रफ़ सेट: Difference between revisions

[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, [[फजी सेट|'''रफ सेट''']], जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।

<math>I = (\mathbb{U},\mathbb{A})</math>  सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां <math> \mathbb{U}</math> वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, <math> \mathbb{A}</math> ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक<math>I:\mathbb{U} \rightarrow V_a</math>  के लिए  <math>a \in \mathbb{A}</math> है। <math>V_a</math> मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है <math>a</math> लग सकता है। सूचना तालिका मान <math>a(x)</math> से <math>V_a</math>निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए <math>a</math> एवं आपत्ति <math>x</math> ब्रह्मांड में <math>\mathbb{U}</math> होता है।                                                                                                                                                                                                                  किसी के साथ <math>P \subseteq \mathbb{A}</math> संबद्ध तुल्यता संबंध है <math>\mathrm{IND}(P)</math> है।

संबंध <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का एक परिवार है <math>\mathrm{IND}(P)</math> एवं द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>).

यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> एवं <math>y</math> गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) हैं <math>P</math> .

के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>.

|+ Sample Information System

! Object !! <math>P_{1}</math> !! <math>P_{2}</math> !! <math>P_{3}</math> !! <math>P_{4}</math> !! <math>P_{5}</math>

जब गुणों का पूरा सेट <math>P = \{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}</math> विचार करने पर, हम देखते हैं कि हमारे पास निम्नलिखित सात समतुल्य वर्ग हैं:

उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूरा उपलब्ध सेट है। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि <math>[x]_P,</math> में वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं, इस प्रकार, किसी भी सेट <math>X</math> का प्रतिनिधित्व करने की कोई विधि नहीं है, जिसमें <math>O_{3}</math> सम्मिलित है किन्तु  <math>O_{7}</math> एवं <math>O_{10}</math>वस्तुओं को छोड़ देता है।

चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है,

'''निचला सन्निकटन एवं सकारात्मक क्षेत्र'''                                                                                                                                                                                  <math>P</math> निचला सन्निकटन, या सकारात्मक क्षेत्र, सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है जो लक्ष्य निर्धारित द्वारा समाहित हैं (अर्थात, इसके उपसमूह हैं), उदाहरण में, <math>{\underline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\}</math>, दो समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जो निर्धारित लक्ष्य में समाहित है। निचला सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट<math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) लक्ष्य निर्धारित से <math>X</math> संबंधित रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

====ऊपरी सन्निकटन एवं ऋणात्मक क्षेत्र==== <math>P</math>वें>-ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन है <math>[x]_P</math> जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है - उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है <math>\mathbb{U}/P</math> जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math>. दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट के सदस्य हैं <math>X</math>.

सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से खारिज किया जा सकता है।

सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित के सदस्यों के रूप में न तो खारिज किया जा सकता है एवं न ही खारिज किया जा सकता है <math>X</math>.

संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन एक रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिन्हें सकारात्मक रूप से सेट के सदस्यों के रूप में पहचाना जा सकता है। (इन वस्तुओं में कोई अदृश्य क्लोन नहीं है जिन्हें लक्ष्य सेट से बाहर रखा गया है।) ऊपरी सन्निकटन एक उदार सन्निकटन है जिसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो लक्ष्य निर्धारित के सदस्य हो सकते हैं। (ऊपरी सन्निकटन में कुछ वस्तुएं लक्ष्य निर्धारित की सदस्य नहीं हो सकती हैं।) के परिप्रेक्ष्य से <math>\mathbb{U}/P</math>, निचले सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो निश्चितता (संभावना = 1) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं, जबकि ऊपरी सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो अन्य-शून्य संभावना (संभावना> 0) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं।

टुपल <math>\langle{\underline P}X,{\overline P}X\rangle</math> निचले एवं ऊपरी सन्निकटन से बना रफ सेट कहलाता है; इस प्रकार, एक रफ सेट दो क्रिस्प सेटों से बना होता है, जिनमें से एक लक्ष्य सेट की निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करता है <math>X</math>, एवं दूसरा लक्ष्य निर्धारित की ऊपरी सीमा का प्रतिनिधित्व करता है <math>X</math>.

अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन बराबर होते हैं (अर्थात, सीमा क्षेत्र खाली होता है), तो <math>\alpha_{P}(X) = 1</math>, एवं सन्निकटन एकदम सही है; दूसरे चरम पर, जब भी निचला सन्निकटन खाली होता है, सटीकता शून्य होती है (ऊपरी सन्निकटन के आकार की परवाह किए बिना)।

रफ सेट सिद्धांत कई तरीकों में से एक है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] एवं डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक तरीकों की तुलना में कम आम है। चूँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत का उपयोग करने का एक महत्वपूर्ण अंतर एवं एक अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का एक उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है (पावलक एट अल। 1995)। अन्य तरीकों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है - इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा के अंदरप्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है (डंटश एवं गेडिगा 1995) ). रफ सेट सिद्धांत के हालिया अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक एवं फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है।

सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> विशेषता सेट पर अपरिभाषित या मोटे तौर पर परिभाषित नहीं है <math>P</math>. जब ऊपरी एवं निचला सन्निकटन बराबर हो (अर्थात, सीमा खाली हो),  <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, फिर लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math> विशेषता सेट पर निश्चित है <math>P</math>. हम अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष मामलों को भिन्न कर सकते हैं:

* तय करना <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, किन्तुऐसी वस्तुएं हैं जिन्हें हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकते हैं <math>X</math>.

