मॉड्यूलर रूप: Difference between revisions
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=== एक [[लाइन बंडल]] के अनुभागों के रूप में === | === एक [[लाइन बंडल]] के अनुभागों के रूप में === | ||
मॉड्यूलर रूपों को [[मॉड्यूलर वक्र]] पर एक विशिष्ट लाइन बंडल के अनुभागों के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। | मॉड्यूलर रूपों को [[मॉड्यूलर वक्र]] पर एक विशिष्ट लाइन बंडल के अनुभागों के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। <math>\Gamma \subset \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> के लिए स्तर का एक मॉड्यूलर रूप <math>\Gamma</math> और भार <math>k</math> के तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है<math>f \in H^0(X_\Gamma,\omega^{\otimes k}) = M_k(\Gamma)</math> | ||
== एसएल (2, जेड) | जहाँ <math>\omega</math> मॉड्यूलर वक्र पर एक विहित लाइन बंडल है<math>X_\Gamma = \Gamma \backslash (\mathcal{H} \cup \mathbb{P}^1(\mathbb{Q}))</math> मॉड्यूलर रूपों के इन स्थानों के आयामों की गणना रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।<ref>{{Cite web|last=Milne|title=मॉड्यूलर फ़ंक्शंस और मॉड्यूलर फॉर्म|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/mf.html|page=51}}</ref> पारंपरिक मॉड्यूलर रूपों के लिए <math>\Gamma = \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> अण्डाकार वक्रों के मोडुली स्टैक पर लाइन बंडल का खंड हैं। | ||
== एसएल (2, जेड) के लिए मॉड्यूलर रूप == | |||
=== मानक परिभाषा === | === मानक परिभाषा === | ||
भार का एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|k}} मॉड्यूलर समूह के लिए | |||
:<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math> | :<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math> | ||
एक जटिल संख्या है | एक जटिल संख्या है जटिल-मूल्यवान फलन {{math| ''f'' }} उच् अर्ध-समष्टि पर {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[imaginary part|Im]](''z'') > 0},}} निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए: | ||
# {{math| ''f'' }} | # {{math| ''f'' }} {{math|'''H'''}} एक पूर्णसममितिक फलन है. | ||
# किसी | # किसी {{math|''z'' ∈ '''H'''}} के लिए और कोई भी आव्यूह {{math|SL(2, '''Z''')}} ऊपर के रूप में, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण है: | ||
#:<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math> | #:<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math> | ||
# | # {{math|''z'' → [[Imaginary unit|''i'']]∞}} को {{math| ''f'' }} के रूप में बाध्य होना आवश्यक है। | ||
टिप्पणियां: | टिप्पणियां: | ||
* भार {{mvar|k}} | * भार {{mvar|k}} सामान्यतः एक सकारात्मक पूर्णांक है। | ||
* विषम के लिए {{mvar|k}}, केवल शून्य फलन ही दूसरी शर्त को पूरा कर सकता है। | * विषम के लिए {{mvar|k}}, केवल शून्य फलन ही दूसरी शर्त को पूरा कर सकता है। | ||
*तीसरी शर्त | *तीसरी शर्त {{math| ''f'' }} शिखर पर पूर्णसममितिक है, जिसे नीचे समझाया गया है। स्पष्ट रूप से, स्थिति का अर्थ है कि कुछ उपलब्ध हैं <math> M, D > 0 </math> ऐसा है कि <math> \operatorname{Im}(z) > M \implies |f(z)| < D </math>, अर्थ <math>f</math> कुछ क्षैतिज रेखा से ऊपर बँधा हुआ है। | ||
::<math>S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> : पढ़ता है | ::<math>S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> : पढ़ता है | ||
