अपचायक समूह: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, अपचायक समूह एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र (गणित]]) पर [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का [[प्रत्यक्ष योग]] है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे [[सामान्य रैखिक समूह]] ''G''l(''n'') व्युत्क्रम आव्यूह, [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष लंब कोणीय समूह]] ''S''o(''n''), और [[सहानुभूतिपूर्ण समूह|सममिती समूह]] ''S''p(2''n'')। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं। | ||
[[क्लाउड चेवेली]] ने दिखाया कि किसी भी [[बीजीय रूप से बंद क्षेत्र|बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र]] पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि [[वास्तविक संख्या]] R या एक [[संख्या क्षेत्र]] के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह ''k'' के समूह | [[क्लाउड चेवेली]] ने दिखाया कि किसी भी [[बीजीय रूप से बंद क्षेत्र|बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र]] पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि [[वास्तविक संख्या]] R या एक [[संख्या क्षेत्र]] के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह ''k'' के समूह g(''k'') के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह ''G'' के [[तर्कसंगत बिंदु]] क्षेत्र ''के'', या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है। | ||
अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत|निरूपण सिद्धांत]] है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र ''k'' पर | अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत|निरूपण सिद्धांत]] है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो ''k''-सदिश रिक्त समष्टि पर ''G'' की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह g(''k'') के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब ''k'' एक [[परिमित क्षेत्र]] है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
{{main|रैखिक बीजगणितीय समूह}} | {{main|रैखिक बीजगणितीय समूह}} | ||
किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर | किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर Gl(n) की एक [[चिकनी योजना|समृणीकृत पद्धति]] संवृत [[समूह योजना|समूह पद्धति]] के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k पर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है। | ||
=== एकांगी मूलक के साथ === | === एकांगी मूलक के साथ === | ||
एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह <math>G</math> एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित [[हल करने योग्य समूह]] का [[सामान्य उपसमूह]] <math>G</math> नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह <math>G</math> एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि <math>G</math> के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है।<ref>SGA 3 (2011), v. 3, Définition XIX.1.6.1.</ref> इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे <math>R_u(G)</math> के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह <math>G</math> को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि [[योजनाओं के फाइबर उत्पाद|पद्धतिओं के तन्तु उत्पाद]] <math>G_{\overline k}</math> अर्द्धसरल या अपचायक है, जहां <math>\overline k</math> k का [[बीजगणितीय समापन|बीजगणितीय संवरक]] है। (यह परिचय में अपचायक समूह की परिभाषा के बराबर है जब k उतम है।<ref>Milne (2017), Proposition 21.60.</ref>) k पर कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह, जैसे गुणक समूह G<sub>''m''</sub>, अपचायक होता है। | एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह <math>G</math> एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित [[हल करने योग्य समूह]] का [[सामान्य उपसमूह]] <math>G</math> नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह <math>G</math> एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि <math>G</math> के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है।<ref>SGA 3 (2011), v. 3, Définition XIX.1.6.1.</ref> इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे <math>R_u(G)</math> के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह <math>G</math> को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि [[योजनाओं के फाइबर उत्पाद|पद्धतिओं के तन्तु उत्पाद]] <math>G_{\overline k}</math> अर्द्धसरल या अपचायक है, जहां <math>\overline k</math> k का [[बीजगणितीय समापन|बीजगणितीय संवरक]] है। (यह परिचय में अपचायक समूह की परिभाषा के बराबर है जब k उतम है। <ref>Milne (2017), Proposition 21.60.</ref>) k पर कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह, जैसे गुणक समूह G<sub>''m''</sub>, अपचायक होता है। | ||
=== निरूपण सिद्धांत के साथ === | === निरूपण सिद्धांत के साथ === | ||
विशेषता शून्य के क्षेत्रों में | विशेषता शून्य के क्षेत्रों में अपचायक समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक संयोजित समूह <math>G</math> है एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करता है जो इसके बीजगणितीय संवरक <math>k^{al}</math> पर अर्धसरल रहता है <ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/iAG200.pdf|title=रैखिक बीजगणितीय समूह|pages=381-394}}</ref> <sup>पृष्ठ 424</sup>। | ||
=== सरल अपचायक समूह === | === सरल अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह | क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय [[केंद्र (समूह सिद्धांत)|केंद्र (समूह सिद्धांत]]) हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह Sl(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μ<sub>''n''</sub> है। | ||
अपचायक समूहों | अपचायक समूहों के 'केंद्रीय समरूपता' विशेषण [[समूह समरूपता]] है जिसमें आधार एक परिमित [[केंद्रीय उपसमूह]] पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करते है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k, | ||
:<math>GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n</math> पर। | :<math>GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n</math> पर। | ||
