ध्रुवीय अपघटन: Difference between revisions

गणित में, वर्ग [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> प्रपत्र का [[मैट्रिक्स अपघटन|आव्यूह अपघटन]] <math>A = U P</math> है, जहाँ <math>U</math> [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] है और <math>P</math> सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित आव्यूह है (<math>U</math> [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] है और <math>P</math> सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, जटिल स्थिति में सकारात्मक अर्ध-निश्चित [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]]), वर्ग और समान आकार दोनों है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 2.5</ref>  

 

वर्ग आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> सदैव उपस्थित है। यदि <math>A</math> व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक <math>P</math> [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] होगा। उस स्थिति में, <math>A</math> को अद्वितीय रूप से <math>A = U e^X </math> लिखा जा सकता है, जहाँ <math>U</math> एकात्मक है और <math>X</math> आव्यूह <math>P</math> का अद्वितीय स्व-आसन्न लघुगणक है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Theorem 2.17</ref> यह अपघटन (आव्यूह) [[झूठ समूह|लाई समूह]] के [[मौलिक समूह]] की गणना करने में उपयोगी है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Section 13.3</ref>

 

ध्रुवीय अपघटन को <math>A  = P' U</math> के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ <math>P' = U P U^{-1}</math> सममित धनात्मक-निश्चित आव्यूह है, जो <math>P</math> के समान आइजनवैल्यू के साथ है, लेकिन अलग-अलग आइजनवेक्टर हैं।

 

आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या <math>z</math> के ध्रुवीय रूप के आव्यूह एनालॉग के रूप में <math>z = u r</math> के रूप में देखा जा सकता है, जहाँ <math>r</math> इसका पूर्ण मान है (गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और <math>u</math> इकाई मानदंड (वृत्त समूह का तत्व) के साथ सम्मिश्र संख्या है।

 

परिभाषा <math>A = UP</math> को <math>A\in\mathbb{C}^{m \times n}</math> में <math>U\in\mathbb{C}^{m \times n}</math> [[ अर्ध-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह]] होना और <math>P\in\mathbb{C}^{n \times n}</math> सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन आव्यूह होना। अपघटन सदैव उपस्थित रहता है और <math>P</math> सदैव अद्वितीय होता है। आव्यूह <math>U</math> अद्वितीय है यदि और केवल यदि <math>A</math> के पास पूर्ण रैंक है।<ref name="higham1990" />

वास्तविक वर्ग <math>m\times m</math> आव्यूह <math>A</math> की व्याख्या <math>\mathbb{R}^m</math> के रैखिक परिवर्तन के रूप में की जा सकती है जो स्तंभ सदिश <math>x</math> को <math>A x</math> तक ले जाता है। फिर, ध्रुवीय अपघटन में <math>A = RP</math>, कारक <math>R</math> एक <math>m\times m</math> वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह है। ध्रुवीय अपघटन को <math>A</math> द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है, जो स्पेस के <math>\mathbb{R}^m</math> स्केलिंग (ज्यामिति) <math>A</math> के प्रत्येक आइजनवेक्टर <math>e_i</math> के साथ पैमाना कारक <math>\sigma_i</math> के स्केलिंग (<math>P</math> की क्रिया) में व्यक्त करता है, जिसके बाद एकल घुमाव या <math>\mathbb{R}^m</math> प्रतिबिंब (<math>R</math> की क्रिया) होता है।

वैकल्पिक रूप से, अपघटन <math>A=P R</math> द्वारा परिभाषित परिवर्तन को <math>A</math> रोटेशन के रूप में (<math>R</math>) स्केलिंग के बाद (<math>P</math>) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ व्यक्त करता है। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं।

जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> द्वारा <math>\overline{A} = \overline{U}\overline{P}</math> दिया गया है। ध्यान दें कि<math display="block">\det A = \det U \det P = e^{i\theta} r</math>A के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि <math>\det U = e^{i\theta}</math> और <math>\det P = r = \left|\det A\right|</math>। विशेष रूप से, यदि <math>A</math> निर्धारक 1 है तो दोनों <math>U</math> और <math>P</math> निर्धारक 1 है।

सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह P सदैव अद्वितीय होता है, तथापि A एकल आव्यूह हो, और इसे इस रूप में निरूपित किया जाता है<math display="block">P = \left(A^* A\right)^\frac{1}{2},</math>जहाँ <math>A^*</math> के [[संयुग्मी स्थानान्तरण]] को <math>A</math> दर्शाता है। P की विशिष्टता यह सुनिश्चित करती है कि यह अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। विशिष्टता इस तथ्य से सुनिश्चित है कि <math>A^* A</math> सकारात्मक-अर्ध-सीमित हर्मिटियन आव्यूह है और इसलिए, आव्यूह का अद्वितीय सकारात्मक-अर्ध-अर्ध-सीमित हर्मिटियन वर्गमूल है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Lemma 2.18</ref> यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो P धनात्मक-निश्चित है, इस प्रकार भी व्युत्क्रमणीय है और आव्यूह U विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है<math display="block">U = AP^{-1}.</math>

<math>A</math> के एकल मान अपघटन (एसवीडी) के संदर्भ में, <math>A = W\Sigma V^*</math>, किसी के पास<math display="block">\begin{align}

\end{align}</math>जहाँ <math>U</math>, <math>V</math>, और <math>W</math> एकात्मक आव्यूह हैं (यदि <math>\mathbb{R}</math> क्षेत्र वास्तविक है तो ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है)। इससे इस बात की पुष्टि होती है कि <math>P</math> सकारात्मक-निश्चित है और <math>U</math> एकात्मक है। इस प्रकार, एसवीडी का अस्तित्व ध्रुवीय अपघटन के अस्तित्व के बराबर है।

वर्ग उलटा वास्तविक आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन <math>A</math> स्वरूप का है

जहाँ <math>|A| = \left(AA^\textsf{T}\right)^\frac{1}{2}</math> [[सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स|सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह]] है। सकारात्मक-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह और <math>R = |A|^{-1}A</math> ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

=== सामान्य आव्यूह से संबंध ===

ध्रुवीय अपघटन के साथ <math>A</math> आव्यूह <math>A=UP</math> [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य]] है यदि और केवल <math>U</math> और <math>P</math> [[कम्यूटिंग मेट्रिसेस|कम्यूटिंग आव्यूह]] है: <math>UP = PU</math>, या समकक्ष रूप से, वे एक साथ विकर्ण हैं।

ध्रुवीय अपघटन के निर्माण के पीछे मुख्य विचार वही है जो एकल-मान अपघटन की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

=== सामान्य आव्यूह के लिए व्युत्पत्ति ===

यदि <math>A</math> सामान्य आव्यूह है, तो यह विकर्ण आव्यूह के समान रूप से <math>A = V\Lambda V^*</math> समतुल्य है: कुछ एकात्मक आव्यूह के लिए <math>V</math> और कुछ विकर्ण आव्यूह के लिए <math>\Lambda</math>। यह इसके ध्रुवीय अपघटन की व्युत्पत्ति को विशेष रूप से सीधा बनाता है, जैसा कि हम तब लिख सकते हैं

जहाँ <math>\Phi_\Lambda</math> के तत्वों के चरणों से युक्त विकर्ण आव्यूह <math>\Lambda</math> है, वह <math>(\Phi_\Lambda)_{ii}\equiv \Lambda_{ii}/ |\Lambda_{ii}|</math> है, जब <math>\Lambda_{ii}\neq 0</math>, और <math>(\Phi_\Lambda)_{ii}=0</math> जब <math>\Lambda_{ii}=0</math>।

 

एकल-मान अपघटन से, यह दिखाया जा सकता है कि आव्यूह <math>A</math> उलटा है यदि और केवल यदि <math>A^* A</math> (समान रूप से, <math>AA^*</math>) है। इसके अतिरिक्त, यह सच है यदि और केवल यदि <math>A^* A</math> के सभी आइजन मान शून्य नहीं हैं।<ref>Note how this implies, by the positivity of <math>A^* A</math>, that the eigenvalues are all real and strictly positive.</ref>

