सांकेतिक ग्राफ: Difference between revisions

[[File:Pox.jpg|thumb|एक त्रिकोण की भुजाओं के लिए चिन्हों को आठ प्रकार से निर्दिष्ट किया जा सकता है। [[फ्रिट्ज हैडर]] के सिद्धांत के अनुसार, विषम संख्या में ऋणात्मक चिह्न एक असंतुलित त्रिभुज बनाते हैं।]]गणित में आलेख सिद्धांत के क्षेत्र में, हस्ताक्षरित आलेख एक आलेख होता है जिसमें प्रत्येक किनारे पर एक धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न होता है।

एक हस्ताक्षरित आलेख संतुलित होता है यदि प्रत्येक चक्र के किनारे के संकेतों का उत्पाद धनात्मक होता है। <nowiki>''हस्ताक्षरित आलेख''</nowiki> नाम और संतुलन की धारणा पहली बार 1953 में [[फ्रैंक हैरिस|फ्श्रेणी हैरी]] के एक गणितीय लेख में दिखाई है।<ref name=harnb>{{citation|last=Harary |first=Frank |author-link=Frank Harary |journal=[[Michigan Mathematical Journal]] |mr=0067468 |pages=143–146 |title=On the notion of balance of a signed graph |url=http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.mmj/1028989917 |archive-url=https://archive.today/20130415153307/http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.mmj/1028989917 |url-status=dead |archive-date=2013-04-15 |volume=2 |year=1955}}</ref> डेन्स कोनिग ने पहले से ही 1936 में एक अलग शब्दावली के अंतर्गत समतुल्य धारणाओं का अध्ययन किया था, लेकिन चिन्ह समूह की प्रासंगिकता को पहचाने बिना किया था।<ref name=koenig>{{citation | last = Kőnig | first = Dénes | author-link = Dénes Kőnig | editor = [[Akademische Verlagsgesellschaft]] | title = Theorie der endlichen und unendlichen Graphen | year = 1936 }}</ref> मिशिगन विश्वविद्यालय में समूह गतिशीलता के केंद्र में, [[डोरविन कार्टराईट]] और हैरी ने फ्रिट्ज हैडर के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत के त्रिकोण में संतुलन के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत को हस्ताक्षरित रेखांकन में [[संतुलन सिद्धांत|संतुलन]] के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत के रूप में सामान्यीकृत किया था।<ref name=carhar>{{cite journal |last1=Cartwright |first1=D. |first2=Frank |last2=Harary |year=1956 |title=Structural balance: a generalization of Heider's theory |journal=[[Psychological Review]] |volume=63 |issue=5 |pages=277–293 |doi=10.1037/h0046049 |pmid=13359597 |url=https://snap.stanford.edu/class/cs224w-readings/cartwright56balance.pdf }}</ref><ref>[[Steven Strogatz]] (2010), [http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/02/14/the-enemy-of-my-enemy/?ref=opinion&_r=0 The enemy of my enemy], The [[New York Times]], February 14, 2010</ref>

हस्ताक्षरित रेखांकन बहुत बार पुनः खोजे गए हैं क्योंकि वे कई असंबद्ध क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से सामने आते हैं।<ref>{{citation

  | year = 1998}}.</ref> उदाहरण के लिए, वे प्राचीन[[ मूल प्रक्रिया | मूल प्रक्रिया]] के उपसमुच्चय की ज्यामिति का वर्णन और विश्लेषण करने में सक्षम हैं। वे [[ टोपोलॉजिकल ग्राफ सिद्धांत |सांस्थितिक मानचित्र सिद्धांत]] और[[ समूह सिद्धांत | समूह सिद्धांत]] में दिखाई देते हैं। वे आलेख में विषम और सम चक्रों के बारे में प्रश्नों के लिए एक स्वाभाविक संदर्भ हैं। वे अलोहचुंबकीय [[आइसिंग मॉडल|आइसिंग निदर्श]] में आधार अवस्था ऊर्जा की गणना में दिखाई देते हैं; इसके लिए Σ में सबसे बड़ा संतुलित कोर समुच्चय खोजने की आवश्यकता है। उन्हें [[सहसंबंध क्लस्टरिंग|सहसंबंध गुच्छन]] में डेटा वर्गीकरण पर उपयोजित किया गया है।

