एलपी स्पेस: Difference between revisions

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{{Short description|Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces}}

{{For|the sequence space ℓ{{i sup|p}}|Sequence space#ℓp spaces}}

गणित में एलपी स्पेस [[ समारोह स्थान |समारोह का विशेष स्थान]] हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम [[हेनरी लेबेस्ग्यू]] के नाम पर रखा गया है [[निकोलस बोरबाकी|जबकि निकोलस बोरबाकी]] समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। {{harv}}.

{{math}}एलपी रिक्त स्थान [[कार्यात्मक विश्लेषण]] और सदिश स्थान में रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं जो माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु द्वारा रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

~~== अनुप्रयोग ==~~

गणित में एलपी रिक्त स्थान एक कार्यक्रम स्थान हैं जो परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के लिए पी-मानदंड के प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है उन्हें कभी-कभी हेनरी लेबेस्ग्यू डनफोर्ड एंड श्वार्ट्ज 1958 के नाम पर लेबेस्ग्यू रिक्त कहा जाता है जबकि बोरबाकी समूह बोरबाकी 1987 के अनुसार उन्हें पहली बार फ्रिगेस रिज्जु द्वारा 1910 में पेश किया गया था।

एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और करणीय सदिश रिक्त स्थान में बनच रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं तथा माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु रिक्त स्थान का उपयोग करते हैं।

=== ~~सांख्यिकी~~ ===

=== एम्बेडिंग ===

सामान्य बोलचाल में अगर <math>1 \leq p < q \leq \infty,</math> है तो इसमें ऐसे <math>L^p(S, \mu)</math> कई कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व <math>L^q(S, \mu)</math> अधिक फैलाये जा सकते हैं तथा रेखा लेबेस्गु माप पर इसमें एक सतत कार्य <math>L^1</math> होता है जो अनंत की ओर तेजी से क्षय नहीं होता तथा यह दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है <math>L^\infty</math> को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति भी नहीं है इस तकनीकी के परिणाम निम्नलिखित है <ref name="VillaniEmbeddings2">{{Citation|title=Another note on the inclusion {{math|''Lp''(''μ'') ⊂ ''Lq''(''μ'')}}|last=Villani|first=Alfonso|year=1985|journal=Amer. Math. Monthly|volume=92|number=7|pages=485–487|doi=10.2307/2322503|mr=801221|jstor=2322503}}</ref> जैसे कि <math>0 तब

आँकड़ों में [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] की माप और [[सांख्यिकीय फैलाव]] और [[मानक विचलन]] को किस संदर्भ में परिभाषित किया जाता है एलपी फलन और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को केंद्रीय प्रवृत्ति तथा संख्याओं की सारिणी को परिवर्तनशील समस्याओं के ~~समाधान~~ के ~~रूप~~ में ~~चित्रित किया जा सकता है।~~

# <math>L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)</math> अगर <math>S</math> परिमित के समूह नहीं होते हैं उदाहरण के लिए कोई परिमित माप।

# <math>L^p(S, \mu) \subseteq L^q(S, \mu)</math> और <math>S</math> गैर-शून्य के समूह में सम्मिलित नहीं हैं लेकिन छोटे होते हैं।

[[~~दंडित प्रतिगमन~~]] में ~~एल 1 जुर्माना और एल 2 जुर्माना गाड़ी के अगले भाग~~ में ~~ज्यामिति को दंडित करने~~ का ~~संदर्भ देता~~ है ।

माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए अग्रसर नहीं हैं ये दोनों ही जगहों में व्याख्या करते हैं जिसकी पहचान एक चालक पर सीमित है <math>L^q</math> को <math>L^p</math> की जगहों में और <math>L^p</math> को <math>L^q</math> क्षण में यह [[बंद ग्राफ प्रमेय]] और गुणों का परिणाम है तथा <math>L^p</math> रिक्त स्थान और डोमेन <math>S</math> परिमित माप है जो इस प्रकार है-

<math display="block">\ \|\mathbf{1}f^p\|_1 \leq \|\mathbf{1}\|_{q/(q-p)} \|f^p\|_{q/p}</math>

तब

उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाले निरंतर अर्थ में पहचान का [[ऑपरेटर मानदंड|मानदंड]] यह <math>I : L^q(S, \mu) \to L^p(S, \mu)</math> है जहाँ

इसमें समानता ठीक उसी समय प्राप्त की जा सकती है <math>f = 1</math> <math>\mu</math>

=== सघन उपस्थान ===

इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं <math>1 \leq p < \infty.</math>एक माप स्थान पर बनें एक पूर्णांक जो सरल कार्य <math>f</math> पर <math>S</math> एक सामान्य रूप है जो इस प्रकार है

<math display="block">f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}</math>

जब <math>a_j</math> अदिश राशि है तो यह <math>A_j \in \Sigma</math> परिमित उपाय भी है और <math>{\mathbf 1}_{A_j}</math> समूह का सूचक कार्य है <math>A_j,</math>के लिए <math>j = 1, \dots, n.</math> एकीकरण के निर्माण से समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math>

=~~== हिल्बर्ट रिक्त~~ स्थान ===

अगर <math>S</math> बढ़ते अनुक्रम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है <math>(V_n)</math> खुले समूहों का परिमित माप है फिर स्थान <math>p</math>-अभिन्न निरंतर कार्य में सघन है तो यह <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math> सीमित निरंतर कार्यों का उपयोग कर सकता है क्योंकि यह खुले समूहों में गायब हो जाते हैं यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब <math>S = \Reals^d</math> और <math>\mu</math> लेबेस्ग उपाय इसमें सम्मिलित होता है तथा निरंतर और समर्थित कार्यों का स्थान सघन होता है जैसे <math>L^p(\Reals^d).</math> इसी तरह यह स्थान परिबद्ध अंतरालों के संकेतक कार्यों की रैखिक अवधि है जब <math>d = 1,</math>घिरे हुए आयतों का तथा <math>d = 2</math> परिबद्ध अंतरालों के उत्पादों के रूप में होता है।

~~{{See also|Square-integrable function}}~~

~~प्रमात्रा यांत्रिकी को लेकर [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस]] तक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]]~~ कई ~~अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं। रिक्त स्थान~~ <math>L^~~2</math> और <math>~~\~~ell~~^2</math> ~~दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं। वास्तव~~ में~~, हिल्बर्ट आधार चुनकर~~ <math>E,~~</math> यानी~~, ~~एक अधिकतम ऑर्थोनॉर्मल सबसेट <math>L^2~~</math> या कोई हिल्बर्ट स्पेस, कोई देखता है कि हर हिल्बर्ट स्पेस आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है <math>\~~ell^2~~(E)~~</math>~~ (~~वही <math>E</math> ऊपर के रूप में~~)~~, यानी, हिल्बर्ट प्रकार का स्थान <math>\ell^2~~.</math>

इसमें सामान्य कार्यों के कई गुण <math>L^p(\Reals^d)</math> पहले निरंतर रूप से समर्थित कार्यों के लिए सिद्ध होते हैं फिर घनत्व द्वारा सभी कार्यों के लिए विस्तारित होते हैं उदाहरण के लिए यह इस तरह सिद्ध होता है कि अनुवाद निरंतर जारी है जो निम्नलिखित अर्थ में है

<math display="block">\forall f \in L^p \left(\Reals^d\right) : \quad \left\|\tau_t f - f \right\|_p \to 0,\quad \text{as } \Reals^d \ni t \to 0,</math>

तब

~~== {{math|''p''}}}-परिमित आयामों में मानदंड ==~~

[[Image:Vector-p-Norms qtl1.svg|thumb|right|[[ यूनिट सर्कल ]] के उदाहरण ([[superellipse]] भी देखें) में <math>\Reals^2</math> भिन्न पर आधारित है <math>p</math>-नॉर्म्स (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक होती है, लंबाई की गणना इसी के लंबाई-सूत्र के साथ की जाती है <math>p</math>).]]एक वेक्टर की लंबाई <math>x = (x_1, x_2, \dots, x_n)</math> में <math>n</math>-आयामी [[वास्तविक संख्या]] वेक्टर अंतरिक्ष <math>\Reals^n</math> आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है:

