पॉट्स मॉडल: Difference between revisions
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[[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में, पॉट मॉडल [[आइसिंग मॉडल]] का सामान्यीकरण [[क्रिस्टलीय जाली]] पर परस्पर [[क्रिया]] करने का एक मॉडल है<ref>{{Cite journal |last=Wu |first=F. Y. |date=1982-01-01 |title=पॉट्स मॉडल|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.54.235 |journal=Reviews of Modern Physics |volume=54 |issue=1 |pages=235–268 |doi=10.1103/RevModPhys.54.235|bibcode=1982RvMP...54..235W }}</ref> पॉट्स मॉडल का अध्ययन करके, [[ लौह |लौह]] के व्यवहार और ठोस-अवस्था भौतिकी की कुछ अन्य घटनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। पॉट्स मॉडल की शक्ति इतनी अधिक नहीं है कि यह इन भौतिक प्रणालियों को अच्छी प्रकार से मॉडल करे; जबकि यह है कि आयामी स्थिति वास्तव में हल करने योग्य है और इसमें समृद्ध गणितीय सूत्रीकरण है जिसका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। | [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में, पॉट मॉडल [[आइसिंग मॉडल]] का सामान्यीकरण [[क्रिस्टलीय जाली]] पर परस्पर [[क्रिया]] करने का एक मॉडल है<ref>{{Cite journal |last=Wu |first=F. Y. |date=1982-01-01 |title=पॉट्स मॉडल|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.54.235 |journal=Reviews of Modern Physics |volume=54 |issue=1 |pages=235–268 |doi=10.1103/RevModPhys.54.235|bibcode=1982RvMP...54..235W }}</ref> पॉट्स मॉडल का अध्ययन करके, [[ लौह |लौह]] के व्यवहार और ठोस-अवस्था भौतिकी की कुछ अन्य घटनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। पॉट्स मॉडल की शक्ति इतनी अधिक नहीं है कि यह इन भौतिक प्रणालियों को अच्छी प्रकार से मॉडल करे; जबकि यह है कि आयामी स्थिति वास्तव में हल करने योग्य है और इसमें समृद्ध गणितीय सूत्रीकरण है जिसका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। | ||
मॉडल का नाम [[रेनफ्रे पॉट्स]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1951 के पीएच.डी. | मॉडल का नाम [[रेनफ्रे पॉट्स]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1951 के पीएच.डी. शोध प्रबंध के अंत के समीप मॉडल का वर्णन किया था।<ref>{{Cite journal |last=Potts |first=R. B. |date=January 1952 |title=कुछ सामान्यीकृत आदेश-विकार परिवर्तन|url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/some-generalized-orderdisorder-transformations/5FD50240095F40BD123171E5F76CDBE0 |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |language=en |volume=48 |issue=1 |pages=106–109 |doi=10.1017/S0305004100027419 |bibcode=1952PCPS...48..106P |s2cid=122689941 |issn=1469-8064}}</ref> मॉडल प्लानर पॉट्स या ZN मॉडल से संबंधित था, जिसका सुझाव उन्हें उनके सलाहकार [[सिरिल हिल]] ने दिया था। चार-अवस्था पॉट्स मॉडल को कभी-कभी एश्किन-टेलर मॉडल के रूप में जाना जाता है,<ref>{{Cite journal |last1=Ashkin |first1=J. |last2=Teller |first2=E. |date=1943-09-01 |title=चार घटकों के साथ दो आयामी जालक के आँकड़े|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.64.178 |journal=Physical Review |volume=64 |issue=5–6 |pages=178–184 |doi=10.1103/PhysRev.64.178|bibcode=1943PhRv...64..178A }}</ref> [[जूलियस अश्किन]] और [[एडवर्ड टेलर]] के बाद, जिन्होंने 1943 में समकक्ष मॉडल माना। | ||
पॉट्स मॉडल XY मॉडल, [[हाइजेनबर्ग मॉडल (शास्त्रीय)|हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक )]] और [[एन-वेक्टर मॉडल]] सहित कई अन्य मॉडलों से संबंधित है और सामान्यीकृत है। अनंत-श्रेणी पॉट्स मॉडल को [[एक्सवाई मॉडल]] के रूप में जाना जाता है। जब स्पिनों को गैर-एबेलियन समूह | पॉट्स मॉडल XY मॉडल, [[हाइजेनबर्ग मॉडल (शास्त्रीय)|हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक )]] और [[एन-वेक्टर मॉडल]] सहित कई अन्य मॉडलों से संबंधित है और सामान्यीकृत है। अनंत-श्रेणी पॉट्स मॉडल को [[एक्सवाई मॉडल|Xवाई मॉडल]] के रूप में जाना जाता है। जब स्पिनों को गैर-एबेलियन समूह विधियों से परस्पर क्रिया करने के लिए लिया जाता है, तो मॉडल [[ प्रवाह ट्यूब मॉडल |प्रवाह ट्यूब मॉडल]] से संबंधित होता है, जिसका उपयोग [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] में रंग परिसीमन पर चर्चा करने के लिए किया जाता है। पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण का उपयोग धातुओं में अनाज के विकास और [[फोम]] में मोटे होने [[स्क्वाट मॉडल]] के लिए भी किया गया है। [[जेम्स ग्लेज़ियर]] और [[फ्रेंकोइस ग्रेनर]] द्वारा इन विधियों का सामान्यीकरण, जिसे [[सेलुलर पॉट्स मॉडल]] के रूप में जाना जाता है,<ref>{{Cite journal |last1=Graner |first1=François |last2=Glazier |first2=James A. |date=1992-09-28 |title=द्वि-आयामी विस्तारित पॉट्स मॉडल का उपयोग करके जैविक सेल छँटाई का अनुकरण|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.69.2013 |journal=Physical Review Letters |volume=69 |issue=13 |pages=2013–2016 |doi=10.1103/PhysRevLett.69.2013|pmid=10046374 |bibcode=1992PhRvL..69.2013G }}</ref> फोम और जैविक [[ रूपजनन |रूपजनन]] में स्थिर और गतिज घटना का अनुकरण करने के लिए उपयोग किया गया है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
पॉट्स मॉडल में | पॉट्स मॉडल में चक्रण होते हैं जो [[जाली (समूह)]] पर रखे जाते हैं। जाली को सामान्यतः दो-आयामी आयताकार [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] जाली के रूप में लिया जाता है, किन्तु अधिकांशतः इसे अन्य आयामों और जाली संरचनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। | ||
मूल रूप से, डोंब ने सुझाव दिया कि | मूल रूप से, डोंब ने सुझाव दिया कि चक्रण <math>q</math> संभावित मान में से लेता है, कोणों पर, वृत्त के बारे में समान रूप से वितरित हैं | ||
:<math>\theta_s = \frac{2\pi s}{q},</math> | :<math>\theta_s = \frac{2\pi s}{q},</math> | ||
जहाँ <math>s = 0, 1, ..., q-1</math> और यह कि इंटरेक्शन [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] द्वारा दिया गया है | |||
:<math>H_c = J_c\sum_{\langle i, j \rangle} \cos \left( \theta_{s_i} - \theta_{s_j} \right)</math> | :<math>H_c = J_c\sum_{\langle i, j \rangle} \cos \left( \theta_{s_i} - \theta_{s_j} \right)</math> | ||