एक पथ का चिह्न उसके किनारों के चिह्नों का गुणनफल होता है। इस प्रकार एक पथ तभी धनात्मक होता है जब उसमें सम संख्या में ऋणात्मक किनारे (जहाँ शून्य सम है) होते है। फ्श्रेणी हैरी के गणितीय संतुलन सिद्धांत में, प्रत्येक चक्र धनात्मक होने पर एक हस्ताक्षरित आलेख संतुलित होता है। हैरी सिद्ध करता है कि एक हस्ताक्षरित आलेख संतुलित होता है जब (1) नोड्स के प्रत्येक जोड़े के लिए, उनके मध्य के सभी पंथ का एक ही चिह्न होता है, या (2) शीर्षों को उपसमुच्चय (संभवतः रिक्त) की एक जोड़ी में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक में केवल धनात्मक किनारे होते हैं, लेकिन ऋणात्मक किनारों से जुड़े होते हैं।<ref name="harnb" /> यह प्रमेय का सामान्यीकरण करता है कि एक साधारण (अहस्ताक्षरित) आरेख द्विभाज्य होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक चक्र की लंबाई समान होती है।

एक साधारण प्रमाण स्विचिंग की विधि का उपयोग करता है। एक हस्ताक्षरित आलेख को स्विच करने का अर्थ है शीर्ष उपसमुच्चय और उसके पूरक के मध्य सभी किनारों के संकेतों को उत्क्रम कर देना है। हैरी के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, प्रेरण द्वारा दिखाया गया है कि Σ को सभी धनात्मक होने के लिए स्विच किया जा सकता है अगर यह संतुलित है।

एक मंद प्रमेय, लेकिन एक सरल प्रमाण के साथ, यह है कि यदि हस्ताक्षरित पूर्ण आलेख में प्रत्येक 3-चक्र धनात्मक है, तो आलेख संतुलित है। प्रमाण के लिए, एक स्वेच्छाचारी नोड ''n'' का चयन करे और इसे और उन सभी नोड्स को रखें जो ''n'' से एक समूह में धनात्मक किनारे से जुड़े होते हैं, जिन्हें ''A'' कहा जाता है, और वे सभी जो n से दूसरे में एक ऋणात्मक किनारो से जुड़े होते हैं, जिन्हें ''B'' कहा जाता है। यह एक पूर्ण आरेख है, ''A'' में प्रत्येक दो नोड मित्र होने चाहिए और ''B'' में प्रत्येक दो नोड मित्र होने चाहिए, अन्यथा एक 3-चक्र होगा जो असंतुलित था। (क्योंकि यह एक पूर्ण आरेख है, कोई भी ऋणात्मक किनारा असंतुलित 3-चक्र का कारण होगा।) इसी तरह, सभी ऋणात्मक किनारों को दो समूहों के मध्य जाना चाहिए।<ref>[http://www.scienceoftheweb.org/15-396/lectures/lecture03.pdf Luis Von Ahn Science of the Web Lecture 3 p. 28]</ref>

एक और समतुल्य परिभाषा है (जिसे स्विच करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है)। प्रत्येक शीर्ष को +1 या -1 का मान दें; हम इसे Σ की स्थिति कहते हैं। एक किनारे को संतुष्ट कहा जाता है यदि यह धनात्मक है और दोनों समापन बिंदुओं का मान समान है, या यह ऋणात्मक है और अंत बिंदुओं के विपरीत मान हैं। एक किनारा जो संतुष्ट नहीं होता है उसे कुंठा कहा जाता है। सभी अवस्था में कुंठित किनारों की सबसे छोटी संख्या कुंठा सूचकांक है। यह परिभाषा पहली बार एबेलसन और रोसेनबर्ग द्वारा (अप्रचलित) सम्मिश्रता के अंतर्गत एक अलग संकेतन में प्रस्तावित की गई थी।<ref>Robert P. Abelson; Milton J. Rosenberg (1958), Symbolic psycho-logic: a model of attitudinal cognition,  ''Behavioral Science'' 3, 1–13.</ref> ऐसे समुच्चय का पूरक सबसे संभावित किनारों के साथ Σ का संतुलित उपआरेख है।

