व्रेथ गुणनफल: Difference between revisions
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[[समूह सिद्धांत]] में, | [[समूह सिद्धांत]] में, व्रेथ गुणनफल [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद|अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल]] पर आधारित दो [[समूह (गणित)]] का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की [[क्रिया (समूह सिद्धांत)]] द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक [[घातांक]] के अनुरूप होता है। व्रेथ उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के रोचक उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है। | ||
<math>A</math> और <math>H</math> दो समूह दिए गए हैं (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है<ref>{{Citation|last=Bhattacharjee|first=Meenaxi|title=Wreath products|date=1998|url=https://doi.org/10.1007/BFb0092558|work=Notes on Infinite Permutation Groups|pages=67–76|series=Lecture Notes in Mathematics|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/bfb0092558|isbn=978-3-540-49813-1|access-date=2021-05-12|last2=Macpherson|first2=Dugald|last3=Möller|first3=Rögnvaldur G.|last4=Neumann|first4=Peter M.}}</ref>), व्रेथ गुणनफल के दो रूप उपस्थित हैं: अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल <math>A \text{ Wr } H</math> और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल <math>A \text{ wr } H</math>। सामान्य रूप, जिसे क्रमशः <math>A \text{ Wr}_{\Omega} H</math> या <math>A \text{ wr}_{\Omega} H</math> द्वारा निरूपित किया जाता है उनके लिए आवश्यक है कि <math>H</math> कुछ सम्मुच्चय <math>\Omega</math> पर समूह क्रिया (गणित) करे। जब अनिर्दिष्ट होता है, सामान्यतः <math>\Omega = H</math> (एक नियमित व्रेथ गुणनफल), हालांकि एक अलग <math>\Omega</math> कभी-कभी निहित होता है। जब <math>A</math>, <math>H</math>, और <math>\Omega</math> सभी परिमित होते हैं, तब दो भिन्नताएं मेल खाती हैं। अन्यतर भिन्नता को <math>A \wr H</math> (लाटेक्स प्रतीक के लिए \wr के साथ) या <math>A \wr H</math> (एकल कूट U+2240) के रूप में भी दर्शाया जाता है। | |||
यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण | यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और परिमित अर्धसमूहों क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
मान लीजिये A एक समूह है और H एक सम्मुच्चय पर कार्य करने वाला <math>\Omega</math> समूह है। <math>A</math> का [[समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद|प्रत्यक्ष उत्पादन]] <math>A^{\Omega}</math> स्वयम् <math>\Omega</math> द्वारा अनुक्रमित क्रम <math>\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}</math> <math>A</math> में <math>\Omega</math> द्वारा अनुक्रमित बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन का समुच्चय है। <math>\Omega</math> पर <math>H</math> की क्रिया को <math>A^{\Omega}</math> पर एक क्रिया के लिए रीइन्डेक्सिंग द्वारा विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात् निम्नलिखित को परिभाषित करके | |||
: <math> h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}</math> | : <math> h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}</math> | ||
सभी | सभी <math>h \in H</math> के लिए और सभी <math>(a_{\omega})_{\omega \in \Omega} \in A^{\Omega}</math> के लिए है। | ||