निकटतम निकटतम जोड़े पर चल रहे योग के साथ <math>\langle i,j \rangle</math> सभी जाली साइटों पर, और <math>J_c</math> युग्मन स्थिरांक है, जो अंतःक्रिया शक्ति का निर्धारण करता है। इस मॉडल को अब वेक्टर पॉट्स मॉडल या | निकटतम निकटतम जोड़े पर चल रहे योग के साथ <math>\langle i,j \rangle</math> सभी जाली साइटों पर, और <math>J_c</math> युग्मन स्थिरांक है, जो अंतःक्रिया शक्ति का निर्धारण करता है। इस मॉडल को अब वेक्टर पॉट्स मॉडल या घड़ी मॉडल के रूप में जाना जाता है। पॉट्स ने चरण संक्रमण के लिए दो आयामों में स्थान प्रदान किया <math>q = 3,4</math>. सीमा में <math>q \to \infty</math>, यह XY मॉडल बन जाता है। | ||
जिसे अब मानक पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, पॉट्स द्वारा उपरोक्त मॉडल के अपने अध्ययन के | जिसे अब मानक पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, पॉट्स द्वारा उपरोक्त मॉडल के अपने अध्ययन के पर्यंत सुझाया गया था और इसे सरल हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>H_p = -J_p \sum_{(i,j)}\delta(s_i,s_j) \,</math> | :<math>H_p = -J_p \sum_{(i,j)}\delta(s_i,s_j) \,</math> | ||
जहाँ <math>\delta(s_i, s_j)</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है, जो जब भी के बराबर होता है <math>s_i = s_j</math> और शून्य अन्यथा। <math>q=2</math> h> मानक पॉट्स मॉडल ईज़िंग मॉडल और 2-स्टेट वेक्टर पॉट्स मॉडल के बराबर है <math>J_p = -2J_c</math>. <math>q=3</math> h> मानक पॉट्स मॉडल तीन-अवस्था वेक्टर पॉट्स मॉडल <math>J_p = -\frac{3}{2}J_c</math> के बराबर है । | |||
सामान्य सामान्यीकरण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र शब्द का परिचय देना है <math>h</math>, और पैरामीटर को रकम के अंदर ले जाना और उन्हें पूरे मॉडल में अलग-अलग करने की अनुमति देना | सामान्य सामान्यीकरण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र शब्द का परिचय देना है <math>h</math>, और पैरामीटर को रकम के अंदर ले जाना और उन्हें पूरे मॉडल में अलग-अलग करने की अनुमति देना : | ||
:<math>\beta H_g = - \beta \left(\sum_{(i,j)}J_{ij} \delta(s_i,s_j) + \sum_i h_i s_i\right) \,</math> | :<math>\beta H_g = - \beta \left(\sum_{(i,j)}J_{ij} \delta(s_i,s_j) + \sum_i h_i s_i\right) \,</math> | ||
जहाँ <math>\beta = \frac{1}{kT}</math> [[उलटा तापमान]], <math>k</math> [[बोल्ट्जमैन स्थिरांक]] और <math>T</math> [[तापमान]]। | |||
अलग-अलग कागजात थोड़े अलग सम्मेलनों को अपना सकते हैं, जो बदल सकते हैं <math>H</math> और संबद्ध विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) योगात्मक या गुणात्मक स्थिरांक द्वारा। | अलग-अलग कागजात थोड़े अलग सम्मेलनों को अपना सकते हैं, जो बदल सकते हैं <math>H</math> और संबद्ध विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) योगात्मक या गुणात्मक स्थिरांक द्वारा। | ||
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=== [[चरण संक्रमण]] === | === [[चरण संक्रमण]] === | ||
