अनुरूप समूह: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{Group theory sidebar |Topological}} गणित में, एक आंतरिक उत्पाद स्थान का अनुरूप समूह अंत...") |
No edit summary |
||
| (8 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Group theory sidebar |Topological}} | {{Group theory sidebar |Topological}} | ||
गणित में, | गणित में, किसी [[आंतरिक उत्पाद स्थान|आंतरिक गुणांक स्थान]] का संरूप समूह, समष्टियों में परिवर्तनों का वह [[समूह (गणित)|समूह]] होता है जो परिवर्तन के समय कोणों को संरक्षित करता है। अधिक औपचारिक रूप से कहें तो, यह परिवर्तनों का वह समूह है जो समष्टि के [[अनुरूप ज्यामिति|संरूप ज्यामिति]] को संरक्षित करता है। | ||
कई विशिष्ट | कई विशिष्ट संरूप समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: | ||
* | * [[ऑर्थोगोनल समूह|संरूपी आयतीय समूह]]: यदि ''V'' [[द्विघात रूप]] ''Q'' के साथ एक सदिश स्थान है, तो संरूप ऑर्थोगोनल समूह {{nowrap|CO(''V'', ''Q'')}} V का रैखिक रूपांतरण T का वह समूह है जिसके लिए एक अदिश λ उपलब्ध है। जैसे V में सभी x के लिए :- | ||
*:<math>Q(Tx) = \lambda^2 Q(x)</math> | *:<math>Q(Tx) = \lambda^2 Q(x)</math> | ||
: एक [[निश्चित द्विघात रूप]] के लिए, | : एक [[निश्चित द्विघात रूप|निश्चित द्विघातीय रूप]] के लिए, संरूपी आयतीय समूह, आयतीय समूह के गुणक समूह के समान होता है। | ||
* गोले का | * गोले का संरूप समूह व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह को मोबियस समूह के नाम से भी जाना जाता है। | ||
* [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में | * [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में E<sup>n</sup>, {{nowrap|''n'' > 2}}, संरूप समूह [[ अति क्षेत्र |अति क्षेत्र]] में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है। | ||
* [[छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] | * [[छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष|छद्म-यूक्लिडियन समष्टि]] E<sup>p,q</sup> में , संरूप समूह {{nowrap|Conf(''p'', ''q'') ≃ O(''p'' + 1, ''q'' + 1) / Z<sub>2</sub>}}<ref>{{cite book |author1=Jayme Vaz, Jr. |author2=Roldão da Rocha, Jr. |year=2016 |title=क्लिफोर्ड अलजेब्रा और स्पिनर्स का एक परिचय|publisher=Oxford University Press|page=140 |isbn=9780191085789 }}</ref> है। | ||
सभी | इस प्रकार सभी संरूप समूह [[झूठ समूह|ली समूह]] हैं। | ||
== [[कोण]] विश्लेषण == | == [[कोण]] विश्लेषण == | ||
यूक्लिडीय ज्यामिति में हम आशा कर सकते हैं कि मानक वृत्ताकार कोण, विशेषणिक होगा, परंतु छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में कोण [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक]] भी हो सकता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न संदर्भ संरचना, एक स्थिर संदर्भ के संबंध में भिन्न-भिन्न वेग के लिए, एक अतिपरवलयिक कोण से संबंधित होते हैं। [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] का वर्णन करने की एक विधि[[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक]] घूर्णन के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के मध्य अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण|अतिपरवलयिक]] कोण के संबंध में, संरूप परिवर्तन कोण हैं। | |||
उपयुक्त | उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने की एक विधि सामान्य [[जटिल विमान|जटिल समष्टि]] के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के चरणों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल समष्टियों द्वारा समर्थित है जहां अंक [[विभाजित-जटिल संख्या]]एं या [[दोहरी संख्या]]एं अत्यधिक महत्वपूर्ण है। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए [[रीमैन क्षेत्र]], एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट स्थान]] की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल समष्टियों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए संघनन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक विषय में संरूप समूह उपयुक्त समष्टि पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संदर्भित किया जाता है।<ref> Tsurusaburo Takasu (1941) [http://projecteuclid.org/euclid.pja/1195578674 "Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie", 2], [[Japan Academy|Proceedings of the Imperial Academy]] 17(8): 330–8, link from [[Project Euclid]], {{mr|id=14282}}</ref> | ||
