स्टैक (गणित): Difference between revisions

वंश [[वंश सिद्धांत|सिद्धांत]] का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संयोज्य ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] पर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]]) को [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक]] आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है, ज्यादातर सामान्य संग्रह-अप में प्रतिबंधों को [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]] से बदल दिया जाता है तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा फ्रेम बनाती है। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक [[रेशेदार श्रेणी|तंतुमय श्रेणी]] है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए आवरण की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] है, इस प्रकार स्टैक को औपचारिक रूप से अन्य ''आधार'' श्रेणी पर एक तंतु श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार ग्रोथेंडिक सांस्थिति होती है जहां तंतु श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक सांस्थिति के संबंध में ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।

समूह फलन द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना ज्यादातर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्थिरिकारी हैं, तो योजनाओं के बीच [[श्रेणीबद्ध भागफल]] उपस्थित नहीं होगा लेकिन यह स्टैक के रूप में स्थित रहेगा।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी C पर '[[ prestack | प्रीस्टैक]] ' कहा जाता है यदि इसे c पर तंतु किया जाता है और c के किसी वस्तु u के लिए प्रतिबिंब u के साथ c की वस्तु x, y ओवर श्रेणी c/u से फ़ंक्टर संग्रहित करने के लिए F:V→U से (F*x,F*y) एक शीफ है। यह स्टैकों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स से अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं, कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय स्टैक के गुणों के रूप में आवश्यकता होती है।

डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक ''X'' है, जैसे कि एक योजना से ''X'' तक ईटेल अनुमान है, सामान्यतौर पर डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है।

बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे रूप के स्थानीय भागफल स्टैक हैं <math>[\text{Spec}(A)/G]</math> जहाँ <math>G</math> एक आसान बीजगणितीय समूह है। हाल ही में यह साबित हुआ कि<ref>{{Cite journal|last1=Alper|first1=Jarod|last2=Hall|first2=Jack|last3=Rydh|first3=David|date=2020|title=A Luna étale slice theorem for algebraic stacks|jstor=10.4007/annals.2020.191.3.1|journal=Annals of Mathematics|volume=191|issue=3|pages=675–738|doi=10.4007/annals.2020.191.3.1|issn=0003-486X|hdl=10150/641331|s2cid=3225788|hdl-access=free}}</ref> एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय स्टैक <math>\mathfrak{X}</math> बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार <math>k</math> जिनके स्थिरिकारी एफ़िन हैं और <math>x \in \mathfrak{X}(k)</math> रैखिक रूप से आसान स्थिरिकारी समूह के साथ एक चिकना और संवृत बिंदु <math>G_x</math>है, GIT भागफल का एटेल आकारिता <math>(U,u) \to (N_x//G_x, 0)</math> उपस्थित है, जहाँ <math>N_x = (J_x/J_x^2)^\vee</math>, जैसे कि आरेख<blockquote><math>\begin{matrix}

* प्रत्येक शीफ़ <math>\mathcal{F}:C^{op} \to Sets</math> श्रेणी से <math>C</math> ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ विहित रूप से स्टैक में बदल दिया जा सकता है। किसी वस्तु के लिए <math>X \in \text{Ob}(C)</math> संग्रह के स्थान में <math>\mathcal{F}(X)</math> एक समूह है जिसकी वस्तुएं <math>\mathcal{F}(X)</math> के तत्व हैं और तीर पहचान रूपवाद हैं।

* वस्तुतः मान लें कि <math>h</math> एक प्रतिपरिवर्ती कारक है

: # वस्तु <math>(X\to S, x)</math> एक जोड़ी है जो योजना <math>X</math> से मिलकर <math>(Sch/S)^{op}</math> और एक तत्व <math>x \in h(X)</math> है।