भौतिक प्रणाली के मॉडल के रूप में इसकी | भौतिक प्रणाली के मॉडल के रूप में इसकी सरलता के अतिरिक्त, पोट्स मॉडल चरण संक्रमण के अध्ययन के लिए मॉडल प्रणाली के रूप में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, मानक लौह-चुंबकीय पॉट्स मॉडल के लिए <math>2d</math>, सभी वास्तविक मूल्यों के लिए <math>q \geq 1</math> चरण संक्रमण उपस्तिथ है ,<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Beffara |first1=Vincent |last2=Duminil-Copin |first2=Hugo |date=2012-08-01 |title=The self-dual point of the two-dimensional random-cluster model is critical for q ≥ 1 |url=https://doi.org/10.1007/s00440-011-0353-8 |journal=Probability Theory and Related Fields |language=en |volume=153 |issue=3 |pages=511–542 |doi=10.1007/s00440-011-0353-8 |s2cid=55391558 |issn=1432-2064}}</ref> महत्वपूर्ण बिंदु <math>\beta J = \log(1 + \sqrt{q})</math> के साथ। चरण संक्रमण निरंतर (दूसरा क्रम) है <math>1 \leq q \leq 4</math> <ref>{{Cite journal |last1=Duminil-Copin |first1=Hugo |last2=Sidoravicius |first2=Vladas |last3=Tassion |first3=Vincent |date=2017-01-01 |title=Continuity of the Phase Transition for Planar Random-Cluster and Potts Models with $${1 \le q \le 4}$$ |url=https://doi.org/10.1007/s00220-016-2759-8 |journal=Communications in Mathematical Physics |language=en |volume=349 |issue=1 |pages=47–107 |doi=10.1007/s00220-016-2759-8 |arxiv=1505.04159 |s2cid=119153736 |issn=1432-0916}}</ref> और असंतत (पहला क्रम) के लिए <math>q > 4</math>.<ref>{{cite arXiv |last1=Duminil-Copin |first1=Hugo |last2=Gagnebin |first2=Maxime |last3=Harel |first3=Matan |last4=Manolescu |first4=Ioan |last5=Tassion |first5=Vincent |date=2017-09-05 |title=Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and Potts models with $q>4$ |class=math.PR |eprint=1611.09877 }}</ref>घड़ी मॉडल के लिए, इस बात का प्रमाण है कि संबंधित चरण संक्रमण अनंत क्रम [[बीकेटी संक्रमण]] हैं,<ref name="lyxt19" />और सतत चरण संक्रमण देखा जाता है जब <math>q \leq 4</math>.<ref name="lyxt19" />[[ रिसाव सिद्धांत | रिसाव सिद्धांत]] समस्या और साहचर्य में पाए जाने वाले [[सभी बहुपद]] और [[रंगीन बहुपद]] के मॉडल के संबंध के माध्यम से आगे का उपयोग पाया जाता है। पूर्णांक मानों के लिए <math>q \geq 3</math>, मॉडल 'इंटरफेसियल सोखना' की घटना को प्रदर्शित करता है <ref>{{Cite journal |last1=Selke |first1=Walter |last2=Huse |first2=David A. |date=1983-06-01 |title=प्लानर पॉट्स मॉडल में इंटरफेशियल सोखना|url=https://doi.org/10.1007/BF01304093 |journal=Zeitschrift für Physik B: Condensed Matter |language=en |volume=50 |issue=2 |pages=113–116 |doi=10.1007/BF01304093 |bibcode=1983ZPhyB..50..113S |s2cid=121502987 |issn=1431-584X}}</ref> दो अलग-अलग अवस्थाों में विपरीत सीमाओं को ठीक करते समय पेचीदा महत्वपूर्ण [[गीला]]पन गुणों के साथ है। | ||
=== [[यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल]] के साथ संबंध === | === [[यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल]] के साथ संबंध === | ||
