परिचालन गणना: Difference between revisions

Latest revision as of 12:11, 22 June 2023

सामान्यतः परिचालन गणना, जिसे परिचालन विश्लेषण के रूप में भी जाना जाता है। यह ऐसी विधि होती है, जिसके द्वारा गणितीय विश्लेषण की समस्याएँ, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, बीजगणितीय समस्याओं में परिवर्तित कर दी जाती हैं। इस प्रकार सामान्यतः बहुपद समीकरण को हल करने की समस्या होती है।

इतिहास

परिचालन के रूप में गणना, विभेदन और एकीकरण की प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने के विचार का लंबा इतिहास है, जो गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज तक जाता है। इस प्रकार गणितज्ञ लुइस फ़्राँस्वा एंटोनी अर्बोगैस्ट इन प्रतीकों को उस कार्य से स्वतंत्र रूप से हेरफेर करने वाले पहले लोगों में से थे, जिस पर उन्हें प्रयुक्त किया गया था।^[1]

इस दृष्टिकोण को फ्रेंकोइस-जोसेफ सर्वोइस द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने सुविधाजनक अंकन विकसित किए थे।^[2] इस प्रकार सर्वोइस के पश्चात् ब्रिटिश और आयरिश गणितज्ञों का स्कूल आया था, जिसमें चार्ल्स जेम्स हारग्रेव, जॉर्ज बूले, बोनिन, कारमाइकल, डौकिन, ग्रेव्स, मर्फी, विलियम स्पोटिसवोडे और सिल्वेस्टर सम्मिलित होते थे।

सामान्यतः सन्न 1855 में रॉबर्ट बेल कारमाइकल द्वारा और सन्न 1859 में बोले द्वारा साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के लिए ऑपरेटर विधियों के अनुप्रयोग का वर्णन करने वाले ग्रंथ लिखे गए थे।^[3]^[4]

इस प्रकार टेलीग्राफी में अपने कार्य के सिलसिले में इस विधि को सन्न 1893 में भौतिक विज्ञानी ओलिवर हीविसाइड द्वारा पूर्ण प्रकार से विकसित किया गया था।

अपने परिपथ अध्ययन के पीछे अंतर्ज्ञान और भौतिकी पर उनके ज्ञान के धन से अधिक निर्देशित, [हेविसाइड] ने परिचालन गणना को विकसित किया था, जो अब उनके नाम पर है।^[5]

उस समय, हीविसाइड की विधिया कठोर नहीं थी और उनका कार्य गणितज्ञों द्वारा और विकसित नहीं किया गया था। इस प्रकार सन्न 1910 के पश्चात्, अर्न्स्ट जूलियस बर्ग, जॉन रेनशॉ कार्सन और वन्नेवर बुश के आवेग के अनुसार, परिचालन गणना ने सबसे पहले विद्युत अभियन्त्रण समस्याओं में अनुप्रयोगों की खोज की थी।

हीविसाइड के परिचालन विधियों का कठोर गणितीय औचित्य ब्रोमविच के कार्य के पश्चात् ही आया था। जो लाप्लास परिवर्तन की विधि के साथ संबंधित परिचालन गणना थी (विस्तृत विवरण के लिए जेफरीज़, कार्सलॉ या मैकलाचलन द्वारा पुस्तकें देखें)। अतः सन्न 1920 के दशक के मध्य में अभिन्न समीकरण विधि (कार्सन द्वारा किया गया) या फूरियर रूपांतरण (जैसा कि नॉर्बर्ट वीनर द्वारा किया गया) का उपयोग करके हीविसाइड के परिचालन की विधियों को सही ठहराने की अन्य विधि प्रस्तुत की गयी थी।

सन्न 1930 के दशक में पोलिश गणितज्ञ जान मिकुसिन्स्की द्वारा बीजगणितीय तर्क का उपयोग करते हुए परिचालन गणना के लिए भिन्न दृष्टिकोण विकसित किया गया था।