== गणितीय परिभाषा == | == गणितीय परिभाषा == | ||
एक | एक रिमैनियन मैनिफोल्ड <math>M</math> दिए गए [[अनुरूप वर्ग|संरूप वर्ग]] <math>[g]</math> के साथ, संरूप समूह <math>\text{Conf}(M)</math> तथा संरूप आरेख <math>M</math> का समूह है। | ||
अधिक संक्षेप में | अधिक संक्षेप में कहें तों यह कोण-संरक्षण वाले <math>M</math> मानचित्रों का समूह है। यद्यपि, जब [g] का हस्ताक्षर निश्चित नहीं होता है, तब 'कोण' एक हाइपर-कोण होता है जो संभावित रूप से अविनाशी होता है। | ||
छद्म-यूक्लिडियन | छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है।<ref>{{cite book |first=Martin|last=Schottenloher|year=2008 |title=अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का एक गणितीय परिचय|publisher=Springer Science & Business Media|page=23 |isbn=978-3540686255|url=https://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/02_978-3-540-68625-5_Ch02_23-08-08.pdf }}</ref><math>\text{Conf}(p,q)</math>, संबंधी मानक संकुचन से उत्पन्न मेनिफोल्ड का संरूपी समूह है, जो छद्म-यूक्लिडीय समष्टि <math>\mathbf{E}^{p, q}</math> जिसे कभी-कभी <math>\mathbb{R}^{p,q}</math> के साथ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के चयन के उपरांत पहचाना जाता है; से उत्पन्न होता है। इस संरूप संघनन का उपयोग करके <math>S^p\times S^q</math>, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड <math>(\mathbf{x}, \mathbf{t})\mapsto X = (\mathbf{x}, \mathbf{t})</math> को परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस समूह में व्युत्क्रम ज्यामिति सम्मिलित है क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक आरेखित करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए आरेखित करता है। | ||
== कॉन्फ (पी, क्यू) == | == कॉन्फ (पी, क्यू) == | ||
छद्म-यूक्लिडियन | छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए <math>\mathbb{R}^{p,q}</math>, संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार <math>\{M_{\mu\nu}, P_\mu, K_\mu, D\}</math> निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों द्वारा दिया गया है:<ref name="cft">{{cite book |last1=Di Francesco |first1=Philippe |last2=Mathieu |first2=Pierre |last3=Sénéchal |first3=David |title=अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत|date=1997 |publisher=Springer |location=New York |isbn=9780387947853}}</ref> | ||
<math display = block>\begin{align} &[D,K_\mu]= -iK_\mu \,, \\ | <math display = block>\begin{align} &[D,K_\mu]= -iK_\mu \,, \\ | ||
&[D,P_\mu]= iP_\mu \,, \\ | &[D,P_\mu]= iP_\mu \,, \\ | ||
| Line 35: | Line 35: | ||
और अन्य सभी कोष्ठक लुप्त हो रहे हैं। यहाँ <math>\eta_{\mu\nu}</math> [[मिन्कोव्स्की मीट्रिक]] है। | और अन्य सभी कोष्ठक लुप्त हो रहे हैं। यहाँ <math>\eta_{\mu\nu}</math> [[मिन्कोव्स्की मीट्रिक]] है। | ||
वास्तव में, यह | वास्तव में, यह छद्म बीजगणित लोरेंत्ज़ समूह के ली बीजगणित के लिए एक और स्थान और एक और समय आयाम के साथ समरूपी है, जो <math>\mathfrak{conf}(p,q) \cong \mathfrak{so}(p+1, q+1)</math> है, यह सरलता से जांचा जा सकता है कि आयाम सहमत हैं या नहीं। एक स्पष्ट समरूपता प्रदर्शित करने के लिए इसे निम्नलिखित रूप से परिभाषित किया गया है। | ||
<math display = block> | <math display = block> | ||
\begin{align} &J_{\mu\nu} = M_{\mu\nu} \,, \\ | \begin{align} &J_{\mu\nu} = M_{\mu\nu} \,, \\ | ||
| Line 42: | Line 42: | ||
&J_{-1, 0} = D. | &J_{-1, 0} = D. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
तब यह | तब यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि जनित्र <math>J_{ab}</math> के साथ <math>a, b = -1, 0, \cdots, n = p+q</math> लोरेंत्ज़ समूह का पालन बीजगणित संबंध <math>\tilde \eta_{ab} = \operatorname{diag}(-1, +1, -1, \cdots, -1, +1, \cdots, +1)</math> के रूप में करता है। | ||
== दो | == दो काल-स्थान आयामों में संरूप समूह == | ||
द्वि-आयामी यूक्लिडियन | द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि या एक-युग्म-एक आयामी समष्टि-समय के लिए, संरूप समरूपता का स्थान अत्यधिक दीर्घ है। भौतिकी में यह कभी-कभी कहा जाता है कि संरूप समूह अनंत-आयामी है, परंतु यह बिल्कुल सत्य नहीं है, जबकि स्थानीय समरूपता का ली बीजगणित अनंत आयामी है, ये आवश्यक रूप से परिभाषित वैश्विक समरूपता के ली समूह तक विस्तारित नहीं होते हैं। | ||