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पॉट्स मॉडल का फोर्टुइन-पीटर कस्टेलिन रैंडम क्लस्टर मॉडल, सांख्यिकीय यांत्रिकी में अन्य मॉडल के साथ घनिष्ठ संबंध है। इस संबंध को समझने से छोटे स्तर पर मॉडल के संख्यात्मक अन्वेषण के लिए कुशल [[मार्कोव चेन मोंटे कार्लो]] विधियों को विकसित करने में सहायता मिली है <math>q</math>, और मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान के कठोर प्रमाण का नेतृत्व किया।<ref name=":0" /> | पॉट्स मॉडल का फोर्टुइन-पीटर कस्टेलिन रैंडम क्लस्टर मॉडल, सांख्यिकीय यांत्रिकी में अन्य मॉडल के साथ घनिष्ठ संबंध है। इस संबंध को समझने से छोटे स्तर पर मॉडल के संख्यात्मक अन्वेषण के लिए कुशल [[मार्कोव चेन मोंटे कार्लो]] विधियों को विकसित करने में सहायता मिली है <math>q</math>, और मॉडल के महत्वपूर्ण तापमान के कठोर प्रमाण का नेतृत्व किया।<ref name=":0" /> | ||
विभाजन | विभाजन कार्य के स्तर पर <math>Z_p = \sum_{\{s_i\}} e^{-H_p}</math>, चक्रण विन्यास पर योग को बदलने के लिए संबंध राशि <math>\{s_i\}</math> विन्यास पर बढ़त में <math>\omega=\Big\{(i,j)\Big|s_i=s_j\Big\}</math> अर्थात एक ही रंग के निकटतम निकटतम समुच्चय के जोड़े । पहचान का उपयोग करके परिवर्तन किया जाता है <math>e^{J_p\delta(s_i,s_j)} = 1 + v \delta(s_i,s_j)</math> साथ <math>v = e^{J_p}-1</math>.<ref>{{cite book |last=Sokal |first=Alan D. |title=Surveys in Combinatorics 2005 |chapter=The multivariate Tutte polynomial (alias Potts model) for graphs and matroids |year=2005 |arxiv=math/0503607 |pages=173–226 |doi=10.1017/CBO9780511734885.009|isbn=9780521615235 |s2cid=17904893 }}</ref> यह विभाजन कार्य को फिर से लिखने की ओर जाता है | ||
:<math> | :<math> | ||
Z_p = \sum_\omega v^{\#\text{edges}(\omega)} q^{\#\text{clusters}(\omega)} | Z_p = \sum_\omega v^{\#\text{edges}(\omega)} q^{\#\text{clusters}(\omega)} | ||
</math> | </math> | ||
जहां क्लस्टर | जहां क्लस्टर विवृत अनुभाग के समुच्चय के जुड़े हुए घटक <math>\cup_{(i,j)\in\omega}[i,j]</math> हैं। यह खुले किनारे की संभावना के साथ यादृच्छिक क्लस्टर मॉडल के विभाजन कार्य के समानुपाती है <math>p=\frac{v}{1+v}=1-e^{-J_p}</math>. यादृच्छिक क्लस्टर फॉर्मूलेशन का फायदा यह है कि <math>q</math> प्राकृतिक पूर्णांक के अतिरिक्त मनमाना जटिल संख्या हो सकती है। | ||
== माप-सैद्धांतिक विवरण == | == माप-सैद्धांतिक विवरण == | ||
आयामी पॉट्स मॉडल को परिमित प्रकार के सबशिफ्ट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | आयामी पॉट्स मॉडल को परिमित प्रकार के सबशिफ्ट के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और इस प्रकार इस औपचारिकता से जुड़ी सभी गणितीय प्रविधियों तक पहुंच प्राप्त होती है। विशेष रूप से, इसे [[ट्रांसफर ऑपरेटर|स्थानांतरण प्रचालक]] की प्रविधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। (चूंकि, [[अर्नस्ट इसिंग]] ने ईज़िंग मॉडल को हल करने के लिए दहनशील विधियों का उपयोग किया, जो पॉट्स मॉडल के पूर्वज हैं, उनके 1924 पीएचडी शोध प्रबंध में)। यह खंड इस समाधान के पीछे, [[माप सिद्धांत]] पर आधारित गणितीय औपचारिकता को विकसित करता है। | ||
