समाधेय समूह: Difference between revisions

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गणित में, अधिक विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] के क्षेत्र में, '''~~हल करने योग्य~~ समूह''' या घुलनशील समूह एक ऐसा [[समूह (गणित)|समूह]] है जिसे प्रसार का उपयोग करके [[एबेलियन समूह|~~एबेलियन~~ समूहों]] से बनाया जाता है। समतुल्य रूप से, एक ~~हल करने योग्य~~ समूह एक ऐसा समूह होता है जिसकी [[व्युत्पन्न श्रृंखला]] [[तुच्छ उपसमूह]] में समाप्त होती है।

गणित में, अधिक विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] के क्षेत्र में, '''समाधेय समूह''' या घुलनशील समूह एक ऐसा [[समूह (गणित)|समूह]] है जिसे प्रसार का उपयोग करके [[एबेलियन समूह|विनिमेय समूहों]] से बनाया जाता है। समतुल्य रूप से, एक समाधेय समूह एक ऐसा समूह होता है जिसकी [[व्युत्पन्न श्रृंखला]] [[तुच्छ उपसमूह]] में समाप्त होती है।

== प्रेरणा ==

ऐतिहासिक रूप से, ~~हल करने योग्य~~ समूह शब्द [[गाल्वा सिद्धांत]] से उत्पन्न हुआ है और [[क्विंटिक]] समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का [[गणितीय प्रमाण]] है। विशेष रूप से, एक [[बहुपद समीकरण]] को मौलिक में हल किया जाता है और केवल तभी संबंधित गैलोज़ समूह ~~हल करने योग्य~~ है<ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|title=फील्ड थ्योरी|pages=45}}</ref> (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल विशेषता 0 में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है <math>f \in F[x]</math> छेत्र प्रसार का एक उत्तुंग है

ऐतिहासिक रूप से, समाधेय समूह शब्द [[गाल्वा सिद्धांत]] से उत्पन्न हुआ है और [[क्विंटिक]] समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का [[गणितीय प्रमाण]] है। विशेष रूप से, एक [[बहुपद समीकरण]] को मौलिक में हल किया जाता है और केवल तभी संबंधित गैलोज़ समूह समाधेय है<ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|title=फील्ड थ्योरी|pages=45}}</ref> (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल विशेषता 0 में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है <math>f \in F[x]</math> छेत्र प्रसार का एक उत्तुंग है

<math>F = F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_m=K</math>

Line 14:

# <math>F_m</math> के लिए एक [[विभाजन क्षेत्र]] सम्मलित है <math>f(x)</math>

=== उदाहरण ===

उदाहरण के लिए, सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार <math>\mathbb{Q}</math> तत्व युक्त<blockquote><math>a = \sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}</math></blockquote>एक ~~हल करने योग्य~~ समूह देता है। इसमें संबद्ध छेत्र प्रसार है

उदाहरण के लिए, सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार <math>\mathbb{Q}</math> तत्व युक्त है<blockquote><math>a = \sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}</math></blockquote>यह एक समाधेय समूह देता है। इसमें संबद्ध छेत्र प्रसार है

<math>\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \subseteq

\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2\pi i/ 5}\sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\right)</math>

युक्त एक ~~हल करने योग्य~~ समूह देता है <math>\mathbb{Z}/5</math> (पर अभिनय <math>e^{2\pi i/5}</math>) और <math>\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2</math> (अभिनय करता है <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>).

युक्त एक समाधेय समूह देता है <math>\mathbb{Z}/5</math> (पर अभिनय <math>e^{2\pi i/5}</math>) और <math>\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2</math> (अभिनय करता है <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>).

== परिभाषा ==

एक समूह G को '~~हल करने योग्य~~' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके [[कारक समूह]] (गुणांक समूह) सभी ~~एबेलियन~~ समूह है, अर्थात, यदि [[उपसमूह]] 1 = G0 है < G1 < ⋅⋅⋅ < Gk= G ऐसा है कि G''j''−1 G में [[सामान्य उपसमूह]] है~~j~~, और Gj/G''j''−1 j = 1, 2, ..., k के लिए एक ~~एबेलियन~~ समूह है।

एक समूह G को 'समाधेय' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके [[कारक समूह]] (गुणांक समूह) सभी विनिमेय समूह है, अर्थात, यदि [[उपसमूह]] 1 = G0 है < G1 < ⋅⋅⋅ < Gk= G ऐसा है कि G''j''−1 Gj में [[सामान्य उपसमूह]] है, और Gj/G''j''−1 j = 1, 2, ..., k के लिए एक विनिमेय समूह है।

या समकक्ष, यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, अवरोही सामान्य श्रृंखला है

:<math>G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,</math>

जहां हर उपसमूह पिछले एक का [[कम्यूटेटर उपसमूह]] है, अंततः G के तुच्छ उपसमूह तक पहुंचता है। ये दो परिभाषाएँ समतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक समूह एच और एच के प्रत्येक सामान्य उपसमूह एन के लिए, भागफल एच / ~~एन एबेलियन~~ है यदि ~~और केवल यदि एन~~ में एच के ~~कम्यूटेटर~~ उपसमूह सम्मलित होते है। कम से कम एन ऐसा है कि G(n) = 1 को ~~हल करने योग्य~~ समूह G को 'व्युत्पन्न लंबाई' कहा जाता है।

जहां हर उपसमूह पिछले का [[कम्यूटेटर उपसमूह|विनिमय उपसमूह]] होता है, अंततः G के तुच्छ उपसमूह तक पहुंचता है। ये दो परिभाषाएँ समतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक समूह H और H के प्रत्येक सामान्य उपसमूह n के लिए, भागफल H/n विनिमेय है यदि n में H के विनिमय उपसमूह सम्मलित होते है। कम से कम n ऐसा है कि G(n) = 1 को समाधेय समूह G को 'व्युत्पन्न लंबाई' कहा जाता है।