कुंठा सूचकांक खोजना एक [[NP-कठिन]] समस्या है। अरेफ एट अल द्विआधारी क्रमादेश निदर्श का सुझाव देते हैं जो उचित समय में 105 किनारों तक आरेख के कुंठा सूचकांक की गणना करने में सक्षम हैं।<ref>{{cite arXiv|last1=Aref|first1=Samin|last2=Mason|first2=Andrew J.|last3=Wilson|first3=Mark C.|date=2019|title=हस्ताक्षरित नेटवर्क में हताशा सूचकांक का एक मॉडलिंग और कम्प्यूटेशनल अध्ययन|eprint=1611.09030|class=cs.SI}}</ref><ref>{{Citation|last1=Aref|first1=Samin|title=Computing the Line Index of Balance Using Integer Programming Optimisation|date=2018|work=Optimization Problems in Graph Theory: In Honor of Gregory Z. Gutin's 60th Birthday|pages=65–84|editor-last=Goldengorin|editor-first=Boris|series=Springer Optimization and Its Applications|publisher=Springer International Publishing|language=en|doi=10.1007/978-3-319-94830-0_3|isbn=9783319948300|last2=Mason|first2=Andrew J.|last3=Wilson|first3=Mark C.|arxiv=1710.09876|s2cid=27936778}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Aref|first1=Samin|last2=Wilson|first2=Mark C|date=2019-04-01|editor-last=Estrada|editor-first=Ernesto|title=हस्ताक्षरित नेटवर्क में संतुलन और हताशा|journal=Journal of Complex Networks|language=en|volume=7|issue=2|pages=163–189|doi=10.1093/comnet/cny015|issn=2051-1329|arxiv=1712.04628}}</ref> कोई भी [[NP-कठिन]] सम्मिश्रता देख सकता है कि सभी-ऋणात्मक हस्ताक्षरित आलेख की कुंठा सूचकांक आलेख सिद्धांत में [[मैक्सकट|अधिकतम]] कम समस्या के समान है, जो [[NP-कठिन]] है।

[[स्पिन ग्लास|प्रचक्रण ग्लास]] के एक निदर्श, मिश्रित आइसिंग निदर्श में कुंठा सूचकांक महत्वपूर्ण है। इस निदर्श में, हस्ताक्षरित आलेख निश्चित है। एक स्थिति में प्रत्येक शीर्ष पर "प्रचक्रण", या तो "ऊपर" या "नीचे" सम्मलित है। हम प्रचक्रण ऊपर को +1 और प्रचक्रण नीचे को -1 मानते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक अवस्था में कई कुंठित किनारे हैं। एक अवस्था की ऊर्जा तब बड़ी होती है जब उसके पास अधिक कुंठित किनारे होते हैं, इसलिए एक मूल अवस्था सबसे कम कुंठित ऊर्जा वाली अवस्था होती है। इस प्रकार, $$\ $ की मूल अवस्था ऊर्जा का पता लगाने के लिए किसी को कुंठा सूचकांक का पता लगाना होता है।

हस्ताक्षरित आलेख के विषय में तीन मूलभूत प्रश्न हैं: क्या यह संतुलित है? इसमें समुच्चय किए गए संतुलित किनारो का सबसे बड़ा आकार क्या है? इसे संतुलित करने के लिए हटाए जाने वाले[[ शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) | शीर्षों]] की सबसे छोटी संख्या क्या है? बहुपद काल में पहला प्रश्न का समाधान करना आसान है। दूसरे प्रश्न को कुंठा सूचकांक या अधिकतम संतुलित उपआरेख समस्या कहा जाता है। यह NP-कठिन है क्योंकि इसका विशेष प्रकरण (जब आरेख के सभी किनारे ऋणात्मक हैं) NP-कठिन समस्या अधिकतम कटौती है। तीसरे प्रश्न को कुंठा संख्या या अधिकतम संतुलित प्रेरित उपआरेख समस्या कहा जाता है, यह NP-कठिन भी है; उदाहरण देखें<ref name=ggmz>{{cite journal |last1=Gülpinar |first1=N. |first2=G. |last2=Gutin |author-link2=Gregory Gutin|first3=G. |last3=Mitra |first4=A. |last4=Zverovitch |year=2004 |title=हस्ताक्षरित रेखांकन का उपयोग करके रैखिक कार्यक्रमों में शुद्ध नेटवर्क सबमैट्रिसेस निकालना|journal=[[Discrete Appl. Math.]] |volume=137 |issue=3 |pages=359–372|doi=10.1016/S0166-218X(03)00361-5 }}</ref>

एक हस्ताक्षरित आलेख से जुड़े दो मैट्रोइड्स हैं, जिन्हें चिन्ह-आलेखिक [[ matroid |मैट्रॉइड]] कहा जाता है (जिसे फ़्रेम मैट्रॉइड या कभी-कभी अभिनति मैट्रोइड भी कहा जाता है) और लिफ्ट मैट्रोइड, जो दोनों एक आलेख के चक्र मैट्रॉइड को सामान्य करते हैं। वे [[पक्षपाती ग्राफ|अभिनत आरेख]] के समान मैट्रोइड्स के विशेष प्रकरण हैं।

'फ़्रेम मेट्रॉइड' (या 'चिन्ह-आलेखिक मैट्रॉइड') M(G) ने इसके आधार समुच्चय के लिए कोर समुच्चय E के लिए है।<ref>{{citation | last = Zaslavsky | first = Thomas|author-link=Thomas Zaslavsky| doi = 10.1016/0166-218X(82)90033-6 | issue = 1 | journal = [[Discrete Applied Mathematics]] | mr = 676405 | pages = 47–74 | title = Signed graphs | volume = 4 | year = 1982| hdl = 10338.dmlcz/127957 | hdl-access = free }}. Erratum.  ''Discrete Applied Mathematics'', '''5''' (1983), 248</ref> एक कोर समुच्चय स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक घटक में या तो कोई वृत्त नहीं होता है या केवल एक वृत्त होता है, जो ऋणात्मक होता है। ([[ मैट्रोइड सिद्धांत |मैट्रोइड सिद्धांत]] में एक अर्ध-कोर यथार्थत: ऋणात्मक लूप की तरह काम करता है।) मैट्रॉइड का एक परिपथ या तो एक धनात्मक वृत्त होता है, या एक संयोजक सामान्य पथ के साथ ऋणात्मक वृत्त का एक जोड़ा होता है, जैसे कि दो वृत्त या तो अलग हो जाते हैं (फिर संयोजक पथ में प्रत्येक वृत्त के साथ सामान्य एक अंत होता है और अन्यथा दोनों से अलग होता है) या केवल एक सामान्य शीर्ष अनुकरण (इस प्रकरण में संयोजक पथ वह एकल शीर्ष है) करता है। कोर समुच्चय S की कोटि n - b है, जहाँ n, G के शीर्षों की संख्या है और b, S के संतुलित घटकों की संख्या है, पृथक शीर्षों को संतुलित घटकों के रूप में गिना जाता है। यह मेट्रॉइड हस्ताक्षरित आलेख के आपतन आव्यूह का स्तंभ मेट्रॉइड है। यही कारण है कि यह प्राचीन मूल तंत्र की मूलांश की रैखिक निर्भरताओं का वर्णन करता है।

'विस्तारित लिफ्ट मैट्रॉइड' ''L''₀(''G'') ने अपने आधार के लिए समुच्चय ''E''₀ को कोर समुच्चय E के एक अतिरिक्त बिंदु के साथ समुच्चय किया है, जिसे हम ''e''₀ से निरूपित करते है। लिफ्ट मैट्रॉइड ''L''(''G'') ''E'' तक सीमित विस्तारित लिफ्ट मैट्रॉइड है। अतिरिक्त बिंदु यथार्थत: ऋणात्मक लूप की तरह फलन करता है, इसलिए हम केवल लिफ्ट मैट्रॉइड का वर्णन करते हैं। एक किनारे का समुच्चय स्वतंत्र होता है यदि इसमें या तो कोई वृत्त नहीं होता है या केवल एक वृत्त होता है, जो ऋणात्मक होता है। (यह वही नियम है जो हस्ताक्षरित-आलेखिक मैट्रोइड में प्रत्येक घटक के लिए अलग से उपयोजित होता है।) एक मैट्रॉइड परिपथ या तो एक धनात्मक वृत्त या ऋणात्मक वृत्तों का एक जोड़ होता है जो या तो अलग हैं या केवल एक सामान्य शीर्ष है। कोर समुच्चय ''S'' की श्रेणी ''n'' - ''c'' + ε है, जहां ''c'' वियुक्त शीर्षों की गणना करते हुए ''S'' के घटकों की संख्या है, और ε 0 है यदि S संतुलित है और 1 यदि यह नहीं है।

== अन्य प्रकार के हस्ताक्षरित आलेख ==

कभी-कभी संकेतों को +1 और -1 मान लिया जाता है। यह केवल अंकन का अंतर है, यदि संकेतों को अभी भी एक वृत्त के चारों ओर गुणा किया जाता है और गुणनफल का चिह्न महत्वपूर्ण है। हालांकि, किनारे के लेबल का उपचारण करने के दो अन्य प्रकार हैं जो हस्ताक्षरित आलेख सिद्धांत में उपयुक्त नहीं होते हैं।

हस्ताक्षरित आलेख शब्द को कभी-कभी आलेख पर उपयोजित किया जाता है जिसमें प्रत्येक किनारे का भार, w(e) = +1 या -1 होता है। ये एक ही प्रकार के हस्ताक्षरित आलेख नहीं हैं; वे एक प्रतिबंधित भार समुच्चय के साथ भारित [[ग्राफ (असतत गणित)|आरेख (असतत गणित)]] हैं। अंतर यह है कि भार जोड़ा जाता है, गुणा नहीं किया जाता है। समस्याएं और प्रकार पूरी तरह से अलग हैं।

नाम उन आलेखों पर भी उपयोजित होता है जिनमें संकेत किनारों पर रंगों के रूप में फलन करते हैं। रंग का महत्व यह है कि यह किनारे पर लगाए गए विभिन्न भारों को निर्धारित करता है, और ऐसा नहीं है कि इसका चिन्ह आंतरिक रूप से महत्वपूर्ण है। [[गाँठ सिद्धांत|ग्रंथि सिद्धांत]] में यह स्थिति है, जहाँ संकेतों का केवल महत्व यह है कि उन्हें द्वि-तत्व समूह द्वारा परस्पर बदला जा सकता है, लेकिन धनात्मक और ऋणात्मक के मध्य कोई आंतरिक अंतर नहीं है। सांकेतिक रंग के आलेख का मैट्रोइड अंतर्निहित आलेख का चक्र मैट्रोइड है; यह हस्ताक्षरित आलेख का फ्रेम या लिफ्ट मैट्रॉइड नहीं है। चिन्ह लेबल, मैट्रोइड को बदलने के बदले, मैट्रोइड के तत्वों पर संकेत बन जाते हैं।

इस लेख में हम यथार्थ अर्थों में केवल हस्ताक्षरित आलेख सिद्धांत पर विचार करते हैं। सांकेतिक रंग के आलेख के लिए [[रंगीन मैट्रोइड|रंगीन मैट्रोइड्स]] देखें।

===हस्ताक्षरित दिशा आरेख ===

एक हस्ताक्षरित दिशा आरेख हस्ताक्षरित चाप के साथ एक [[निर्देशित ग्राफ|निर्देशित आरेख]] है। हस्ताक्षरित दिशा आरेख  हस्ताक्षरित आलेख की तुलना में कहीं अधिक सम्मिश्र हैं, क्योंकि केवल निर्देशित चक्रों के संकेत ही महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, संतुलन की कई परिभाषाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक को चित्रित करना कठिन है, हस्ताक्षरित अप्रत्यक्ष रेखांकन की स्थिति के विपरीत हैं।

हस्ताक्षरित द्विलेखों को अभिविन्यस्त के साथ अस्पष्ट नहीं होना चाहिए। उत्तरार्द्ध द्विदिश रेखांकन हैं, निर्देशित रेखांकन नहीं (सभी धनात्मक संकेतों के तुच्छ प्रकरण को छोड़कर) हैं।

एक शीर्ष-हस्ताक्षरित आलेख, जिसे कभी-कभी चिह्नित आलेख कहा जाता है, एक आलेख होता है जिसके शीर्षों को संकेत दिए जाते हैं। एक वृत्त को संगत कहा जाता है (लेकिन यह तार्किक स्थिरता से असंबंधित है) या सामंजस्यपूर्ण कहा जाता है यदि इसके शीर्ष संकेतों का गुणनफल धनात्मक है, और भिन्न या असंगत है यदि उत्पाद ऋणात्मक है। हरारी के संतुलन प्रमेय के अनुरूप सामंजस्यपूर्ण शीर्ष-हस्ताक्षरित रेखांकन का कोई सरल लक्षण वर्णन नहीं है; इसके बदले, अभिलक्षण एक कठिन समस्या रही है, जोगलेकर, शाह और दीवान (2012) द्वारा सबसे अच्छा समाधान (और भी सामान्यतः) किया गया है।<ref name="JSD">Manas Joglekar, Nisarg Shah, and Ajit A. Diwan (2012), "Balanced group labeled graphs", ''Discrete Mathematics'', vol. 312, no. 9, pp. 1542–1549.</ref>