जबकि नीचे दिया गया उदाहरण एक-आयामी स्थितियों के लिए विकसित किया गया है, कई तर्क, और लगभग सभी अंकन, किसी भी संख्या के आयामों को सरलता से सामान्यीकृत करते हैं। कुछ औपचारिकताएं भी संबंधित मॉडलों को संभालने के लिए अधिक व्यापक हैं, जैसे कि XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक ) और एन-वेक्टर मॉडल। | जबकि नीचे दिया गया उदाहरण एक-आयामी स्थितियों के लिए विकसित किया गया है, कई तर्क, और लगभग सभी अंकन, किसी भी संख्या के आयामों को सरलता से सामान्यीकृत करते हैं। कुछ औपचारिकताएं भी संबंधित मॉडलों को संभालने के लिए अधिक व्यापक हैं, जैसे कि XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक ) और एन-वेक्टर मॉडल। | ||
=== | === अवस्थाओं के स्थान की टोपोलॉजी === | ||
चलो क्यू = {1, ..., क्यू} प्रतीकों का सीमित | चलो क्यू = {1, ..., क्यू} प्रतीकों का सीमित समुच्चय हो, और चलो | ||
:<math>Q^\mathbf{Z}=\{ s=(\ldots,s_{-1},s_0,s_1,\ldots) : s_k \in Q \; \forall k \in \mathbf{Z} \}</math> | :<math>Q^\mathbf{Z}=\{ s=(\ldots,s_{-1},s_0,s_1,\ldots) : s_k \in Q \; \forall k \in \mathbf{Z} \}</math> | ||
समुच्चय क्यू से मूल्यों के सभी द्वि-अनंत स्ट्रिंग्स का समुच्चय हो। इस समुच्चय को पूर्ण शिफ्ट कहा जाता है। पॉट्स मॉडल को परिभाषित करने के लिए, या तो यह संपूर्ण स्थान, या इसका निश्चित उपसमुच्चय, [[पूरी पारी]] का सबशिफ्ट, उपयोग किया जा सकता है। शिफ्ट्स को यह नाम इसलिए मिला है क्योंकि इस स्थान पर प्राकृतिक प्रचालक उपस्तिथ है, [[शिफ्ट ऑपरेटर|शिफ्ट]] प्रचालक τ : Q<sup>Z</sup> → ''Q''<sup>Z</sup>, के रूप में अभिनय | |||
:<math>\tau (s)_k = s_{k+1}</math> | :<math>\tau (s)_k = s_{k+1}</math> | ||
इस | इस समुच्चय में प्राकृतिक [[उत्पाद टोपोलॉजी]] है; इस टोपोलॉजी का [[आधार (टोपोलॉजी)]] [[सिलेंडर सेट|सिलेंडर]] समुच्चय हैं | ||
:<math>C_m[\xi_0, \ldots, \xi_k]= \{s \in Q^\mathbf{Z} : s_m = \xi_0, \ldots ,s_{m+k} = \xi_k \}</math> | :<math>C_m[\xi_0, \ldots, \xi_k]= \{s \in Q^\mathbf{Z} : s_m = \xi_0, \ldots ,s_{m+k} = \xi_k \}</math> | ||
अर्थात, सभी संभावित स्ट्रिंग्स का | अर्थात, सभी संभावित स्ट्रिंग्स का समुच्चय जहां k+1 चक्रण दिए गए मूल्यों के विशिष्ट समुच्चय से त्रुटिहीन रूप से मेल खाते हैं ξ<sub>0</sub>, ..., X<sub>''k''</sub>. सिलेंडर समुच्चय के लिए स्पष्ट प्रतिनिधित्व यह देखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि मूल्यों की स्ट्रिंग पी-एडिक नंबर | क्यू-एडिक नंबर से मेल खाती है, चूंकि क्यू-एडिक नंबरों की प्राकृतिक टोपोलॉजी उपरोक्त उत्पाद टोपोलॉजी से श्रेष्ठतर है। | ||
=== सहभागिता ऊर्जा === | === सहभागिता ऊर्जा === | ||
चक्रणों के बीच अन्योन्यक्रिया तब सतत फलन (टोपोलॉजी) V : Q | चक्रणों के बीच अन्योन्यक्रिया तब सतत फलन (टोपोलॉजी) V : Q<sup>Z</sup> → R द्वारा दी जाती है इस टोपोलॉजी पर कोई भी निरंतर कार्य करेगा; उदाहरण के लिए | ||
:<math>V(s) = -J\delta(s_0,s_1)</math> | :<math>V(s) = -J\delta(s_0,s_1)</math> | ||