परिमित समूहों के लिए, एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक ~~हल करने योग्य~~ समूह एक [[रचना श्रृंखला]] वाला एक समूह होता है, जिसके सभी कारक [[अभाज्य संख्या]] क्रम (समूह सिद्धांत) के [[चक्रीय समूह]] होते है। यह समतुल्य है क्योंकि एक परिमित समूह की परिमित रचना लंबाई होती है, और प्रत्येक सरल समूह ~~एबेलियन~~ समूह प्रधान क्रम का चक्रीय होता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय गारंटी देते है कि यदि एक रचना श्रृंखला में यह गुण होते है, तो सभी रचना श्रृंखलाओं में भी यह गुण होते है। एक बहुपद के गैलोज़ समूह के लिए, ये चक्रीय समूह किसी [[क्षेत्र (गणित)]] पर नवे मूल (कट्टरपंथी) के अनुरूप होती है। तुल्यता आवश्यक रूप से अनंत समूहों के लिए ~~नहीं~~ है: उदाहरण के लिए, चूंकि [[पूर्णांक]] के समूह 'Z' का प्रत्येक गैर-उपसमूह है इसके अतिरिक्त 'Z' के लिए [[समूह समरूपता]] है, इसकी कोई रचना श्रृंखला नहीं है, लेकिन सामान्य श्रृंखला {0, ' Z'}, अपने एकमात्र कारक समूह के साथ 'Z' के लिए समरूप है, यह सिद्ध करता है कि यह वास्तव में ~~हल करने योग्य~~ है।

परिमित समूहों के लिए, एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक समाधेय समूह एक [[रचना श्रृंखला]] वाला एक समूह होता है, जिसके सभी कारक [[अभाज्य संख्या]] क्रम (समूह सिद्धांत) के [[चक्रीय समूह]] होते है। यह समतुल्य है क्योंकि एक परिमित समूह की परिमित रचना लंबाई होती है, और प्रत्येक सरल समूह विनिमेय समूह प्रधान क्रम का चक्रीय होता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय गारंटी देते है कि यदि एक रचना श्रृंखला में यह गुण होते है, तो सभी रचना श्रृंखलाओं में भी यह गुण होते है। एक बहुपद के गैलोज़ समूह के लिए, ये चक्रीय समूह किसी [[क्षेत्र (गणित)]] पर नवे मूल (कट्टरपंथी) के अनुरूप होती है। तुल्यता आवश्यक रूप से अनंत समूहों के लिए नही होती है: उदाहरण के लिए, चूंकि [[पूर्णांक]] के समूह 'Z' का प्रत्येक गैर-उपसमूह है इसके अतिरिक्त 'Z' के लिए [[समूह समरूपता]] है, इसकी कोई रचना श्रृंखला नहीं होती है, लेकिन सामान्य श्रृंखला {0, ' Z'}, अपने एकमात्र कारक समूह के साथ 'Z' के लिए समरूप है, यह सिद्ध करता है कि यह वास्तव में समाधेय होता है।

== उदाहरण ==

=== ~~एबेलियन~~ समूह ===

=== विनिमेय समूह ===

~~हल करने योग्य~~ समूहों का मूल उदाहरण ~~एबेलियन~~ समूह है। वे तुच्छ रूप से ~~हल करने योग्य~~ है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा ही बनाई जाती है। लेकिन गैर-~~अबेलियन~~ समूह ~~हल करने योग्य~~ हो भी सकते है और नहीं ~~भी।~~

समाधेय समूहों का मूल उदाहरण विनिमेय समूह है। वे तुच्छ रूप से समाधेय होता है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा बनाई जाती है। लेकिन गैर-विनिमेय समूह समाधेय हो भी सकते है और नहीं भी हो सकते है।

=== [[निलपोटेंट समूह]] ===

अधिक ~~आम तौर पर~~, सभी नीलपोटेंट समूह ~~हल करने योग्य~~ होते है। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह ~~| पी-समूह हल करने योग्य~~ है, क्योंकि सभी परिमित ~~पी-समूह |~~ पी-समूह शून्य है।

अधिक सामान्यतः, सभी नीलपोटेंट समूह समाधेय होते है। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह समाधेय होते है, क्योंकि सभी परिमित पी-समूह शून्य होते है।

==== चतुष्कोण समूह ====

विशेष रूप से, [[चतुर्धातुक समूह]] ~~समूह~~ विस्तार~~<blockquote>~~ द्वारा दिया गया एक ~~हल करने योग्य~~ समूह है<math>1 \to \mathbb{Z}/2 \to Q \to \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \to 1</math>~~</blockquote>~~जहां ~~कर्नेल~~ <math>\mathbb{Z}/2</math> द्वारा उत्पन्न उपसमूह है <math>-1</math>.

विशेष रूप से, [[चतुर्धातुक समूह]] विस्तार द्वारा दिया गया एक समाधेय समूह है

<math>1 \to \mathbb{Z}/2 \to Q \to \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \to 1</math>

जहां मध्यभाग <math>\mathbb{Z}/2</math> द्वारा उत्पन्न उपसमूह है <math>-1</math>.

=== समूह प्रसार ===

समूह प्रसार ~~हल करने योग्य~~ समूहों के ~~प्रोटोटाइपिकल~~ उदाहरण बनाते है। ~~यानी~~ यदि <math>G</math> और <math>G'</math> ~~हल करने योग्य~~ समूह है, तो कोई प्रसार <ब्लॉककोट><math>1 \to G \to G'' \to G' \to 1</math>एक हल करने योग्य समूह को परिभाषित करता है <math>G''</math>. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी हल करने योग्य समूह बनाए जा सकते है।

समूह प्रसार समाधेय समूहों के आद्य उदाहरण बनाते है। अर्थात यदि <math>G</math> और <math>G'</math> समाधेय समूह है

=== ~~गैर-नाबेलियन~~ समूह जो गैर-शून्य === है

एक ~~हल करने योग्य~~, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण [[सममित समूह]] ~~एस है~~3. वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-~~आबेली~~ समूह A है5, (डिग्री 5 का [[वैकल्पिक समूह]]) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है।

एक समाधेय समूह को परिभाषित करता है <math>G''</math>. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी समाधेय समूह बनाए जाते है।

=== गैरविनिमेय समूह जो गैर-शून्य है ===

एक समाधेय, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण [[सममित समूह]] S3 होता है। वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-विनिमेय समूह A5 होता है, (डिग्री 5 का [[वैकल्पिक समूह]]) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है।

=== विषम क्रम के परिमित समूह ===

फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह ~~हल करने योग्य~~ है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का है।

फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह समाधेय होता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल होता है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का होता है।