::<math>f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^k f(z), \qquad f(z + 1) = f(z)</math> | ::<math>f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^k f(z), \qquad f(z + 1) = f(z)</math> | ||
: | :क्रमश तब से {{mvar|S}} और {{mvar|T}} एक समूह मॉड्यूलर समूह का उत्पादन समुच्चय {{math|SL(2, '''Z''')}}, उपरोक्त दूसरी शर्त इन दो समीकरणों के बराबर है। | ||
* तब से {{math| ''f'' (''z'' + 1) {{=}}  ''f'' (''z'')}}, मॉड्यूलर रूप आवधिक कार्य हैं, अवधि के साथ {{math|1}}, और इस प्रकार एक फूरियर श्रृंखला है। | * तब से {{math| ''f'' (''z'' + 1) {{=}}  ''f'' (''z'')}}, मॉड्यूलर रूप आवधिक कार्य हैं, अवधि के साथ {{math|1}} है, और इस प्रकार एक फूरियर श्रृंखला है। | ||
=== जाली या अण्डाकार वक्रों के संदर्भ में परिभाषा === | === जाली या अण्डाकार वक्रों के संदर्भ में परिभाषा === | ||
एक मॉड्यूलर रूप को समान रूप से एक फलन F के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो कि [[ अवधि जाली ]] के | एक मॉड्यूलर रूप को समान रूप से एक फलन F के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो कि [[ अवधि जाली ]] के समुच्चय से होता है {{math|'''C'''}} सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के लिए जो कुछ शर्तों को पूरा करते हैं: | ||
# | # यदि हम जाली पर विचार करें {{math|Λ {{=}} '''Z'''''α'' + '''Z'''''z''}} एक स्थिर द्वारा उत्पन्न {{mvar|α}} और एक चर {{mvar|z}}, तब {{math|''F''(Λ)}} का एक विश्लेषणात्मक कार्य है {{mvar|z}}. | ||
# | # यदि {{mvar|α}} एक गैर-शून्य जटिल संख्या है और {{math|''α''Λ}} प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त जाली है {{math|Λ}} द्वारा {{mvar|α}}, तब {{math|''F''(''α''Λ) {{=}} ''α''<sup>−''k''</sup>''F''(Λ)}} कहाँ {{mvar|k}} एक स्थिरांक है (सामान्यतः एक धनात्मक पूर्णांक) जिसे प्रपत्र का भार कहा जाता है। | ||
# का पूर्ण मूल्य {{math|''F''(Λ)}} जब तक सबसे छोटे गैर-शून्य तत्व का निरपेक्ष मान तब तक ऊपर बना रहता है {{math|Λ}} 0 से दूर है। | # का पूर्ण मूल्य {{math|''F''(Λ)}} जब तक सबसे छोटे गैर-शून्य तत्व का निरपेक्ष मान तब तक ऊपर बना रहता है {{math|Λ}} 0 से दूर है। | ||
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I. [[ईसेनस्टीन श्रृंखला]] | I. [[ईसेनस्टीन श्रृंखला]] | ||
इस दृष्टिकोण से सबसे सरल उदाहरण आइज़ेंस्ताइन श्रृंखला हैं। प्रत्येक सम पूर्णांक के लिए {{math|''k'' > 2}}, हम परिभाषित करते हैं {{math|''G<sub>k</sub>''(Λ)}} का योग होना {{math|''λ''<sup>−''k''</sup>}} सभी गैर-शून्य | इस दृष्टिकोण से सबसे सरल उदाहरण आइज़ेंस्ताइन श्रृंखला हैं। प्रत्येक सम पूर्णांक के लिए {{math|''k'' > 2}}, हम परिभाषित करते हैं {{math|''G<sub>k</sub>''(Λ)}} का योग होना {{math|''λ''<sup>−''k''</sup>}} सभी गैर-शून्य सदिशों पर {{mvar|λ}} का {{math|Λ}}: | ||
:<math>G_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}.</math> | :<math>G_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}.</math> | ||
तब {{mvar|G<sub>k</sub>}} | तब {{mvar|G<sub>k</sub>}} भार का एक मॉड्यूलर रूप है {{mvar|k}}. के लिए {{math|Λ {{=}} '''Z''' + '''Z'''''τ''}} अपने पास | ||
:<math>G_k(\Lambda) = G_k(\tau) = \sum_{ (0,0) \neq (m,n)\in\mathbf{Z}^2} \frac{1}{(m + n \tau)^k},</math> | :<math>G_k(\Lambda) = G_k(\tau) = \sum_{ (0,0) \neq (m,n)\in\mathbf{Z}^2} \frac{1}{(m + n \tau)^k},</math> | ||
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द्वितीय। थीटा एक-मॉड्यूलर जालक के भी कार्य करता है | द्वितीय। थीटा एक-मॉड्यूलर जालक के भी कार्य करता है | ||