इस प्रकार नॉर्बर्ट वीनर ने सन्न 1926 में परिचालन गणना की अस्तित्वगत स्थिति की अपनी समीक्षा में ऑपरेटर सिद्धांत की नींव रखी थी।^[6]

हीविसाइड का शानदार कार्य विशुद्ध रूप से अनुमानी होता है। यहां तक कि गणितीय कठोरता के ढोंग से भी रहित होता है। इसके संचालक विद्युत वोल्टेज और धाराओं पर प्रयुक्त होते हैं, जो बंद हो सकते हैं और निश्चित रूप से विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पसंदीदा कॉर्पस विले जिस पर वह अपने ऑपरेटरों का प्रयास करता है। वह हैवीसाइड स्टेप फलन है जो मूल के बाईं ओर विलुप्त हो जाता है और दाईं ओर 1 होता है। इस प्रकार यह पिंचरले की विधियों के किसी भी प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को बाहर करता है ...

यद्यपि हीविसाइड के विकास को ऑपरेटरों के विशुद्ध गणितीय सिद्धांत की वर्तमान स्थिति द्वारा उचित नहीं ठहराया गया है, किन्तु हम उनकी वैधता के प्रायोगिक साक्ष्य कह सकते हैं और वह विद्युत इंजीनियरों के लिए अधिक मूल्यवान होता हैं। चूंकि, यह ऐसी स्थिति होती हैं जहां वह अस्पष्ट या विरोधाभासी परिणाम देते हैं।

सिद्धांत

परिचालन गणना का प्रमुख तत्व समय व्युत्पन्न को संकारक (गणित) p =d/dt के रूप में मानता है और फलन (गणित) पर कार्य करता है। इस प्रकार फिर रेखीय अंतर समीकरणों को ज्ञात फलन के समान्तर अज्ञात फलन पर कार्यरत ऑपरेटर p का "फलन" $F (p)$ के रूप में फिर से तैयार किया जा सकता है। यहाँ, $F$ कुछ ऐसा परिभाषित कर रहा है, जो ऑपरेटर p लेता है और दूसरा ऑपरेटर $F (p)$ देता है। चूँकि $F$ के व्युत्क्रम संकारक को ज्ञात फलन पर कार्य करके समाधान प्राप्त किया जाता है। अतः संक्रियात्मक गणना सामान्यतः दो प्रतीकों, संचालिका p और हीविसाइड चरण फलन 1 द्वारा प्ररूपित किया जाता है। इसके प्रयोग में संकारक संभवतः भौतिक की तुलना में अधिक गणितीय होता है, जिससे कि इकाई कार्य गणितीय की तुलना में अधिक भौतिक होता है। इस प्रकार हीविसाइड गणना में ऑपरेटर p=d/dt प्रारंभ में समय विभेदक का प्रतिनिधित्व करना होता है। इसके अतिरिक्त, यह वांछित होता है कि यह ऑपरेटर पारस्परिक संबंध रखता है जैसे कि p⁻¹ एकीकरण के संचालन को दर्शाता है।^[5]

विद्युत परिपथ सिद्धांत में, आवेग के लिए विद्युत परिपथ की प्रतिक्रिया निर्धारित करने का प्रयास किया जाता है। इस प्रकार रैखिकता के कारण, इकाई कदम पर विचार करना पर्याप्त होता है।

हेविसाइड कदम फलन:

H (t)

जैसे कि H(t) = 0 यदि t < 0 और H(t) = 1 यदि t > 0

परिचालन गणना के अनुप्रयोग का सबसे सरल उदाहरण हल करना होता है। $p y = H (t)$ जो देता है,

y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\,du=t\ H(t)

.