=== गैर उदाहरण ===

समूह एस5 ~~हल करने योग्य~~ नहीं है - इसकी एक रचना श्रृंखला है {ई, ए5, एस5} (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय ~~में कहा गया~~ है कि ~~हर दूसरी~~ रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को ~~ए के लिए आइसोमोर्फिक दे रही है~~5 और सी2; और ए5 ~~एबेलियन नहीं~~ है। इस तर्क ~~को सामान्य~~ करते हुए, इस तथ्य के साथ ~~कि ए~~''n'' ~~एस का एक सामान्य~~, ~~अधिकतम, गैर-अबेलियन सरल उपसमूह है~~''n'' ~~n > 4 के लिए~~, हम देखते है कि S''n'' n > 4 के लिए ~~हल करने योग्य~~ नहीं है। यह ~~सबूत में~~ एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 ~~के लिए~~ डिग्री n के [[बहुपद]] है जो ~~करणी~~ (~~एबेल~~-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं ~~किए जा सकते~~ है। इस गुण का उपयोग ~~एनसी (जटिलता)~~ के ~~सबूत~~ में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता ~~है | बैरिंगटन के प्रमेय।~~

समूह S5 समाधेय नहीं होते है - इसकी रचना श्रृंखला {E, A5, S5} है (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अन्य रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को A5 और C2 के लिए समरूपता देता है, और A5 विनिमेय नही होता है। इस तर्क का सामान्यीकरण करते हुए, इस तथ्य के साथ मिलकर A''n'', n> 4 के लिए S''n'' का एक सामान्य, अधिकतम, गैर-विनिमेय सरल उपसमूह है, हम देखते है कि S''n'' n> 4 के लिए समाधेय नहीं है। यह प्रमाण एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 में डिग्री n के [[बहुपद]] होते है जो कण (विनिमेय-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं किया जाता है। इस गुण का उपयोग बैरिंगटन के प्रमेय के प्रमाण में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता है।

=== ~~Gएल के उपसमूह~~2 ===

=== Gl2 के उपसमूह ===

उपसमूहों ~~<ब्लॉककोट>~~ पर विचार करें<math>B = \left\{ \begin{bmatrix}

उपसमूहों पर विचार करें

<math>B = \left\{ \begin{bmatrix}

* & * \\

0 & *

Line 61:

Line 71:

1 & * \\

0 & 1

\end{bmatrix} \right\}</math> का <math>GL_2(\mathbb{F})</math>किसी क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{F}</math>. फिर, समूह भागफल <math>B/U</math> मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है <math>B,U</math>, उन्हें एक साथ गुणा ~~करना~~, और पता ~~लगाना~~ कि यह क्या संरचना देता है। तो ~~<ब्लॉककोट>~~<math>\begin{bmatrix}

\end{bmatrix} \right\}</math>

<math>GL_2(\mathbb{F})</math>किसी क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{F}</math>. फिर, समूह भागफल <math>B/U</math> मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है <math>B,U</math>, उन्हें एक साथ गुणा करता है, और पता लगता है कि यह क्या संरचना देता है। तो

<math>\begin{bmatrix}

a & b \\

0 & c

Line 74:

Line 88:

\end{bmatrix}

</math> निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें <math>GL_2

</math>

निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें <math>GL_2

</math> तात्पर्य <math>ac \neq 0

Line 80:

Line 96:

</math>, इस तरह <math>\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \subset B

</math> एक उपसमूह है (जो ~~मैट्रिक्स~~ है जहां <math>b=0

</math> एक उपसमूह है (जो आव्यूह है जहां <math>b=0

</math>). निश्चित के लिए <math>a,b

Line 94:

Line 110:

</math>. चूँकि हम कोई भी आव्यूह ले सकते है <math>B

</math> और इसे ~~मैट्रिक्स <ब्लॉककोट>~~ से गुणा ~~करें~~<math>\begin{bmatrix}

</math> और इसे आव्यूह से गुणा करते है

<math>\begin{bmatrix}

1 & d \\

0 & 1

\end{bmatrix}

</math>के साथ <math>d = -b/a

</math>

इसके साथ <math>d = -b/a

</math>, हम एक विकर्ण ~~मैट्रिक्स~~ प्राप्त कर सकते है <math>B

</math>, हम एक विकर्ण आव्यूह प्राप्त कर सकते है <math>B

</math>. यह भागफल समूह को दर्शाता है <math>B/U \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>.

Line 118:

Line 138:

</math>. यह संकेत करता है <math>(a,c)(b + b') = (a,c)(b) + (a,c)(b') = ab + ab'

</math>. साथ ही, फॉर्म का एक ~~मैट्रिक्स~~<blockquote><math>\begin{bmatrix}

</math>. साथ ही, फॉर्म का एक आव्यूह है <blockquote><math>\begin{bmatrix}

a & b \\

0 & c

\end{bmatrix}</math></blockquote>तत्व से मेल खाता है <math>(b) \times (a,c)</math> समूह ~~में।~~

\end{bmatrix}</math></blockquote>यह तत्व से मेल खाता है <math>(b) \times (a,c)</math> समूह मे होता है।

=== बोरेल उपसमूह ===

एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए <math>G</math> इसके [[बोरेल उपसमूह]] को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और ~~हल करने योग्य~~ है <math>G</math>, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए, ~~में~~ <math>GL_n</math> और <math>SL_n</math> ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो है। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह <math>B</math> में <math>GL_2</math> बोरेल उपसमूह है।

एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए <math>G</math> इसके [[बोरेल उपसमूह]] को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और समाधेय है <math>G</math>, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह होता है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए, <math>GL_n</math> और <math>SL_n</math> ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो होते है। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह <math>B</math> में <math>GL_2</math> बोरेल उपसमूह होता है।

==== ~~Gएल में बोरेल उपसमूह~~3 ====

==== Gl3 में बोरेल उपसमूह ====

~~में~~ <math>GL_3</math> उपसमूह ~~<ब्लॉककोट>~~ है<math>B = \left\{

<math>GL_3</math> उपसमूह है

<math>B = \left\{

\begin{bmatrix}

* & * & * \\

Line 140:

Line 162:

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\right\}</math>सूचना <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, इसलिए बोरेल समूह का रूप<blockquote> है<math>U\rtimes

\right\}</math>

सूचना <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, इसलिए बोरेल समूह का रूप है<blockquote> <math>U\rtimes

(\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times)

</math></~~ब्लॉककोट~~>

</math></blockquote>

==== साधारण रेखीय बीजगणितीय समूहों के गुणनफल में बोरेल उपसमूह ====

उत्पाद समूह में <math>GL_n \times GL_m</math> बोरेल उपसमूह को ~~<ब्लॉकक्वोट>~~ फॉर्म के ~~मैट्रिसेस~~ द्वारा दर्शाया जा सकता है<math>\begin{bmatrix}

उत्पाद समूह में <math>GL_n \times GL_m</math> बोरेल उपसमूह को फॉर्म के आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है

