सममित टेंसर: Difference between revisions
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गणित में, सममित | गणित में, '''सममित टेन्सर''' होता है, जो स्वयं सदिश तर्कों के क्रम [[परिवर्तन]] के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है। | ||
:<math>T(v_1,v_2,\ldots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots,v_{\sigma r})</math> | :<math>T(v_1,v_2,\ldots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots,v_{\sigma r})</math> | ||
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== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में | सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में, [[मीट्रिक टेंसर]], <math>g_{\mu\nu}</math>, [[आइंस्टीन टेंसर]], <math>G_{\mu\nu}</math> एवं [[रिक्की टेंसर]], <math>R_{\mu\nu}</math> सम्मिलित होते है। | ||
भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई भौतिक गुणों एवं [[क्षेत्र (भौतिकी)]] को सममित टेंसर क्षेत्र के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए [[तनाव (भौतिकी)]], तनाव टेन्सर, एवं [[एनिस्ट्रोपिक]] [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता|विद्युत प्रतिरोधकता एवं चालकता]] होते है। इसके अतिरिक्त, [[प्रसार एमआरआई]] (MRI) में मस्तिष्क या शरीर के अन्य भागों में प्रसार का वर्णन करने के लिए प्रायः सममित टेंसर का उपयोग किया जाता है। | भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई भौतिक गुणों एवं [[क्षेत्र (भौतिकी)]] को सममित टेंसर क्षेत्र के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए [[तनाव (भौतिकी)]], तनाव टेन्सर, एवं [[एनिस्ट्रोपिक]] [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता|विद्युत प्रतिरोधकता एवं चालकता]] होते है। इसके अतिरिक्त, [[प्रसार एमआरआई]] (MRI) में मस्तिष्क या शरीर के अन्य भागों में प्रसार का वर्णन करने के लिए प्रायः सममित टेंसर का उपयोग किया जाता है। | ||
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== टेंसर का सममित भाग == | == टेंसर का सममित भाग == | ||
कल्पना करना <math>V</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के | कल्पना करना <math>V</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के क्षेत्र पर सदिश स्थान है। यदि {{nowrap|''T'' ∈ ''V''<sup>⊗''k''</sup>}} क्रम का टेन्सर है <math>k</math>, का सममित भाग <math>T</math> द्वारा परिभाषित सममित टेंसर है। | ||
:<math>\operatorname{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T,</math> | :<math>\operatorname{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T,</math> | ||
कश्मीर प्रतीकों पर [[सममित समूह]] पर विस्तार | कश्मीर प्रतीकों पर [[सममित समूह]] पर विस्तार योग आधार के संदर्भ में, एवं [[आइंस्टीन योग सम्मेलन]] को नियोजित करते हुए, यदि | ||
:<math>T = T_{i_1i_2\cdots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k},</math> | :<math>T = T_{i_1i_2\cdots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k},</math> | ||
तब | तब | ||
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== सममित उत्पाद == | == सममित उत्पाद == | ||
यदि T | यदि T साधारण टेंसर है, जिसे शुद्ध टेन्सर उत्पाद के रूप में दिया गया है। | ||
:<math>T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r</math> | :<math>T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r</math> | ||
तब T का सममित भाग कारकों का सममित उत्पाद | तब T का सममित भाग कारकों का सममित उत्पाद होता है। | ||
:<math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}.</math> | :<math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}.</math> | ||
सामान्यतः हम क्रमविनिमेय एवं साहचर्य गुणनफल ⊙ को परिभाषित करके Sym(V) को [[बीजगणित]] में परिवर्तित कर सकते हैं।<ref name="Kostrikin1997">{{cite book | |||
| last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I. | | last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I. | ||
| last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich | | last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich | ||
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| pages = 276–279 | | pages = 276–279 | ||
| isbn = 9056990497 | | isbn = 9056990497 | ||
}}</ref> दो टेंसर | }}</ref> दो टेंसर {{nowrap|''T''<sub>1</sub> ∈ Sym<sup>''k''<sub>1</sub></sup>(''V'')}} एवं {{nowrap|''T''<sub>2</sub> ∈ Sym<sup>''k''<sub>2</sub></sup>(''V'')}} दिए गए हैं। हम सममितीकरण ऑपरेटर का उपयोग परिभाषित करने के लिए करते हैं। | ||
:<math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right).</math> | :<math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right).</math> | ||
इसे सत्यापित किया जा सकता है (जैसा कि कोस्ट्रिकिन एवं मैनिन ने किया है<ref name="Kostrikin1997" /> परिणामी उत्पाद वास्तव में क्रमविनिमेय एवं साहचर्य है। कुछ | इसे सत्यापित किया जा सकता है (जैसा कि कोस्ट्रिकिन एवं मैनिन ने किया है<ref name="Kostrikin1997" /> परिणामी उत्पाद वास्तव में क्रमविनिमेय एवं साहचर्य है। कुछ स्थितियों जैसे {{nowrap|1=''T''<sub>1</sub>''T''<sub>2</sub> = ''T''<sub>1</sub> ⊙ ''T''<sub>2</sub>}} में ऑपरेटर को त्याग दिया जाता है। . | ||
कुछ | कुछ स्थितियों में घातीय संकेतन v का उपयोग किया जाता है। | ||
:<math>v^{\odot k} = \underbrace{v \odot v \odot \cdots \odot v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v \otimes v \otimes \cdots \otimes v}_{k\text{ times}}=v^{\otimes k}.</math> | :<math>v^{\odot k} = \underbrace{v \odot v \odot \cdots \odot v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v \otimes v \otimes \cdots \otimes v}_{k\text{ times}}=v^{\otimes k}.</math> | ||
जहाँ v | जहाँ v सदिश राशि है। कुछ स्थिति में ⊙ को त्याग दिया जाता है। | ||
:<math>v^k=\underbrace{v\,v\,\cdots\,v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v\odot v\odot\cdots\odot v}_{k\text{ times}}.</math> | :<math>v^k=\underbrace{v\,v\,\cdots\,v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v\odot v\odot\cdots\odot v}_{k\text{ times}}.</math> | ||
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Latest revision as of 15:16, 30 October 2023
गणित में, सममित टेन्सर होता है, जो स्वयं सदिश तर्कों के क्रम परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।
प्रतीकों {1, 2, ..., r}.के प्रत्येक क्रमचय σ के लिए वैकल्पिक रूप से, r सूचकांकों के साथ मात्रा के रूप में निर्देशांक में दर्शाए गए क्रम r का सममित टेन्सर संतुष्ट करता है।
परिमित-आयामी सदिश स्थान V पर क्रम r के सममित टेंसरों का स्थान V पर डिग्री r के सजातीय बहुपदों के स्थान के दोहरे के लिए प्राकृतिक समरूपता है। विशेषता शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, सभी सममित का श्रेणीबद्ध सदिश स्थल दसियों को V पर सममित बीजगणित के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। संबंधित अवधारणा एंटीसिमेट्रिक टेंसर या वैकल्पिक रूप की है। अभियांत्रिकी, भौतिकी एवं गणित में सममित टेन्सर व्यापक रूप से पाए जाते हैं।
परिभाषा
मान लीजिए कि V सदिश समष्टि है एवं
आदेश का टेंसर k। तब T सममित टेंसर है, यदि
प्रतीकों {1,2,...,k} पर प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित ब्रेडिंग मानचित्रों के लिए (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक स्थानान्तरण (गणित) के लिए) है।
V के आधार {ei} को देखते हुए, रैंक k के किसी भी सममित टेन्सर T को इस रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांक की कुछ अनूठी सूची (आधार में टेंसर के घटक) जो सूचकांकों पर सममित हैं। अर्थात,
प्रत्येक क्रमचय के लिए σ
V पर परिभाषित क्रम k के सभी सममित टेंसरों का स्थान प्रायः Sk(V) या Symk(V) द्वारा निरूपित किया जाता है। यह स्वयं सदिश समष्टि है, एवं यदि V का आयाम N है, तो Symk(V) का आयाम द्विपद गुणांक है।
तत्पश्चात स्वयं = 0,1,2,... के लिए Sym(V) के प्रत्यक्ष योग के रूप में Symk(V) का निर्माण करते हैं।