सममित टेंसर: Difference between revisions

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{{Short description|Tensor invariant under permutations of vectors it acts on}}
{{Short description|Tensor invariant under permutations of vectors it acts on}}
गणित में, सममित [[ टेन्सर |टेन्सर]] होता है, जो स्वयं सदिश तर्कों के क्रम [[परिवर्तन]] के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।
गणित में, '''सममित टेन्सर''' होता है, जो स्वयं सदिश तर्कों के क्रम [[परिवर्तन]] के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।


:<math>T(v_1,v_2,\ldots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots,v_{\sigma r})</math>
:<math>T(v_1,v_2,\ldots,v_r) = T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots,v_{\sigma r})</math>
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मान लीजिए कि V सदिश समष्टि है एवं
मान लीजिए कि V सदिश समष्टि है एवं
:<math>T\in V^{\otimes k}</math>
:<math>T\in V^{\otimes k}</math>
आदेश का टेंसर k। तब T सममित टेंसर है यदि
आदेश का टेंसर k। तब T सममित टेंसर है, यदि
:<math>\tau_\sigma T = T\,</math>
:<math>\tau_\sigma T = T\,</math>
प्रतीकों  {1,2,...,k} पर प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित ब्रेडिंग मानचित्रों के लिए (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक स्थानान्तरण (गणित) के लिए) है।
प्रतीकों  {1,2,...,k} पर प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित ब्रेडिंग मानचित्रों के लिए (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक स्थानान्तरण (गणित) के लिए) है।
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:<math>\dim\operatorname{Sym}^k(V) = {N + k - 1 \choose k}.</math>
:<math>\dim\operatorname{Sym}^k(V) = {N + k - 1 \choose k}.</math>
फिर हम Sym(V) की रचना Sym की सदिश समष्टियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में करते हैं<sup>कश्मीर</sup>(वी) के लिए के = 0,1,2,...
तत्पश्चात स्वयं = 0,1,2,... के लिए Sym(V) के प्रत्यक्ष योग के रूप में Sym<sup>''k''</sup>(''V'') का निर्माण करते हैं।
:<math>\operatorname{Sym}(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty \operatorname{Sym}^k(V).</math>
:<math>\operatorname{Sym}(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty \operatorname{Sym}^k(V).</math>




== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में शामिल हैं, [[मीट्रिक टेंसर]], <math>g_{\mu\nu}</math>, [[आइंस्टीन टेंसर]], <math>G_{\mu\nu}</math> एवं [[रिक्की टेंसर]], <math>R_{\mu\nu}</math>.
सममित टेन्सर के कई उदाहरण हैं। कुछ में, [[मीट्रिक टेंसर]], <math>g_{\mu\nu}</math>, [[आइंस्टीन टेंसर]], <math>G_{\mu\nu}</math> एवं [[रिक्की टेंसर]], <math>R_{\mu\nu}</math> सम्मिलित होते है।


भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई भौतिक गुणों एवं [[क्षेत्र (भौतिकी)]] को सममित टेंसर फ़ील्ड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए: [[तनाव (भौतिकी)]], तनाव टेन्सर, एवं [[एनिस्ट्रोपिक]] [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता|विद्युत प्रतिरोधकता एवं चालकता]]। इसके अलावा, [[प्रसार एमआरआई]] में मस्तिष्क या शरीर के अन्य भागों में प्रसार का वर्णन करने के लिए प्रायः सममित टेंसर का उपयोग किया जाता है।
भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई भौतिक गुणों एवं [[क्षेत्र (भौतिकी)]] को सममित टेंसर क्षेत्र के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए [[तनाव (भौतिकी)]], तनाव टेन्सर, एवं [[एनिस्ट्रोपिक]] [[विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता|विद्युत प्रतिरोधकता एवं चालकता]] होते है। इसके अतिरिक्त, [[प्रसार एमआरआई]] (MRI)  में मस्तिष्क या शरीर के अन्य भागों में प्रसार का वर्णन करने के लिए प्रायः सममित टेंसर का उपयोग किया जाता है।


दीर्घवृत्त बीजगणितीय किस्मों के उदाहरण हैं; एवं इसलिए, सामान्य रैंक के लिए, सजातीय बहुपदों की आड़ में सममित टेंसरों का उपयोग प्रोजेक्टिव किस्मों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, एवं प्रायः इस तरह अध्ययन किया जाता है।
दीर्घवृत्त बीजगणितीय प्रकारो के उदाहरण हैं, एवं इसलिए, सामान्य रैंक के लिए, सजातीय बहुपदों की आश्रय में सममित टेंसरों का उपयोग अनुमानित प्रकारो को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, एवं प्रायः इस प्रकार अध्ययन किया जाता है।