<math>\begin{bmatrix}

T & 0 \\

0 & S

\end{bmatrix}</math>~~</blockquote>~~जहाँ <math>T</math> एक <math>n\times n</math> ऊपरी त्रिकोणीय ~~मैट्रिक्स~~ और <math>S</math> एक है <math>m\times m</math> ऊपरी त्रिकोणीय ~~मैट्रिक्स।~~

\end{bmatrix}</math>

जहाँ <math>T</math> एक <math>n\times n</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है और <math>S</math> एक <math>m\times m</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है।

=== जेड-समूह ===

कोई भी परिमित समूह जिसका ~~साइलो समूह |~~ पी-साइलो उपसमूह चक्रीय है, दो चक्रीय समूहों का एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] है, विशेष रूप से ~~हल करने योग्य।~~ ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है।

कोई भी परिमित समूह जिसका पी-साइलो उपसमूह चक्रीय होता है, दो चक्रीय समूहों का एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] होता है, विशेष रूप से समाधेय होता है। ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है।

== ~~OEIS~~ मान ==

== ओईआईएस मान ==

क्रम n के साथ ~~हल करने योग्य~~ समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें)

क्रम n के साथ समाधेय समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें)

: 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15 , 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2 , 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... {{OEIS|id=A201733}}

Line 163:

Line 191:

== गुण ==

~~हलेबिलिटी~~ कई ~~ऑपरेशनों~~ के ~~तहत~~ बंद है।

समाधेय कई संचालनों के अनुसार बंद होता है।

* यदि G ~~हल करने योग्य~~ है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H ~~हल करने योग्य~~ है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref>

* यदि G समाधेय है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H समाधेय होता है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref>

* यदि G ~~हल करने योग्य~~ है, और G आक्षेप H से एक [[समूह समरूपता]] है, तो H ~~हल करने योग्य~~ है; समकक्ष रूप से (~~आइसोमोर्फिज्म प्रमेय#फर्स्ट आइसोमोर्फिज्म~~ प्रमेय द्वारा), यदि G ~~हल करने योग्य~~ है, और एन G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G/~~एन हल करने योग्य~~ है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every quotient of a solvable group is solvable|title=Theorem 5.16}}</ref>

* यदि G समाधेय है, और G आक्षेप H से एक [[समूह समरूपता]] है, तो H समाधेय होता है, समकक्ष रूप से (समरूपता प्रमेय द्वारा), यदि G समाधेय है, और n G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G/n समाधेय होता है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every quotient of a solvable group is solvable|title=Theorem 5.16}}</ref>

* ~~पिछली गुणयों को~~ दो गुणयों की कीमत के लिए निम्नलिखित तीन में विस्तारित किया जा सकता है: G हल करने योग्य है यदि और केवल यदि N और G/N दोनों हल करने योग्य है।

* दो गुण विशेष रूप से, यदि G और H समाधेय है, तो समूह G × H का प्रत्यक्ष उत्पाद समाधेय होता है।

* विशेष रूप से, यदि G और ~~एच हल करने योग्य~~ है, तो समूह G × एच का प्रत्यक्ष उत्पाद ~~हल करने योग्य~~ है।

~~हलेबिलिटी ग्रुप~~ प्रसार के ~~तहत~~ बंद है:

हल समूह प्रसार के अनुसार बंद होता है:

* यदि एच और G/~~एच हल करने योग्य~~ है, तो G भी है; विशेष रूप से, यदि एन और ~~एच हल करने योग्य~~ है, तो उनका ~~सेमीडायरेक्ट~~ उत्पाद भी ~~हल करने योग्य~~ है।

* यदि H और G/H समाधेय है, तो G भी समाधेय है, विशेष रूप से, यदि n और H समाधेय है, तो उनका अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद भी समाधेय होता है।

यह [[पुष्पांजलि उत्पाद]] के ~~तहत~~ भी बंद है:

यह [[पुष्पांजलि उत्पाद]] के अनुसार भी बंद होता है:

* यदि G और ~~एच हल करने योग्य~~ है, और ~~एक्स~~ एक G-सेट है, तो ~~एक्स~~ के संबंध में G और एच का पुष्पांजलि उत्पाद भी ~~हल करने योग्य~~ है।

* यदि G और H समाधेय है, और x एक G-सेट है, तो x के संबंध में G और H का पुष्पांजलि उत्पाद भी समाधेय होता है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर [[व्युत्पन्न लंबाई]] के ~~हल करने योग्य~~ समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)]] बनाते है, क्योंकि वे [[समरूपता]] छवियों, ~~सबलजेब्रस~~ और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के ~~तहत~~ बंद होते है। ~~(प्रत्यक्ष) उत्पादों।~~ असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ ~~हल करने योग्य~~ समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद ~~हल करने योग्य~~ नहीं है, इसलिए सभी ~~हल करने योग्य~~ समूहों का वर्ग विविधता नहीं है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर [[व्युत्पन्न लंबाई]] के समाधेय समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)|विविधता]] बनाते है, क्योंकि वे [[समरूपता]] छवियों, और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुसार बंद होते है। असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ समाधेय समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद समाधेय नहीं होता है, इसलिए सभी समाधेय समूहों का वर्ग विविधता नहीं होता है।

== बर्नसाइड प्रमेय ==

बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G ~~ऑर्डर~~ (समूह सिद्धांत) पी का एक [[परिमित समूह]] है~~एक्यूb जहाँ~~ p और q अभाज्य ~~संख्याएँ~~ है, और a और b ~~ऋणात्मक और धनात्मक संख्याएँ है |~~ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो G ~~हल करने योग्य~~ है।

बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G आदेश (समूह सिद्धांत) p का एक [[परिमित समूह]] होता है जहां p और q अभाज्य संख्याएं है, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो G समाधेय होता है।

== संबंधित अवधारणाएं ==

=== ~~सुपरसोल्वेबल~~ समूह ===

=== सुपर समाधेय समूह ===

विलेयता के ~~सुदृढ़ीकरण~~ के रूप में, एक समूह G को ~~'सुपरहल करने योग्य समूह' (या 'सुपरहलबल')~~ कहा जाता है, ~~यदि~~ इसमें एक अपरिवर्तनीय सामान्य श्रृंखला होती है जिसके कारक सभी चक्रीय होते है। चूँकि एक सामान्य श्रृंखला की परिभाषा के अनुसार परिमित लंबाई होती है, ~~[[बेशुमार]] समूह सुपरहल करने योग्य~~ समूह नहीं होते है। वास्तव में, सभी ~~सुपरहल करने योग्य समूह~~ समूह अंतिम रूप से उत्पन्न ~~समूह~~ है, और एक ~~एबेलियन समूह सुपरहल करने योग्य~~