निकटतम पड़ोसियों के बीच बातचीत का वर्णन करने के लिए देखा जाएगा। बेशक, अलग-अलग कार्य अलग-अलग इंटरैक्शन देते हैं; तो एस का समारोह<sub>0</sub>, | निकटतम पड़ोसियों के बीच बातचीत का वर्णन करने के लिए देखा जाएगा। बेशक, अलग-अलग कार्य अलग-अलग इंटरैक्शन देते हैं; तो एस का समारोह ''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub> और ''s''<sub>2</sub> अगले-निकटतम निकटतम इंटरैक्शन का वर्णन करेगा। फ़ंक्शन वी चक्रण के समुच्चय के बीच अंतःक्रियात्मक ऊर्जा देता है; यह हैमिल्टनियन नहीं है, किन्तु इसे बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। फलन V का तर्क अवयव ∈ Q है<sup>Z</sup>, अर्थात चक्रण की अनंत स्ट्रिंग। उपरोक्त उदाहरण में, फ़ंक्शन वी ने अनंत स्ट्रिंग में से केवल दो घुमावों को चुना है। मान ''s''<sub>0</sub> और ''s''<sub>1</sub> सामान्यतः फ़ंक्शन V कुछ या सभी घुमावों पर निर्भर हो सकता है; वर्तमान में, केवल वे ही जो परिमित संख्या पर निर्भर करते हैं, त्रुटिहीन रूप से हल करने योग्य हैं। | ||
फलन ''H<sub>n</sub>'' : ''Q''<sup>'''Z'''</sup> → '''R''' को परिभाषित कीजिए | |||
:<math>H_n(s)= \sum_{k=0}^n V(\tau^k s)</math> | :<math>H_n(s)= \sum_{k=0}^n V(\tau^k s)</math> | ||
इस फ़ंक्शन को दो भागों में देखा जा सकता है: | इस फ़ंक्शन को दो भागों में देखा जा सकता है: विन्यास की आत्म-ऊर्जा [''s''<sub>0</sub>, ''s''<sub>1</sub>, ..., ''s<sub>n</sub>'' चक्रण का ], साथ ही इस समुच्चय की अंतःक्रियात्मक ऊर्जा और जाली में अन्य सभी स्पिन। इस फलन की n → ∞ सीमा तंत्र की हैमिल्टनियन है; परिमित n के लिए, इन्हें कभी-कभी 'परिमित अवस्था हैमिल्टन' कहा जाता है। | ||
=== विभाजन | === विभाजन कार्य और उपाय === | ||
इसी परिमित- | इसी परिमित-अवस्था विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) द्वारा दिया गया है | ||
:<math>Z_n(V) = \sum_{s_0,\ldots,s_n \in Q} \exp(-\beta H_n(C_0[s_0,s_1,\ldots,s_n]))</math> | :<math>Z_n(V) = \sum_{s_0,\ldots,s_n \in Q} \exp(-\beta H_n(C_0[s_0,s_1,\ldots,s_n]))</math> | ||
सी के साथ<sub>0</sub> ऊपर परिभाषित सिलेंडर | सी के साथ<sub>0</sub> ऊपर परिभाषित सिलेंडर समुच्चय होने के नाते। यहाँ, β = 1/kT, जहाँ k बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है, और T तापमान है। गणितीय उपचारों में β = 1 समुच्चय करना बहुत आम है, क्योंकि यह अंतःक्रियात्मक ऊर्जा को पुनः स्केल करके सरलता ी से प्राप्त किया जा सकता है। यह विभाजन फ़ंक्शन इंटरेक्शन V के फ़ंक्शन के रूप में लिखा गया है जिससे कि जोर दिया जा सके कि यह केवल इंटरेक्शन का फ़ंक्शन है, न कि चक्रण के किसी विशिष्ट विन्यास का। विभाजन फलन, हेमिल्टनियन के साथ, बोरेल σ-बीजगणित पर माप (गणित) को निम्नलिखित विधियों से परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। सिलेंडर समुच्चय का माप, अर्थात आधार का तत्व, द्वारा दिया जाता है | ||
:<math>\mu (C_k[s_0,s_1,\ldots,s_n]) = \frac{1}{Z_n(V)} \exp(-\beta H_n (C_k[s_0,s_1,\ldots,s_n]))</math> | :<math>\mu (C_k[s_0,s_1,\ldots,s_n]) = \frac{1}{Z_n(V)} \exp(-\beta H_n (C_k[s_0,s_1,\ldots,s_n]))</math> | ||
इसके बाद पूर्ण σ-बीजगणित तक गणनीय योगात्मकता का विस्तार किया जा सकता है। यह माप [[संभाव्यता माप]] है; यह | इसके बाद पूर्ण σ-बीजगणित तक गणनीय योगात्मकता का विस्तार किया जा सकता है। यह माप [[संभाव्यता माप]] है; यह विन्यास स्थान (भौतिकी) Q में दिए गए विन्यास की संभावना देता है। इस प्रकार से हैमिल्टनियन से निर्मित संभाव्यता माप के साथ विन्यास स्थान को समाप्त करके, विन्यास स्थान विहित समवेत में बदल जाता है। | ||