एक रिमेंनियन कई गुना दिया गया <math>(M,g)</math> इसके Levi-Civita कनेक्शन से लैस है <math>\nabla</math>, रीमैन कर्वेचर टेन्सर#कोऑर्डिनेट एक्सप्रेशन सदिश स्थान पर एक सममित क्रम 2 टेन्सर है <math display="inline">V = \Omega^2(M) = \bigwedge^2 T^*M</math> अंतर 2-रूपों का। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि, देखना <math>R_{ijk\ell} \in (T^*M)^{\otimes 4}</math>, हमारे पास समरूपता है <math>R_{ij\, k\ell} = R_{k\ell\, ij}</math> प्रत्येक जोड़ी के भीतर एंटीसिमेट्री के अलावा तर्कों के पहले एवं दूसरे जोड़े के बीच: <math>R_{jik\ell} = - R_{ijk\ell} = R_{ij\ell k}</math>.<ref>{{Cite book |last=Carmo |first=Manfredo Perdigão do |url=https://www.worldcat.org/oclc/24667701 |title=रिमानियन ज्यामिति|date=1992 |publisher=Birkhäuser |others=Francis J. Flaherty |isbn=0-8176-3490-8 |location=Boston |oclc=24667701}}</ref>
रिमेंनियन कई गुना दिया गया <math>(M,g)</math> इसके लेवी-सिविता कनेक्शन से लैस <math>\nabla</math> है , रीमैन सहपरिवर्ती वक्रता टेंसर सदिश स्थान पर सममित क्रम 2 टेन्सर है <math display="inline">V = \Omega^2(M) = \bigwedge^2 T^*M</math> अंतर 2-रूपों का होता है। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि, देखना <math>R_{ijk\ell} \in (T^*M)^{\otimes 4}</math>, हमारे पास समरूपता है।  <math>R_{ij\, k\ell} = R_{k\ell\, ij}</math> प्रत्येक जोड़ी के अंदर एंटीसिमेट्री के अतिरिक्त तर्कों के प्रथम एवं दूसरे जोड़े के मध्य <math>R_{jik\ell} = - R_{ijk\ell} = R_{ij\ell k}</math> है।<ref>{{Cite book |last=Carmo |first=Manfredo Perdigão do |url=https://www.worldcat.org/oclc/24667701 |title=रिमानियन ज्यामिति|date=1992 |publisher=Birkhäuser |others=Francis J. Flaherty |isbn=0-8176-3490-8 |location=Boston |oclc=24667701}}</ref>