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समाधेय समूह: Difference between revisions

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-गणित में, अधिक विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] के क्षेत्र में, '''हल करने योग्य समूह''' या घुलनशील समूह एक ऐसा [[समूह (गणित)|समूह]] है जिसे प्रसार का उपयोग करके [[एबेलियन समूह|एबेलियन समूहों]] से बनाया जाता है। समतुल्य रूप से, एक हल करने योग्य समूह एक ऐसा समूह होता है जिसकी [[व्युत्पन्न श्रृंखला]] [[तुच्छ उपसमूह]] में समाप्त होती है।
+गणित में, अधिक विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] के क्षेत्र में, '''समाधेय समूह''' या घुलनशील समूह एक ऐसा [[समूह (गणित)|समूह]] है जिसे प्रसार का उपयोग करके [[एबेलियन समूह|विनिमेय समूहों]] से बनाया जाता है। समतुल्य रूप से, एक समाधेय समूह एक ऐसा समूह होता है जिसकी [[व्युत्पन्न श्रृंखला]] [[तुच्छ उपसमूह]] में समाप्त होती है।
 == प्रेरणा ==
-ऐतिहासिक रूप से, हल करने योग्य समूह शब्द [[गाल्वा सिद्धांत]] से उत्पन्न हुआ है और [[क्विंटिक]] समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का [[गणितीय प्रमाण]] है। विशेष रूप से, एक [[बहुपद समीकरण]] को मौलिक में हल किया जाता है और केवल तभी संबंधित गैलोज़ समूह हल करने योग्य है<ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|title=फील्ड थ्योरी|pages=45}}</ref> (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल विशेषता 0 में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है <math>f \in F[x]</math> छेत्र प्रसार का एक उत्तुंग है
+ऐतिहासिक रूप से, समाधेय समूह शब्द [[गाल्वा सिद्धांत]] से उत्पन्न हुआ है और [[क्विंटिक]] समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का [[गणितीय प्रमाण]] है। विशेष रूप से, एक [[बहुपद समीकरण]] को मौलिक में हल किया जाता है और केवल तभी संबंधित गैलोज़ समूह समाधेय है<ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf|title=फील्ड थ्योरी|pages=45}}</ref> (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल विशेषता 0 में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है <math>f \in F[x]</math> छेत्र प्रसार का एक उत्तुंग है
 <math>F = F_0 \subseteq F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_m=K</math>
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 # <math>F_m</math> के लिए एक [[विभाजन क्षेत्र]] सम्मलित है <math>f(x)</math>
 === उदाहरण ===
-उदाहरण के लिए, सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार <math>\mathbb{Q}</math> तत्व युक्त<blockquote><math>a = \sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}</math></blockquote>एक हल करने योग्य समूह देता है। इसमें संबद्ध छेत्र प्रसार है
+उदाहरण के लिए, सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार <math>\mathbb{Q}</math> तत्व युक्त है<blockquote><math>a = \sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}</math></blockquote>यह एक समाधेय समूह देता है। इसमें संबद्ध छेत्र प्रसार है
 <math>\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \subseteq
 \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\left(e^{2\pi i/ 5}\sqrt[5]{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\right)</math>
-युक्त एक हल करने योग्य समूह देता है <math>\mathbb{Z}/5</math> (पर अभिनय <math>e^{2\pi i/5}</math>) और <math>\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2</math> (अभिनय करता है <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>).
+युक्त एक समाधेय समूह देता है <math>\mathbb{Z}/5</math> (पर अभिनय <math>e^{2\pi i/5}</math>) और <math>\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2</math> (अभिनय करता है <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>).
 == परिभाषा ==
-एक समूह G को 'हल करने योग्य' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके [[कारक समूह]] (गुणांक समूह) सभी एबेलियन समूह है, अर्थात, यदि [[उपसमूह]] 1 = G<sub>0</sub> है < G<sub>1</sub> < ⋅⋅⋅ < G<sub>k</sub>= G ऐसा है कि G<sub>''j''−1</sub> G में [[सामान्य उपसमूह]] है<sub>j</sub>, और G<sub>j</sub>/G<sub>''j''−1</sub> j = 1, 2, ..., k के लिए एक एबेलियन समूह है।
+एक समूह G को 'समाधेय' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके [[कारक समूह]] (गुणांक समूह) सभी विनिमेय समूह है, अर्थात, यदि [[उपसमूह]] 1 = G<sub>0</sub> है < G<sub>1</sub> < ⋅⋅⋅ < G<sub>k</sub>= G ऐसा है कि G<sub>''j''−1</sub> G<sub>j</sub> में [[सामान्य उपसमूह]] है, और G<sub>j</sub>/G<sub>''j''−1</sub> j = 1, 2, ..., k के लिए एक विनिमेय समूह है।
 या समकक्ष, यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, अवरोही सामान्य श्रृंखला है
 :<math>G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,</math>
-जहां हर उपसमूह पिछले एक का [[कम्यूटेटर उपसमूह]] है, अंततः G के तुच्छ उपसमूह तक पहुंचता है। ये दो परिभाषाएँ समतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक समूह एच और एच के प्रत्येक सामान्य उपसमूह एन के लिए, भागफल एच / एन एबेलियन है यदि और केवल यदि एन में एच के कम्यूटेटर उपसमूह सम्मलित होते है। कम से कम एन ऐसा है कि G<sup>(n)</sup> = 1 को हल करने योग्य समूह G को 'व्युत्पन्न लंबाई' कहा जाता है।
+जहां हर उपसमूह पिछले का [[कम्यूटेटर उपसमूह|विनिमय उपसमूह]] होता है, अंततः G के तुच्छ उपसमूह तक पहुंचता है। ये दो परिभाषाएँ समतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक समूह H और H के प्रत्येक सामान्य उपसमूह n के लिए, भागफल H/n विनिमेय है यदि n में H के विनिमय उपसमूह सम्मलित होते है। कम से कम n ऐसा है कि G<sup>(n)</sup> = 1 को समाधेय समूह G को 'व्युत्पन्न लंबाई' कहा जाता है।