विभाजन फ़ंक्शन के संदर्भ में अधिकांश | विभाजन फ़ंक्शन के संदर्भ में अधिकांश ऊष्मप्रवैगिकी गुणों को सीधे व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, [[हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा]] किसके द्वारा दी जाती है | ||
:<math>A_n(V)=-kT \log Z_n(V)</math> | :<math>A_n(V)=-kT \log Z_n(V)</math> | ||
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:<math>P(V) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log Z_n(V)</math> | :<math>P(V) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log Z_n(V)</math> | ||
जो समाधान के | जो समाधान के स्थानांतरण प्रचालक के अग्रणी आइजन मूल्य के लघुगणक के रूप में दिखाई देगा। | ||
=== मुक्त क्षेत्र समाधान === | === मुक्त क्षेत्र समाधान === | ||
सबसे सरल मॉडल वह मॉडल है जहां कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, और इसलिए V = c और H<sub>n</sub>= सी (सी निरंतर और किसी भी | सबसे सरल मॉडल वह मॉडल है जहां कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, और इसलिए V = c और H<sub>n</sub>= सी (सी निरंतर और किसी भी चक्रण विन्यास से स्वतंत्र)। विभाजन कार्य बन जाता है | ||
:<math>Z_n(c) = e^{-c\beta} \sum_{s_0,\ldots,s_n \in Q} 1</math> | :<math>Z_n(c) = e^{-c\beta} \sum_{s_0,\ldots,s_n \in Q} 1</math> | ||
यदि सभी | यदि सभी अवस्थाों की अनुमति है, अर्थात, अवस्थाों के अंतर्निहित समुच्चय को पूर्ण शिफ्ट द्वारा दिया जाता है, तो योग का तुच्छ रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है | ||
:<math>Z_n(c) = e^{-c\beta} q^{n+1}</math> | :<math>Z_n(c) = e^{-c\beta} q^{n+1}</math> | ||
यदि निकटतम घुमावों को केवल कुछ विशिष्ट विन्यासों में ही अनुमति दी जाती है, तो | यदि निकटतम घुमावों को केवल कुछ विशिष्ट विन्यासों में ही अनुमति दी जाती है, तो अवस्था का स्थान परिमित प्रकार के सबशिफ्ट द्वारा दिया जाता है। विभाजन कार्य तब के रूप में लिखा जा सकता है | ||
:<math>Z_n(c) = e^{-c\beta} |\mbox{Fix}\, \tau^n| = e^{-c\beta} \mbox{Tr} A^n</math> | :<math>Z_n(c) = e^{-c\beta} |\mbox{Fix}\, \tau^n| = e^{-c\beta} \mbox{Tr} A^n</math> | ||
जहां कार्ड [[प्रमुखता]] या | जहां कार्ड [[प्रमुखता]] या समुच्चय की गिनती है, और फिक्स पुनरावृत्त शिफ्ट फ़ंक्शन के [[निश्चित बिंदु (गणित)]] का समुच्चय है: | ||
:<math>\mbox{Fix}\, \tau^n = \{ s \in Q^\mathbf{Z} : \tau^n s = s \}</math> | :<math>\mbox{Fix}\, \tau^n = \{ s \in Q^\mathbf{Z} : \tau^n s = s \}</math> | ||
क्यू × क्यू मैट्रिक्स ए आसन्न मैट्रिक्स है जो निर्दिष्ट करता है कि निकटतम | क्यू × क्यू मैट्रिक्स ए आसन्न मैट्रिक्स है जो निर्दिष्ट करता है कि निकटतम चक्रण मूल्यों की अनुमति है। | ||
=== इंटरेक्टिंग मॉडल === | === इंटरेक्टिंग मॉडल === | ||
इंटरेक्टिंग मॉडल का सबसे सरल स्थिति ईज़िंग मॉडल है, जहाँ | इंटरेक्टिंग मॉडल का सबसे सरल स्थिति ईज़िंग मॉडल है, जहाँ चक्रण केवल दो में से मान ले सकता है, s<sub>n</sub>∈ {−1, 1} और केवल निकटतम निकटतम चक्रण इंटरैक्ट करते हैं। सहभागिता क्षमता द्वारा दी गई है | ||
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