== टेंसर का सममित भाग ==
== टेंसर का सममित भाग ==
कल्पना करना <math>V</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के एक क्षेत्र पर एक सदिश स्थान है। यदि {{nowrap|''T'' &isin; ''V''<sup>&otimes;''k''</sup>}} ऑर्डर का टेन्सर है <math>k</math>, फिर का सममित भाग <math>T</math> द्वारा परिभाषित सममित टेंसर है
कल्पना करना <math>V</math> [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 के क्षेत्र पर सदिश स्थान है। यदि {{nowrap|''T'' &isin; ''V''<sup>&otimes;''k''</sup>}} क्रम का टेन्सर है <math>k</math>, का सममित भाग <math>T</math> द्वारा परिभाषित सममित टेंसर है।
:<math>\operatorname{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T,</math>
:<math>\operatorname{Sym}\, T = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_k} \tau_\sigma T,</math>
कश्मीर प्रतीकों पर [[सममित समूह]] पर विस्तार योग। एक आधार के संदर्भ में, एवं [[आइंस्टीन योग सम्मेलन]] को नियोजित करते हुए, यदि
कश्मीर प्रतीकों पर [[सममित समूह]] पर विस्तार योग आधार के संदर्भ में, एवं [[आइंस्टीन योग सम्मेलन]] को नियोजित करते हुए, यदि
:<math>T = T_{i_1i_2\cdots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k},</math>
:<math>T = T_{i_1i_2\cdots i_k}e^{i_1}\otimes e^{i_2}\otimes\cdots \otimes e^{i_k},</math>
तब
तब
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== सममित उत्पाद ==
== सममित उत्पाद ==
यदि T एक साधारण टेंसर है, जिसे शुद्ध टेन्सर उत्पाद के रूप में दिया गया है
यदि T साधारण टेंसर है, जिसे शुद्ध टेन्सर उत्पाद के रूप में दिया गया है।
:<math>T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r</math>
:<math>T=v_1\otimes v_2\otimes\cdots \otimes v_r</math>
तब T का सममित भाग कारकों का सममित उत्पाद है:
तब T का सममित भाग कारकों का सममित उत्पाद होता है।
:<math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}.</math>
:<math>v_1\odot v_2\odot\cdots\odot v_r := \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_r} v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes\cdots\otimes v_{\sigma r}.</math>
सामान्य तौर पर हम क्रमविनिमेय एवं साहचर्य गुणनफल ⊙ को परिभाषित करके Sym(V) को [[बीजगणित]] में बदल सकते हैं।<ref name="Kostrikin1997">{{cite book
सामान्यतः हम क्रमविनिमेय एवं साहचर्य गुणनफल ⊙ को परिभाषित करके Sym(V) को [[बीजगणित]] में परिवर्तित कर सकते हैं।<ref name="Kostrikin1997">{{cite book
  | last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I.
  | last1 = Kostrikin | first1 = Alexei I.
  | last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich
  | last2 = Manin | first2 = Iurii Ivanovich
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  | pages = 276–279
  | pages = 276–279
  | isbn = 9056990497
  | isbn = 9056990497
}}</ref> दो टेंसर दिए गए हैं {{nowrap|''T''<sub>1</sub> &isin; Sym<sup>''k''<sub>1</sub></sup>(''V'')}} एवं {{nowrap|''T''<sub>2</sub> &isin; Sym<sup>''k''<sub>2</sub></sup>(''V'')}}, हम सममितीकरण ऑपरेटर का उपयोग परिभाषित करने के लिए करते हैं:
}}</ref> दो टेंसर {{nowrap|''T''<sub>1</sub> &isin; Sym<sup>''k''<sub>1</sub></sup>(''V'')}} एवं {{nowrap|''T''<sub>2</sub> &isin; Sym<sup>''k''<sub>2</sub></sup>(''V'')}} दिए गए हैं। हम सममितीकरण ऑपरेटर का उपयोग परिभाषित करने के लिए करते हैं।
:<math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right).</math>
:<math>T_1\odot T_2 = \operatorname{Sym}(T_1\otimes T_2)\quad\left(\in\operatorname{Sym}^{k_1+k_2}(V)\right).</math>
इसे सत्यापित किया जा सकता है (जैसा कि कोस्ट्रिकिन एवं मैनिन ने किया है<ref name="Kostrikin1997" /> परिणामी उत्पाद वास्तव में क्रमविनिमेय एवं साहचर्य है। कुछ मामलों में ऑपरेटर छोड़ा गया है: {{nowrap|1=''T''<sub>1</sub>''T''<sub>2</sub> = ''T''<sub>1</sub> ⊙ ''T''<sub>2</sub>}}.
इसे सत्यापित किया जा सकता है (जैसा कि कोस्ट्रिकिन एवं मैनिन ने किया है<ref name="Kostrikin1997" /> परिणामी उत्पाद वास्तव में क्रमविनिमेय एवं साहचर्य है। कुछ स्थितियों जैसे {{nowrap|1=''T''<sub>1</sub>''T''<sub>2</sub> = ''T''<sub>1</sub> ⊙ ''T''<sub>2</sub>}} में ऑपरेटर को त्याग दिया जाता है। .


कुछ मामलों में एक घातीय संकेतन का उपयोग किया जाता है:
कुछ स्थितियों में घातीय संकेतन v का उपयोग किया जाता है।
:<math>v^{\odot k} = \underbrace{v \odot v \odot \cdots \odot v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v \otimes v \otimes \cdots \otimes v}_{k\text{ times}}=v^{\otimes k}.</math>
:<math>v^{\odot k} = \underbrace{v \odot v \odot \cdots \odot v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v \otimes v \otimes \cdots \otimes v}_{k\text{ times}}=v^{\otimes k}.</math>
जहाँ v एक सदिश राशि है।
जहाँ v सदिश राशि है। कुछ स्थिति में ⊙ को त्याग दिया जाता है।
दोबारा, कुछ मामलों में ⊙ को छोड़ दिया जाता है:
:<math>v^k=\underbrace{v\,v\,\cdots\,v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v\odot v\odot\cdots\odot v}_{k\text{ times}}.</math>
:<math>v^k=\underbrace{v\,v\,\cdots\,v}_{k\text{ times}}=\underbrace{v\odot v\odot\cdots\odot v}_{k\text{ times}}.</math>




== अपघटन ==
== अपघटन ==
[[सममित मैट्रिक्स]] के सिद्धांत के अनुरूप, क्रम 2 के एक (वास्तविक) सममित टेंसर को विकर्ण किया जा सकता है। अधिक सटीकता से, किसी टेन्सर T ∈ Sym के लिए<sup>2</sup>(V), एक पूर्णांक r है, गैर-शून्य इकाई वैक्टर v<sub>1</sub>,...,में<sub>''r''</sub>∈ वी एवं वजन λ<sub>1</sub>,..., एल<sub>''r''</sub> ऐसा है कि
[[सममित मैट्रिक्स]] के सिद्धांत के अनुरूप, क्रम 2 के (वास्तविक) सममित टेंसर को विकर्ण किया जा सकता है। अधिक स्थिरता से, किसी टेन्सर T ∈ Sym<sup>2</sup>(''V'') के लिए पूर्णांक r गैर-शून्य इकाई सदिश ''v''<sub>1</sub>,...,''v<sub>r</sub>'' ∈ ''V'' एवं वजन ''λ''<sub>1</sub>,...,''λ<sub>r</sub>'' ऐसा है कि
:<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i\otimes v_i.</math>
:<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i\otimes v_i.</math>
न्यूनतम संख्या आर जिसके लिए इस तरह का अपघटन संभव है, टी का (सममित) रैंक है। इस न्यूनतम अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाले वैक्टर टेन्सर के [[प्रधान अक्ष प्रमेय]] हैं, एवं आम तौर पर एक महत्वपूर्ण भौतिक अर्थ है। उदाहरण के लिए, [[जड़ता टेंसर]] के प्रमुख अक्ष जड़ता के क्षण का प्रतिनिधित्व करने वाले पॉइन्सॉट के दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं। सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम भी देखें।
न्यूनतम संख्या ''r'' जिसके लिए इस प्रकार का अपघटन संभव है, ''T'' का (सममित) रैंक है। इस न्यूनतम अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाले सदिश टेन्सर के [[प्रधान अक्ष प्रमेय]] हैं, एवं सामान्यतः महत्वपूर्ण भौतिक अर्थ है। उदाहरण के लिए, [[जड़ता टेंसर]] के प्रमुख अक्ष जड़ता के क्षण का प्रतिनिधित्व करने वाले पॉइन्सॉट के दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं। सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम भी देखें।


मनमाना क्रम k के सममित टेंसरों के लिए, अपघटन
मनमाना क्रम k के सममित टेंसरों के लिए, अपघटन
:<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i^{\otimes k}</math>
:<math>T = \sum_{i=1}^r \lambda_i \, v_i^{\otimes k}</math>
भी संभव हैं। न्यूनतम संख्या आर जिसके लिए इस तरह का अपघटन संभव है सममित टेंसर (आंतरिक परिभाषा) # टी का टेंसर रैंक है।<ref name="Comon2008">{{Cite journal | last1 = Comon | first1 = P. | last2 = Golub | first2 = G. | last3 = Lim | first3 = L. H. | last4 = Mourrain | first4 = B. | title = सममित टेंसर और सममित टेंसर रैंक| doi = 10.1137/060661569 | journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 30 | issue = 3 | pages = 1254 | year = 2008 | arxiv = 0802.1681 | s2cid = 5676548 }}</ref> इस न्यूनतम अपघटन को वारिंग अपघटन कहा जाता है; यह [[टेंसर रैंक अपघटन]] का एक सममित रूप है। दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए यह किसी भी आधार पर टेंसर का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के रैंक से मेल खाता है, एवं यह सर्वविदित है कि अधिकतम रैंक अंतर्निहित वेक्टर स्थान के आयाम के बराबर है। हालांकि, उच्च ऑर्डर के लिए यह जरूरी नहीं है: रैंक अंतर्निहित वेक्टर स्पेस में आयामों की संख्या से अधिक हो सकती है। इसके अलावा, एक सममित टेंसर की रैंक एवं सममित रैंक भिन्न हो सकती है।<ref>{{Cite journal|last=Shitov|first=Yaroslav|date=2018|title=कॉमन के अनुमान का एक प्रति उदाहरण|url=https://epubs.siam.org/action/captchaChallenge?redirectUri=%2Fdoi%2F10.1137%2F17M1131970|journal=SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry|language=en-US|volume=2|issue=3|pages=428–443|doi=10.1137/17m1131970|issn=2470-6566|arxiv=1705.08740|s2cid=119717133 }}</ref>
भी संभव हैं। न्यूनतम संख्या ''r'' जिसके लिए इस प्रकार का अपघटन संभव है, सममित टेंसर (आंतरिक परिभाषा) ''T'' का टेंसर रैंक है।<ref name="Comon2008">{{Cite journal | last1 = Comon | first1 = P. | last2 = Golub | first2 = G. | last3 = Lim | first3 = L. H. | last4 = Mourrain | first4 = B. | title = सममित टेंसर और सममित टेंसर रैंक| doi = 10.1137/060661569 | journal = SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications | volume = 30 | issue = 3 | pages = 1254 | year = 2008 | arxiv = 0802.1681 | s2cid = 5676548 }}</ref> इस न्यूनतम अपघटन को वारिंग अपघटन कहा जाता है। यह [[टेंसर रैंक अपघटन]] का सममित रूप है। दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए यह किसी भी आधार पर टेंसर का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के रैंक से मेल खाता है, एवं यह सर्वविदित है कि अधिकतम रैंक अंतर्निहित सदिश स्थान के आयाम के समान है। चूंकि, उच्च आदेश के लिए यह जरूरी नहीं है: रैंक अंतर्निहित सदिश अंतरिक्ष में आयामों की संख्या से अधिक हो सकती है। इसके अतिरिक्त, सममित टेंसर की रैंक एवं सममित रैंक भिन्न हो सकती है।<ref>{{Cite journal|last=Shitov|first=Yaroslav|date=2018|title=कॉमन के अनुमान का एक प्रति उदाहरण|url=https://epubs.siam.org/action/captchaChallenge?redirectUri=%2Fdoi%2F10.1137%2F17M1131970|journal=SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry|language=en-US|volume=2|issue=3|pages=428–443|doi=10.1137/17m1131970|issn=2470-6566|arxiv=1705.08740|s2cid=119717133 }}</ref>




== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* एंटीसिमेट्रिक टेंसर
* एंटीसिमेट्रिक टेंसर
* [[घुंघराले पथरी]]
* [[घुंघराले पथरी|रिक्की कैलकुलस]]
* [[शूर बहुपद]]
* [[शूर बहुपद]]
* [[सममित बहुपद]]
* [[सममित बहुपद]]
* [[ खिसकाना ]]़ करें
* [[ खिसकाना | स्थानांतरित करना]]
* [[युवा समरूपता]]
* [[युवा समरूपता]]


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{{tensors}}
{{tensors}}
[[Category: टेन्सर]]


 
[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
 
[[Category:Collapse templates]]
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 25/04/2023]]
[[Category:Created On 25/04/2023]]
[[Category:Lua-based templates]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Navigational boxes| ]]
[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
[[Category:Pages with script errors]]
[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
[[Category:Templates Translated in Hindi]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:Templates generating microformats]]
[[Category:Templates that add a tracking category]]
[[Category:Templates that are not mobile friendly]]
[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:Wikipedia metatemplates]]
[[Category:टेन्सर]]

Latest revision as of 15:16, 30 October 2023

गणित में, सममित टेन्सर होता है, जो स्वयं सदिश तर्कों के क्रम परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय होता है।

प्रतीकों {1, 2, ..., r}.के प्रत्येक क्रमचय σ के लिए वैकल्पिक रूप से, r सूचकांकों के साथ मात्रा के रूप में निर्देशांक में दर्शाए गए क्रम r का सममित टेन्सर संतुष्ट करता है।

परिमित-आयामी सदिश स्थान V पर क्रम r के सममित टेंसरों का स्थान V पर डिग्री r के सजातीय बहुपदों के स्थान के दोहरे के लिए प्राकृतिक समरूपता है। विशेषता शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, सभी सममित का श्रेणीबद्ध सदिश स्थल दसियों को V पर सममित बीजगणित के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है। संबंधित अवधारणा एंटीसिमेट्रिक टेंसर या वैकल्पिक रूप की है। अभियांत्रिकी, भौतिकी एवं गणित में सममित टेन्सर व्यापक रूप से पाए जाते हैं।

परिभाषा

मान लीजिए कि V सदिश समष्टि है एवं

आदेश का टेंसर k। तब T सममित टेंसर है, यदि

प्रतीकों {1,2,...,k} पर प्रत्येक क्रमचय σ से संबंधित ब्रेडिंग मानचित्रों के लिए (या समतुल्य रूप से इन प्रतीकों पर प्रत्येक स्थानान्तरण (गणित) के लिए) है।

V के आधार {ei} को देखते हुए, रैंक k के किसी भी सममित टेन्सर T को इस रूप में लिखा जा सकता है।