~~<math display="block">\|x\|_2 = \left({x_1}^2 + {x_2}^2 + \dotsb + {x_n}^2\right)^{1/2}.</math>~~

दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी <math>x</math> और <math>y</math> लंबाई है <math>\|x - y\|_2</math> दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा का। कई स्थितियों में, किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है। इसका एक सादृश्य टैक्सी ड्राइवरों द्वारा एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में सुझाया गया है, जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं, बल्कि [[टैक्सीकैब ज्यामिति]] के संदर्भ में मापना चाहिए, जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो ऑर्थोगोनल हैं या एक दूसरे के समानांतर। का वर्ग <math>p</math>-मानदंड इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित, भौतिकी और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के कई हिस्सों में इसके अनुप्रयोगों की बहुतायत है।

=== ~~परिभाषा~~ ===

== अनुप्रयोग ==

वास्तविक संख्या के लिए <math>p \geq 1,</math> <math>p</math>-मानक या<math>L^p</math>-मानक <math>x</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

~~<math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p\right)^{1/p}.</math>~~

निरपेक्ष मान बार तब गिराए जा सकते हैं जब <math>p</math> एक परिमेय संख्या है जिसका एक सम अंश इसके घटे हुए रूप में है, और <math>x</math> वास्तविक संख्याओं के समुच्चय या उसके किसी एक उपसमुच्चय से निकाला जाता है।

ऊपर से यूक्लिडियन मानदंड इस वर्ग में आता है और यह है <math>2</math>-मानदंड, और <math>1</math>-नॉर्म वह मानदंड है जो टैक्सीकैब ज्योमेट्री से मेल खाता है।

<math>L^\infty</math>-norm या Chebyshev दूरी (या एकसमान मानदंड) की सीमा है <math>L^p</math>-मानदंड के लिए <math>p \to \infty.</math> यह पता चला है कि यह सीमा निम्नलिखित परिभाषा के बराबर है:

~~<math display="block">\|x\|_\infty = \max \left\{|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|\right\}</math>~~

~~एल-इन्फिनिटी देखें|{{math|''L''}}-अनंतता।~~

सभी के लिए <math>p \geq 1,</math> <math>p</math>ऊपर परिभाषित मानदंड और अधिकतम मानदंड वास्तव में लंबाई फ़ंक्शन (या [[मानदंड (गणित)]]) के गुणों को संतुष्ट करते हैं, जो कि हैं:

*केवल शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य होती है,

*सदिश की लंबाई एक अदिश (यूलर के सजातीय कार्य प्रमेय) द्वारा गुणन के संबंध में सकारात्मक सजातीय है, और

*दो सदिशों के योग की लंबाई सदिशों की लंबाई के योग (त्रिकोण असमानता) से बड़ी नहीं है।

संक्षेप में, इसका मतलब यह है कि <math>\Reals^n</math> इसके साथ <math>p</math>-नॉर्म एक [[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस]] है। इसके अलावा, यह पता चला है कि यह स्थान पूर्ण है, इस प्रकार यह एक बनच स्थान बना रहा है। यह बनच स्थान है <math>L^p</math>-अंतरिक्ष खत्म <math>\{1, 2, \ldots, n\}.</math>

~~==== के बीच संबंध {{math|''p''}}-मानदंड ==~~

दो बिंदुओं के बीच की ग्रिड दूरी या सीधीरेखीय दूरी (कभी-कभी मैनहटन दूरी कहलाती है) उनके बीच के रेखाखंड की लंबाई से कम नहीं होती (यूक्लिडियन या कौवा मक्खियों की दूरी के रूप में)। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी सदिश का यूक्लिडियन मानदंड उसके 1-मानदंड से घिरा है:

~~<math display="block">\|x\|_2 \leq \|x\|_1 .</math>~~

यह तथ्य सामान्यीकृत करता है <math>p</math>-मानदंडों कि में <math>p</math>-आदर्श <math>\|x\|_p</math> किसी दिए गए वेक्टर का <math>x</math> साथ नहीं बढ़ता <math>p</math>:

{{block indent | em = 1.5 | text = <math>\|x\|_{p+a} \leq \|x\|_p</math> for any vector <math>x</math> and real numbers <math>p \geq 1</math> and <math>a \geq 0.</math> (In fact this remains true for <math>0 and <math>a \geq 0</math> .)}}

विपरीत दिशा के लिए, निम्नलिखित संबंध के बीच <math>1</math>-मानदंड और <math>2</math>-नॉर्म जाना जाता है:

~~<math display="block">\|x\|_1 \leq \sqrt{n} \|x\|_2 ~.</math>~~

यह असमानता आयाम पर निर्भर करती है <math>n</math> अंतर्निहित सदिश स्थान का और कॉची-श्वार्ज़ असमानता से सीधे अनुसरण करता है।

~~सामान्य तौर पर, वैक्टर के लिए <math>\Complex^n</math> कहाँ <math>0 < r < p:</math>~~

~~<math display="block">\|x\|_p \leq \|x\|_r \leq n^{\frac{1}{r} - \frac{1}{p}} \|x\|_p ~.</math>~~

~~यह होल्डर की असमानता का परिणाम है।~~

=== ~~कब {{math|0 < ''p'' < 1}}~~===

=== आंकड़े ===

आँकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति और सांख्यिकीय फैलाव के उपाय जैसे कि माध्य , मध्यिका और मानक विचलन के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं तथा गणित और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है ।

~~[[Image:Astroid.svg|thumb|right|[[एस्ट्रॉयड]], यूनिट सर्कल इन <math>p = \tfrac{2}{3}</math> मीट्रिक]]~~में ~~<math>\Reals^n</math>~~ के ~~लिए <math>n > 1,</math> सूत्र~~

दंडित प्रतिगमन में L1 दंड और L2 दंड का अर्थ या तो दंडित करना है किसी समाधान के पैरामीटर मानों के सदिश का मानदण्ड अर्थात् इसके निरपेक्ष मानों का योग या इसके मानदंड तथा इसकी यूक्लिडियन लंबाई तकनीकें जो एलएएसएसओ जैसी L1 दंड का उपयोग करती हैं व समाधान को भी प्रोत्साहित करती हैं जहां कई पैरामीटर शून्य हैं तकनीकें जो L2 दंड का उपयोग करती हैं जैसे रिज प्रतिगमन उन समाधानों को प्रोत्साहित करती हैं जहां अधिकांश पैरामीटर मान छोटे होते हैं तथा लोचदार शुद्ध नियमितीकरण एक दंड अवधि का उपयोग करते हैं जो कि संयोजन है तथा मानदंड और पैरामीटर सदिश का मानदंड है।

~~<math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2| ^p + \cdots + |x_n|^p\right)^{1/p}</math>~~

के लिए एक बिल्कुल सजातीय कार्य को परिभाषित करता है <math>0 हालाँकि, परिणामी फ़ंक्शन एक मानदंड को ~~परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि यह [[उप-विषमता]] नहीं है। दूसरी ओर सूत्र है~~

~~<math display="block">|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p</math>~~

पूर्ण एकरूपता खोने की कीमत पर उप-योगात्मक कार्य को परिभाषित करता है। यह एक [[एफ-स्पेस]] | एफ-नॉर्म को परिभाषित करता है, हालांकि, जो ~~डिग्री~~ का ~~सजातीय है <math>p.</math>~~

~~इसलिए, समारोह~~

~~<math display="block">d_p(x, y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p</math>~~

एक [[मीट्रिक स्थान]] परिभाषित करता है। मीट्रिक स्थान <math>(\Reals^n, d_p)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\ell_n^p.</math>