-परिमित समूहों के लिए, एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक हल करने योग्य समूह एक [[रचना श्रृंखला]] वाला एक समूह होता है, जिसके सभी कारक [[अभाज्य संख्या]] क्रम (समूह सिद्धांत) के [[चक्रीय समूह]] होते है। यह समतुल्य है क्योंकि एक परिमित समूह की परिमित रचना लंबाई होती है, और प्रत्येक सरल समूह एबेलियन समूह प्रधान क्रम का चक्रीय होता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय गारंटी देते है कि यदि एक रचना श्रृंखला में यह गुण होते है, तो सभी रचना श्रृंखलाओं में भी यह गुण होते है। एक बहुपद के गैलोज़ समूह के लिए, ये चक्रीय समूह किसी [[क्षेत्र (गणित)]] पर नवे मूल (कट्टरपंथी) के अनुरूप होती है। तुल्यता आवश्यक रूप से अनंत समूहों के लिए नहीं है: उदाहरण के लिए, चूंकि [[पूर्णांक]] के समूह 'Z' का प्रत्येक गैर-उपसमूह है इसके अतिरिक्त 'Z' के लिए [[समूह समरूपता]] है, इसकी कोई रचना श्रृंखला नहीं है, लेकिन सामान्य श्रृंखला {0, ' Z'}, अपने एकमात्र कारक समूह के साथ 'Z' के लिए समरूप है, यह सिद्ध करता है कि यह वास्तव में हल करने योग्य है।
+परिमित समूहों के लिए, एक समतुल्य परिभाषा यह है कि एक समाधेय समूह एक [[रचना श्रृंखला]] वाला एक समूह होता है, जिसके सभी कारक [[अभाज्य संख्या]] क्रम (समूह सिद्धांत) के [[चक्रीय समूह]] होते है। यह समतुल्य है क्योंकि एक परिमित समूह की परिमित रचना लंबाई होती है, और प्रत्येक सरल समूह विनिमेय समूह प्रधान क्रम का चक्रीय होता है। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय गारंटी देते है कि यदि एक रचना श्रृंखला में यह गुण होते है, तो सभी रचना श्रृंखलाओं में भी यह गुण होते है। एक बहुपद के गैलोज़ समूह के लिए, ये चक्रीय समूह किसी [[क्षेत्र (गणित)]] पर नवे मूल (कट्टरपंथी) के अनुरूप होती है। तुल्यता आवश्यक रूप से अनंत समूहों के लिए नही होती है: उदाहरण के लिए, चूंकि [[पूर्णांक]] के समूह 'Z' का प्रत्येक गैर-उपसमूह है इसके अतिरिक्त 'Z' के लिए [[समूह समरूपता]] है, इसकी कोई रचना श्रृंखला नहीं होती है, लेकिन सामान्य श्रृंखला {0, ' Z'}, अपने एकमात्र कारक समूह के साथ 'Z' के लिए समरूप है, यह सिद्ध करता है कि यह वास्तव में समाधेय होता है।
 == उदाहरण ==
-=== एबेलियन समूह ===
+=== विनिमेय समूह ===
-हल करने योग्य समूहों का मूल उदाहरण एबेलियन समूह है। वे तुच्छ रूप से हल करने योग्य है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा ही बनाई जाती है। लेकिन गैर-अबेलियन समूह हल करने योग्य हो भी सकते है और नहीं भी।
+समाधेय समूहों का मूल उदाहरण विनिमेय समूह है। वे तुच्छ रूप से समाधेय होता है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा बनाई जाती है। लेकिन गैर-विनिमेय समूह समाधेय हो भी सकते है और नहीं भी हो सकते है।
 === [[निलपोटेंट समूह]] ===
-अधिक आम तौर पर, सभी नीलपोटेंट समूह हल करने योग्य होते है। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह | पी-समूह हल करने योग्य है, क्योंकि सभी परिमित पी-समूह | पी-समूह शून्य है।
+अधिक सामान्यतः, सभी नीलपोटेंट समूह समाधेय होते है। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह समाधेय होते है, क्योंकि सभी परिमित पी-समूह शून्य होते है।
 ==== चतुष्कोण समूह ====
-विशेष रूप से, [[चतुर्धातुक समूह]] समूह विस्तार<blockquote> द्वारा दिया गया एक हल करने योग्य समूह है<math>1 \to \mathbb{Z}/2 \to Q \to \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \to 1</math></blockquote>जहां कर्नेल <math>\mathbb{Z}/2</math> द्वारा उत्पन्न उपसमूह है <math>-1</math>.
+विशेष रूप से, [[चतुर्धातुक समूह]] विस्तार द्वारा दिया गया एक समाधेय समूह है
+<math>1 \to \mathbb{Z}/2 \to Q \to \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \to 1</math>
+जहां मध्यभाग <math>\mathbb{Z}/2</math> द्वारा उत्पन्न उपसमूह है <math>-1</math>.
 === समूह प्रसार ===
-समूह प्रसार हल करने योग्य समूहों के प्रोटोटाइपिकल उदाहरण बनाते है। यानी यदि <math>G</math> और <math>G'</math> हल करने योग्य समूह है, तो कोई प्रसार <ब्लॉककोट><math>1 \to G \to G'' \to G' \to 1</math>एक हल करने योग्य समूह को परिभाषित करता है <math>G''</math>. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी हल करने योग्य समूह बनाए जा सकते है।
+समूह प्रसार समाधेय समूहों के आद्य उदाहरण बनाते है। अर्थात यदि <math>G</math> और <math>G'</math> समाधेय समूह है
-=== गैर-नाबेलियन समूह जो गैर-शून्य === है
+<math>1 \to G \to G'' \to G' \to 1</math>
-एक हल करने योग्य, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण [[सममित समूह]] एस है<sub>3</sub>. वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-आबेली समूह A है<sub>5</sub>, (डिग्री 5 का [[वैकल्पिक समूह]]) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है।
+एक समाधेय समूह को परिभाषित करता है <math>G''</math>. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी समाधेय समूह बनाए जाते है।
+=== गैरविनिमेय समूह जो गैर-शून्य है ===
+एक समाधेय, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण [[सममित समूह]] S<sub>3</sub> होता है। वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-विनिमेय समूह A<sub>5</sub> होता है, (डिग्री 5 का [[वैकल्पिक समूह]]) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है।
 === विषम क्रम के परिमित समूह ===
-फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह हल करने योग्य है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का है।
+फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह समाधेय होता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल होता है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का होता है।
 === गैर उदाहरण ===
-समूह एस<sub>5</sub> हल करने योग्य नहीं है - इसकी एक रचना श्रृंखला है {ई, ए<sub>5</sub>, एस<sub>5</sub>} (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय में कहा गया है कि हर दूसरी रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को ए के लिए आइसोमोर्फिक दे रही है<sub>5</sub> और सी<sub>2</sub>; और ए<sub>5</sub> एबेलियन नहीं है। इस तर्क को सामान्य करते हुए, इस तथ्य के साथ कि ए<sub>''n''</sub> एस का एक सामान्य, अधिकतम, गैर-अबेलियन सरल उपसमूह है<sub>''n''</sub> n > 4 के लिए, हम देखते है कि S<sub>''n''</sub> n > 4 के लिए हल करने योग्य नहीं है। यह सबूत में एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 के लिए डिग्री n के [[बहुपद]] है जो करणी (एबेल-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं किए जा सकते है। इस गुण का उपयोग एनसी (जटिलता) के सबूत में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता है | बैरिंगटन के प्रमेय।