इस उदाहरण से, कोई $\operatorname {p} ^{-1}$ यह देखता है। इस प्रकार अभिन्न का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अतिरिक्त $n$ पुनरावृत्त एकीकरण $\operatorname {p} ^{-n},$ द्वारा दर्शाया गया है। जिससे कि

p^{- n} H (t) = \frac{t^{n}}{n}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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-<nowiki>{{Short description|Technique to solve differential equations}संक्रियात्मक कलन, जिसे संक्रियात्मक विश्लेषण के रूप में भी जाना जाता है, ऐसी तकनीक है जिसके द्वारा </nowiki>[[गणितीय विश्लेषण]] की समस्याएँ, विशेष अवकल समीकरणों में, बीजगणितीय समस्याओं में बदल दी जाती हैं, आमतौर पर [[बहुपद समीकरण]] को हल करने की समस्या।
+सामान्यतः '''परिचालन गणना''', जिसे '''परिचालन विश्लेषण''' के रूप में भी जाना जाता है। यह ऐसी विधि होती है, जिसके द्वारा [[गणितीय विश्लेषण]] की समस्याएँ, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, बीजगणितीय समस्याओं में परिवर्तित कर दी जाती हैं। इस प्रकार सामान्यतः [[बहुपद समीकरण]] को हल करने की समस्या होती है।
 == इतिहास ==
-ऑपरेटर्स के रूप में कलन, विभेदन और एकीकरण की प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने का विचार
+परिचालन के रूप में गणना, विभेदन और एकीकरण की प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने के विचार का लंबा इतिहास है, जो [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] तक जाता है। इस प्रकार गणितज्ञ लुइस फ़्राँस्वा एंटोनी अर्बोगैस्ट इन प्रतीकों को उस कार्य से स्वतंत्र रूप से हेरफेर करने वाले पहले लोगों में से थे, जिस पर उन्हें प्रयुक्त किया गया था।<ref>[[Louis Arbogast]] (1800) [https://books.google.com/books?id=YoPq8uCy5Y8C Du Calcul des Derivations], link from [[Google Books]]</ref>
-का लंबा इतिहास है जो [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] तक जाता है। गणितज्ञ लुइस फ़्राँस्वा एंटोनी अर्बोगैस्ट इन प्रतीकों को उस कार्य से स्वतंत्र रूप से हेरफेर करने वाले पहले लोगों में से थे, जिस पर उन्हें लागू किया गया था।<ref>[[Louis Arbogast]] (1800) [https://books.google.com/books?id=YoPq8uCy5Y8C Du Calcul des Derivations], link from [[Google Books]]</ref>
-इस दृष्टिकोण को [[फ्रांकस-जोसेफ सर्ब]] द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने सुविधाजनक अंकन विकसित किए थे।<ref>[[Francois-Joseph Servois]] (1814)  [http://www.numdam.org/item?id=AMPA_1814-1815__5__93_0 Analise Transcendante. Essai sur unNouveu Mode d'Exposition des Principes der Calcul Differential], [[Annales de Gergonne]] 5: 93–140</ref> सर्वोइस के बाद ब्रिटिश और आयरिश गणितज्ञों का स्कूल आया जिसमें [[चार्ल्स जेम्स हारग्रेव]], [[जॉर्ज बूले]], बोनिन, कारमाइकल, डौकिन, ग्रेव्स, मर्फी, [[विलियम स्पोटिसवोड]]े और सिल्वेस्टर शामिल थे।
