-बुसे एवं ग्रिज़िमाला-बुस्से, 2007) ). उदाहरण के लिए, यदि किसी मरीज के लिए किसी विशेषता तापमान का मान गायब है, तो यह मरीज फ्लू से बीमार है, एवं फ्लू से बीमार बाकी सभी मरीजों के लिए तापमान का मान उच्च या बहुत अधिक है, जब लुप्त विशेषता मान की व्याख्या का उपयोग किया जाता है विशेषता-अवधारणा मान, हम लुप्त विशेषता मान को उच्च एवं बहुत-उच्च से परिवर्तित हो देंगे। इसके अतिरिक्त, विशेषता संबंध, (उदाहरण के लिए, ग्राज़ीमाला-बुसे एवं ग्राज़ीमाला-बुसे, 2007 देखें) ही समय में सभी तीन प्रकार के लुप्त विशेषता मानों के साथ डेटा सेट को संसाधित करने में सक्षम बनाता है।
किसी लुप्त विशेषता मान की विशेषता-अवधारणा मान व्याख्या में, लुप्त विशेषता मान को उस अवधारणा तक सीमित विशेषता डोमेन के किसी भी मान से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें लुप्त विशेषता मान वाली वस्तु संबंधित है (ग्रज़िमाला-बुसे एवं ग्रिज़िमाला-बुस्से, 2007), उदाहरण के लिए, यदि किसी मरीज के लिए किसी विशेषता तापमान का मान गायब है, तो यह मरीज फ्लू से बीमार है, एवं फ्लू से बीमार बाकी सभी मरीजों के लिए तापमान का मान उच्च या बहुत अधिक है, जब लुप्त विशेषता मान की व्याख्या का उपयोग किया जाता है विशेषता-अवधारणा मान, हम लुप्त विशेषता मान को उच्च एवं बहुत-उच्च से परिवर्तित हो देंगे। इसके अतिरिक्त, विशेषता संबंध, (उदाहरण के लिए, ग्राज़ीमाला-बुसे एवं ग्राज़ीमाला-बुसे, 2007 देखें) ही समय में सभी तीन प्रकार के लुप्त विशेषता मानों के साथ डेटा सेट को संसाधित करने में सक्षम बनाता है।


==अनुप्रयोग==
==अनुप्रयोग==
Line 306: Line 306:


===अन्य सामान्यीकरण===
===अन्य सामान्यीकरण===
समस्याओं को हल करने के लिए रफ सेट के कई सामान्यीकरण प्रस्तुत किए गए, अध्ययन किए गए एवं प्रस्तुत किए गए। इनमें से कुछ सामान्यीकरण यहां दिए गए हैं:
समस्याओं का समाधान करने के लिए रफ सेट के कई सामान्यीकरण प्रस्तुत किए गए, अध्ययन किए गए एवं प्रस्तुत किए गए। इनमें से कुछ सामान्यीकरण यहां दिए गए हैं:


*रफ़ मल्टीसेट्स (ग्रज़ीमाला-बुस्से, 1987)
*रफ़ मल्टीसेट्स (ग्रज़ीमाला-बुस्से, 1987)
*फ़ज़ी रफ सेट फ़ज़ी समतुल्य वर्गों के उपयोग के माध्यम से रफ सेट अवधारणा का विस्तार करते हैं (नाकामुरा, 1988)
*फ़ज़ी रफ सेट फ़ज़ी समतुल्य वर्गों के उपयोग के माध्यम से रफ सेट अवधारणा का विस्तार करते हैं।(नाकामुरा, 1988)
*अल्फा रफ सेट थ्योरी (α-RST) - रफ सेट सिद्धांत का सामान्यीकरण जो फजी अवधारणाओं का उपयोग करके अनुमान लगाने की अनुमति देता है (क्वाफाफौ, 2000)
*अल्फा रफ सेट थ्योरी (α-आरएसटी) - रफ सेट सिद्धांत का सामान्यीकरण जो फजी अवधारणाओं का उपयोग करके अनुमान लगाने की अनुमति देता है। (क्वाफाफौ, 2000)
*भिन्नता्ज्ञानवादी फजी रफ सेट (कॉर्नेलिस, डी कॉक एवं केरे, 2003)
*भिन्नता्ज्ञानवादी फजी रफ सेट (कॉर्नेलिस, डी कॉक एवं केरे, 2003)
*सामान्यीकृत रफ फजी सेट (फेंग, 2010)
*सामान्यीकृत रफ फजी सेट (फेंग, 2010)
Line 548: Line 548:
*Grzymala-Busse, J. (1987). Learning from examples based on rough multisets, in Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems, pp.&nbsp;325–332. Charlotte, NC, USA
*Grzymala-Busse, J. (1987). Learning from examples based on rough multisets, in Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems, pp.&nbsp;325–332. Charlotte, NC, USA
*Meng, D., Zhang, X. and Qin, K. (2011). Soft rough fuzzy sets and soft fuzzy rough sets, Computers & Mathematics with Applications, 62:12, pp4635–4645
*Meng, D., Zhang, X. and Qin, K. (2011). Soft rough fuzzy sets and soft fuzzy rough sets, Computers & Mathematics with Applications, 62:12, pp4635–4645
*Quafafou M. (2000). α-RST: a generalization of rough set theory, Information Sciences, 124:1–4, pp301–316.
*Quafafou M. (2000). α-आरएसटी: a generalization of rough set theory, Information Sciences, 124:1–4, pp301–316.
*Quafafou M. and Boussouf M. (2000). Generalized rough sets based feature selection. Journal Intelligent Data Analysis, 4:1 pp3 – 17
*Quafafou M. and Boussouf M. (2000). Generalized rough sets based feature selection. Journal Intelligent Data Analysis, 4:1 pp3 – 17
*Nakamura, A. (1988) Fuzzy rough sets, ‘Notes on Multiple-valued Logic in Japan’, 9:1, pp1–8
*Nakamura, A. (1988) Fuzzy rough sets, ‘Notes on Multiple-valued Logic in Japan’, 9:1, pp1–8
Line 572: Line 572:


{{Authority control}}
{{Authority control}}
[[Category: सेट सिद्धांत की प्रणाली]] [[Category: सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] [[Category: अनुमान]]


 
[[Category:CS1 errors]]
 
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 30/06/2023]]
[[Category:Created On 30/06/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:अनुमान]]
[[Category:सेट सिद्धांत की प्रणाली]]
[[Category:सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]]

Latest revision as of 07:04, 16 July 2023

कंप्यूटर विज्ञान में, रफ सेट, जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में क्रिस्प सेट (अर्थात, पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण एवं सीमाएँ पावलक (1991) एवं उद्धृत संदर्भों में प्राप्त सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक एवं बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि वर्तमान के विस्तार एवं सामान्यीकरण से भिन्न करने का साधन है।

सूचना प्रणाली संरचना

सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक के लिए है। मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है लग सकता है। सूचना तालिका मान से निर्दि