इस स्थिति में, ध्रुवीय अपघटन सीधे लिखकर प्राप्त किया जाता है

और यह देखते हुए कि <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> एकात्मक है। इसे देखने के लिए, हम <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}} = AVD^{-\frac{1}{2}}V^*</math> लिखने के लिए <math>A^* A</math> के वर्णक्रमीय अपघटन का लाभ उठा सकते हैं।

इस अभिव्यक्ति में, <math>V^*</math> एकात्मक है क्योंकि <math>V</math> है। यह दिखाने के लिए कि <math>AVD^{-\frac{1}{2}}</math> एकात्मक है, हम <math>A = WD^\frac{1}{2}V^*</math> लिखने के लिए एकल-मान अपघटन का उपयोग कर सकते हैं, जिससे

<math display="block">AV D^{-\frac{1}{2}} = WD^\frac{1}{2}V^* VD^{-\frac{1}{2}} = W,</math>

जहाँ पुनः <math>W</math> निर्माण द्वारा एकात्मक है।

फिर भी <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> की इकाई को सीधे दर्शाने की एक और विधि यह ध्यान रखनी है कि, रैंक -1 आव्यूह के संदर्भ में <math>A</math> का एसवीडी <math display="inline">A = \sum_k s_k v_k w_k^*</math> लिखना, जहाँ <math>s_k</math>, <math>A</math> के एकल मान हैं, अपने पास

<math display="block">A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}

= \sum_k \frac{\lambda_k}{|\lambda_k|} v_k w_k^*,</math> जिसका सीधा तात्पर्य <math>A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}</math> की एकता से है, क्योंकि आव्यूह एकात्मक है यदि और केवल यदि इसके एकल मानों में एकात्मक निरपेक्ष मान है।

ध्यान दें कि कैसे, उपरोक्त निर्माण से, यह इस प्रकार है कि व्युत्क्रमणीय आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन में एकात्मक आव्यूह विशिष्ट रूप से परिभाषित है।

वर्ग आव्यूह <math>A</math> का एसवीडी, <math>A = W D^\frac{1}{2} V^*</math> एकात्मक आव्यूह, <math>W, V</math>, और <math>D</math> के साथ विकर्ण, सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह पढ़ा जाता है। <math>W</math>s या <math>V</math>s की अतिरिक्त जोड़ी डालने से, हम <math>A</math> के ध्रुवीय अपघटन के दो रूपों को प्राप्त करते हैं :<math display="block">

</math> कुछ आयताकार <math>

</math> आव्यूह है, इसका एसवीडी <math>

</math> के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ अब <math>

</math> क्रमशः <math>

</math> आयामों के साथ आइसोमेट्री हैं, जहाँ <math>

</math> आयामों के साथ फिर से विकर्ण सकारात्मक अर्ध-निश्चित वर्ग आव्यूह <math>

</math> है। अब हम लिखने के लिए उपरोक्त समीकरण <math>

</math> में उपयोग किए गए समान तर्क को प्रयुक्त कर सकते हैं, पर अब <math>

</math> के पास <math>

</math> के समान समर्थन और सीमा है, और यह <math>

</math> को संतुष्ट करता है। यह <math>

</math> को आइसोमेट्री में बनाता है, जब इसकी क्रिया <math>

</math> के समर्थन पर प्रतिबंधित होती है, अर्थात् इसका अर्थ है की <math>

इस अधिक सामान्य स्थिति के स्पष्ट उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित आव्यूह के एसवीडी पर विचार करें:<math display="block">

</math>जो आइसोमेट्री है, लेकिन एकात्मक नहीं है। दूसरी ओर, यदि हम के अपघटन पर विचार करें<math display="block">

=== [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |हिल्बर्ट स्पेस]] पर बंधे हुए ऑपरेटर ===

जटिल हिल्बर्ट स्पेस स्थान के बीच किसी भी बाध्य रैखिक ऑपरेटर ''A'' का ध्रुवीय अपघटन आंशिक आइसोमेट्री और गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में विहित कारक है।

आव्यूह के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि यदि ''A'' परिबद