फिर | फिर <math>H</math>द्वारा <math>A</math> का अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल <math>A \text{ Wr}_{\Omega} H</math> अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल <math>A^{\Omega} \rtimes H</math> ऊपर दिए गए <math>A^{\Omega}</math> पर <math>H</math> की क्रिया है। उपसमूह <math>A^{\Omega}</math> को <math>A^{\Omega} \rtimes H</math> व्रेथ गुणनफल का आधार कहा जाता है। | ||
प्रतिबंधित | प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल <math>A \text{ wr}_{\Omega} H</math> अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल के रूप में उसी तरह बनाया गया है, अतिरिक्त इसके कि व्रेथ गुणनफल के आधार के रूप में समूहों के प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है। इस स्तिथि में, आधार में सभी अनुक्रम <math>A</math> निश्चित रूप से कई गैर-पहचान प्रविष्टियों के साथ होते हैं । | ||
सबसे | सबसे सामान्य स्तिथि में, <math>\Omega = H</math> और <math>H</math> बाएं गुणन द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। इस स्तिथि में, अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल <math>A \text{ Wr } H</math> और <math>A \text{ wr } H</math> द्वारा क्रमश निरूपित किया जा सकता है। इसे नियमित व्रेथ गुणनफल कहा जाता है। | ||
== अंकन और परंपराएँ == | == अंकन और परंपराएँ == | ||
H द्वारा A के व्रेथ गुणनफल की संरचना H-सम्मुच्चय Ω पर निर्भर करती है और स्तिथियों में Ω अनंत है, यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि कोई प्रतिबंधित या अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल का उपयोग करता है या नहीं। हालाँकि, साहित्य में प्रयुक्त संकेतन में कमी हो सकती है और परिस्थितियों पर ध्यान देने की आवश्यकता है। | |||
* | * रचना में A≀<sub>Ω</sub>H अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A Wr<sub>Ω</sub>H या प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A wr<sub>Ω</sub>H का अर्थ हो सकता है। | ||
* इसी तरह, A≀H अप्रतिबंधित नियमित | * इसी तरह, A≀H अप्रतिबंधित नियमित व्रेथ गुणनफल A Wr H या प्रतिबंधित नियमित व्रेथ गुणनफल A wr H का अर्थ हो सकता है। | ||
* साहित्य में | * साहित्य में H-सम्मुच्चय Ω को अंकन से छोड़ा जा सकता है भले ही Ω ≠ H है। | ||
* विशेष | * विशेष स्तिथि में कि H = S<sub>''n''</sub> घात n का [[सममित समूह]] है रचना में यह मान लेना सामान्य है कि Ω = {1,...,n} (S<sub>''n''</sub> की प्राकृतिक क्रिया के साथ) और फिर Ω को अंकन से हटा दें। यानी A≀S<sub>''n''</sub> सामान्यतः A≀<sub>{1,...,''n''}</sub>S<sub>''n''</sub> को दर्शाता है नियमित व्रेथ गुणनफल A≀<sub>''S''<sub>''n''</sub>S<sub>''n''</sub> के स्थान पर पहले की स्तिथि में आधार समूह A की n प्रतियों का गुणनफल है, उत्तरार्द्ध में यह A की n प्रतियों का गुणनफल है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
=== परिमित Ω | === परिमित Ω पर अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल का समझौता === | ||
चूँकि परिमित प्रत्यक्ष | चूँकि परिमित प्रत्यक्ष गुणनफल समूहों के परिमित प्रत्यक्ष योग के समान है, यह इस प्रकार है कि अप्रतिबंधित A Wr<sub>Ω</sub>H और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A wr<sub>Ω</sub>H सहमत है यदि H-सम्मुच्चय Ω परिमित है। विशेष रूप से यह तब सत्य होता है जब Ω = H परिमित होता है। | ||
=== उपसमूह === | === उपसमूह === | ||
A WR<sub>Ω</sub>H हमेशा A Wr<sub>Ω</sub> ''H'' का [[उपसमूह]] होता है। | |||
=== | === गणनांक === | ||
यदि A, H और Ω परिमित हैं, तो | यदि A, H और Ω परिमित हैं, तो | ||
:: | | :: |''A''≀<sub>Ω</sub>''H''| = |''A''|<sup>|Ω|</sup>|''H''|.<ref>Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)</ref> | ||