एक [[यूनिमॉड्यूलर जाली]] {{mvar|L}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} द्वारा उत्पन्न एक जाली है {{mvar|n}} | एक [[यूनिमॉड्यूलर जाली|एकल मॉड्यूलर जाली]] {{mvar|L}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} द्वारा उत्पन्न एक जाली है {{mvar|n}} सदिश निर्धारक 1 के एक आव्यूह के खंड बनाते हैं और इस शर्त को पूरा करते हैं कि प्रत्येक सदिश की लंबाई का वर्ग {{mvar|L}} एक सम पूर्णांक है। तथाकथित [[थीटा समारोह|थीटा फलन]] | ||
:<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math> | :<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math> | ||
अभिसरित होता है जब Im(z) > 0, और प्वासों योग सूत्र के परिणामस्वरूप | अभिसरित होता है जब Im(z) > 0, और प्वासों योग सूत्र के परिणामस्वरूप भार का एक मॉड्यूलर रूप दिखाया जा सकता है {{math|''n''/2}}. एक-मॉड्यूलर जाली का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, परंतु यहाँ एक तरीका है: चलो {{mvar|n}} 8 से विभाज्य एक पूर्णांक बनें और सभी सदिशों पर विचार करें {{mvar|v}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि {{math|2''v''}} में पूर्णांक निर्देशांक होते हैं, या तो सभी सम या सभी विषम, और इस तरह के निर्देशांकों का योग {{mvar|v}} एक सम पूर्णांक है। हम इस जाली को कहते हैं {{mvar|L<sub>n</sub>}}. कब {{math|''n'' {{=}} 8}}, यह जड़ प्रणाली में जड़ों द्वारा उत्पन्न जाली है जिसे E8 (गणित) कहा जाता है|E<sub>8</sub>. क्योंकि स्केलर गुणन तक भार 8 का केवल एक मॉड्यूलर रूप है, | ||
:<math>\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z),</math> | :<math>\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z),</math> | ||
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तृतीय। मॉड्यूलर विभेदक | तृतीय। मॉड्यूलर विभेदक | ||
{{Further| | {{Further|वीयरस्ट्रैस के अण्डाकार फलन#मॉड्यूलर विभेदक}} | ||
[[डेडेकाइंड और फंक्शन]] को इस रूप में परिभाषित किया गया है | [[डेडेकाइंड और फंक्शन|डेडेकाइंड और]] फलन को इस रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.</math> | :<math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.</math> | ||
जहां क्यू [[नोम (गणित)]] का वर्ग है। फिर मॉड्यूलर | जहां क्यू [[नोम (गणित)|नोम]] का वर्ग है। फिर मॉड्यूलर विभेदक {{math|Δ(''z'') {{=}} (2π)<sup>12</sup> ''η''(''z'')<sup>24</sup>}} भार 12 का एक मॉड्यूलर रूप है। 24 की उपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि [[जोंक जाली]] के 24 आयाम हैं। [[रामानुजन]] अनुमान पर रामानुजन ने जोर दिया कि कब {{math|Δ(''z'')}} को q, के गुणांक में शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया गया है {{mvar|q<sup>p</sup>}} किसी भी प्राइम के लिए {{mvar|p}} का निरपेक्ष मान है {{math|≤ 2''p''<sup>11/2</sup>}}. वेइल अनुमानों के डेलिग्ने के प्रमाण के परिणामस्वरूप [[मार्टिन आइक्लर]], [[ ग्राउंडर शिमुरा ]], [[सड़क वाक्यांश]], [[यासुताका इहारा]] और पियरे डेलिग्ने के काम से इसकी पुष्टि हुई, जो रामानुजन के अनुमान को दर्शाने के लिए दिखाए गए थे। | ||
दूसरे और तीसरे उदाहरण संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर रूपों और | दूसरे और तीसरे उदाहरण संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर रूपों और पारंपरिक प्रश्नों के बीच संबंध का कुछ संकेत देते हैं, जैसे [[द्विघात रूप]]ों और [[विभाजन समारोह (संख्या सिद्धांत)|विभाजन फलन]] द्वारा पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करता है। मॉड्यूलर रूपों और संख्या सिद्धांत के बीच महत्वपूर्ण वैचारिक लिंक [[हेज ऑपरेटर|हेज संकार्य]] के सिद्धांत द्वारा प्रस्तुत किया गया है, जो मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के बीच की कड़ी को युग्मित करता है। | ||