हालांकि <math>p</math>-यूनिट बॉल <math>B_n^p</math> इस मीट्रिक में मूल के आसपास अवतल है, जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है <math>\Reals^n</math> मीट्रिक द्वारा <math>B_p</math> की सामान्य वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी है <math>\Reals^n,</math> इस तरह <math>\ell_n^p</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है। इस गुणात्मक कथन से परे, उत्तलता की कमी को मापने का एक मात्रात्मक तरीका <math>\ell_n^p</math> द्वारा निरूपित करना है <math>C_p(n)</math> सबसे छोटा स्थिरांक <math>C</math> जैसे कि अदिश गुणक <math>C \, B_n^p</math> की <math>p</math>-यूनिट बॉल में उत्तल हल होता है <math>B_n^p,</math> जो ~~बराबर है <math>B_n^1.</math> तथ्य यह है~~ कि ~~निश्चित के लिए <math>p < 1</math> अपने पास~~

~~<math display="block">C_p(n) = n^{\tfrac{1}{p} - 1} \to \infty, \quad \text{as } n \to \infty</math>~~

~~दिखाता~~ है कि अनंत-आयामी अनुक्रम स्थान <math>\ell^p</math> नीचे परिभाषित, अब स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है।~~{{citation needed|date=November 2015}}~~

=== ~~कब {{math|1=''p'' = 0}}~~===

=== हॉसडॉर्फ-यंग असमानता ===

लिप्यंतरण वास्तविक रेखा के लिए रूपांतरित होता है जो आवधिक कार्यों के लिए लिप्यन्तरण नक्शे को क्रमशः यह रिज-थोरिन इंटरपोलेशन प्रमेय का परिणाम कहा जाता है तथा नियमित युवा असमानता के साथ बनाया गया है ।

वहां एक है <math>\ell_0</math> मानदंड और एक अन्य कार्य जिसे कहा जाता है <math>\ell_0</math> मानदंड (उद्धरण चिह्नों के साथ)।

इसके विपरीत लिप्यन्तरण रूपांतरण में नक्शा नहीं होता है।

गणितीय परिभाषा <math>\ell_0</math> मानदंड [[स्टीफन बानाच]] के रैखिक संचालन के सिद्धांत द्वारा स्थापित किया गया था। एफ-स्पेस ऑफ सीक्वेंस में एफ-स्पेस | एफ-नॉर्म द्वारा प्रदान की गई एक पूर्ण मीट्रिक टोपोलॉजी है

~~<math display="block">(x_n) \mapsto \sum_n 2^{-n} \frac{|x_n|}{1 +|x_n|},</math>~~

जिस पर मेट्रिक लीनियर स्पेस में स्टीफ़न रोलविक्ज़ द्वारा चर्चा की गई है।<ref name="RolewiczControl">{{Citation | title=Functional analysis and control theory: Linear systems | last=Rolewicz | first=Stefan | year=1987 | isbn=90-277-2186-6 | publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers | oclc=13064804 | edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk | series=Mathematics and its Applications (East European Series) | location=Dordrecht; Warsaw | volume=29 | pages=xvi+524| mr=920371| doi=10.1007/978-94-015-7758-8}}{{page needed|date=April 2016}}</ref> <math>\ell_0</math>वें>-सामान्य स्थान का अध्ययन कार्यात्मक विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में किया जाता है।

एक और समारोह कहा जाता था <math>\ell_0</math> [[डेविड डोनोहो]] द्वारा मानदंड - जिसका उद्धरण चिह्न चेतावनी देता है कि यह फ़ंक्शन एक उचित मानदंड नहीं है - वेक्टर की गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है <math>x.</math>{{Citation needed|date=September 2022}} कई लेखक उद्धरण चिह्नों को छोड़ कर [[शब्दावली का दुरुपयोग]] करते हैं। शून्य की घात शून्य की परिभाषा |<math>0^0 = 0,</math>का शून्य मानदंड <math>x</math> के बराबर है

~~<math display="block">|x_1|^0 + |x_2|^0 + \cdots + |x_n|^0 .</math>~~

[[File:Lp space animation.gif|alt=An animated gif of p-मानदंड 0.1 से 2 तक 0.05 के चरण के साथ। थंब| पी-मानदंड 0.1 से 2 का एक एनिमेटेड GIF 0.05 के चरण के साथ।]]यह एक आदर्श (गणित) नहीं है क्योंकि यह सजातीय कार्य नहीं है। उदाहरण के लिए, वेक्टर स्केलिंग <math>x</math> एक सकारात्मक स्थिरांक से मानदंड नहीं बदलता है। गणितीय मानदंड के रूप में इन दोषों के बावजूद, गैर-शून्य गणना मानदंड का [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]], [[सूचना सिद्धांत]] और सांख्यिकी में उपयोग होता है - विशेष रूप से [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] और कम्प्यूटेशनल [[हार्मोनिक विश्लेषण]] में संपीड़ित संवेदन में। मानक नहीं होने के बावजूद, संबंधित मीट्रिक, जिसे [[हैमिंग दूरी]] के रूप में जाना जाता है, एक मान्य दूरी है, क्योंकि दूरी के लिए समरूपता की आवश्यकता नहीं होती है।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान

~~== {{math|''p''}}}~~- ~~अनंत आयामों में मानदंड और {{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}} रिक्त स्थान ==~~

वर्ग-समाकलनीय समीकरण कार्यक्रम का समाकलन।

~~=== अनुक्रम~~ स्थान ~~{{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}}===~~

प्रमात्रा यांत्रिकी से लेकर भारी गणना तक हिल्बर्ट रिक्त कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं रिक्त स्थान दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं वास्तव में हिल्बर्ट आधार चुनकर एक अधिकतम प्रसामान्य उप समूह कोई हिल्बर्ट रिक्त कोई सममित रूप से समरूप का एक हिल्बर्ट स्थान है।

~~{{Details|Sequence space}} <math>p</math>th>~~-~~norm को उन सदिशों तक बढ़ाया जा सकता~~ है ~~जिनमें अनंत संख्या~~ में ~~घटक ([[अनुक्रम]]) होते हैं, जो स्थान उत्पन्न करते हैं <math>\ell^p.</math>इसमें विशेष मामलों~~ के ~~रूप में शामिल हैं:~~

== परिमित आयामों में पी ''- मानदंड'' ==

* <math>\ell^1,</math> अनुक्रमों का स्थान जिसकी श्रृंखला [[पूर्ण अभिसरण]] है,

इकाई वृत्तों के उदाहरण भिन्न पर आधारित है जैसे नॉर्म्स मूल इकाई वृत्त रूपांतरण में प्रत्येक सदिश की लंबाई एक होती है क्योंकि लम्बाई की गणना इसी सूत्र के साथ की जाती है

* <math>\ell^2,</math> वर्ग-संकलन योग्य अनुक्रमों का स्थान, जो एक हिल्बर्ट स्थान है~~, और~~

* <math>\ell^\infty,</math> बंधे हुए अनुक्रमों का स्थान।

~~अनुक्रमों के स्थान~~ में जोड़ और अदिश गुणन निर्देशांक द्वारा समन्वय लागू करके एक प्राकृतिक वेक्टर अंतरिक्ष संरचना होती है। स्पष्ट रूप से, वास्तविक ~~(या सम्मिश्र संख्या) संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के लिए~~ सदिश ~~योग और अदिश क्रिया इस प्रकार दी गई है:~~

एक सदिश की लंबाई में-आयामी वास्तविक सदिश अंतरिक्ष आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है जो

~~<math display="block">\begin{align}~~

~~& (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1},\ldots) \\~~

~~= {} & (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\ldots), \\[6pt]~~

~~& \lambda \cdot \left (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots \right) \\~~

~~= {} & (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\ldots).~~

~~\end{align}</math>~~

~~को परिभाषित करो <math>p</math>-आदर्श:~~

~~<math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots +|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \cdots\right)^{1/p}</math>~~

यहाँ, एक जटिलता उत्पन्न होती है, अर्थात् दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] हमेशा अभिसारी नहीं होती है, उदाहरण के लिए, केवल एक से बना अनुक्रम, <math>(1, 1, 1, \ldots),</math> एक अनंत होगा <math>p</math>-मानक के लिए <math>1 \leq p < \infty.</math> अंतरिक्ष <math>\ell^p</math> तब वास्तविक (या जटिल) संख्याओं के सभी अनंत अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है ~~जैसे कि <math>p</math>-सामान्य परिमित है।~~