-में रॉबर्ट बेल कारमाइकल द्वारा साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के लिए ऑपरेटर विधियों के अनुप्रयोग का वर्णन करने वाले ग्रंथ लिखे गए थे।<ref>Robert Bell Carmichael (1855) [https://books.google.com/books?id=f1ADAAAAQAAJ&q=Carmichael  A treatise on the calculus of operations], Longman, link from Google Books</ref> और बोले द्वारा 1859 में।<ref>[[George Boole]] (1859) [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433087572909;view=1up;seq=395 A Treatise on Differential Equations], chapters 16 &17: Symbolical methods, link from [[HathiTrust]]</ref>
+इस दृष्टिकोण को [[फ्रांकस-जोसेफ सर्ब|फ्रेंकोइस-जोसेफ सर्वोइस]] द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने सुविधाजनक अंकन विकसित किए थे।<ref>[[Francois-Joseph Servois]] (1814)  [http://www.numdam.org/item?id=AMPA_1814-1815__5__93_0 Analise Transcendante. Essai sur unNouveu Mode d'Exposition des Principes der Calcul Differential], [[Annales de Gergonne]] 5: 93–140</ref> इस प्रकार सर्वोइस के पश्चात् ब्रिटिश और आयरिश गणितज्ञों का स्कूल आया था, जिसमें [[चार्ल्स जेम्स हारग्रेव]], [[जॉर्ज बूले]], बोनिन, कारमाइकल, डौकिन, ग्रेव्स, मर्फी, [[विलियम स्पोटिसवोड|विलियम स्पोटिसवोडे]] और सिल्वेस्टर सम्मिलित होते थे।
-[[टेलीग्राफी]] में अपने काम के सिलसिले में इस तकनीक को 1893 में भौतिक विज्ञानी [[ओलिवर हीविसाइड]] द्वारा पूरी तरह से विकसित किया गया था।
-: उनके सर्किट अध्ययन के पीछे अंतर्ज्ञान और भौतिकी पर उनके ज्ञान के धन से बहुत निर्देशित, [हेविसाइड] ने परिचालन कलन को विकसित किया जो अब उनके नाम पर है।<ref name=Rob35>B. L. Robertson (1935) [http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5056864 Operational Method of Circuit Analysis],  [[Transactions of the American Institute of Electrical Engineers]] 54(10):1035–45, link from [[IEEE Explore]]</ref>
-उस समय, हीविसाइड के तरीके कठोर नहीं थे, और उनका काम गणितज्ञों द्वारा और विकसित नहीं किया गया था।
-ऑपरेशनल कैलकुलस ने सबसे पहले [[ विद्युत अभियन्त्रण |विद्युत अभियन्त्रण]] समस्याओं में अनुप्रयोगों की खोज की, के लिए
-के बाद, [[अर्न्स्ट जूलियस बर्ग]], [[जॉन रेनशॉ कार्सन]] और [[वन्नेवर बुश]] के आवेग के तहत [[रैखिक सर्किट]] में यात्रियों की गणना।
-हीविसाइड के परिचालन तरीकों का कठोर गणितीय औचित्य केवल आया
+सामान्यतः सन्न 1855 में रॉबर्ट बेल कारमाइकल द्वारा और सन्न 1859 में बोले द्वारा साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के लिए ऑपरेटर विधियों के अनुप्रयोग का वर्णन करने वाले ग्रंथ लिखे गए थे।<ref>Robert Bell Carmichael (1855) [https://books.google.com/books?id=f1ADAAAAQAAJ&q=Carmichael A treatise on the calculus of operations], Longman, link from Google Books</ref><ref>[[George Boole]] (1859) [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433087572909;view=1up;seq=395 A Treatise on Differential Equations], chapters 16 &17: Symbolical methods, link from [[HathiTrust]]</ref>
-थॉमस जॉन आई'अनसन ब्रोमविच के काम के बाद जो संक्रियात्मक कलन से संबंधित था
-लाप्लास परिवर्तन के तरीके (विस्तृत विवरण के लिए जेफरीज़, कार्सलॉ या मैकलाचलन द्वारा पुस्तकें देखें)।
-के दशक के मध्य में हीविसाइड के संचालन के तरीकों को सही ठहराने के अन्य तरीके पेश किए गए थे
-[[अभिन्न समीकरण]] तकनीक (जैसा कि कार्सन द्वारा किया गया) या [[फूरियर रूपांतरण]] (जैसा कि [[नॉर्बर्ट वीनर]] द्वारा किया गया)।
-के दशक में पोलिश गणितज्ञ द्वारा परिचालन कलन के लिए अलग दृष्टिकोण विकसित किया गया था
+इस प्रकार [[टेलीग्राफी]] में अपने कार्य के सिलसिले में इस विधि को सन्न 1893 में भौतिक विज्ञानी [[ओलिवर हीविसाइड]] द्वारा पूर्ण प्रकार से विकसित किया गया था।
-जन मिकुसिन्स्की, बीजगणितीय तर्क का उपयोग करते हुए।
+: अपने परिपथ अध्ययन के पीछे अंतर्ज्ञान और भौतिकी पर उनके ज्ञान के धन से अधिक निर्देशित, [हेविसाइड] ने परिचालन गणना को विकसित किया था, जो अब उनके नाम पर है।<ref name="Rob35">B. L. Robertson (1935) [http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5056864 Operational Method of Circuit Analysis],  [[Transactions of the American Institute of Electrical Engineers]] 54(10):1035–45, link from [[IEEE Explore]]</ref>
+उस समय, हीविसाइड की विधिया कठोर नहीं थी और उनका कार्य गणितज्ञों द्वारा और विकसित नहीं किया गया था। इस प्रकार सन्न 1910 के पश्चात्, [[अर्न्स्ट जूलियस बर्ग]], [[जॉन रेनशॉ कार्सन]] और [[वन्नेवर बुश]] के आवेग के अनुसार, परिचालन गणना ने सबसे पहले [[ विद्युत अभियन्त्रण |विद्युत अभियन्त्रण]] समस्याओं में अनुप्रयोगों की खोज की थी।
-नॉर्बर्ट वीनर ने 1926 में ऑपरेशनल कैलकुलस की अस्तित्वगत स्थिति की अपनी समीक्षा में [[ऑपरेटर सिद्धांत]] की नींव रखी:<ref>[[Norbert Wiener]] (1926) [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN235181684_0095&DMDID=DMDLOG_0036 The Operational Calculus], [[Mathematische Annalen]] 95:557 , link from Göttingen Digitalisierungszentrum</ref>
+हीविसाइड के परिचालन विधियों का कठोर गणितीय औचित्य ब्रोमविच के कार्य के पश्चात् ही आया था। जो लाप्लास परिवर्तन की विधि के साथ संबंधित परिचालन गणना थी (विस्तृत विवरण के लिए जेफरीज़, कार्सलॉ या मैकलाचलन द्वारा पुस्तकें देखें)। अतः सन्न 1920 के दशक के मध्य में अभिन्न समीकरण विधि (कार्सन द्वारा किया गया) या [[फूरियर रूपांतरण]] (जैसा कि [[नॉर्बर्ट वीनर]] द्वारा किया गया) का उपयोग करके हीविसाइड के परिचालन की विधियों को सही ठहराने की अन्य विधि प्रस्तुत की गयी थी।
-: हीविसाइड का शानदार काम विशुद्ध रूप से अनुमानी है, यहां तक कि गणितीय कठोरता के ढोंग से भी रहित है। इसके संचालक विद्युत वोल्टेज और धाराओं पर लागू होते हैं, जो बंद हो सकते हैं और निश्चित रूप से विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पसंदीदा कॉर्पस विले जिस पर वह अपने ऑपरेटरों की कोशिश करता है वह [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन]] है जो मूल के बाईं ओर गायब हो जाता है और दाईं ओर 1 है। यह Pincherle की विधियों के किसी भी प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को बाहर करता है ...