== मॉड्यूलर कार्य == | == मॉड्यूलर कार्य == | ||
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# एफ खुले ऊपरी आधे समष्टि एच में मेरोमोर्फिक फलन है। | # एफ खुले ऊपरी आधे समष्टि एच में मेरोमोर्फिक फलन है। | ||
# प्रत्येक पूर्णांक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह | # प्रत्येक पूर्णांक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के लिए <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> मॉड्यूलर समूह में | मॉड्यूलर समूह {{math|Γ}}, <math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)</math>. | ||
# जैसा कि ऊपर बताया गया है, दूसरी स्थिति का अर्थ है कि f आवधिक है, और इसलिए इसकी एक फूरियर श्रृंखला है। तीसरी शर्त यह है कि यह | # जैसा कि ऊपर बताया गया है, दूसरी स्थिति का अर्थ है कि f आवधिक है, और इसलिए इसकी एक फूरियर श्रृंखला है। तीसरी शर्त यह है कि यह प्रक्रम रूप की हो | ||
::<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2i\pi nz}.</math> यह | ::<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2i\pi nz}.</math> यह प्रायः <math>q=\exp(2\pi i z)</math> के संदर्भ में लिखा जाता है, जैसे: | ||
::<math>f(z)=\sum_{n=-m}^\infty a_n q^n.</math> | ::<math>f(z)=\sum_{n=-m}^\infty a_n q^n.</math> | ||
इसे f के q-विस्तार (q-विस्तार सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है। गुणांक <math>a_n</math> f के फूरियर गुणांक के रूप में जाना जाता है, और संख्या m को i∞ पर f के ध्रुव का क्रम कहा जाता है। इस स्थिति को पुच्छल पर मेरोमोर्फिक कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि केवल बहुत से ऋणात्मक-n गुणांक गैर-शून्य होते हैं, इसलिए q-विस्तार नीचे सीमित होता है, यह गारंटी देता है कि यह q = 0 पर मेरोमोर्फिक है।<ref>A [[meromorphic]] function can only have a finite number of negative-exponent terms in its Laurent series, its q-expansion. It can only have at most a [[Pole (complex analysis)|pole]] at ''q'' = 0, not an [[essential singularity]] as exp(1/''q'') has.</ref> | इसे f के q-विस्तार (q-विस्तार सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है। गुणांक <math>a_n</math> f के फूरियर गुणांक के रूप में जाना जाता है, और संख्या m को i∞ पर f के ध्रुव का क्रम कहा जाता है। इस स्थिति को पुच्छल पर मेरोमोर्फिक कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि केवल बहुत से ऋणात्मक-n गुणांक गैर-शून्य होते हैं, इसलिए q-विस्तार नीचे सीमित होता है, यह गारंटी देता है कि यह q = 0 पर मेरोमोर्फिक है।<ref>A [[meromorphic]] function can only have a finite number of negative-exponent terms in its Laurent series, its q-expansion. It can only have at most a [[Pole (complex analysis)|pole]] at ''q'' = 0, not an [[essential singularity]] as exp(1/''q'') has.</ref> | ||
कभी-कभी मॉड्यूलर कार्यों की एक कमजोर परिभाषा का उपयोग किया जाता है - वैकल्पिक परिभाषा के तहत, यह पर्याप्त है कि f खुले ऊपरी आधे समष्टि में मेरोमोर्फिक हो और f परिमित सूचकांक के मॉड्यूलर समूह के उप-समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय हो।<ref>{{Cite book |last1=Chandrasekharan |first1=K. |title=अण्डाकार कार्य|publisher=Springer-Verlag |year=1985 |isbn=3-540-15295-4}} p. 15</ref> इस लेख में इसका पालन नहीं किया गया है। | कभी-कभी मॉड्यूलर कार्यों की एक कमजोर परिभाषा का उपयोग किया जाता है - वैकल्पिक परिभाषा के तहत, यह पर्याप्त है कि f खुले ऊपरी आधे समष्टि में मेरोमोर्फिक हो और f परिमित सूचकांक के मॉड्यूलर समूह के उप-समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय हो।<ref>{{Cite book |last1=Chandrasekharan |first1=K. |title=अण्डाकार कार्य|publisher=Springer-Verlag |year=1985 |isbn=3-540-15295-4}} p. 15</ref> इस लेख में इसका पालन नहीं किया गया है। | ||