* तय करना <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी वस्तुएं हैं जिनके बारे में हम निश्चित हो सकते हैं कि वे लक्ष्य निर्धारित से संबंधित हैं <math>X</math>, किन्तुऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>.

* तय करना <math>X</math> यदि पूरी तरह से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, एवं ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>. इस प्रकार, विशेषता सेट पर <math>P</math>, हम यह तय नहीं कर सकते कि कोई वस्तु इसका सदस्य है या नहीं <math>X</math>.

एक रोचक सवाल यह है कि क्या सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य तालिका) में ऐसी विशेषताएं हैं जो अन्य विशेषताओं की तुलना में समतुल्य वर्ग संरचना में दर्शाए गए ज्ञान के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। प्रायः, हमें आश्चर्य होता है कि क्या विशेषताओं का एक उपसमूह है, जो अपने आप में, डेटाबेस में ज्ञान को पूरी तरह से चित्रित कर सकता है; ऐसे विशेषता सेट को रिडक्ट कहा जाता है।

औपचारिक रूप से, रिडक्ट विशेषताओं का एक उपसमूह है <math>\mathrm{RED} \subseteq P</math> ऐसा है कि

* <math>[x]_{\mathrm{RED}}</math> = <math>[x]_P</math>, अर्थात्, कम विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग <math>\mathrm{RED}</math> पूर्ण विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्ग संरचना के समान हैं <math>P</math>.

* विशेषता सेट <math>\mathrm{RED}</math> न्यूनतम है, इस अर्थ में <math>[x]_{(\mathrm{RED}-\{a\})} \neq [x]_P</math> किसी भी विशेषता के लिए <math>a \in \mathrm{RED}</math>; दूसरे शब्दों में, किसी भी विशेषता को सेट से हटाया नहीं जा सकता <math>\mathrm{RED}</math> समतुल्य वर्गों को बदले बिना <math>[x]_P</math>.

कमी को सुविधाओं के पर्याप्त सेट के रूप में सोचा जा सकता है - पर्याप्त, अर्थात श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उपरोक्त उदाहरण तालिका में, विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है - केवल इन विशेषताओं पर प्रक्षेपित सूचना प्रणाली में समान समतुल्य वर्ग संरचना होती है जो पूर्ण विशेषता सेट द्वारा व्यक्त की जाती है:

विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है क्योंकि इनमें से किसी भी विशेषता को समाप्त करने से तुल्यता-वर्ग संरचना का पतन हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>[x]_{\mathrm{RED}} \neq [x]_P</math>.

किसी सूचना प्रणाली की कमी अद्वितीय नहीं है: विशेषताओं के कई उपसमूह हो सकते हैं जो सूचना प्रणाली में व्यक्त समतुल्य-वर्ग संरचना (अर्थात , ज्ञान) को संरक्षित करते हैं। उपरोक्त उदाहरण सूचना प्रणाली में, एक एवं कमी है <math>\{P_1,P_2,P_5\}</math>, समान तुल्यता-वर्ग संरचना का निर्माण करता है <math>[x]_P</math>.

गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, एवं इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, अर्थात , श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उदाहरण में, ऐसी एकमात्र विशेषता है <math>\{P_5\}</math>; अन्य विशेषताओं में से किसी एक को समतुल्य-वर्ग संरचना को नुकसान पहुंचाए बिना अकेले हटाया जा सकता है, एवं इसलिए ये सभी डिस्पेंसेबल हैं। चूँकि, हटा रहा हूँ <math>\{P_5\}</math> अपने आप में तुल्यता-वर्ग संरचना बदल जाती है, एवं इस प्रकार <math>\{P_5\}</math> इस सूचना प्रणाली का अपरिहार्य गुण है, एवं इसलिए इसका मूल है।

कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो।

डेटाबेस विश्लेषण या डेटा अधिग्रहण के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक विशेषता निर्भरता की खोज है; अर्थात्, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन से चर किस अन्य चर से दृढ़ता से संबंधित हैं। सामान्यतः, यह ये स्थिर रिश्ते हैं जो आगे की जांच की गारंटी देंगे, एवं जो अंततः भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग में उपयोगी होंगे।

रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट करें <math>P</math> एवं सेट करें <math>Q</math>, एवं पूछताछ करें कि उनके बीच किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट एक (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग प्रेरित होते हैं <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, एवं तुल्यता वर्ग द्वारा प्रेरित <math>Q</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math>.

होने देना <math>[x]_Q = \{Q_1, Q_2, Q_3, \dots, Q_N \}</math>, कहाँ <math>Q_i</math> विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य-वर्ग संरचना से एक दिया गया समतुल्य वर्ग है <math>Q</math>. फिर, विशेषता सेट की निर्भरता <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>, <math>\gamma_{P}(Q)</math>, द्वारा दिया गया है