+समूह S<sub>5</sub> समाधेय नहीं होते है - इसकी रचना श्रृंखला {E, A<sub>5</sub>, S<sub>5</sub>} है (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अन्य रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को A<sub>5</sub> और C<sub>2</sub> के लिए समरूपता देता है, और A<sub>5</sub> विनिमेय नही होता है। इस तर्क का सामान्यीकरण करते हुए, इस तथ्य के साथ मिलकर A<sub>''n''</sub>, n> 4 के लिए S<sub>''n''</sub> का एक सामान्य, अधिकतम, गैर-विनिमेय सरल उपसमूह है, हम देखते है कि S<sub>''n''</sub> n> 4 के लिए समाधेय नहीं है। यह प्रमाण एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 में डिग्री n के [[बहुपद]] होते है जो कण (विनिमेय-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं किया जाता है। इस गुण का उपयोग बैरिंगटन के प्रमेय के प्रमाण में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता है।
-=== Gएल के उपसमूह<sub>2</sub> ===
+=== Gl<sub>2</sub> के उपसमूह ===
-उपसमूहों <ब्लॉककोट> पर विचार करें<math>B = \left\{ \begin{bmatrix}
+उपसमूहों पर विचार करें
+<math>B = \left\{ \begin{bmatrix}
 * & * \\
 & *
@@ Line 61: / Line 71: @@
 & * \\
 & 1
-\end{bmatrix} \right\}</math> का <math>GL_2(\mathbb{F})</math>किसी क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{F}</math>. फिर, समूह भागफल <math>B/U</math> मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है <math>B,U</math>, उन्हें एक साथ गुणा करना, और पता लगाना कि यह क्या संरचना देता है। तो <ब्लॉककोट><math>\begin{bmatrix}
+\end{bmatrix} \right\}</math>
+<math>GL_2(\mathbb{F})</math>किसी क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{F}</math>. फिर, समूह भागफल <math>B/U</math> मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है <math>B,U</math>, उन्हें एक साथ गुणा करता है, और पता लगता है कि यह क्या संरचना देता है। तो
+<math>\begin{bmatrix}
 a & b \\
 & c
@@ Line 74: / Line 88: @@
 \end{bmatrix}
-</math> निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें <math>GL_2
+</math>
+निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें <math>GL_2
 </math> तात्पर्य <math>ac \neq 0
@@ Line 80: / Line 96: @@
 </math>, इस तरह <math>\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \subset B
-</math> एक उपसमूह है (जो मैट्रिक्स है जहां <math>b=0
+</math> एक उपसमूह है (जो आव्यूह है जहां <math>b=0
 </math>). निश्चित के लिए <math>a,b
@@ Line 94: / Line 110: @@
 </math>. चूँकि हम कोई भी आव्यूह ले सकते है <math>B
-</math> और इसे मैट्रिक्स <ब्लॉककोट> से गुणा करें<math>\begin{bmatrix}
+</math> और इसे आव्यूह से गुणा करते है
+<math>\begin{bmatrix}
 & d \\
 & 1
 \end{bmatrix}
-</math>के साथ <math>d = -b/a
+</math>
+इसके साथ <math>d = -b/a
-</math>, हम एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त कर सकते है <math>B
+</math>, हम एक विकर्ण आव्यूह प्राप्त कर सकते है <math>B
 </math>. यह भागफल समूह को दर्शाता है <math>B/U \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>.
@@ Line 118: / Line 138: @@
 </math>. यह संकेत करता है <math>(a,c)(b + b') = (a,c)(b) + (a,c)(b') = ab + ab'
-</math>. साथ ही, फॉर्म का एक मैट्रिक्स<blockquote><math>\begin{bmatrix}
+</math>. साथ ही, फॉर्म का एक आव्यूह है <blockquote><math>\begin{bmatrix}
 a & b \\
 & c
-\end{bmatrix}</math></blockquote>तत्व से मेल खाता है <math>(b) \times (a,c)</math> समूह में।
+\end{bmatrix}</math></blockquote>यह तत्व से मेल खाता है <math>(b) \times (a,c)</math> समूह मे होता है।
 === बोरेल उपसमूह ===
-एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए <math>G</math> इसके [[बोरेल उपसमूह]] को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और हल करने योग्य है <math>G</math>, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए, में <math>GL_n</math> और <math>SL_n</math> ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो है। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह <math>B</math> में <math>GL_2</math> बोरेल उपसमूह है।
+एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए <math>G</math> इसके [[बोरेल उपसमूह]] को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और समाधेय है <math>G</math>, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह होता है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए,  <math>GL_n</math> और <math>SL_n</math> ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो होते है। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह <math>B</math> में <math>GL_2</math> बोरेल उपसमूह होता है।
-==== Gएल में बोरेल उपसमूह<sub>3</sub> ====
+==== Gl<sub>3</sub> में बोरेल उपसमूह ====
-में <math>GL_3</math> उपसमूह <ब्लॉककोट> है<math>B = \left\{
+<math>GL_3</math> उपसमूह है
+<math>B = \left\{
 \begin{bmatrix}
 * & * & * \\
@@ Line 140: / Line 162: @@
 & 0 & 1
 \end{bmatrix}
-\right\}</math>सूचना <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, इसलिए बोरेल समूह का रूप<blockquote> है<math>U\rtimes
+\right\}</math>
+सूचना <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, इसलिए बोरेल समूह का रूप है<blockquote> <math>U\rtimes
 (\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times)
-</math></ब्लॉककोट>
+</math></blockquote>
 ==== साधारण रेखीय बीजगणितीय समूहों के गुणनफल में बोरेल उपसमूह ====
-उत्पाद समूह में <math>GL_n \times GL_m</math> बोरेल उपसमूह को <ब्लॉकक्वोट> फॉर्म के मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है<math>\begin{bmatrix}
+उत्पाद समूह में <math>GL_n \times GL_m</math> बोरेल उपसमूह को फॉर्म के आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है
+<math>\begin{bmatrix}
 T & 0 \\
 & S
-\end{bmatrix}</math></blockquote>जहाँ <math>T</math> एक <math>n\times n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स और <math>S</math> एक है <math>m\times m</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स।