मॉड्यूलर कार्यों की परिभाषा को वाक्यांश देने का एक और तरीका अंडाकार वक्रों का उपयोग करना है: प्रत्येक जाली Λ सी पर एक अंडाकार वक्र सी/Λ निर्धारित करता है; दो जाली [[समरूप]] [[अण्डाकार वक्र]]ों को निर्धारित करती हैं यदि और केवल | मॉड्यूलर कार्यों की परिभाषा को वाक्यांश देने का एक और तरीका अंडाकार वक्रों का उपयोग करना है: प्रत्येक जाली Λ सी पर एक अंडाकार वक्र सी/Λ निर्धारित करता है; दो जाली [[समरूप]] [[अण्डाकार वक्र]]ों को निर्धारित करती हैं यदि और केवल यदि एक को दूसरे से कुछ गैर-शून्य जटिल संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{mvar|α}}. इस प्रकार, एक मॉड्यूलर फलन को अण्डाकार वक्रों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों के समुच्चय पर मेरोमोर्फिक फलन के रूप में भी माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक अण्डाकार वक्र का [[j-invariant]] j(z), जिसे सभी अण्डाकार वक्रों के समुच्चय पर एक फलन के रूप में माना जाता है, एक मॉड्यूलर फलन है। अधिक संकल्पनात्मक रूप से, मॉड्यूलर कार्यों को जटिल अण्डाकार वक्रों के समरूपता वर्गों की मॉडुली समस्या पर कार्य के रूप में माना जा सकता है। | ||
एक मॉड्यूलर फॉर्म f जो | एक मॉड्यूलर फॉर्म f जो विलोपित हो जाता है {{math|''q'' {{=}} 0}} (समान रूप से, {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 0}}, के रूप में भी व्याख्या की गई {{math|''z'' {{=}} ''i''∞}}) को पुच्छल रूप कहते हैं। सबसे छोटा n ऐसा है {{math|''a<sub>n</sub>'' ≠ 0}} f के शून्य का क्रम है {{math|''i''∞}}. | ||
एक [[मॉड्यूलर इकाई]] एक मॉड्यूलर फलन है | एक [[मॉड्यूलर इकाई]] एक मॉड्यूलर फलन है जिसके ध्रुव और शून्य क्यूप्स तक ही सीमित हैं।<ref>{{Citation| last1=Kubert | first1=Daniel S. | author1-link=Daniel Kubert | last2=Lang | first2=Serge | author2-link=Serge Lang | title=Modular units | url=https://books.google.com/books?id=BwwzmZjjVdgC | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Science] | isbn=978-0-387-90517-4 |mr=648603 | year=1981 | volume=244 | zbl=0492.12002 | page=24 }}</ref> | ||
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===रीमैन सतह G\H<sup>∗</sup>=== | ===रीमैन सतह G\H<sup>∗</sup>=== | ||
होने देना {{mvar|G}} का एक उपसमूह हो {{math|SL(2, '''Z''')}} जो एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। ऐसा समूह {{mvar|G}} H पर समूह क्रिया (गणित) उसी तरह जैसे {{math|SL(2, '''Z''')}}. [[भागफल टोपोलॉजिकल स्पेस]] G\'H' को [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] के रूप में दिखाया जा सकता है। | होने देना {{mvar|G}} का एक उपसमूह हो {{math|SL(2, '''Z''')}} जो एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। ऐसा समूह {{mvar|G}} H पर समूह क्रिया (गणित) उसी तरह जैसे {{math|SL(2, '''Z''')}}. [[भागफल टोपोलॉजिकल स्पेस|भागफल सांस्थितिक समष्टि]] G\'H' को [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समष्टि]] के रूप में दिखाया जा सकता है। सामान्यतः यह कॉम्पैक्ट नहीं होता है, परंतु कस्प्स नामक बिंदुओं की एक सीमित संख्या को जोड़कर इसे कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। ये 'एच' की सीमा पर बिंदु हैं, अर्थात 'परिमेय संख्या' में ∪{∞},<ref>Here, a matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> sends ∞ to ''a''/''c''.