: अन्यमनस्क कारक के माध्यम से <math>p:H \to (Sch/S)</math> श्रेणी <math>H</math> एक तंतुयुक्त श्रेणी <math>(Sch/S)</math> समाप्त हो गई है उदाहरण के लिए, अगर <math>X</math>  एक योजना <math>(Sch/S)</math> हैं, तो यह प्रतिपरिवर्ती कारक <math>h = \operatorname{Hom}(-, X)</math> निर्धारित करता है और तंतुयुक्त श्रेणी X से स्टैक संबंधित हैं। स्टैक (या प्रीस्टैक) निर्माण के एक प्रकार के रूप में बनाया जा सकता है। वास्तव में, अर्ध-सघन विकर्ण वाली कोई भी योजना <math>X</math> अर्ध-सघन विकर्ण योजना से जुड़ा <math>X</math>बीजगणितीय स्टैक है।

*[[वेक्टर बंडलों का मोडुली स्टैक|सदिश बंडलों का मोडुली स्टैक]]: सदिश बंडलों की श्रेणी V→S संस्थानिक स्पेस S की श्रेणी पर एक स्टैक है। V→S से W→T तक आकारिकी में S से T और V से W तक निरंतर मानचित्र होते हैं, (तंतु पर रैखिक) ऐसा कि स्पष्ट वर्ग आवागमन करता है। स्थिति यह है कि यह एक तंतुयुक्त श्रेणी है क्योंकि कोई संस्थानिक स्पेस के निरंतर मानचित्रों पर सदिश बंडलों के पुलबैक ले सकता है और डिसेंट डेटम प्रभावी होने की स्थिति का अनुसरण करता है क्योंकि कोई सदिश बंडलों को एक साथ जोड़कर स्थान पर सदिश बंडल का निर्माण कर सकता है।

इसकी एक विशेष स्थिति जब x एक बिंदु होता है, तो एक स्मूथ एफाइन समूह योजना G का वर्गीकृत स्टैक BG देता है: <math>\textbf{B}G := [pt/G].</math> इसका नाम श्रेणी <math>\mathbf{B}G(Y)</math>के बाद से रखा गया है, जो तंतु के ऊपर है Y से अधिक तंतु श्रेणी है <math>\operatorname{Bun}_G(Y)</math> प्रमुख <math>G</math>- बंडल <math>Y</math> की श्रेणी है। ध्यान दें कि <math>\operatorname{Bun}_G(Y)</math> को स्टैक के रूप में माना जा सकता है, प्रमुख G बंडलों का मोडुली स्टैक Y पर।

लाइन बंडलों का मोडुली स्टैक <math>B\mathbb{G}_m</math> हैं चूंकि प्रत्येक पंक्ति बंडल विहित रूप से एक प्रमुख के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbb{G}_m</math>-बंडल। वास्तव में एक योजना लाइन बंडल <math>L</math> एक योजना  <math>S</math> के ऊपर सापेक्ष विशिष्टता <math>\underline{\text{Spec}}_S(\text{Sym}_S(L^\vee)) \to S</math> एक ज्यामितीय लाइन बंडल देता है। शून्य खंड की छवि को हटाकर एक मूलधन <math>\mathbb{G}_m</math>-बंडल प्राप्त होता है। इसके विपरीत प्रतिनिधित्व से <math>id:\mathbb{G}_m \to \text{Aut}(\mathbb{A}^1)</math> संबंधित लाइन बंडल का पुनर्निर्माण किया जा सकता है।

यदि A योजना S पर बीजगणितीय स्टैक X में बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, तो स्टैक स्पेक (A) है जो एक क्रमविनिमेय वृत्त A के वर्णक्रम स्पेक (A) के निर्माण को सामान्य करता है। स्पेक का एक वस्तु (A) एक S-योजना T, X (T) के एक वस्तु X और x * (A) से T के समन्वय वृत्त O (T) तक बीजगणित के शेवों को रूपवाद द्वारा दिया गया है।

यदि A योजना S पर बीजगणितीय स्टैक X में ग्रेडेड बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, तो ग्रेडेड वृत्त A के प्रक्षेपात्मक योजना प्रोज (A) के निर्माण को सामान्यीकृत करने वाला एक स्टैक प्रोज (A) है।

*{{harvtxt|ममफोर्ड|1965}} ने गोलाकार वक्रों के मोडुली स्टैक M_1,1 का अध्ययन किया और दिखाया कि इसका पिकार्ड समूह क्रम 12 का चक्रीय है। [[जटिल संख्या]]ओं पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए संबंधित स्टैक [[मॉड्यूलर समूह]] की क्रिया द्वारा ऊपरी अर्ध

*-विमान के भागफल के समान है।

*<!--* An example of a stack which is not globally a quotient stack is the disjoint union of two quotient stacks which have non-equal quotienting group <math>G</math>; e.g. consider <math>\mathbf{B}\mathbb{Z}/2 \coprod \mathbf{B}S_3</math>.  What should be done with this? -->बीजगणितीय वक्रों का मापांक स्थान <math>\mathcal{M}_g</math> दिए गए [[जीनस (गणित)]] के स्मूथ वक्रों के एक सार्वभौमिक परिवार के रूप में परिभाषित किया गया है <math>g</math> एक बीजगणितीय विविधता के रूप में उपस्थित नहीं है क्योंकि विशेष रूप से गैर-सामान्य ऑटोमोर्फिज्म को स्वीकार करने वाले वक्र हैं हालांकि, एक मोडुली स्टैक  <math>\mathcal{M}_g</math> है जो स्मूथ जीनस के गैर-उपस्थित फाइन मोडुली स्पेस के लिए एक अच्छा विकल्प <math>g</math> वक्र है। सामान्यतौर पर एक मोडुली स्टैक <math>\mathcal{M}_{g,n}</math> होता है जिसका <math>g</math> वक्र पर <math>n</math> चिह्नित बिंदु होते है, सामान्य तौर पर यह एक बीजगणितीय स्टैक है और इसके लिए डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक <math>g \geq 2</math> या  <math>g = 1, n \geq 1</math> या <math>g = 0, n \geq 3</math> हैं (दूसरे शब्दों में जब वक्रों के ऑटोमोर्फिज्म समूह परिमित होते हैं)। इस मोडुली स्टैक में एक पूर्णता है जिसमें स्थिर वक्रों के मोडुली स्टैक सम्मिलित हैं (दिया गया है <math>g</math> और <math>n</math>) जो स्पेक (Spec Z) पर उचित है। उदाहरण के लिए, <math>\mathcal{M}_0</math> प्रक्षेपी सामान्य का वर्गीकरण स्टैक <math>B\text{PGL}(2)</math> प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह ( <math>\mathcal{M}_1</math> को परिभाषित करने में एक सूक्ष्मता है क्योंकि इसे बनाने के लिए योजनाओं के बजाय बीजगणितीय स्पेस का उपयोग करना पड़ता है।)

==== [[Kontsevich अंतरिक्ष मॉड्यूल|कोंटेसेविच]] मॉडुलि स्पेस ====

मॉडुलि स्पेस का एक और व्यापक रूप से अध्ययन किया गया वर्ग [[Kontsevich अंतरिक्ष मॉड्यूल|कोंटेसेविच मोडुली]] स्पेस है जो एक निश्चित जीनस के घटने के बीच स्थिर मानचित्रों के स्थान को एक निश्चित स्थान <math>X</math> पर मापता है जिसकी छवि एक निश्चित कोहोलॉजी वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है। ये मोडुली स्पेस <ref name=":0">{{Cite web|last=Massarenti|first=Alez|title=स्थिर मानचित्रों के मोडुली, ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स, और क्वांटम कोहोलॉजी|url=http://w3.impa.br/~massaren/files/smgwqc.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20180123190525/http://w3.impa.br/~massaren/files/smgwqc.pdf|archive-date=2018-01-23|pages=1–4}}</ref><math>\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)</math> को निरूपित करता है और प्रकृतिकृत व्यवहार कर सकता है जैसे रिड्यूसिबल स्टैक, जिसके घटक गैर-सामान्य आयाम हैं। उदाहरण के लिए,<ref name=":0" />मोडुली स्टैक <math>\overline{\mathcal{M}}_{1,0}(\mathbb{P}^2,3[H])</math> में विवृत उपसमुच्चय द्वारा पैरामिट्रीकृत स्मूथ वक्र <math>U \subset \mathbb{P}^9 = \mathbb{P}(\Gamma(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(3)))</math> है, मॉडुलि स्पेस की सीमा जहां घटता रिड्यूसिबल वक्रों के लिए पतित हो सकता है, वहां एक जीनस के साथ एक पैरामीट्रिक रिड्यूसिबल घटता है <math>0</math> घटक और एक जीनस <math>1</math> घटक एक बिंदु 1 पर प्रतिच्छेद करते हुए 1 सबस्टैक पैरामीट्रिक रिड्यूसिबल वक्र होता हैं, बिंदु और मैप जीनस <math>1</math> वक्र को 1 बिंदु पर भेजता है, चूंकि इस तरह के सभी जीनस <math>1</math> वक्र <math>U</math> द्वारा पैरामिट्रीकृत हैं और अतिरिक्त <math>1</math> आयामी विकल्प जहां ये वक्र जीनस <math>1</math> वक्र पर प्रतिच्छेद करते हैं, सीमा घटक का आयाम <math>10</math> हैं।

* [[ पिकार्ड ढेर |पिकार्ड स्टैक]] एक [[पिकार्ड किस्म|पिकार्ड प्रकार]] का सामान्यीकरण करता है।

* [[उद्योग-योजना|एक उद्योग-योजना]] जैसे कि अनंत प्रक्षेप्य स्थान और [[औपचारिक योजना]] एक स्टैक है।<!-- in fact, an algebraic stack? -->

* [[ ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम | ज्यामितीय लैंगलैंड्स फलन]] में [[चीज़|श्टुका]] के मोडुली स्टैक का उपयोग किया जाता है।

भारित प्रक्षेपण स्थान के निर्माण में <math>\mathbb{A}^{n+1} - \{0\}</math>की भागफल विविधता <math>\mathbb{G}_m</math>-फलन द्वारा सम्मिलित हैं, विशेष रूप से फलन एक टपल भेजती है<blockquote> <math>g \cdot(x_0,\ldots, x_n) \mapsto (g^{a_0}x_0,\ldots,g^{a_n}x_n)</math></blockquote>और इस फलन का अंश भारित अनुमानित स्पेस <math>\mathbb{WP}(a_0,\ldots, a_n)</math>   देता है, चूँकि इसके अतिरिक्त इसे स्टैक भागफल, भारित प्रक्षेपात्मक स्टैक के रूप में लिया जा सकता है<ref>{{cite arXiv|last1=Fantechi|first1=Barbara|last2=Mann|first2=Etienne|last3=Nironi|first3=Fabio|date=2009-09-22|title=चिकना टोरिक डीएम ढेर|class=math.AG|eprint=0708.1254}}</ref> <math>\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n) := [\mathbb {A}^{n}-\{0\} / \mathbb{G}_m]</math>एक लाइन बंडल में भारित बहुपद के लुप्त स्थान <math>f \in \Gamma(\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n),\mathcal{O}(a))</math> को लेना एक स्टैकी

भारित प्रक्षेप्य विविधता देता है।

स्टैकी कर्व्स या ऑर्बिकर्व्स सामान्य बिंदुओं पर आवरण के मोनोड्रोमी समूह द्वारा कर्व्स के आकारिकी के स्टैक भागफल को लेकर निर्मित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी आकारिकी<math>\text{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^5 + y^5 + z^5)) \to \text{Proj}(\mathbb{C}[x,y])</math> जो सामान्य रूप से एटेल होता है <math>\mu_5</math> द्वारा प्रभाव क्षेत्र का स्टैक भागफल एक स्टैकी <math>\mathbb{P}^1</math> बिंदु के साथ जिसमें <math>\mathbb{Z}/5</math> एकता की पांचवें क्रम पर <math>x/y</math>-सारणी, ऐसा इसलिए है क्योंकि ये वे बिंदु हैं जहां आवरण शाखा करता है।{{citation needed|date=June 2017}}