+\end{bmatrix}</math>
+जहाँ <math>T</math> एक <math>n\times n</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है और <math>S</math> एक <math>m\times m</math> ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है।
 === जेड-समूह ===
-कोई भी परिमित समूह जिसका साइलो समूह | पी-साइलो उपसमूह चक्रीय है, दो चक्रीय समूहों का एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] है, विशेष रूप से हल करने योग्य। ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है।
+कोई भी परिमित समूह जिसका पी-साइलो उपसमूह चक्रीय होता है, दो चक्रीय समूहों का एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] होता है, विशेष रूप से समाधेय होता है। ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है।
-== OEIS मान ==
+== ओईआईएस मान ==
-क्रम n के साथ हल करने योग्य समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें)
+क्रम n के साथ समाधेय समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें)
 : 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15 , 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2 , 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... {{OEIS|id=A201733}}
@@ Line 163: / Line 191: @@
 == गुण ==
-हलेबिलिटी कई ऑपरेशनों के तहत बंद है।
+समाधेय कई संचालनों के अनुसार बंद होता है।
-* यदि G हल करने योग्य है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H हल करने योग्य है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref>
+* यदि G समाधेय है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H समाधेय होता है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref>
-* यदि G हल करने योग्य है, और G आक्षेप H से एक [[समूह समरूपता]] है, तो H हल करने योग्य है; समकक्ष रूप से (आइसोमोर्फिज्म प्रमेय#फर्स्ट आइसोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा), यदि G हल करने योग्य है, और एन G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G/एन हल करने योग्य है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every quotient of a solvable group is solvable|title=Theorem 5.16}}</ref>
+* यदि G समाधेय है, और G आक्षेप H से एक [[समूह समरूपता]] है, तो H समाधेय होता है, समकक्ष रूप से (समरूपता प्रमेय द्वारा), यदि G समाधेय है, और n G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G/n समाधेय होता है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every quotient of a solvable group is solvable|title=Theorem 5.16}}</ref>
-* पिछली गुणयों को दो गुणयों की कीमत के लिए निम्नलिखित तीन में विस्तारित किया जा सकता है: G हल करने योग्य है यदि और केवल यदि N और G/N दोनों हल करने योग्य है।
+* दो गुण विशेष रूप से, यदि G और H समाधेय है, तो समूह G × H का प्रत्यक्ष उत्पाद समाधेय होता है।
-* विशेष रूप से, यदि G और एच हल करने योग्य है, तो समूह G × एच का प्रत्यक्ष उत्पाद हल करने योग्य है।
-हलेबिलिटी ग्रुप प्रसार के तहत बंद है:
+हल समूह प्रसार के अनुसार बंद होता है:
-* यदि एच और G/एच हल करने योग्य है, तो G भी है; विशेष रूप से, यदि एन और एच हल करने योग्य है, तो उनका सेमीडायरेक्ट उत्पाद भी हल करने योग्य है।
+* यदि H और G/H समाधेय है, तो G भी समाधेय है, विशेष रूप से, यदि n और H समाधेय है, तो उनका अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद भी समाधेय होता है।
-यह [[पुष्पांजलि उत्पाद]] के तहत भी बंद है:
+यह [[पुष्पांजलि उत्पाद]] के अनुसार भी बंद होता है:
-* यदि G और एच हल करने योग्य है, और एक्स एक G-सेट है, तो एक्स के संबंध में G और एच का पुष्पांजलि उत्पाद भी हल करने योग्य है।
+* यदि G और H समाधेय है, और x एक G-सेट है, तो x के संबंध में G और H का पुष्पांजलि उत्पाद भी समाधेय होता है।
-किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर [[व्युत्पन्न लंबाई]] के हल करने योग्य समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)]] बनाते है, क्योंकि वे [[समरूपता]] छवियों, सबलजेब्रस और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के तहत बंद होते है। (प्रत्यक्ष) उत्पादों। असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ हल करने योग्य समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद हल करने योग्य नहीं है, इसलिए सभी हल करने योग्य समूहों का वर्ग विविधता नहीं है।
+किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर [[व्युत्पन्न लंबाई]] के समाधेय समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)|विविधता]] बनाते है, क्योंकि वे [[समरूपता]] छवियों, और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुसार बंद होते है। असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ समाधेय समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद समाधेय नहीं होता है, इसलिए सभी समाधेय समूहों का वर्ग विविधता नहीं होता है।
 == बर्नसाइड प्रमेय ==
-{{main|Burnside's theorem}}
+{{main|बर्नसाइड प्रमेय}}
-बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G ऑर्डर (समूह सिद्धांत) पी का एक [[परिमित समूह]] है<sup>ए</sup>क्यू<sup>b</sup> जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ है, और a और b ऋणात्मक और धनात्मक संख्याएँ है | गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो G हल करने योग्य है।
+बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G आदेश (समूह सिद्धांत) p का एक [[परिमित समूह]] होता है जहां p और q अभाज्य संख्याएं है, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो G समाधेय होता है।
 == संबंधित अवधारणाएं ==
-=== सुपरसोल्वेबल समूह ===
+=== सुपर समाधेय समूह ===
-{{main|supersolvable group}}
+{{main|सुपर समाधेय ग्रुप}}
-विलेयता के सुदृढ़ीकरण के रूप में, एक समूह G को 'सुपरहल करने योग्य समूह' (या 'सुपरहलबल') कहा जाता है, यदि इसमें एक अपरिवर्तनीय सामान्य श्रृंखला होती है जिसके कारक सभी चक्रीय होते है। चूँकि एक सामान्य श्रृंखला की परिभाषा के अनुसार परिमित लंबाई होती है, [[बेशुमार]] समूह सुपरहल करने योग्य समूह नहीं होते है। वास्तव में, सभी सुपरहल करने योग्य समूह समूह अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है, और एक एबेलियन समूह सुपरहल करने योग्य