विट बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 15:29, 30 October 2023

गणित में, सम्मिश्र विट बीजगणित, जिसका नाम अर्नेस्ट विट के नाम पर रखा गया है, रीमैन क्षेत्र पर परिभाषित मेरोमोर्फिक सदिश क्षेत्रों का लाई बीजगणित है जो दो निश्चित बिंदुओं को त्यागकर होलोमोर्फिक हैं। यह वृत्त पर बहुपद सदिश क्षेत्रों के लाई बीजगणित, एवं वलय C[z,z⁻¹] की व्युत्पत्तियों के लाई बीजगणित का भी सम्मिश्रीकरण होता है।

परिमित क्षेत्रों पर परिभाषित कुछ संबंधित लाई बीजगणित हैं, जिन्हें विट बीजगणित भी कहा जाता है।

सम्मिश्र विट बीजगणित को प्रथम बार कार्टन (1909) द्वारा परिभाषित किया गया था, एवं 1930 के दशक में विट द्वारा परिमित क्षेत्रों पर इसके अनुरूप का अध्ययन किया गया था।

आधार

विट बीजगणित के लिए आधार सदिश क्षेत्रों द्वारा दिया गया $L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}$ , n के लिए $\mathbb {Z}$ है।

दो आधार सदिश क्षेत्रों के लाई व्युत्पन्न किसके द्वारा दिया गया है,

[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.

इस बीजगणित में विरासोरो बीजगणित नामक केंद्रीय विस्तार है, जो द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत एवं स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण होता है।

ध्यान दें कि n को 1,0,-1 तक सीमित करने पर, सबलजेब्रा प्राप्त होता है। सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में लिया गया, यह केवल लाई बीजगणित है ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ लोरेंत्ज़ समूह का $\mathrm {SO} (3,1)$ है। वास्तविक से अधिक, यह बीजगणित SL(2,R)|sl(2,R) = su(1,1) है। इसके विपरीत, su(1,1) प्रस्तुति में मूल बीजगणित का पुनर्निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।^[1]

परिमित क्षेत्रों पर

विशेषता p> 0 के क्षेत्र के ऊपर, विट बीजगणित को रिंग के व्युत्पन्न के लाई बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है।

k[z]/z^p

विट बीजगणित L_m द्वारा −1≤ m ≤ p−2 के लिए विस्तारित किया गया है।

छवियां

n = -1 विट सदिश क्षेत्र

File:N = 0 Witt vector field.png

n = 0 विट सदिश क्षेत्र

File:N = 1 Witt vector field.png

n = 1 विट सदिश क्षेत्र

File:Witt minus 2.png

n = -2 विट सदिश क्षेत्र

File:Witt 2.png

n = 2 विट सदिश क्षेत्र

File:Witt minus 3.png

n = -3 विट सदिश क्षेत्र

यह भी देखें

विरासोरो बीजगणित
हाइजेनबर्ग बीजगणित

संदर्भ

↑ D Fairlie, J Nuyts, and C Zachos (1988). Phys Lett B202 320-324. doi:10.1016/0370-2693(88)90478-9

Élie Cartan, Les groupes de transformations continus, infinis, simples. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 26, 93-161 (1909).
"Witt algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] D Fairlie, J Nuyts, and C Zachos (1988). Phys Lett B202 320-324. doi:10.1016/0370-2693(88)90478-9