~~ऐसे चेक कर सकते हैं <math>p</math> बढ़ता है, सेट <math>\ell^p</math> बड़ा होता है। उदाहरण~~ के ~~लिए, अनुक्रम~~

दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी और लंबाई है दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा कई स्थितियों में किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में टैक्सी चालकों द्वारा इसका एक उपाय सुझाया गया है जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं बल्कि सीधी रेखा की दूरी को संदर्भ में मापना चाहिए जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो समकोण हैं या एक दूसरे के समानांतर वर्ग का मानदंड हैं जो इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित , भौतिकी ,और कंप्यूटर विज्ञान के कई हिस्सों में अनुप्रयोगों की सहायता करते हैं।

~~<math display="block">\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots\right)</math>~~

~~इसमें नहीं~~ है ~~<math>\ell^1,</math> लेकिन यह अंदर है <math>\ell^p</math>~~ के ~~लिए <math>p > 1,</math> श्रृंखला के रूप~~ में

~~<math display="block">1^p + \frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} + \frac{1}{(n+1)^p} + \cdots,</math>~~

के लिए ~~भिन्न होता~~ है ~~<math>p = 1</math> ([[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]]), लेकिन~~ के ~~लिए अभिसारी~~ है ~~<math>p > 1.</math>~~

एक ~~भी परिभाषित करता है <math>\infty</math>-नॉर्म [[ अंतिम ]]~~ का ~~उपयोग करना:~~

~~<math display="block">\|x\|_\infty = \sup(|x_1|~~, ~~|x_2|~~, ~~\dotsc, |x_n|,|x_{n+1}|, \ldots)</math>~~

और ~~संबंधित स्थान <math>\ell^\infty</math> सभी बंधे हुए अनुक्रमों~~ में से। यह पता चला है कि<ref>{{Citation| last1=Maddox | first1=I. J. | title=Elements of Functional Analysis | publisher=CUP | location=Cambridge | edition=2nd | year=1988}}, page 16</ref>

~~<math display="block">\|x\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p</math>~~

यदि दाहिना भाग परिमित है, या बायाँ पक्ष अनंत है। इस प्रकार, हम विचार करेंगे <math>\ell^p</math> के लिए रिक्त स्थान <math>1 \leq p \leq \infty.</math>

<math>p</math>वें>-मानदंड इस प्रकार परिभाषित किया गया <math>\ell^p</math> वास्तव में एक आदर्श है, और <math>\ell^p</math> इस मानदंड के साथ एक बनच स्थान है। पूरी तरह से सामान्य <math>L^p</math> स्थान प्राप्त किया जाता है - जैसा कि नीचे देखा गया है - सदिशों पर विचार करके, न केवल परिमित या गणनीय-अपरिमित रूप से कई घटकों के साथ, बल्कि मनमाने ढंग से कई घटकों के साथ; दूसरे शब्दों में, कार्य (गणित)। एक योग के बजाय एक [[अभिन्न]] का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जाता है <math>p</math>-आदर्श।

~~=== सामान्य ℓपी </सुप>-अंतरिक्ष ===~~

पूर्ववर्ती परिभाषा के पूर्ण सादृश्य में कोई स्थान को परिभाषित कर सकता है <math>\ell^p(I)</math> एक सामान्य [[सूचकांक सेट]] पर <math>I</math> (और <math>1 \leq p < \infty</math>) जैसा

इकाई वृत्त प्रवेशिका

~~<math display="block">\ell^p(I) = \left\{(x_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^I : \sum_{i \in I} |x_i|^p < +\infty\right\},</math>~~

जहां दाईं ओर अभिसरण का अर्थ है कि केवल गिने-चुने योग शून्येतर हैं ([[बिना शर्त अभिसरण]] भी देखें)।

~~आदर्श के साथ~~

~~<math display="block">\|x\|_p = \left(\sum_{i\in I} |x_i|^p\right)^{1/p}</math>~~

~~अंतरिक्ष <math>\ell^p(I)</math> बनच स्थान बन जाता है।~~

मामले में जहां <math>I</math> के साथ परिमित है <math> n</math> तत्व, यह निर्माण उपज देता है <math>\Reals^n</math> साथ <math>p</math>-मानदंड ऊपर परिभाषित।

अगर <math>I</math> गणनीय रूप से अनंत है, यह बिल्कुल अनुक्रम स्थान है <math>\ell^p</math> ऊपर परिभाषित।

बेशुमार सेट के लिए <math>I</math> यह एक गैर-वियोज्य अंतरिक्ष बनच स्थान है जिसे स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष की [[प्रत्यक्ष सीमा]] के रूप में देखा जा सकता है <math>\ell^p</math>-अनुक्रम रिक्त स्थान।<ref>Rafael Dahmen, Gábor Lukács: ''Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.'' in: ''Topology and its Applications'' Nr. 270, 2020. Example 2.14 </ref>

के लिए <math>p = 2,</math> <math>\|\,\cdot\,\|_2</math>-मानदंड भी एक विहित आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है <math>\langle \,\cdot,\,\cdot\rangle,</math> इसको कॉल किया गया{{visible anchor|Euclidean inner product}}, जिसका अर्थ है कि <math>\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}</math> सभी वैक्टर के लिए धारण करता है <math>\mathbf{x}.</math> यह आंतरिक उत्पाद [[ध्रुवीकरण पहचान]] का उपयोग करके मानदंड के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

~~पर <math>\ell^2,</math> द्वारा परिभाषित किया जा सकता है~~

~~<math display=block>\langle \left(x_i\right)_{i}, \left(y_n\right)_{i} \rangle_{\ell^2} ~=~ \sum_i x_i \overline{y_i}</math>~~

जबकि अंतरिक्ष के लिए <math>L^2(X, \mu)</math> एक माप (गणित) के साथ संबद्ध <math>(X, \Sigma, \mu),</math> जिसमें सभी [[स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन]] शामिल हैं, यह है

~~<math display=block>\langle f, g \rangle_{L^2} = \int_X f(x) \overline{g(x)}\, \mathrm dx.</math>~~

अब मामले पर विचार करें <math>p = \infty.</math> परिभाषित करना{{refn|group=note|The condition <math>\sup\operatorname{range} |x| < + \infty.</math> is not equivalent to <math>\sup\operatorname{range} |x|</math> being finite, unless <math>X \neq \varnothing.</math>}}

~~<math display="block">\ell^\infty(I)=\{x\in \mathbb K^I : \sup\operatorname{range}|x|<+\infty\},</math>~~

जहां सभी के लिए <math>x</math><ref>{{cite book|last1=Garling|first1=D. J. H.|title=Inequalities: A Journey into Linear Analysis|date=2007|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-87624-7|page=54}}</ref>{{refn|group=note|If <math>X = \varnothing</math> then <math>\sup\operatorname{range} |x| = - \infty.</math>}}

<math display="block">\|x\|_\infty\equiv\inf\{C \in \Reals_{\geq 0}:|x_i| \leq C\text{ for all } i \in I\} = \begin{cases}\sup\operatorname{range}|x|&\text{if } X\neq\varnothing,\\0&\text{if } X=\varnothing.\end{cases}</math>

सूचकांक सेट <math>I</math> इसे Σ-बीजगणित#सरल सेट-आधारित उदाहरण|असतत σ-बीजगणित और गिनती के उपाय देकर माप स्थान में बदला जा सकता है। फिर अंतरिक्ष <math>\ell^p(I)</math> अधिक सामान्य का सिर्फ एक विशेष मामला है <math>L^p</math>-स्पेस (नीचे परिभाषित)।

~~== एलp रिक्त स्थान और Lebesgue इंटीग्रल ==~~

यह सजातीय कार्य को परिभाषित करता जबकि यह उप कार्य को परिभाषित नहीं करता है क्योंकि यह उप-योगात्मक नहीं है दूसरी ओर यह सूत्र है