यह किंचित अनुपयुक्त है कि एक क्षेत्र पर | यह किंचित अनुपयुक्त है कि एक क्षेत्र पर अपचायक समूह की परिभाषा में बीजगणितीय संवरक को पारित करना सम्मिलित है। पूर्ण क्षेत्र k के लिए, इससे बचा जा सकता है: k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है यदि और मात्र यदि G के प्रत्येक समृणीकृत संयोजित एकांगी सामान्य k-उपसमूह नगण्य हैं। स्वेच्छ क्षेत्र के लिए, बाद की गुण एक [[छद्म-रिडक्टिव समूह|छद्म-अपचायक समूह]] को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है। | ||
=== विभाजित-अपचायक समूह === | === विभाजित-अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर | क्षेत्र k पर अपचायक समूह G को 'विभाजित' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक विभाजित अधिकतम टोरस T होता है (अर्थात, G में रैखिक बीजगणितीय समूह जिसका आधार बदल जाता है) <math>\overline k</math> में एक अधिकतम टोरस है <math>G_{\overline k}</math>)। यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी k-टोरी के बीच अधिकतम है।<ref>Borel (1991), 18.2(i).</ref> इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी आंकड़ों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे मूल आंकड़ें कहा जाता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
=== GL<sub>''n''</sub> और SL<sub>''n''</sub> === | === GL<sub>''n''</sub> और SL<sub>''n''</sub> === | ||
अपचायक समूह का | अपचायक समूह का मूलभूत उदाहरण प्राकृतिक संख्या n के लिए क्षेत्र k पर व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह सामान्य रैखिक समूह <math>\text{GL}_n</math> है। विशेष रूप से, 'गुणक समूह' G<sub>''m''</sub> समूह Gl(1) है, और इसलिए k-तर्कसंगत बिंदुओं का इसका समूह Gm(k) गुणन के अंतर्गत k के शून्येतर अवयवों का समूह k* है। अन्य अपचायक समूह [[विशेष रैखिक समूह]] Sl(n) एक क्षेत्र k पर, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह है। वस्तुतः, Sl(n) कम से कम 2 n के लिए सरल बीजगणितीय समूह है। | ||
=== | === o(n), So(n), और Sp(n) === | ||
महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सममिती समूह Sp(2n) है, Gl(2n) का उपसमूह जो सदिश समष्टि k<sup>2n</sup> पर गैर-अपघटित वैकल्पिक [[द्विरेखीय रूप]] को संरक्षित करता है। इसी प्रकार, लांबिक समूह o(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश समष्टि पर अविकृत [[द्विघात रूप]] q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह o(q) में दो संयोजित घटक (सांस्थिति) हैं, और इसकी [[पहचान घटक|तत्समक घटक]] So(q) अपचायक है, वस्तुतः विमा n के q के लिए कम से कम 3 सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह पद्धति o(q) वस्तुतः सम्बद्ध है, परन्तु k पर समृणीकृत नहीं है। सरल समूह So(q) को सदैव o(q) के अधिक से अधिक समृणीकृत रूप से संयोजित उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से संवृत होता है, तो कोई भी दो (अनपभ्रष्ट) ही विमा के द्विघात रूप समरूपी हैं, और इसलिए इस समूह को So(n) कहना उचित है। सामान्य क्षेत्र k के लिए, विमा n के विभिन्न द्विघात रूपों से k पर गैर-समरूपी सरल समूह So(q) प्राप्त हो सकते हैं, यद्यपि उन सभी में बीजगणितीय संवरक <math>\overline k</math> में समान आधार परिवर्तन होता है। | |||
=== टोरी === | === टोरी === | ||
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* कोई भी [[शक्तिहीन समूह|एकांगी समूह]] अपचायक नहीं है क्योंकि उसका एकांगी मूलक स्वयं है। इसमें योजक समूह <math>\mathbb{G}_a</math> सम्मिलित है। | * कोई भी [[शक्तिहीन समूह|एकांगी समूह]] अपचायक नहीं है क्योंकि उसका एकांगी मूलक स्वयं है। इसमें योजक समूह <math>\mathbb{G}_a</math> सम्मिलित है। | ||
* <math>\text{GL}_n</math> के [[बोरेल समूह]] <math>B_n</math> में विकर्ण पर <math>1</math> के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह का असतहीय एकांगी मूलक <math>\mathbb{U}_n</math> है। यह एक गैर-अपचायक समूह का | * <math>\text{GL}_n</math> के [[बोरेल समूह]] <math>B_n</math> में विकर्ण पर <math>1</math> के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह का असतहीय एकांगी मूलक <math>\mathbb{U}_n</math> है। यह एक गैर-अपचायक समूह का उदाहरण है जो एक-एकांगी नहीं है। | ||
==== संबद्ध अपचायक समूह ==== | ==== संबद्ध अपचायक समूह ==== | ||
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== अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | == अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | ||
प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में | प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में जटिलता (लाई समूह) होती है, जो जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित लाई समूहों और जटिल अपचायक समूहों के बीच एक-से-एक संगति देता है। जटिलता G के साथ एक संहत लाई समूह k के लिए, k से जटिल अपचायक समूह g('<nowiki/>'''C'''<nowiki/>') में सम्मिलित होना, g(''''C'''<nowiki/>') पर शास्त्रीय सांस्थिति के संबंध में समस्थेयता समतुल्यता है। उदाहरण के लिए, [[एकात्मक समूह]] u(n) से Gl(n,'C') में समावेश एक [[होमोटॉपी तुल्यता|समस्थेयता तुल्यता]] है। | ||
एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में | एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अखंडनीय निरूपण के प्रत्यक्ष योग हैं।<ref>Milne (2017), Theorem 22.42.</ref> यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक G<sup>o</sup> अपचायक है।<ref>Milne (2017), Corollary 22.43.</ref> विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, [[न्यायमूर्ति नगाटा|मासायोशी नागाटा]] ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G<sup>o</sup> गुणक प्रकार का है और G/G<sup>o</sup> के निकट p से क्रम अभाज्य है।<ref>Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.</ref> | ||
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अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं। | अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं। | ||
G को एक क्षेत्र k पर | G को एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (G<sub>''m''</sub>) <sup>n</sup> के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है।<ref>Milne (2017), Theorem 12.12.</ref> G के लिए भार का अर्थ है ''T'' के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता ''T''→ ''G''<sub>''m''</sub>। [[पूर्णांक]] 'Z<sup>n</sup>' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए x(T) समरूपता के साथ निरूपण के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह x(T) बनाते हैं। | ||
संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा | </ | ||