क्यूआर अपघटन: Difference between revisions
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0 & Q_k' | 0 & Q_k' | ||
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इस <math>t</math> प्रक्रिया पुनरावृत्तियों के बाद {{nowrap|<math>t = \min(m - 1, n)</math>,}} | इस <math>t</math> प्रक्रिया पुनरावृत्तियों के बाद {{nowrap|<math>t = \min(m - 1, n)</math>,}} | ||
:<math>R = Q_t \cdots Q_2 Q_1 A</math> | :<math>R = Q_t \cdots Q_2 Q_1 A</math> | ||
एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है। के साथ | एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है। के साथ | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Q^\textsf{T} &= Q_t \cdots Q_2 Q_1, \\ | Q^\textsf{T} &= Q_t \cdots Q_2 Q_1, \\ | ||
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<math>A = QR</math> <math>A</math> का एक QR अपघटन है। | <math>A = QR</math> <math>A</math> का एक QR अपघटन है। | ||
उपरोक्त ग्राम-श्मिट विधि की तुलना में इस पद्धति में [[संख्यात्मक स्थिरता]] अधिक है। | उपरोक्त ग्राम-श्मिट विधि की तुलना में इस पद्धति में [[संख्यात्मक स्थिरता]] अधिक है। | ||
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इन संख्याओं का योग करना {{nowrap|''n'' − 1}} चरण (आकार n के एक वर्ग आव्यूह के लिए) एल्गोरिथ्म की जटिलता (फ्लोटिंग पॉइंट गुणन के संदर्भ में) द्वारा दी गई है | इन संख्याओं का योग करना {{nowrap|''n'' − 1}} चरण (आकार n के एक वर्ग आव्यूह के लिए) एल्गोरिथ्म की जटिलता (फ्लोटिंग पॉइंट गुणन के संदर्भ में) द्वारा दी गई है | ||
:<math>\frac{2}{3}n^3 + n^2 + \frac{1}{3}n - 2 = O\left(n^3\right).</math> | :<math>\frac{2}{3}n^3 + n^2 + \frac{1}{3}n - 2 = O\left(n^3\right).</math> | ||
==== उदाहरण ==== | ==== उदाहरण ==== | ||
आइए हम के अपघटन की गणना करें | आइए हम के अपघटन की गणना करें | ||
: <math>A = \begin{bmatrix} | : <math>A = \begin{bmatrix} | ||
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वर्ग आव्यूह के निर्धारक को खोजने के लिए हम QR अपघटन का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए एक आव्यूह के<math>A = QR</math> रूप में विघटित है तो हमारे पास हैं | वर्ग आव्यूह के निर्धारक को खोजने के लिए हम QR अपघटन का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए एक आव्यूह के<math>A = QR</math> रूप में विघटित है तो हमारे पास हैं | ||
<math>det A = det Q det R.</math> | |||
det A = | |||
Q को इस प्रकार चुना जा सकता है कि det Q = 1 इस प्रकार, | Q को इस प्रकार चुना जा सकता है कि det Q = 1 इस प्रकार, | ||
<math>det A = det R = \Big|\prod_i r_{ii}\Big|</math> | |||
जहां <math>r_{ii}</math> के विकर्ण पर प्रविष्टियाँ हैं <math>R</math>. इसके अतिरिक्त क्योंकि निर्धारक आइजन वैल्यूज के उत्पाद के समान है हमारे पास है | जहां <math>r_{ii}</math> के विकर्ण पर प्रविष्टियाँ हैं <math>R</math>. इसके अतिरिक्त क्योंकि निर्धारक आइजन वैल्यूज के उत्पाद के समान है हमारे पास है | ||
<math> \Big|\prod_i r_{ii}\Big|= \Big|\prod_i \lambda_i\Big|.</math> | |||
जहां | जहां | ||
<math> \lambda_i</math>''A'' के आइगेनवैल्यू हैं | |||
हम गैर-वर्ग जटिल आव्यूह के लिए QR अपघटन की परिभाषा को प्रस्तुत करके और एकवचन मानो के साथ ईजेनवेल्यूज को बदलकर उपरोक्त गुणों को एक गैर-वर्ग जटिल आव्यूह <math>A</math> तक बढ़ा सकते हैं। | हम गैर-वर्ग जटिल आव्यूह के लिए QR अपघटन की परिभाषा को प्रस्तुत करके और एकवचन मानो के साथ ईजेनवेल्यूज को बदलकर उपरोक्त गुणों को एक गैर-वर्ग जटिल आव्यूह <math>A</math> तक बढ़ा सकते हैं। | ||
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जहाँ <math>0</math> शून्य आव्यूह को दर्शाता है और <math>Q</math> एकात्मक आव्यूह है। | जहाँ <math>0</math> शून्य आव्यूह को दर्शाता है और <math>Q</math> एकात्मक आव्यूह है। | ||