काल-समय आयाम के लिए <math>n > 2</math>, स्थानीय संरूप समरूपता सभी वैश्विक समरूपता तक प्रसारित है। <math>n = 2</math> के लिए यूक्लिडियन स्थान, एक जटिल समन्वय में परिवर्तन के उपरांत <math>z = x + iy</math> स्थानीय संरूप समरूपता को प्रपत्र के सदिस क्षेत्रों के अनंत आयामी स्थान द्वारा वर्णित किया जा सकता है। | |||
<math display = block>l_n = -z^{n+1}\partial_z.</math> | <math display = block>l_n = -z^{n+1}\partial_z.</math> | ||
इसलिए | इसलिए द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि की स्थानीय संरूप समरूपता अनंत-आयामी [[विट बीजगणित]] के समान है। | ||
== | == काल-समय का संरूप समूह == | ||
1908 में, [[लिवरपूल विश्वविद्यालय]] के दो युवा शोधकर्ताओं, [[हैरी बेटमैन]] और [[एबेनेज़र कनिंघम]] ने | 1908 में, [[लिवरपूल विश्वविद्यालय]] के दो युवा शोधकर्ताओं, [[हैरी बेटमैन]] और [[एबेनेज़र कनिंघम]] ने काल-समय के एक संरूप समूह के विचार को सामने रखा।<ref>{{Cite journal|author=Bateman, Harry|author-link=Harry Bateman|year=1908|title=ज्यामितीय प्रकाशिकी के लिए चार आयामों और उनके अनुप्रयोगों के स्थान के अनुरूप परिवर्तन|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=7|pages=70–89|doi=10.1112/plms/s2-7.1.70 |title-link=s:en:The Conformal Transformations of a Space of Four Dimensions and their Applications to Geometrical Optics}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Bateman, Harry|year=1910|title=विद्युतगतिकी समीकरणों का परिवर्तन|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=8|pages=223–264|doi=10.1112/plms/s2-8.1.223|title-link=s:en:The Transformation of the Electrodynamical Equations}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Cunningham, Ebenezer|author-link=Ebenezer Cunningham|year=1910|title=इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार|journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=8|pages=77–98|doi=10.1112/plms/s2-8.1.77|title-link=s:en:इलेक्ट्रोडायनामिक्स में सापेक्षता का सिद्धांत और उसका विस्तार}}</ref> उन्होंने तर्क दिया कि [[गतिकी]] समूह अनिवार्य रूप से संरूप हैं क्योंकि वे काल-समय के द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं और [[ऑर्थोगोनल परिवर्तन|ऑर्थोगोनल परिवर्त]]नों के समान हैं, यद्यपि एक [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप|समदैशिक द्विघात रूप]] के संबंध में एक [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र की स्वतंत्रता शुद्धगतिक गतियों तक ही सीमित नहीं है, बल्कि द्विघात रूप को संरक्षित करने वाले परिवर्तन के लिए स्थानीय रूप से आनुपातिक है। 1910 में हैरी बेटमैन के लेख ने एक परिवर्तन के [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन आव्यूह]] का अध्ययन किया जो [[प्रकाश शंकु]] को संरक्षित करता है और यह दर्शाता है कि इसमें संरूप गुण किसी रूप संरक्षक के समानुपाती थी।<ref>{{cite book |author=Warwick, Andrew |title=Masters of theory: Cambridge and the rise of mathematical physics |url=https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw |url-access=registration |publisher=[[University of Chicago Press]] |location=Chicago |year=2003 |pages=[https://archive.org/details/mastersoftheoryc0000warw/page/416 416–24] |isbn=0-226-87375-7 }}</ref> बेटमैन और कनिंघम ने यह प्रदर्शित किया कि यह संरूप समूह मैक्सवेल के समीकरणों को संरचनात्मक रूप से अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले परिवर्तनों का सबसे बड़ा समूह है।<ref>Robert Gilmore (1994) [1974] ''Lie Groups, Lie Algebras and some of their Applications'', page 349, Robert E. Krieger Publishing {{ISBN|0-89464-759-8}} {{mr|id=1275599}}</ref> काल-समय के संरूप समूह को {{math|C(1,3)}} के द्वारा निरूपित किया गया है <ref>Boris Kosyakov (2007) [https://books.google.com/books?id=ttuO8-_D_oUC&pg=PA216 Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields], page 216, [[Springer books]] via [[Google Books]]</ref> | ||
1914 में [[ लुडविग सिल्बरस्टीन ]] के | |||