एक

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एलपी स्पेस: Difference between revisions

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 {{Short description|Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces}}
 {{For|the sequence space ℓ{{i sup|p}}|Sequence space#ℓp spaces}}
-गणित में  एलपी स्पेस [[ समारोह स्थान |समारोह का विशेष स्थान]] हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम [[हेनरी लेबेस्ग्यू]] के नाम पर रखा गया है  [[निकोलस बोरबाकी|जबकि निकोलस बोरबाकी]] समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। {{harv}}.
- {{math}}एलपी रिक्त स्थान [[कार्यात्मक विश्लेषण]] और सदिश  स्थान में रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं जो माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु द्वारा रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।
-== अनुप्रयोग ==
+ गणित में एलपी रिक्त स्थान एक कार्यक्रम स्थान हैं जो परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के लिए पी-मानदंड के प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है उन्हें कभी-कभी हेनरी लेबेस्ग्यू डनफोर्ड एंड श्वार्ट्ज 1958 के नाम पर लेबेस्ग्यू रिक्त कहा जाता है जबकि बोरबाकी समूह बोरबाकी 1987 के अनुसार उन्हें पहली बार फ्रिगेस रिज्जु द्वारा 1910 में पेश किया गया था।
+एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और करणीय सदिश रिक्त स्थान में बनच रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं  तथा माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु रिक्त स्थान का उपयोग करते हैं।
-=== सांख्यिकी ===
+=== एम्बेडिंग ===
+सामान्य बोलचाल में अगर <math>1 \leq p < q \leq \infty,</math> है तो इसमें ऐसे <math>L^p(S, \mu)</math>  कई कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व <math>L^q(S, \mu)</math> अधिक फैलाये जा सकते हैं तथा रेखा लेबेस्गु माप पर इसमें एक सतत कार्य <math>L^1</math> होता है जो अनंत की ओर तेजी से क्षय नहीं होता तथा यह दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है <math>L^\infty</math> को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति भी नहीं है इस तकनीकी के परिणाम निम्नलिखित है <ref name="VillaniEmbeddings2">{{Citation|title=Another note on the inclusion {{math|''L<sup>p</sup>''(''μ'') ⊂ ''L<sup>q</sup>''(''μ'')}}|last=Villani|first=Alfonso|year=1985|journal=Amer. Math. Monthly|volume=92|number=7|pages=485–487|doi=10.2307/2322503|mr=801221|jstor=2322503}}</ref>  जैसे कि <math>0 < p < q \leq \infty.</math> तब
-आँकड़ों में [[केंद्रीय प्रवृत्ति]] की माप और [[सांख्यिकीय फैलाव]] और [[मानक विचलन]] को किस संदर्भ में परिभाषित किया जाता है एलपी फलन और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को केंद्रीय प्रवृत्ति तथा संख्याओं की सारिणी को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है।
+# <math>L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)</math> अगर <math>S</math> परिमित के समूह नहीं होते हैं उदाहरण के लिए कोई परिमित माप।
+# <math>L^p(S, \mu) \subseteq L^q(S, \mu)</math> और <math>S</math> गैर-शून्य के समूह में सम्मिलित नहीं हैं लेकिन छोटे होते हैं।
-[[दंडित प्रतिगमन]] में एल 1 जुर्माना और एल 2 जुर्माना गाड़ी के अगले भाग में ज्यामिति को दंडित करने का संदर्भ देता है ।
+माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए अग्रसर नहीं हैं ये दोनों ही जगहों में व्याख्या करते हैं जिसकी पहचान एक चालक पर सीमित  है <math>L^q</math> को <math>L^p</math> की जगहों में और <math>L^p</math> को <math>L^q</math> क्षण में यह [[बंद ग्राफ प्रमेय]] और गुणों का परिणाम है तथा <math>L^p</math> रिक्त स्थान और डोमेन <math>S</math> परिमित माप  है जो इस प्रकार है-
+<math display="block">\ \|\mathbf{1}f^p\|_1 \leq \|\mathbf{1}\|_{q/(q-p)} \|f^p\|_{q/p}</math>
+तब
+<math display="block">\ \|f\|_p \leq \mu(S)^{1/p - 1/q} \|f\|_q .</math>
+उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाले निरंतर अर्थ में पहचान का [[ऑपरेटर मानदंड|मानदंड]] यह <math>I : L^q(S, \mu) \to L^p(S, \mu)</math> है जहाँ
+<math display="block">\|I\|_{q,p} = \mu(S)^{1/p - 1/q}</math>
+इसमें समानता ठीक उसी समय प्राप्त की जा सकती है <math>f = 1</math> <math>\mu</math>
+=== सघन उपस्थान ===
+इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं <math>1 \leq p < \infty.</math>एक माप स्थान पर बनें एक पूर्णांक जो सरल कार्य <math>f</math> पर <math>S</math> एक सामान्य रूप है जो इस प्रकार है
+<math display="block">f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}</math>
+जब <math>a_j</math> अदिश राशि है तो यह <math>A_j \in \Sigma</math> परिमित उपाय भी है और <math>{\mathbf 1}_{A_j}</math> समूह का सूचक कार्य है <math>A_j,</math>के लिए <math>j = 1, \dots, n.</math> एकीकरण के निर्माण से समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math>
-=== हिल्बर्ट रिक्त स्थान ===
+अगर <math>S</math> बढ़ते अनुक्रम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है <math>(V_n)</math> खुले समूहों का परिमित माप है फिर स्थान <math>p</math>-अभिन्न निरंतर कार्य में सघन है तो यह <math>L^p(S, \Sigma, \mu).</math> सीमित निरंतर कार्यों का उपयोग कर सकता है  क्योंकि यह खुले समूहों में गायब हो जाते हैं यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब <math>S = \Reals^d</math> और <math>\mu</math> लेबेस्ग उपाय इसमें सम्मिलित होता है तथा निरंतर और समर्थित कार्यों का स्थान सघन होता है जैसे <math>L^p(\Reals^d).</math> इसी तरह यह स्थान परिबद्ध अंतरालों के संकेतक कार्यों की रैखिक अवधि है जब <math>d = 1,</math>घिरे हुए आयतों का तथा <math>d = 2</math> परिबद्ध अंतरालों के उत्पादों के रूप में होता है।
-{{See also|Square-integrable function}}
-प्रमात्रा यांत्रिकी को लेकर [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस]] तक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं। रिक्त स्थान <math>L^2</math> और <math>\ell^2</math> दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं। वास्तव में, हिल्बर्ट आधार चुनकर <math>E,</math> यानी, एक अधिकतम ऑर्थोनॉर्मल सबसेट <math>L^2</math> या कोई हिल्बर्ट स्पेस, कोई देखता है कि हर हिल्बर्ट स्पेस आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है <math>\ell^2(E)</math> (वही <math>E</math> ऊपर के रूप में), यानी, हिल्बर्ट प्रकार का स्थान <math>\ell^2.</math>
+इसमें सामान्य कार्यों के कई गुण <math>L^p(\Reals^d)</math> पहले निरंतर रूप से समर्थित कार्यों के लिए सिद्ध होते हैं फिर घनत्व द्वारा सभी कार्यों के लिए विस्तारित होते हैं उदाहरण के लिए यह इस तरह सिद्ध होता है कि अनुवाद निरंतर जारी है जो निम्नलिखित अर्थ में है
+<math display="block">\forall f \in L^p \left(\Reals^d\right) : \quad \left\|\tau_t f - f \right\|_p \to 0,\quad \text{as } \Reals^d \ni t \to 0,</math>