-: यद्यपि हीविसाइड के विकास को ऑपरेटरों के विशुद्ध गणितीय सिद्धांत की वर्तमान स्थिति द्वारा उचित नहीं ठहराया गया है, लेकिन हम उनकी वैधता के प्रायोगिक साक्ष्य कह सकते हैं, और वे [[विद्युत इंजीनियर]]ों के लिए बहुत मूल्यवान हैं। हालांकि, ऐसे मामले हैं जहां वे अस्पष्ट या विरोधाभासी परिणाम देते हैं।
+सन्न 1930 के दशक में पोलिश गणितज्ञ जान मिकुसिन्स्की द्वारा बीजगणितीय तर्क का उपयोग करते हुए परिचालन गणना के लिए भिन्न दृष्टिकोण विकसित किया गया था।
+इस प्रकार नॉर्बर्ट वीनर ने सन्न 1926 में परिचालन गणना की अस्तित्वगत स्थिति की अपनी समीक्षा में [[ऑपरेटर सिद्धांत]] की नींव रखी थी।<ref>[[Norbert Wiener]] (1926) [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN235181684_0095&DMDID=DMDLOG_0036 The Operational Calculus], [[Mathematische Annalen]] 95:557 , link from Göttingen Digitalisierungszentrum</ref>
+: हीविसाइड का शानदार कार्य विशुद्ध रूप से अनुमानी होता है। यहां तक कि गणितीय कठोरता के ढोंग से भी रहित होता है। इसके संचालक विद्युत वोल्टेज और धाराओं पर प्रयुक्त होते हैं, जो बंद हो सकते हैं और निश्चित रूप से विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पसंदीदा कॉर्पस विले जिस पर वह अपने ऑपरेटरों का प्रयास करता है। वह [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड स्टेप फलन]] है जो मूल के बाईं ओर विलुप्त हो जाता है और दाईं ओर 1 होता है। इस प्रकार यह पिंचरले की विधियों के किसी भी प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को बाहर करता है ...
+: यद्यपि हीविसाइड के विकास को ऑपरेटरों के विशुद्ध गणितीय सिद्धांत की वर्तमान स्थिति द्वारा उचित नहीं ठहराया गया है, किन्तु हम उनकी वैधता के प्रायोगिक साक्ष्य कह सकते हैं और वह [[विद्युत इंजीनियर|विद्युत इंजीनियरों]] के लिए अधिक मूल्यवान होता हैं। चूंकि, यह ऐसी स्थिति होती हैं जहां वह अस्पष्ट या विरोधाभासी परिणाम देते हैं।
 == सिद्धांत ==
-संक्रियात्मक कलन का प्रमुख तत्व [[समय व्युत्पन्न]] को संकारक (गणित) p = के रूप में मानना है {{sfrac|d|d''t''}} फ़ंक्शन (गणित) पर कार्य करना। फिर रेखीय अवकल समीकरणों को फलनों के रूप में फिर से ढाला जा सकता है {{math|''F''(p)}ज्ञात फ़ंक्शन के बराबर अज्ञात फ़ंक्शन पर कार्यरत ऑपरेटर p का }। यहाँ, {{math|''F''}} कुछ ऐसा परिभाषित कर रहा है जो ऑपरेटर पी लेता है और दूसरा ऑपरेटर देता है {{math|''F''(p)}}.