</ref> जैसे कि एक परवलयिक तत्व है {{mvar|G}} (एक आव्यूह ± 2 के निशान के साथ एक आव्यूह) बिंदु को ठीक करता है। यह एक कॉम्पैक्ट सांस्थितिकी समष्टि जी \ 'एच' उत्पन्न करता है<sup>∗</sup>. क्या अधिक है, इसे [[रीमैन सतह]] की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है, जो किसी को होलो- और मेरोमोर्फिक कार्यों के बारे में बात करने की अनुमति देता है। | ||
महत्वपूर्ण उदाहरण हैं, किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, सर्वांगसम उपसमूहों में से कोई एक | महत्वपूर्ण उदाहरण हैं, किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, सर्वांगसम उपसमूहों में से कोई एक | ||
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\Gamma(N) &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}(2, \mathbf{Z}) : c \equiv b \equiv 0, a \equiv d \equiv 1 \pmod{N} \right\}. | \Gamma(N) &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}(2, \mathbf{Z}) : c \equiv b \equiv 0, a \equiv d \equiv 1 \pmod{N} \right\}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जी के लिए = जी<sub>0</sub>(और न {{math|Γ(''N'')}}, रिक्त स्थान G\'H' और G\'H'<sup>∗</sup> को Y | जी के लिए = जी<sub>0</sub>(और न {{math|Γ(''N'')}}, रिक्त स्थान G\'H' और G\'H'<sup>∗</sup> को Y<sub>0</sub> से और एक्स<sub>0</sub>(एन) और वाई (एन), एक्स (एन) दर्शाया गया है। | ||
G\'H' की ज्यामिति<sup>∗</sup> को G के लिए [[मौलिक डोमेन]] का अध्ययन करके समझा जा सकता है, | G\'H' की ज्यामिति<sup>∗</sup> को G के लिए [[मौलिक डोमेन|मौलिक क्षेत्र]] का अध्ययन करके समझा जा सकता है, अर्थात उपसमुच्चय D ⊂ 'H' जैसे कि D, की प्रत्येक कक्षा को काटता है {{mvar|G}}-H पर ठीक एक बार क्रिया और इस प्रकार कि ''D'' का बंद होना सभी कक्षाओं से मिलता है। उदाहरण के लिए, ''G''\H का [[जीनस (गणित)|जीनस]] की गणना की जा सकती है।<ref>{{Citation | last1=Gunning | first1=Robert C. | title=Lectures on modular forms | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | year=1962 | volume=48}}, p. 13</ref> | ||
=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
के लिए एक मॉड्यूलर रूप G भार k का 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है {{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर पूर्णसममितिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. भार के मॉड्यूलर और पुच्छल रूपों के सी-वेक्टर रिक्त स्थान '' k '' को निरूपित किया जाता है {{math|''M<sub>k</sub>''(''G'')}} और {{math|''S<sub>k</sub>''(''G'')}}, क्रमश। इसी तरह, G\'H' पर एक मेरोमोर्फिक फलन<sup>∗</sup> के लिए एक मॉड्यूलर फलन कहा जाता है {{mvar|G}}. जी = जी के मामले में<sub>0</sub>(एन), उन्हें मॉड्यूलर / पुच्छल रूपों और स्तर एन के कार्यों के रूप में भी जाना जाता है {{math|''G'' {{=}} Γ(1) {{=}} SL(2, '''Z''')}}, यह पूर्वोक्त परिभाषा को वापस देता है। | |||
=== परिणाम === | === परिणाम === | ||
| Line 135: | Line 136: | ||
\left\lfloor k/12 \right\rfloor + 1 & \text{otherwise} | \left\lfloor k/12 \right\rfloor + 1 & \text{otherwise} | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
जहाँ <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> [[फर्श समारोह|फर्श फलन]] को दर्शाता है और <math>k</math> सम है। | |||