+तब
+<math display="block">(\tau_t f)(x) = f(x - t).</math>
-== {{math|''p''}}}-परिमित आयामों में मानदंड ==
-[[Image:Vector-p-Norms qtl1.svg|thumb|right|[[ यूनिट सर्कल ]] के उदाहरण ([[superellipse]] भी देखें) में <math>\Reals^2</math> भिन्न पर आधारित है <math>p</math>-नॉर्म्स (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक होती है, लंबाई की गणना इसी के लंबाई-सूत्र के साथ की जाती है <math>p</math>).]]एक वेक्टर की लंबाई <math>x = (x_1, x_2, \dots, x_n)</math> में <math>n</math>-आयामी [[वास्तविक संख्या]] वेक्टर अंतरिक्ष <math>\Reals^n</math> आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है:
-<math display="block">\|x\|_2 = \left({x_1}^2 + {x_2}^2 + \dotsb + {x_n}^2\right)^{1/2}.</math>
-दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी <math>x</math> और <math>y</math> लंबाई है <math>\|x - y\|_2</math> दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा का। कई स्थितियों में, किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है। इसका एक सादृश्य टैक्सी ड्राइवरों द्वारा एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में सुझाया गया है, जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं, बल्कि [[टैक्सीकैब ज्यामिति]] के संदर्भ में मापना चाहिए, जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो ऑर्थोगोनल हैं या एक दूसरे के समानांतर। का वर्ग <math>p</math>-मानदंड इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित, भौतिकी और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के कई हिस्सों में इसके अनुप्रयोगों की बहुतायत है।
-=== परिभाषा ===
+== अनुप्रयोग ==
-वास्तविक संख्या के लिए <math>p \geq 1,</math> <math>p</math>-मानक या<math>L^p</math>-मानक <math>x</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
-<math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p\right)^{1/p}.</math>
-निरपेक्ष मान बार तब गिराए जा सकते हैं जब <math>p</math> एक परिमेय संख्या है जिसका एक सम अंश इसके घटे हुए रूप में है, और <math>x</math> वास्तविक संख्याओं के समुच्चय या उसके किसी एक उपसमुच्चय से निकाला जाता है।
-ऊपर से यूक्लिडियन मानदंड इस वर्ग में आता है और यह है <math>2</math>-मानदंड, और <math>1</math>-नॉर्म वह मानदंड है जो टैक्सीकैब ज्योमेट्री से मेल खाता है।
-<math>L^\infty</math>-norm या Chebyshev दूरी (या एकसमान मानदंड) की सीमा है <math>L^p</math>-मानदंड के लिए <math>p \to \infty.</math> यह पता चला है कि यह सीमा निम्नलिखित परिभाषा के बराबर है:
-<math display="block">\|x\|_\infty = \max \left\{|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|\right\}</math>
-एल-इन्फिनिटी देखें|{{math|''L''}}-अनंतता।
-सभी के लिए <math>p \geq 1,</math>  <math>p</math>ऊपर परिभाषित मानदंड और अधिकतम मानदंड वास्तव में लंबाई फ़ंक्शन (या [[मानदंड (गणित)]]) के गुणों को संतुष्ट करते हैं, जो कि हैं:
-*केवल शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य होती है,
-*सदिश की लंबाई एक अदिश (यूलर के सजातीय कार्य प्रमेय) द्वारा गुणन के संबंध में सकारात्मक सजातीय है, और
-*दो सदिशों के योग की लंबाई सदिशों की लंबाई के योग (त्रिकोण असमानता) से बड़ी नहीं है।
-संक्षेप में, इसका मतलब यह है कि <math>\Reals^n</math> इसके साथ <math>p</math>-नॉर्म एक [[नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस]] है। इसके अलावा, यह पता चला है कि यह स्थान पूर्ण है, इस प्रकार यह एक बनच स्थान बना रहा है। यह बनच स्थान है <math>L^p</math>-अंतरिक्ष खत्म <math>\{1, 2, \ldots, n\}.</math>
-==== के बीच संबंध {{math|''p''}}-मानदंड ==
-दो बिंदुओं के बीच की ग्रिड दूरी या सीधीरेखीय दूरी (कभी-कभी मैनहटन दूरी कहलाती है) उनके बीच के रेखाखंड की लंबाई से कम नहीं होती (यूक्लिडियन या कौवा मक्खियों की दूरी के रूप में)। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी सदिश का यूक्लिडियन मानदंड उसके 1-मानदंड से घिरा है:
-<math display="block">\|x\|_2 \leq \|x\|_1 .</math>
-यह तथ्य सामान्यीकृत करता है <math>p</math>-मानदंडों कि में <math>p</math>-आदर्श <math>\|x\|_p</math> किसी दिए गए वेक्टर का <math>x</math> साथ नहीं बढ़ता <math>p</math>:
-{{block indent | em = 1.5 | text = <math>\|x\|_{p+a} \leq \|x\|_p</math> for any vector <math>x</math> and real numbers <math>p \geq 1</math> and <math>a \geq 0.</math> (In fact this remains true for <math>0 < p < 1</math> and <math>a \geq 0</math> .)}}
-विपरीत दिशा के लिए, निम्नलिखित संबंध के बीच <math>1</math>-मानदंड और <math>2</math>-नॉर्म जाना जाता है:
-<math display="block">\|x\|_1 \leq \sqrt{n} \|x\|_2 ~.</math>
-यह असमानता आयाम पर निर्भर करती है <math>n</math> अंतर्निहित सदिश स्थान का और कॉची-श्वार्ज़ असमानता से सीधे अनुसरण करता है।
-सामान्य तौर पर, वैक्टर के लिए <math>\Complex^n</math> कहाँ <math>0 < r < p:</math>
-<math display="block">\|x\|_p \leq \|x\|_r \leq n^{\frac{1}{r} - \frac{1}{p}} \|x\|_p ~.</math>
-यह होल्डर की असमानता का परिणाम है।
-=== कब {{math|0 < ''p'' < 1}}===
+=== आंकड़े ===
+आँकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति और सांख्यिकीय फैलाव के उपाय जैसे कि माध्य , मध्यिका और मानक विचलन के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं तथा गणित और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है ।
-[[Image:Astroid.svg|thumb|right|[[एस्ट्रॉयड]], यूनिट सर्कल इन <math>p = \tfrac{2}{3}</math> मीट्रिक]]में <math>\Reals^n</math> के लिए <math>n > 1,</math> सूत्र
+दंडित प्रतिगमन में  L1 दंड और L2 दंड का अर्थ या तो दंडित करना है किसी समाधान के पैरामीटर मानों के सदिश का मानदण्ड अर्थात् इसके निरपेक्ष मानों का योग या इसके मानदंड तथा इसकी यूक्लिडियन लंबाई तकनीकें जो एलएएसएसओ जैसी L1 दंड का उपयोग करती हैं व समाधान को भी प्रोत्साहित करती हैं जहां कई पैरामीटर शून्य हैं तकनीकें जो L2 दंड का उपयोग करती हैं जैसे रिज प्रतिगमन उन समाधानों को प्रोत्साहित करती हैं जहां अधिकांश पैरामीटर मान छोटे होते हैं तथा लोचदार शुद्ध नियमितीकरण एक दंड अवधि का उपयोग करते हैं जो कि संयोजन है तथा मानदंड और पैरामीटर सदिश का मानदंड है।
-<math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2| ^p + \cdots + |x_n|^p\right)^{1/p}</math>
-के लिए एक बिल्कुल सजातीय कार्य को परिभाषित करता है <math>0 < p < 1;</math> हालाँकि, परिणामी फ़ंक्शन एक मानदंड को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि यह [[उप-विषमता]] नहीं है। दूसरी ओर सूत्र है
-<math display="block">|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p</math>
-पूर्ण एकरूपता खोने की कीमत पर उप-योगात्मक कार्य को परिभाषित करता है। यह एक [[एफ-स्पेस]] | एफ-नॉर्म को परिभाषित करता है, हालांकि, जो डिग्री का सजातीय है <math>p.</math>
-इसलिए, समारोह
-<math display="block">d_p(x, y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p</math>