+परिचालन गणना का प्रमुख तत्व [[समय व्युत्पन्न]] को संकारक (गणित) p ={{sfrac|d|d''t''}} के रूप में मानता है और फलन (गणित) पर कार्य करता है। इस प्रकार फिर रेखीय अंतर समीकरणों को ज्ञात फलन के समान्तर अज्ञात फलन पर कार्यरत ऑपरेटर p का "फलन" {{math|''F''(p)}} के रूप में फिर से तैयार किया जा सकता है। यहाँ, {{math|''F''}} कुछ ऐसा परिभाषित कर रहा है, जो ऑपरेटर p लेता है और दूसरा ऑपरेटर {{math|''F''(p)}} देता है। चूँकि {{mvar|F}} के व्युत्क्रम संकारक को ज्ञात फलन पर कार्य करके समाधान प्राप्त किया जाता है। अतः संक्रियात्मक गणना सामान्यतः दो प्रतीकों, संचालिका p और हीविसाइड चरण फलन 1 द्वारा प्ररूपित किया जाता है। इसके प्रयोग में संकारक संभवतः भौतिक की तुलना में अधिक गणितीय होता है, जिससे कि इकाई कार्य गणितीय की तुलना में अधिक भौतिक होता है। इस प्रकार हीविसाइड गणना में ऑपरेटर p={{sfrac|d|d''t''}} प्रारंभ में समय विभेदक का प्रतिनिधित्व करना होता है। इसके अतिरिक्त, यह वांछित होता है कि यह ऑपरेटर पारस्परिक संबंध रखता है जैसे कि p{{sup|&minus;1}} एकीकरण के संचालन को दर्शाता है।<ref name=Rob35/>
-तब का व्युत्क्रम संकारक बनाकर समाधान प्राप्त किए जाते हैं {{mvar|F}} ज्ञात कार्य पर कार्य करें। संक्रियात्मक कलन आम तौर पर दो प्रतीकों, संचालिका p, और हीविसाइड चरण फलन 1 द्वारा प्ररूपित किया जाता है। इसके प्रयोग में संकारक संभवतः भौतिक की तुलना में अधिक गणितीय है, इकाई कार्य गणितीय की तुलना में अधिक भौतिक है। हीविसाइड कैलकुस में ऑपरेटर पी प्रारंभ में समय विभेदक का प्रतिनिधित्व करना है {{sfrac|d|d''t''}}. इसके अलावा, यह वांछित है कि यह ऑपरेटर पारस्परिक संबंध रखता है जैसे कि पी{{sup|&minus;1}} एकीकरण के संचालन को दर्शाता है।<ref name=Rob35/>
-विद्युत परिपथ सिद्धांत में, आवेग के लिए विद्युत परिपथ की प्रतिक्रिया निर्धारित करने का प्रयास किया जाता है। रैखिकता के कारण, इकाई कदम पर विचार करना पर्याप्त है:
+विद्युत परिपथ सिद्धांत में, आवेग के लिए विद्युत परिपथ की प्रतिक्रिया निर्धारित करने का प्रयास किया जाता है। इस प्रकार रैखिकता के कारण, '''इकाई कदम''' पर विचार करना पर्याप्त होता है।
-: हेविसाइड स्टेप फंक्शन: {{math|''H''(''t'')}} जैसे कि H(t) = 0 यदि t < 0 और H(t) = 1 यदि t > 0।
+: हेविसाइड कदम फलन: {{math|''H''(''t'')}} जैसे कि H(t) = 0 यदि t < 0 और H(t) = 1 यदि t > 0
-परिचालन कलन के अनुप्रयोग का सबसे सरल उदाहरण हल करना है: {{math|1=p ''y'' = ''H''(''t'')}}, जो देता है
+परिचालन गणना के अनुप्रयोग का सबसे सरल उदाहरण हल करना होता है। {{math|1=p ''y'' = ''H''(''t'')}} जो देता है,
 :<math>y = \operatorname{p}^{-1} H = \int_0^t H(u) \, du = t\ H(t)</math>.
-इस उदाहरण से, कोई यह देखता है <math>\operatorname{p}^{-1}</math> [[अभिन्न]] का प्रतिनिधित्व करता है। आगे {{mvar|n}} पुनरावृत्त एकीकरण द्वारा दर्शाया गया है <math>\operatorname{p}^{-n},</math> ताकि
+इस उदाहरण से, कोई <math>\operatorname{p}^{-1}</math> यह देखता है। इस प्रकार [[अभिन्न]] का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अतिरिक्त {{mvar|n}} पुनरावृत्त एकीकरण <math>\operatorname{p}^{-n},</math> द्वारा दर्शाया गया है। जिससे कि
 :<math>\operatorname{p}^{-n} H(t) = \frac{t^n}{n!} H(t).</math>
-पी का इलाज करना जारी रखना जैसे कि यह चर था,
+सामान्यतः p का इलाज करना जारी रखा जाता है। जैसे कि यह चर होता था।
-:<math>\frac{\operatorname{p}}{\operatorname{p}-a }H(t)=\frac{1}{1 - \frac{a}{\operatorname{p}}}\ H(t),</math> जिसे ज्यामितीय श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है,
+:<math>\frac{\operatorname{p}}{\operatorname{p}-a }H(t)=\frac{1}{1 - \frac{a}{\operatorname{p}}}\ H(t),</math> जिसे ज्यामितीय श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके पुनः लिखा जा सकता है।
 <math display="block">\frac{1}{1-\frac{a}{\operatorname{p}}}H(t)=\sum_{n=0}^\infty a^n \operatorname{p}^{-n} H(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n t^n}{n!} H(t)=e^{at} H(t).</math>
-[[आंशिक अंश]] अपघटन का उपयोग करके, ऑपरेटर पी में किसी भी अंश को परिभाषित किया जा सकता है और इसकी क्रिया की गणना की जा सकती है {{math|''H''(''t'')}}.
+इस प्रकार [[आंशिक अंश]] अपघटन का उपयोग करके ऑपरेटर p में किसी भी अंश को परिभाषित किया जा सकता है और इसकी क्रिया {{math|''H''(''t'')}} की गणना की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, यदि फलन 1/F(p) के रूप का श्रृंखला विस्तार होता है।
-इसके अलावा, यदि फलन 1/F(p) के रूप का श्रृंखला विस्तार है
 :<math>\frac{1}{\ F(\operatorname{p})\ }= \sum_{n=0}^\infty a_n \operatorname{p}^{-n},</math>
-इसे खोजना आसान है
+इसे खोजना सरल होता है।
 :<math>\frac{1}{ F(\operatorname{p})} H(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{t^n}{n!} H(t). </math>
-इस नियम को लागू करते हुए, किसी भी रेखीय अवकल समीकरण को हल करना विशुद्ध रूप से बीजगणितीय समस्या में बदल जाता है।
+इस नियम को प्रयुक्त करते हुए किसी भी रेखीय अवकल समीकरण को हल करना विशुद्ध रूप से बीजगणितीय समस्या में परिवर्तित किया जाता है।
-हीविसाइड आगे चला गया, और पी की भिन्नात्मक शक्ति को परिभाषित किया, इस प्रकार परिचालन कलन और भिन्नात्मक कलन के बीच संबंध स्थापित किया।
+हीविसाइड आगे चला गया और p की भिन्नात्मक शक्ति को परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार परिचालन गणना और भिन्नात्मक गणना के मध्य संबंध स्थापित किया जाता है।
-[[ टेलर विस्तार | टेलर विस्तार]] का उपयोग करके, लैग्रेंज-बूले [[शिफ्ट ऑपरेटर]] को भी सत्यापित किया जा सकता है, {{math|1=''e''<sup>''a'' p</sup> ''f''(''t'') = ''f''(''t'' + ''a'')}}, इसलिए परिचालन
+सामान्यतः[[ टेलर विस्तार | टेलर विस्तार]] का उपयोग करके लैग्रेंज-बूले अनुवाद सूत्र, {{math|1=''e''<sup>''a'' p</sup> ''f''(''t'') = ''f''(''t'' + ''a'')}} [[शिफ्ट ऑपरेटर]] को भी सत्यापित किया जा सकता है, अतः परिचालन परिमित [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] और विलंबित संकेतों के साथ विद्युत इंजीनियरिंग समस्याओं पर भी प्रयुक्त होता है।
-कैलकुलस परिमित [[अंतर समीकरण]]ों और विलंबित संकेतों के साथ इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग समस्याओं पर भी लागू होता है।
 ==संदर्भ==

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