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Algebra of meromorphic vector fields on the Riemann sphere}}
-{{dablink|The Witt algebra is not directly related to the [[Witt ring (forms)|Witt ring]] of quadratic forms, or to the algebra of [[Witt vector]]s.}}
+गणित में, सम्मिश्र '''विट बीजगणित''', जिसका नाम [[अर्नेस्ट विट]] के नाम पर रखा गया है, [[रीमैन क्षेत्र]] पर परिभाषित मेरोमोर्फिक सदिश क्षेत्रों का लाई बीजगणित है जो दो निश्चित बिंदुओं को त्यागकर होलोमोर्फिक हैं। यह वृत्त पर बहुपद सदिश क्षेत्रों के [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]], एवं वलय '''C'''[''z'',''z''<sup>−1</sup>] की व्युत्पत्तियों के लाई बीजगणित का भी सम्मिश्रीकरण होता है।
-गणित में, जटिल विट बीजगणित, जिसका नाम [[अर्नेस्ट विट]] के नाम पर रखा गया है, [[रीमैन क्षेत्र]] पर परिभाषित मेरोमोर्फिक सदिश क्षेत्रों का लाइ बीजगणित है जो दो निश्चित बिंदुओं को छोड़कर होलोमोर्फिक हैं। यह एक वृत्त पर बहुपद सदिश क्षेत्रों के [[झूठ बीजगणित]] का जटिलीकरण भी है, और वलय C[''z'',''z'' की व्युत्पत्तियों का झूठ बीजगणित<sup>-1</sup>]।
 परिमित क्षेत्रों पर परिभाषित कुछ संबंधित लाई बीजगणित हैं, जिन्हें विट बीजगणित भी कहा जाता है।
-जटिल विट बीजगणित को पहली बार कार्टन (1909) द्वारा परिभाषित किया गया था, और 1930 के दशक में विट द्वारा परिमित क्षेत्रों पर इसके एनालॉग्स का अध्ययन किया गया था।
+सम्मिश्र विट बीजगणित को प्रथम बार कार्टन (1909) द्वारा परिभाषित किया गया था, एवं 1930 के दशक में विट द्वारा परिमित क्षेत्रों पर इसके अनुरूप का अध्ययन किया गया था।
 == आधार ==
-विट बीजगणित के लिए एक आधार सदिश क्षेत्रों द्वारा दिया गया है <math>L_n=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z}</math>, एन के लिए<math>\mathbb Z</math>.
+विट बीजगणित के लिए आधार सदिश क्षेत्रों द्वारा दिया गया <math>L_n=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z}</math>, ''n'' के लिए <math>\mathbb Z</math> है।
-दो आधार सदिश क्षेत्रों के [[झूठ व्युत्पन्न]] द्वारा दिया जाता है
+दो आधार सदिश क्षेत्रों के [[झूठ व्युत्पन्न|लाई व्युत्पन्न]] किसके द्वारा दिया गया है,
 :<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}.</math>
-इस बीजगणित का एक समूह विस्तार # केंद्रीय विस्तार है जिसे विरासोरो बीजगणित कहा जाता है जो [[द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] और [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण है।
+इस बीजगणित में विरासोरो बीजगणित नामक केंद्रीय विस्तार है, जो [[द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] एवं [[स्ट्रिंग सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण होता है।
-ध्यान दें कि n को 1,0,-1 तक सीमित करने पर, एक सबलजेब्रा प्राप्त होता है। सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में लिया गया, यह केवल झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math> [[लोरेंत्ज़ समूह]] के <math>\mathrm{SO}(3,1)</math>. वास्तविक से अधिक, यह बीजगणित SL(2,R)|''sl''(2,R) = ''su''(1,1) है।
+ध्यान दें कि n को 1,0,-1 तक सीमित करने पर, सबलजेब्रा प्राप्त होता है। सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में लिया गया, यह केवल लाई बीजगणित है <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math> [[लोरेंत्ज़ समूह]] का <math>\mathrm{SO}(3,1)</math> है। वास्तविक से अधिक, यह बीजगणित SL(2,R)|''sl''(2,R) = ''su''(1,1) है। इसके विपरीत, '''''su'''''(1,1) प्रस्तुति में मूल बीजगणित का पुनर्निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।<ref> D Fairlie, J Nuyts, and C Zachos (1988). ''Phys Lett'' '''B202''' 320-324.  {{doi|10.1016/0370-2693(88)90478-9}}</ref>
-इसके विपरीत, ''सु''(1,1) एक प्रस्तुति में मूल बीजगणित का पुनर्निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।<ref> D Fairlie, J Nuyts, and C Zachos (1988). ''Phys Lett'' '''B202''' 320-324.  {{doi|10.1016/0370-2693(88)90478-9}}</ref>
 == परिमित क्षेत्रों पर ==
-विशेषता पी> 0 के एक क्षेत्र के ऊपर, विट बीजगणित को अंगूठी के व्युत्पन्न के लाई बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है
+विशेषता ''p''> 0 के क्षेत्र के ऊपर, विट बीजगणित को रिंग के व्युत्पन्न के लाई बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है।
-: के [जेड] / जेड<sup>पी</सुप>
+: ''k''[''z'']/''z<sup>p</sup>''
-विट बीजगणित एल द्वारा फैला हुआ है<sub>''m''</sub> −1≤ m ≤ p−2 के लिए।
+विट बीजगणित ''L<sub>m</sub>'' द्वारा −1≤ ''m'' ≤ ''p''−2 के लिए विस्तारित किया गया है।
 == छवियां ==
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   | image1 = N = -1 Witt vector field.png
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-  | caption1 = n = -1 Witt vector field
+  | caption1 = n = -1 विट सदिश क्षेत्र
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+  | caption2 = n = 0 विट सदिश क्षेत्र
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+  | caption3 = n = 1 विट सदिश क्षेत्र
 }}
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   | image1 = Witt minus 2.png
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+  | caption3 = n = -3 विट सदिश क्षेत्र
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