-एक [[मीट्रिक स्थान]] परिभाषित करता है। मीट्रिक स्थान <math>(\Reals^n, d_p)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\ell_n^p.</math>
-हालांकि <math>p</math>-यूनिट बॉल <math>B_n^p</math> इस मीट्रिक में मूल के आसपास अवतल है, जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है <math>\Reals^n</math> मीट्रिक द्वारा <math>B_p</math> की सामान्य वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी है <math>\Reals^n,</math> इस तरह <math>\ell_n^p</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल]] टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है। इस गुणात्मक कथन से परे, उत्तलता की कमी को मापने का एक मात्रात्मक तरीका <math>\ell_n^p</math> द्वारा निरूपित करना है <math>C_p(n)</math> सबसे छोटा स्थिरांक <math>C</math> जैसे कि अदिश गुणक <math>C \, B_n^p</math> की <math>p</math>-यूनिट बॉल में उत्तल हल होता है <math>B_n^p,</math> जो बराबर है <math>B_n^1.</math> तथ्य यह है कि निश्चित के लिए <math>p < 1</math> अपने पास
-<math display="block">C_p(n) = n^{\tfrac{1}{p} - 1} \to \infty, \quad \text{as } n \to \infty</math>
-दिखाता है कि अनंत-आयामी अनुक्रम स्थान <math>\ell^p</math> नीचे परिभाषित, अब स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है।{{citation needed|date=November 2015}}
-=== कब {{math|1=''p'' = 0}}===
+=== हॉसडॉर्फ-यंग असमानता ===
+लिप्यंतरण वास्तविक रेखा के लिए रूपांतरित होता है जो आवधिक कार्यों के लिए लिप्यन्तरण नक्शे को क्रमशः यह रिज-थोरिन इंटरपोलेशन प्रमेय का परिणाम कहा जाता है तथा नियमित युवा असमानता के साथ बनाया गया है ।
-वहां एक है <math>\ell_0</math> मानदंड और एक अन्य कार्य जिसे कहा जाता है <math>\ell_0</math> मानदंड (उद्धरण चिह्नों के साथ)।
+इसके विपरीत  लिप्यन्तरण रूपांतरण में नक्शा नहीं होता है।
-गणितीय परिभाषा <math>\ell_0</math> मानदंड [[स्टीफन बानाच]] के रैखिक संचालन के सिद्धांत द्वारा स्थापित किया गया था। एफ-स्पेस ऑफ सीक्वेंस में एफ-स्पेस | एफ-नॉर्म द्वारा प्रदान की गई एक पूर्ण मीट्रिक टोपोलॉजी है
-<math display="block">(x_n) \mapsto \sum_n 2^{-n} \frac{|x_n|}{1 +|x_n|},</math>
-जिस पर मेट्रिक लीनियर स्पेस में स्टीफ़न रोलविक्ज़ द्वारा चर्चा की गई है।<ref name="RolewiczControl">{{Citation | title=Functional analysis and control theory: Linear systems | last=Rolewicz | first=Stefan | year=1987 | isbn=90-277-2186-6 | publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers | oclc=13064804 | edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk | series=Mathematics and its Applications (East European Series) | location=Dordrecht; Warsaw | volume=29 | pages=xvi+524| mr=920371| doi=10.1007/978-94-015-7758-8}}{{page needed|date=April 2016}}</ref>  <math>\ell_0</math>वें>-सामान्य स्थान का अध्ययन कार्यात्मक विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में किया जाता है।
-एक और समारोह कहा जाता था <math>\ell_0</math> [[डेविड डोनोहो]] द्वारा मानदंड - जिसका उद्धरण चिह्न चेतावनी देता है कि यह फ़ंक्शन एक उचित मानदंड नहीं है - वेक्टर की गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है <math>x.</math>{{Citation needed|date=September 2022}} कई लेखक उद्धरण चिह्नों को छोड़ कर [[शब्दावली का दुरुपयोग]] करते हैं। शून्य की घात शून्य की परिभाषा |<math>0^0 = 0,</math>का शून्य मानदंड <math>x</math> के बराबर है
-<math display="block">|x_1|^0 + |x_2|^0 + \cdots + |x_n|^0 .</math>
-[[File:Lp space animation.gif|alt=An animated gif of p-मानदंड 0.1 से 2 तक 0.05 के चरण के साथ। थंब| पी-मानदंड 0.1 से 2 का एक एनिमेटेड GIF 0.05 के चरण के साथ।]]यह एक आदर्श (गणित) नहीं है क्योंकि यह सजातीय कार्य नहीं है। उदाहरण के लिए, वेक्टर स्केलिंग <math>x</math> एक सकारात्मक स्थिरांक से मानदंड नहीं बदलता है। गणितीय मानदंड के रूप में इन दोषों के बावजूद, गैर-शून्य गणना मानदंड का [[वैज्ञानिक कंप्यूटिंग]], [[सूचना सिद्धांत]] और सांख्यिकी में उपयोग होता है - विशेष रूप से [[ संकेत आगे बढ़ाना ]] और कम्प्यूटेशनल [[हार्मोनिक विश्लेषण]] में संपीड़ित संवेदन में। मानक नहीं होने के बावजूद, संबंधित मीट्रिक, जिसे [[हैमिंग दूरी]] के रूप में जाना जाता है, एक मान्य दूरी है, क्योंकि दूरी के लिए समरूपता की आवश्यकता नहीं होती है।
+हिल्बर्ट रिक्त स्थान
-== {{math|''p''}}}- अनंत आयामों में मानदंड और {{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}} रिक्त स्थान ==
+वर्ग-समाकलनीय समीकरण कार्यक्रम का समाकलन।
-=== अनुक्रम स्थान {{math|''ℓ''{{i sup|''p''}}}}===
+प्रमात्रा यांत्रिकी से लेकर भारी गणना तक हिल्बर्ट रिक्त कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं रिक्त स्थान दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं वास्तव में हिल्बर्ट आधार चुनकर एक अधिकतम प्रसामान्य उप समूह कोई हिल्बर्ट रिक्त कोई  सममित रूप से समरूप का एक हिल्बर्ट स्थान है।
-{{Details|Sequence space}} <math>p</math>th>-norm को उन सदिशों तक बढ़ाया जा सकता है जिनमें अनंत संख्या में घटक ([[अनुक्रम]]) होते हैं, जो स्थान उत्पन्न करते हैं <math>\ell^p.</math>इसमें विशेष मामलों के रूप में शामिल हैं:
+== परिमित आयामों में पी ''- मानदंड'' ==
-* <math>\ell^1,</math> अनुक्रमों का स्थान जिसकी श्रृंखला [[पूर्ण अभिसरण]] है,
+इकाई वृत्तों के उदाहरण भिन्न पर आधारित है जैसे नॉर्म्स मूल इकाई वृत्त  रूपांतरण में प्रत्येक सदिश की लंबाई एक होती है क्योंकि लम्बाई की गणना इसी सूत्र के साथ की जाती है
-* <math>\ell^2,</math> वर्ग-संकलन योग्य अनुक्रमों का स्थान, जो एक हिल्बर्ट स्थान है, और
-* <math>\ell^\infty,</math> बंधे हुए अनुक्रमों का स्थान।
-अनुक्रमों के स्थान में जोड़ और अदिश गुणन निर्देशांक द्वारा समन्वय लागू करके एक प्राकृतिक वेक्टर अंतरिक्ष संरचना होती है। स्पष्ट रूप से, वास्तविक (या सम्मिश्र संख्या) संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के लिए सदिश योग और अदिश क्रिया इस प्रकार दी गई है:
+एक सदिश की लंबाई में-आयामी वास्तविक सदिश अंतरिक्ष आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है जो
-<math display="block">\begin{align}
-& (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1},\ldots) \\
-= {} & (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\ldots), \\[6pt]
-& \lambda \cdot \left (x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1},\ldots \right) \\
-= {} & (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\ldots).
-\end{align}</math>
-को परिभाषित करो <math>p</math>-आदर्श:
-<math display="block">\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots +|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \cdots\right)^{1/p}</math>