एकवचन मान अपघटन और एक आव्यूह के निर्धारक के गुणों से | एकवचन मान अपघटन और एक आव्यूह के निर्धारक के गुणों से हमारे पास है | ||
:<math>\Big|\prod_i r_{ii}\Big| = \prod_i\sigma_{i},</math> | :<math>\Big|\prod_i r_{ii}\Big| = \prod_i\sigma_{i},</math> | ||
जहां <math>\sigma_i</math> {{nowrap|<math>A</math>.}} के विलक्षण मान हैं | जहां <math>\sigma_i</math> {{nowrap|<math>A</math>.}} के विलक्षण मान हैं | ||
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Latest revision as of 15:59, 14 June 2023
रैखिक बीजगणित में, एक QR अपघटन, जिसे QR कारककरण या Q कारककरण के रूप में भी जाना जाता है, एक आव्यूह A का एक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह Q के उत्पाद (A = QR) और ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह R , QR अपघटन का एक अपघटन होता है। अधिकांशतः उपयोग किया जाता है रैखिक न्यूनतम वर्गों की समस्या को हल करने के लिए और एक विशेष आइगेनवैल्यू एल्गोरिथम, QR एल्गोरिदम का आधार है।
स्थिति और परिभाषाएँ
वर्ग आव्यूह
कोई भी वास्तविक वर्ग आव्यूह A को इस रूप में विघटित किया जा सकता है
जहां Q एक ओर्थोगोनल आव्यूह है (इसके स्तम्भ ऑर्थोगोनल इकाई सदिश हैं अर्थ ) और R एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है (जिसे सही त्रिकोणीय आव्यूह भी कहा जाता है)। यदि A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो गुणनखंड अद्वितीय है यदि हमें R के विकर्ण तत्वों को सकारात्मक होने की आवश्यकता है।
यदि इसके अतिरिक्त A एक जटिल वर्ग आव्यूह है, तो एक अपघटन A = QR है जहां Q एक एकात्मक आव्यूह है (इसलिए ).
यदि A में A रैखिक रूप से स्वतंत्र स्तम्भ हैं, तो Q के पहले n स्तम्भ A के स्तंभ स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। अधिक सामान्यतः Q के पहले के स्तम्भ A के पहले के स्तम्भ की अवधि के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं। कोई भी 1 ≤ k ≤ n तथ्य यह है[1] कि A का कोई भी स्तंभ k केवल Q के पहले k स्तंभों पर निर्भर करता है, जो R के त्रिकोणीय रूप से मेल खाता है। [1]
आयताकारआव्यूह
अधिक सामान्यतः हम m ≥ n के साथ एक जटिल m×n आव्यूह ए को कारक कर सकते हैं, m×m एकात्मक आव्यूह Q और एक m×n ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह R के उत्पाद के रूप में नीचे (m−n) पंक्तियों के रूप में एक m×n ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह में पूरी तरह से शून्य होते हैं, यह अधिकांशतः विभाजन R, या R और Q दोनों के लिए उपयोगी होता है:
जहां R1 एक n×n ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है, 0 एक है (m − n)×n शून्यआव्यूह, Q1 m×n, Q2 है m×(m − n), और Q1 और Q2 दोनों में ऑर्थोगोनल स्तम्भ हैं।
Golub & Van Loan (1996, §5.2) Q1R1 को A का पतला QR गुणनखंड कहते हैं; ट्रेफेथेन और बाउ इसे घटी हुई QR गुणनखंडन कहते हैं।[1] यदि A पूर्ण पद n का है और हमें आवश्यकता है कि R1 के विकर्ण तत्व सकारात्मक हैं तो R1 और Q1 अद्वितीय हैं, किन्तु सामान्यतः Q2 नहीं है। R1 तब A* A (= ATA यदि A वास्तविक है) के चोल्स्की अपघटन के ऊपरी त्रिकोणीय कारक के समान है।
QL, RQ और LQ अपघटन
अनुरूप रूप से, हम QL, RQ और LQ अपघटन को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें L एक निचला त्रिकोणीय आव्यूह है।
QR अपघटन की गणना
वास्तव में QR अपघटन की गणना करने के लिए कई विधि हैं, जैसे कि ग्राम-श्मिट प्रक्रिया हाउसहोल्डर रूपांतरण या गिवेंस घूर्णन के माध्यम से प्रत्येक के कई लाभ और हानि हैं।
ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग
पूर्ण स्तंभ पद आव्यूह के स्तंभों पर प्रयुक्त ग्राम-श्मिट प्रक्रिया पर विचार करें , आंतरिक उत्पाद के साथ (या जटिल स्थिति के लिए)।
सदिश प्रक्षेपण को परिभाषित करें:
तब: