ग्राफॉन

File:Exchangeable random graph from graphon.png

एक ग्राफॉन द्वारा परिभाषित विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ का अहसास। ग्राफॉन को मैजेंटा हीटमैप (निचले दाएं) के रूप में दिखाया गया है। आकार का एक यादृच्छिक ग्राफ $n$ स्वतंत्र रूप से प्रत्येक शीर्ष को असाइन करके उत्पन्न होता है $k\in \{1,\dotsc ,n\}$ एक अव्यक्त यादृच्छिक चर $U_{k}\sim \mathrm {U} (0,1)$ (ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ मान) और प्रत्येक शीर्ष सहित $(k,l)$ संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से $f(U_{k},U_{l})$. उदाहरण के लिए, किनारा $(3,5)$ (हरा, बिंदीदार) संभावना के साथ सम्मलित है $f(0.72,0.9)$; दाहिने वर्ग में हरे बक्से का प्रतिनिधित्व करते हैं के मूल्य $(u_{3},u_{5})$ और $(u_{5},u_{3})$. ऊपरी बाएँ पैनल ग्राफ प्राप्ति को आसन्न आव्यूह के रूप में दिखाता है।

ग्राफ़ सिद्धांत और सांख्यिकी में, एक ग्राफ़ॉन (जिसे ग्राफ़ सीमा के रूप में भी जाना जाता है) एक सममित फलन औसत दर्जे का कार्य है: $W:[0,1]^{2}\to [0,1]$, जो सघन रेखांकन के अध्ययन में महत्वपूर्ण है। सघन रेखांकन के अनुक्रम की सीमा के लिए ग्राफ़न्स एक प्राकृतिक धारणा के रूप में उत्पन्न होते हैं, और विनिमेय यादृच्छिक चर यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल की मौलिक परिभाषित वस्तुओं के रूप में हैं। ग्राफ़ॉन निम्नलिखित प्रेक्षणों के युग्म द्वारा सघन ग्राफ़ से बंधे हैं: ग्राफ़ॉन द्वारा परिभाषित यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल लगभग निश्चित रूप से सघन ग्राफ़ को वृद्धि देते हैं, और, नियमितता लेम्मा द्वारा, ग्राफ़ॉन यादृच्छिक बृहत् सघन ग्राफ़ की संरचना को प्रग्रहण करते हैं।

सांख्यिकीय सूत्रीकरण

एक ग्राफॉन एक सममित मापने योग्य कार्य है $W:[0,1]^{2}\to [0,1]$. सामान्यत: एक ग्राफॉन को निम्न योजना के अनुसार विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल को परिभाषित करने के रूप में समझा जाता है:

1. प्रत्येक शीर्ष $j$ ग्राफ का एक स्वतंत्र यादृच्छिक मान नियुक्त किया गया है $u_{j}\sim U[0,1]$।
2. किनारा $(i,j)$ संभावना के साथ ग्राफ में स्वतंत्र रूप से सम्मलित है $W(u_{i},u_{j})$।

एक यादृच्छिक ग्राफ मॉडल एक विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल है और केवल इसे इस तरह (संभवतः यादृच्छिक) ग्राफॉन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। एक निश्चित ग्राफॉन पर अर्द्धरित मॉडल $W$ कभी-कभी निरूपित किया जाता है $\mathbb {G} (n,W)$, यादृच्छिक रेखांकन के एर्डोस-रेनी मॉडल के अनुरूप। ग्राफॉन से उत्पन्न ग्राफ $W$ इस प्रकार कहा जाता है $W$-यादृच्छिक ग्राफ है।

यह इस परिभाषा और बड़ी संख्या के कानून से चलता है कि, यदि $W\neq 0$ विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल लगभग निश्चित रूप से सघन हैं।

उदाहरण

ग्राफॉन का सबसे सरल उदाहरण है $W(x,y)\equiv p$ कुछ स्थिर के लिए $p\in [0,1]$. इस स्थितियों में संबंधित विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल एर्डोस-रेनी मॉडल है $G(n,p)$ जिसमें संभाव्यता के साथ स्वतंत्र रूप से प्रत्येक किनारा सम्मलित है $p$।

यदि हम इसके अतिरिक्त एक ग्राफ़ॉन के साथ शुरू करते हैं जो टुकड़े वार स्थिर है:

1. इकाई वर्ग को विभाजित करना $k\times k$ ब्लॉक, और
2. सेटिंग $W$ $p_{lm}$के बराबर है $(l,m)^{\text{th}}$ ब्लाक पर

परिणामी विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल $k$ सामुदायिक स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल, एर्डोस-रेनी मॉडल का एक सामान्यीकरण है। हम इसे एक यादृच्छिक ग्राफ मॉडल के रूप में व्याख्या कर सकते हैं $k$ मापदंडों के साथ विशिष्ट एर्डोस-रेनी ग्राफ $p_{ll}$ क्रमशः, उनके बीच बिग्राफ के साथ जहां ब्लॉक के बीच प्रत्येक संभावित किनारा $(l,l)$ और $(m,m)$ संभाव्यता के साथ स्वतंत्र रूप से सम्मलित है $p_{lm}$।

कई अन्य लोकप्रिय यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल को कुछ ग्राफ़ॉन द्वारा परिभाषित विनिमेय यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल के रूप में समझा जा सकता है, एक विस्तृत सर्वेक्षण ओर्बंज़ और रॉय में सम्मलित किया गया है।

संयुक्त रूप से विनिमेय आसन्न आव्यूह

$n$ आकार का एक यादृच्छिक ग्राफ एक यादृच्छिक $n\times n$ सहखंडज आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। विभिन्न आकारों के यादृच्छिक रेखांकन के बीच निरंतरता (प्रोजेक्टिविटी के अर्थ में) लगाने के लिए, ऊपरी-बाएँ n x n उप-आव्यूह के रूप में उत्पन्न होने वाले आसन्न आव्यूह के अनुक्रम का अध्ययन करना स्वाभाविक है। यह हमें $G_{n}$ उत्पन्न करने की अनुमति देता है एक $G_{n-1}$ नोड जोड़कर और अश्रि का नमूना $(j,n)$ $j<n$ के लिए। इस दृष्टिकोण से, यादृच्छिक रेखांकन को यादृच्छिक $(X_{ij})$ अनंत सममित सरणियों के रूप में परिभाषित किया जाता है।

शास्त्रीय संभाव्यता में विनिमेय यादृच्छिक चर के मूलभूत महत्व के बाद, यादृच्छिक ग्राफ सेटिंग में एक समान धारणा की तलाश करना स्वाभाविक है। ऐसी ही एक धारणा संयुक्त रूप से विनिमेय आव्यूह द्वारा दी गई है; अर्थात यादृच्छिक आव्यूह संतोषजनक है:

$(X_{ij})\ {\overset {d}{=}}\,(X_{\sigma (i)\sigma (j)})$

सभी क्रमपरिवर्तन के लिए $\sigma$ प्राकृतिक संख्याओं की, जहाँ $$