प्रमुख परिवर्तन के बिना शीर्ष संकेतों के सिद्धांत में किनारे के संकेतों को जोड़ना प्रायः आसान होता है; इस प्रकार, शीर्ष-हस्ताक्षरित आलेख (या चिह्नित हस्ताक्षरित आलेख) के लिए कई परिणाम स्वाभाविक रूप से शीर्ष-और-किनारे-हस्ताक्षरित आलेख तक विस्तारित होते हैं। जोगलेकर, शाह और दीवान (2012) द्वारा सद्भाव के अभिलक्षणन वर्णन के लिए यह विशेष रूप से सत्य है।

एक चिह्नित हस्ताक्षरित आलेख और एक अवस्था फलन के साथ एक हस्ताक्षरित आलेख के मध्य का अंतर (§ कुंठा के रूप में) यह है कि पूर्व में शीर्ष संकेत आवश्यक संरचना का भाग हैं, जबकि एक अवस्था फलन हस्ताक्षरित आलेख पर एक चर फलन है।

अहस्ताक्षरित आलेख सिद्धांत के साथ, हस्ताक्षरित आलेख रंग की एक धारणा है। जहाँ आलेख का [[ग्राफ रंग|रंग]] शीर्ष समुच्चय से प्राकृतिक संख्याओं तक मानचित्रण है, एक हस्ताक्षरित आलेख का रंग शीर्ष समुच्चय से पूर्णांकों तक मानचित्रण है। उचित रंगों पर प्रतिबंध हस्ताक्षरित आलेख के किनारों से आती हैं। दो शीर्षों को निर्दिष्ट पूर्णांक भिन्न होने चाहिए यदि वे एक धनात्मक किनारे से जुड़े होते है। यदि कोने एक ऋणात्मक किनारे से जुड़े हुए हैं, तो आसन्न कोने पर लेबल योगात्मक व्युत्क्रम नहीं होना चाहिए। धनात्मक लूप के साथ हस्ताक्षरित आलेख का कोई उचित रंग नहीं हो सकता है।

अधिकतम प्राकृतिक संख्या k पर परिमाण के साथ पूर्णांक के समुच्चय पर शीर्ष लेबल को प्रतिबंधित करते समय, एक हस्ताक्षरित आलेख के उचित रंगों का समुच्चय परिमित होता है। ऐसे उचित रंगों की संख्या और k के मध्य का संबंध k में एक बहुपद है; जब इसे <math>2k+1</math> के संदर्भ में व्यक्त किया गया है तो इसे हस्ताक्षरित आलेख का [[रंगीन बहुपद]] कहा जाता है। यह एक अहस्ताक्षरित आलेख के रंगीन बहुपद के अनुरूप है।

सामाजिक मनोविज्ञान में, हस्ताक्षरित रेखांकन का उपयोग सामाजिक स्थितियों को निदर्श करने के लिए किया गया है, धनात्मक किनारों के साथ दोस्ती का प्रतिनिधित्व करते हैं और नोड्स के मध्य ऋणात्मक किनारों की द्वेष, जो लोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं।<ref name=carhar/> फिर, उदाहरण के लिए, एक धनात्मक 3-चक्र या तो तीन परस्पर मित्र हैं, या एक सामान्य शत्रु वाले दो मित्र हैं; जबकि एक ऋणात्मक 3-चक्र या तो तीन परस्पर शत्रु हैं, या दो शत्रु हैं जो एक पारस्परिक मित्र साझा करते हैं। संतुलन सिद्धांत के अनुसार, धनात्मक चक्र संतुलित होते हैं और इन्हें स्थिर सामाजिक स्थिति माना जाता है, जबकि ऋणात्मक चक्र असंतुलित होते हैं और इन्हें अस्थिर माना जाता है। सिद्धांत के अनुसार, तीन पारस्परिक शत्रुओं के प्रकरण में, ऐसा इसलिए है क्योंकि एक सामान्य शत्रु को साझा करने से दो शत्रुओं के मित्र बनने की संभावना होती है। एक मित्र को साझा करने वाले दो दुश्मनों के प्रकरण में, साझा मित्र एक दूसरे को चयन करने की संभावना रखता है और अपनी दोस्ती में से एक को दुश्मन में बदल देता है।