-यहाँ, एक जटिलता उत्पन्न होती है, अर्थात् दाईं ओर [[श्रृंखला (गणित)]] हमेशा अभिसारी नहीं होती है, उदाहरण के लिए, केवल एक से बना अनुक्रम, <math>(1, 1, 1, \ldots),</math> एक अनंत होगा <math>p</math>-मानक के लिए <math>1 \leq p < \infty.</math> अंतरिक्ष <math>\ell^p</math> तब वास्तविक (या जटिल) संख्याओं के सभी अनंत अनुक्रमों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि <math>p</math>-सामान्य परिमित है।
-ऐसे चेक कर सकते हैं <math>p</math> बढ़ता है, सेट <math>\ell^p</math> बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम
+दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी और लंबाई है दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा कई स्थितियों में किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में टैक्सी चालकों द्वारा इसका एक उपाय सुझाया गया है जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं बल्कि सीधी रेखा की दूरी को संदर्भ में मापना चाहिए जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो समकोण हैं या एक दूसरे के समानांतर वर्ग का मानदंड हैं जो इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित , भौतिकी ,और कंप्यूटर विज्ञान के कई हिस्सों में अनुप्रयोगों की सहायता करते हैं।
-<math display="block">\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots\right)</math>
-इसमें नहीं है <math>\ell^1,</math> लेकिन यह अंदर है <math>\ell^p</math> के लिए <math>p > 1,</math> श्रृंखला के रूप में
-<math display="block">1^p + \frac{1}{2^p} + \cdots + \frac{1}{n^p} + \frac{1}{(n+1)^p} + \cdots,</math>
-के लिए भिन्न होता है <math>p = 1</math> ([[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]]), लेकिन के लिए अभिसारी है <math>p > 1.</math>
-एक भी परिभाषित करता है <math>\infty</math>-नॉर्म [[ अंतिम ]] का उपयोग करना:
-<math display="block">\|x\|_\infty = \sup(|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|,|x_{n+1}|, \ldots)</math>
-और संबंधित स्थान <math>\ell^\infty</math> सभी बंधे हुए अनुक्रमों में से। यह पता चला है कि<ref>{{Citation| last1=Maddox | first1=I. J. | title=Elements of Functional Analysis | publisher=CUP | location=Cambridge | edition=2nd | year=1988}}, page 16</ref>
-<math display="block">\|x\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p</math>
-यदि दाहिना भाग परिमित है, या बायाँ पक्ष अनंत है। इस प्रकार, हम विचार करेंगे <math>\ell^p</math> के लिए रिक्त स्थान <math>1 \leq p \leq \infty.</math>
- <math>p</math>वें>-मानदंड इस प्रकार परिभाषित किया गया <math>\ell^p</math> वास्तव में एक आदर्श है, और <math>\ell^p</math> इस मानदंड के साथ एक बनच स्थान है। पूरी तरह से सामान्य <math>L^p</math> स्थान प्राप्त किया जाता है - जैसा कि नीचे देखा गया है - सदिशों पर विचार करके, न केवल परिमित या गणनीय-अपरिमित रूप से कई घटकों के साथ, बल्कि मनमाने ढंग से कई घटकों के साथ; दूसरे शब्दों में, कार्य (गणित)। एक योग के बजाय एक [[अभिन्न]] का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जाता है <math>p</math>-आदर्श।
-=== सामान्य ℓ<sup>पी </सुप>-अंतरिक्ष ===
-पूर्ववर्ती परिभाषा के पूर्ण सादृश्य में कोई स्थान को परिभाषित कर सकता है <math>\ell^p(I)</math> एक सामान्य [[सूचकांक सेट]] पर <math>I</math> (और <math>1 \leq p < \infty</math>) जैसा
+इकाई वृत्त प्रवेशिका
-<math display="block">\ell^p(I) = \left\{(x_i)_{i\in I} \in \mathbb{K}^I : \sum_{i \in I} |x_i|^p < +\infty\right\},</math>
-जहां दाईं ओर अभिसरण का अर्थ है कि केवल गिने-चुने योग शून्येतर हैं ([[बिना शर्त अभिसरण]] भी देखें)।
-आदर्श के साथ
-<math display="block">\|x\|_p = \left(\sum_{i\in I} |x_i|^p\right)^{1/p}</math>
-अंतरिक्ष <math>\ell^p(I)</math> बनच स्थान बन जाता है।
-मामले में जहां <math>I</math> के साथ परिमित है <math> n</math> तत्व, यह निर्माण उपज देता है <math>\Reals^n</math> साथ <math>p</math>-मानदंड ऊपर परिभाषित।
-अगर <math>I</math> गणनीय रूप से अनंत है, यह बिल्कुल अनुक्रम स्थान है <math>\ell^p</math> ऊपर परिभाषित।
-बेशुमार सेट के लिए <math>I</math> यह एक गैर-वियोज्य अंतरिक्ष बनच स्थान है जिसे स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष की [[प्रत्यक्ष सीमा]] के रूप में देखा जा सकता है <math>\ell^p</math>-अनुक्रम रिक्त स्थान।<ref>Rafael Dahmen, Gábor Lukács: ''Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.'' in: ''Topology and its Applications'' Nr. 270, 2020. Example 2.14 </ref>
-के लिए <math>p = 2,</math>  <math>\|\,\cdot\,\|_2</math>-मानदंड भी एक विहित आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है <math>\langle \,\cdot,\,\cdot\rangle,</math> इसको कॉल किया गया{{visible anchor|Euclidean inner product}}, जिसका अर्थ है कि <math>\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle}</math> सभी वैक्टर के लिए धारण करता है <math>\mathbf{x}.</math> यह आंतरिक उत्पाद [[ध्रुवीकरण पहचान]] का उपयोग करके मानदंड के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-पर <math>\ell^2,</math> द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
-<math display=block>\langle \left(x_i\right)_{i}, \left(y_n\right)_{i} \rangle_{\ell^2} ~=~ \sum_i x_i \overline{y_i}</math>
-जबकि अंतरिक्ष के लिए <math>L^2(X, \mu)</math> एक माप (गणित) के साथ संबद्ध <math>(X, \Sigma, \mu),</math> जिसमें सभी [[स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन]] शामिल हैं, यह है
- <math display=block>\langle f, g \rangle_{L^2} = \int_X f(x) \overline{g(x)}\, \mathrm dx.</math>
-अब मामले पर विचार करें <math>p = \infty.</math> परिभाषित करना{{refn|group=note|The condition <math>\sup\operatorname{range} |x| < + \infty.</math> is not equivalent to <math>\sup\operatorname{range} |x|</math> being finite, unless <math>X \neq \varnothing.</math>}}
-<math display="block">\ell^\infty(I)=\{x\in \mathbb K^I : \sup\operatorname{range}|x|<+\infty\},</math>
-जहां सभी के लिए <math>x</math><ref>{{cite book|last1=Garling|first1=D. J. H.|title=Inequalities: A Journey into Linear Analysis|date=2007|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-87624-7|page=54}}</ref>{{refn|group=note|If <math>X = \varnothing</math> then <math>\sup\operatorname{range} |x| = - \infty.</math>}}
-<math display="block">\|x\|_\infty\equiv\inf\{C \in \Reals_{\geq 0}:|x_i| \leq C\text{ for all } i \in I\} = \begin{cases}\sup\operatorname{range}|x|&\text{if } X\neq\varnothing,\\0&\text{if } X=\varnothing.\end{cases}</math>
-सूचकांक सेट <math>I</math> इसे Σ-बीजगणित#सरल सेट-आधारित उदाहरण|असतत σ-बीजगणित और गिनती के उपाय देकर माप स्थान में बदला जा सकता है। फिर अंतरिक्ष <math>\ell^p(I)</math> अधिक सामान्य का सिर्फ एक विशेष मामला है <math>L^p</math>-स्पेस (नीचे परिभाषित)।
-== एल<sup>p</sup> रिक्त स्थान और Lebesgue इंटीग्रल ==
+यह सजातीय कार्य को परिभाषित करता जबकि यह उप कार्य को परिभाषित नहीं करता है क्योंकि यह उप-योगात्मक नहीं है दूसरी ओर यह सूत्र है
-एक