मॉड्यूलर फ़ंक्शंस रीमैन सतह के बीजगणितीय विविधता के फलन फ़ील्ड का गठन करते हैं, और इसलिए [[श्रेष्ठता की डिग्री]] वन (ओवर सी) का एक क्षेत्र बनाते हैं। यदि एक मॉड्यूलर फलन "एफ" समान रूप से 0 नहीं है, तो यह दिखाया जा सकता है कि "एफ" के शून्य की संख्या "एफ" के [[पोल (जटिल विश्लेषण)]] की संख्या के बराबर है। मूलभूत क्षेत्र ''आर'' का [[समापन (गणित)]] | मॉड्यूलर फ़ंक्शंस रीमैन सतह के बीजगणितीय विविधता के फलन फ़ील्ड का गठन करते हैं, और इसलिए [[श्रेष्ठता की डिग्री]] वन (ओवर सी) का एक क्षेत्र बनाते हैं। यदि एक मॉड्यूलर फलन "एफ" समान रूप से 0 नहीं है, तो यह दिखाया जा सकता है कि "एफ" के शून्य की संख्या "एफ" के [[पोल (जटिल विश्लेषण)|ध्रुव]] की संख्या के बराबर है। मूलभूत क्षेत्र ''आर<sub>Γ</sub>'' का [[समापन (गणित)|समापन]] यह दिखाया जा सकता है कि स्तर N (N ≥ 1) के मॉड्यूलर फलन का क्षेत्र फलन j(z) और j(Nz) द्वारा उत्पन्न होता है।<ref>{{Citation |last=Milne |first=James |title=Modular Functions and Modular Forms |url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/MF.pdf#page=88 |year=2010 |page=88 }}, Theorem 6.1.</ref> | ||
=== लाइन बंडल === | === लाइन बंडल === | ||
उस स्थिति की तुलना लाभप्रद रूप से की जा सकती है जो [[ प्रक्षेपण स्थान ]] P(V) पर | उस स्थिति की तुलना लाभप्रद रूप से की जा सकती है जो [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपण स्थान]] P(V) पर फलन की खोज में उत्पन्न होती है: उस समुच्चयिंग में, कोई व्यक्ति सदिश समष्टि V पर फलन F को आदर्श रूप से पसंद करेगा जो v ≠ 0 के निर्देशांक में बहुपद हैं V और सभी गैर-शून्य c के लिए समीकरण F(cv) = F(v) को संतुष्ट करें। दुर्भाग्य से, केवल ऐसे कार्य स्थिरांक हैं। यदि हम भाजक (बहुपद के बजाय तर्कसंगत कार्य) की अनुमति देते हैं, तो हम एफ को एक ही डिग्री के दो सजातीय कार्य बहुपदों का अनुपात मान सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, हम बहुपदों के साथ बने रह सकते हैं और c पर निर्भरता को ढीला कर सकते हैं, F(cv) = c दे सकते हैं<sup>. समाधान तब डिग्री के सजातीय बहुपद हैं {{mvar|k}}. एक ओर, ये प्रत्येक k के लिए एक परिमित आयामी सदिश स्थान बनाते हैं, और दूसरी ओर, यदि हम k को भिन्न होने देते हैं, तो हम सभी परिमेय कार्यों के निर्माण के लिए अंश और हर का पता लगा सकते हैं जो वास्तव में अंतर्निहित प्रक्षेप्य स्थान P पर कार्य करते हैं। | ||
कोई पूछ सकता है, चूंकि सजातीय बहुपद वास्तव में पी (वी) पर कार्य नहीं करते हैं, वे ज्यामितीय रूप से क्या बोल रहे हैं? [[बीजगणितीय ज्यामिति]] | बीजगणितीय-ज्यामितीय उत्तर यह है कि वे एक [[शीफ (गणित)]] के खंड हैं (इस मामले में कोई [[वेक्टर बंडल]] भी कह सकता है)। मॉड्यूलर रूपों के साथ स्थिति बिल्कुल समान है। | कोई पूछ सकता है, चूंकि सजातीय बहुपद वास्तव में पी (वी) पर कार्य नहीं करते हैं, वे ज्यामितीय रूप से क्या बोल रहे हैं? [[बीजगणितीय ज्यामिति]] | बीजगणितीय-ज्यामितीय उत्तर यह है कि वे एक [[शीफ (गणित)]] के खंड हैं (इस मामले में कोई [[वेक्टर बंडल]] भी कह सकता है)। मॉड्यूलर रूपों के साथ स्थिति बिल्कुल समान है। | ||
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इस ज्यामितीय दिशा से मॉड्यूलर रूपों को भी लाभप्रद रूप से संपर्क किया जा सकता है, क्योंकि अण्डाकार वक्रों के मापांक स्थान पर लाइन बंडलों के खंड होते हैं। | इस ज्यामितीय दिशा से मॉड्यूलर रूपों को भी लाभप्रद रूप से संपर्क किया जा सकता है, क्योंकि अण्डाकार वक्रों के मापांक स्थान पर लाइन बंडलों के खंड होते हैं। | ||
== मॉड्यूलर रूपों के | == मॉड्यूलर रूपों के चक्र == | ||