=== | === सार्वभौमिक अंतःस्थापन प्रमेय === | ||
{{Main| | {{Main|सार्वभौमिक अंतःस्थापन प्रमेय}} | ||
सार्वभौमिक अंतःस्थापन प्रमेय यदि G, H द्वारा A का एक [[समूह विस्तार]] है, तो अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A≀H का एक उपसमूह उपस्थित है जो G के लिए समरूपी है।<ref>M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", [[Acta Sci. Math.]] 14, pp. 69–82 (1951)</ref> इसे क्रास्नर-कलौजिनिन अंतःस्थापन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। क्रोहन-रोड्स प्रमेय में वह सम्मिलित है जो मूल रूप से इसके समतुल्य अर्धसमूह है।<ref name="Meldrum1995">{{cite book|author=J D P Meldrum|title=समूहों और अर्धसमूहों के पुष्पांजलि उत्पाद|year=1995|publisher=Longman [UK] / Wiley [US]|isbn=978-0-582-02693-3|page=ix}}</ref> | |||
== व्रेथ उत्पादों की विहित क्रियाएं == | |||
* Λ × Ω पर | यदि समूह A एक सम्मुच्चय Λ पर कार्य करता है तो Ω और Λ से सम्मुच्चय बनाने के दो विहित तरीके हैं जिन पर A Wr<sub>Ω</sub>H (और इसलिए A WR<sub>Ω</sub>H) कार्य कर सकता है। | ||
* Λ × Ω पर व्रेथ गुणनफल क्रिया। | |||
*: अगर {{nowrap|((''a''<sub>''ω''</sub>),''h'') ∈ ''A'' Wr<sub>Ω</sub> ''H''}} और {{nowrap|(''λ'',''ω''′) ∈ Λ × Ω}}, तब | *: अगर {{nowrap|((''a''<sub>''ω''</sub>),''h'') ∈ ''A'' Wr<sub>Ω</sub> ''H''}} और {{nowrap|(''λ'',''ω''′) ∈ Λ × Ω}}, तब | ||
*:: <math>((a_\omega), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega'). </math> | *:: <math>((a_\omega), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega'). </math> | ||
* Λ | * Λ<sup>Ω</sup> पर आदिम व्रेथ गुणनफल क्रिया। | ||
*: | *: Λ<sup>Ω</sup> में एक तत्व एक क्रम (''λ<sub>ω</sub>'') H-सम्मुच्चय Ω द्वारा अनुक्रमित है। एक तत्व {{nowrap|((''a''<sub>''ω''</sub>), ''h'') ∈ ''A'' Wr<sub>Ω</sub> ''H''}} दिया गया है, (''λ<sub>ω</sub>'') ∈ Λ<sup>Ω</sup> पर इसका संचालन निम्नलिखित द्वारा दिया गया है | ||
*:: <math>((a_\omega), h) \cdot (\lambda_\omega) := (a_{h^{-1}\omega}\lambda_{h^{-1}\omega}).</math> | *:: <math>((a_\omega), h) \cdot (\lambda_\omega) := (a_{h^{-1}\omega}\lambda_{h^{-1}\omega}).</math> | ||
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== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
* लैम्पलाइटर समूह प्रतिबंधित | * लैम्पलाइटर समूह प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल ℤ<sub>2</sub>≀ℤ है। | ||
* {{math|ℤ<sub>''m''</sub>≀''S''<sub>''n''</sub>}} ([[सामान्यीकृत सममित समूह]])। | * {{math|ℤ<sub>''m''</sub>≀''S''<sub>''n''</sub>}} ([[सामान्यीकृत सममित समूह]])। | ||
: इस | : इस व्रेथ गुणनफल का आधार n-गुना प्रत्यक्ष गुणनफल है | ||
:: ℤ<sub>''m''</sub><sup> | :: ℤ<sub>''m''</sub><sup>''n''</sup> = ℤ<sub>''m''</sub> × ... × ℤ<sub>''m''</sub> | ||
: ℤ | : ℤ<sub>''m''</sub> की प्रतियों का जहां क्रिया φ : ''S<sub>n</sub>'' → Aut(ℤ<sub>''m''</sub><sup>''n''</sup>) सममित समूह S<sub>''n''</sub> की घात n निम्नलिखित द्वारा दी गई है | ||
:: | :: ''φ''(''σ'')(α<sub>1</sub>,..., ''α<sub>n</sub>'') := (''α<sub>σ</sub>''<sub>(1)</sub>,..., ''α<sub>σ</sub>''<sub>(''n'')</sub>)<ref>J. W. Davies and A. O. Morris, "The Schur Multiplier of the Generalized Symmetric Group", [[J. London Math. Soc.]] (2), 8, (1974), pp. 615–620</ref> | ||
* | * S<sub>2</sub>≀S<sub>''n''</sub> ([[हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह]])। | ||
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